1.如图，AC和BD相交于点O，$OA=OD$.若用“SAS”判定$△ AOB≌△ DOC$，则还需要的条件为 （）


A.$AB=DC$
B.$OB=OC$
C.$∠ A=∠ D$
D.$∠ AOB=∠ DOC$

1.B

【分析】
解题时首先明确“SAS”判定三角形全等的核心要求：两个三角形的两组对应边相等，且这两组边的夹角也对应相等。首先梳理题干已给出的条件：①已知OA=OD；②AC和BD交于点O，可得对顶角∠AOB=∠DOC，这组角恰好是△AOB中OA、OB的夹角，△DOC中OD、OC的夹角。要满足SAS的判定条件，仅缺夹角的另一组对应边相等，即OB=OC，再逐一排除不符合要求的选项即可得到答案。
【解析】
要使用“SAS”判定△AOB≌△DOC，需满足两边及其夹角对应相等：
1. 已知条件：$OA=OD$，且AC与BD相交于点O，根据对顶角相等可得$∠ AOB=∠ DOC$；
2. $∠ AOB$是$△ AOB$中OA与OB的夹角，$∠ DOC$是$△ DOC$中OD与OC的夹角，已有一组对应边$OA=OD$、一组对应夹角相等，因此需要另一组夹边相等，即$OB=OC$；
3. 分析选项：
A选项$AB=DC$，对应条件为SSA，无法判定三角形全等，不符合要求；
C选项$∠ A=∠ D$，属于ASA判定的条件，不符合SAS的要求；
D选项$∠ AOB=∠ DOC$是已有对顶角相等的条件，无需额外添加；
因此符合要求的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
SAS判定三角形全等、对顶角的性质
【点评】
本题考查三角形全等的SAS判定定理，解题关键是明确SAS中相等的角必须是两组对应相等边的夹角，注意区分各全等判定定理的使用条件，同时要牢记SSA不能判定一般三角形全等。
【难度系数】
0.8

2.如图，$AF = DC$，$BC // EF$，补充一个条件，可得$△ ABC ≌ △ DEF(\mathrm{SAS})$。

2.$BC=EF$

【分析】
要利用“SAS”判定$△ ABC ≌ △ DEF$，首先明确SAS的判定要求：两个三角形有两组对应边相等，且这两组边的夹角也对应相等。我们先结合已知条件推导已有的边、角相等关系：首先由$AF=DC$，根据等式的性质，两边同时加$FC$可得$AC=DF$，得到第一组对应边相等；再由$BC// EF$，根据平行线的内错角相等性质，可得$∠ ACB=∠ DFE$，得到了两组边的夹角相等。此时要满足SAS条件，还缺夹这组相等角的另一组对应边相等，即$BC$与$EF$相等，因此补充该条件即可。
【解析】
1. 推导对应边相等：已知$AF=DC$，在等式两边同时加上公共线段$FC$，可得$AF+FC=DC+FC$，即$AC=DF$。
2. 推导对应角相等：已知$BC// EF$，根据“两直线平行，内错角相等”，可得$∠ ACB=∠ DFE$。
3. 对照SAS判定条件：此时已有一组对应边$AC=DF$，一组对应夹角$∠ ACB=∠ DFE$，还需要夹这组角的另一组对应边相等，即$BC=EF$，就满足“两边及其夹角对应相等”的SAS判定条件，可证$△ ABC ≌ △ DEF$。
【答案】
$BC=EF$
【知识点】
SAS判定三角形全等、平行线的性质、等式的性质
【点评】
本题考查全等三角形SAS判定的应用，解题时需要先结合已知条件推导出已有的边、角相等关系，再对照SAS的判定要求补全缺失的条件，注意SAS判定中的角必须是两组对应边的夹角，不要混淆边角的对应位置。
【难度系数】
0.8

3.(2024·云南)如图,在$△ ABC$和$△ AED$中,$AB=AE,∠ BAE=∠ CAD,AC=AD$.求证:$△ ABC≌△ AED$.

