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10.（2024·沈阳铁西区期中）如图，$△ ABC ≌ △ DEF$，$∠ B = ∠ DEF = 90°$，点$B$，$E$，$C$，$F$在一条直线上。已知$AB=10$，$DO=4$，$BF=20$，$BE=6$，则$△ OEC$的面积为（
A.24
B.26
C.32
D.48
A
）A.24
B.26
C.32
D.48
答案
10.A
解析
【分析】
要计算△OEC的面积，首先确定它是直角三角形，需求出两条直角边OE和EC的长度：①利用全等三角形对应边相等的性质，先由AB=DE结合已知DO的长度求出OE；②再由全等三角形对应边BC=EF推出BE=CF，结合BF、BE的长度求出EC；最后代入直角三角形面积公式计算即可。
【解析】
解：
∵△ABC ≌ △DEF
∴AB = DE，BC = EF
∴BC - EC = EF - EC，即BE = CF
已知AB = 10，
∴DE = AB = 10
∵DO = 4，
∴OE = DE - DO = 10 - 4 = 6
已知BE = 6，
∴CF = BE = 6
又
∵BF = 20，且BF = BE + EC + CF
∴EC = BF - BE - CF