3.证明: $\because ∠ BAE=∠ CAD, \therefore ∠ BAE+∠ CAE=∠ CAD+∠ CAE$, 即$∠ BAC=∠ EAD$.
在$△ ABC$和$△ AED$中, $\begin{cases} AB=AE, \\ ∠ BAC=∠ EAD, \\ AC=AD, \end{cases}$
$\therefore △ ABC ≌ △ AED(\mathrm{SAS}).$

【分析】
要证明△ABC≌△AED，首先回忆“SAS”判定三角形全等的条件：需要两组对应边相等，且两组边的夹角对应相等。题目已给出AB=AE、AC=AD两组对应边相等，因此只需推导两组边的夹角∠BAC和∠EAD相等即可。结合已知∠BAE=∠CAD，给两个角同时加上公共角∠CAE，根据等式性质即可得到∠BAC=∠EAD，满足“SAS”判定条件，即可完成证明。
【解析】
证明：$\because ∠BAE=∠CAD$,
$\therefore ∠BAE+∠CAE=∠CAD+∠CAE$,即$∠BAC=∠EAD$.
在$△ ABC$和$△ AED$中,
$\begin{cases} AB=AE, \\ ∠ BAC=∠ EAD, \\ AC=AD, \end{cases}$
$\therefore △ ABC ≌ △ AED(\mathrm{SAS}).$
【答案】
证明过程如上所示。
【知识点】
角的和差计算，SAS判定三角形全等
【点评】
本题是全等三角形判定的基础常规题，解题关键是通过角的和差关系推导得到对应夹角相等，再结合已知边相等的条件，套用“SAS”判定定理即可解决，需注意准确识别全等三角形的对应边和对应夹角。
【难度系数】
0.9

4.如图，AD，BC表示两根长度相等的木条.若O是AD，BC的中点，经测量AB＝9 cm，则容器的内径CD为cm.

4.9

【分析】
要求容器内径CD的长度，已知AB的长度，可通过证明AB、CD所在的三角形全等求解。首先根据O是AD、BC的中点，可得到两组对应边相等，再结合对顶角相等的性质，可利用“SAS”判定两个三角形全等，最后根据全等三角形对应边相等即可得到CD的长度。
【解析】
解：
∵O是AD、BC的中点，
∴$OA=OD$，$OB=OC$。
在$△ AOB$和$△ DOC$中：
$\begin{cases}OA=OD \\∠ AOB=∠ DOC \quad (\mathrm{对顶角相等}) \\OB=OC\end{cases}$
∴$△ AOB ≌ △ DOC$（SAS）
∴$CD=AB=9\ \mathrm{cm}$
【答案】
9
【知识点】
SAS判定三角形全等、全等三角形的性质、对顶角的性质
【点评】
本题是全等三角形在实际生活中的基础应用题，解题的关键是结合中点、对顶角的性质找到三角形全等的判定条件，再利用全等三角形对应边相等的性质求出未知边长。
【难度系数】
0.8

5.如图，$CA=CB$，$CD=CE$，$∠ ACB = ∠ DCE$，连接$AB$，$DE$，$AD$交$BC$于点$F$，交$BE$于点$G$，求证：$∠ BGF = ∠ ACB$。

5.证明: $\because ∠ ACB=∠ DCE$,
$\therefore ∠ ACB+∠ BCD=∠ DCE+∠ BCD$,
即$∠ ACD=∠ BCE$.
在$△ ACD$和$△ BCE$中, $\begin{cases} CA=CB, \\ ∠ ACD=∠ BCE, \\ CD=CE, \end{cases}$
$\therefore △ ACD ≌ △ BCE(\mathrm{SAS})$,
$\therefore ∠ CAD=∠ CBE$,
$\therefore ∠ BGF=∠ AFB-∠ CBE=∠ AFB-∠ CAD=∠ ACB.$

【分析】
要证明∠BGF=∠ACB，首先结合已知的两组相等边、一组相等角的条件，先通过角的和差运算得到△ACD和△BCE的夹角相等，用SAS判定两三角形全等，得到对应角∠CAD=∠CBE；再利用三角形外角的性质找到∠BGF、∠ACB与已有等角的关系，通过等量代换即可证明结论。
【解析】
证明：$\because ∠ ACB=∠ DCE$，
$\therefore ∠ ACB+∠ BCD=∠ DCE+∠ BCD$，
即$∠ ACD=∠ BCE$。
在$△ ACD$和$△ BCE$中，
$\begin{cases} CA=CB, \\ ∠ ACD=∠ BCE, \\ CD=CE, \end{cases}$
$\therefore △ ACD ≌ △ BCE(\mathrm{SAS})$，
$\therefore ∠ CAD=∠ CBE$。
根据三角形外角性质可得$∠AFB=∠BGF+∠CBE=∠CAD+∠ACB$，
$\therefore ∠ BGF=∠ AFB-∠ CBE=∠ AFB-∠ CAD=∠ ACB$。
【答案】
证明: $\because ∠ ACB=∠ DCE$,
$\therefore ∠ ACB+∠ BCD=∠ DCE+∠ BCD$,
即$∠ ACD=∠ BCE$.
在$△ ACD$和$△ BCE$中, $\begin{cases} CA=CB, \\ ∠ ACD=∠ BCE, \\ CD=CE, \end{cases}$
$\therefore △ ACD ≌ △ BCE(\mathrm{SAS})$,
$\therefore ∠ CAD=∠ CBE$,
$\therefore ∠ BGF=∠ AFB-∠ CBE=∠ AFB-∠ CAD=∠ ACB.$
【知识点】
SAS判定三角形全等，全等三角形的性质，三角形外角性质
【点评】
本题是全等三角形章节的典型基础题，解题核心是通过角的和差构造全等判定所需的等角，再结合全等性质与角的等量代换完成求证，能有效考查学生对全等判定、性质的应用能力。
【难度系数】
0.7

6.(2025·鞍山立山区期中)如图，CA平分∠DCB，CB=CD.若∠BAD=98°,则∠DAC的度数为()

A.82°
B.98°
C.131°
D.102°

6.C

【分析】
解题思路可分三步：1. 先根据角平分线的定义得到一组相等的角，结合已知的等边和公共边，用SAS判定△ACD和△ACB全等；2. 由全等三角形的对应角相等得到∠B=∠D，再结合三角形外角的性质推出∠BAD和∠B+∠BCA的数量关系，求出∠B+∠BCA的度数；3. 最后利用三角形内角和定理求出∠BAC的度数，再由全等对应角相等得到∠DAC的度数。
【解析】
解：
∵CA平分∠DCB，
∴∠DCA=∠BCA，
在△ACD和△ACB中：
$\{\begin{array}{l}CD=CB \\∠DCA=∠BCA \\CA=CA\end{array} $
∴△ACD≌△ACB（SAS），
∴∠D=∠B，∠DAC=∠BAC，
根据三角形外角的性质可得：$∠ BAD=∠ D+∠ DCA+∠ B+∠ BCA=2(∠ B+∠ BCA)$，
已知$∠ BAD=98°$，
∴$∠ B+∠ BCA=98°÷2=49°$，
在△ABC中，由三角形内角和为$180°$得：$∠ BAC=180°-(∠ B+∠ BCA)=180°-49°=131°$，
∴$∠ DAC=∠ BAC=131°$。
【答案】
C
【知识点】
SAS判定三角形全等、三角形内角和定理、三角形外角的性质
【点评】
本题是全等三角形与角度计算的综合基础题，核心是通过SAS证明三角形全等得到对应角相等，再结合三角形内角和、外角的性质推导角度关系，解题时要注意对应角的匹配，避免角度关系混淆。
【难度系数】
0.6

7.如图，$BD=BC$，$BE=CA$，$∠ DBE=∠ C=62°$，$∠ BDE=75°$，则$∠ AFD$的度数为（）

A.$30°$
B.$32°$
C.$33°$
D.$35°$

7.B

【分析】
解题时先观察已知条件：有两组对应边相等，且两组边的夹角也相等，符合SAS全等判定的条件，因此先证明△BDE和△BCA全等，得到对应角∠A=∠BED；再利用三角形内角和定理求出△BDE中∠BED的度数，即可得到∠A的度数；接着根据邻补角的定义求出∠ADF的度数，最后在△ADF中利用三角形内角和定理就能算出∠AFD的度数。
【解析】
1. 证明三角形全等：
在$△ BDE$和$△ BCA$中：
$\begin{cases} BD=BC(\mathrm{已知}) \\ ∠ DBE=∠ C(\mathrm{已知}) \\ BE=CA(\mathrm{已知}) \end{cases}$
$\therefore △ BDE ≌ △ BCA(\mathrm{SAS})$
根据全等三角形的性质，得$∠ A=∠ BED$。
2. 计算$∠ BED$的度数：
在$△ BDE$中，由三角形内角和为$180°$可得：
$∠ BED=180°-∠ DBE-∠ BDE=180°-62°-75°=43°$
$\therefore ∠ A=43°$。
3. 计算$∠ ADF$的度数：
$\because ∠ ADF$与$∠ BDE$是邻补角，$\therefore ∠ ADF=180°-∠ BDE=180°-75°=105°$。
4. 计算$∠ AFD$的度数：
在$△ ADF$中，由三角形内角和为$180°$可得：
$∠ AFD=180°-∠ A-∠ ADF=180°-43°-105°=32°$。
【答案】
B
【知识点】
SAS判定三角形全等、三角形内角和定理、邻补角的性质
【点评】
本题是全等三角形与角度计算的综合题，解题核心是准确识别全等三角形的对应元素，熟练运用全等的性质和三角形内角和定理求解角度，是几何部分的基础典型题。
【难度系数】
0.7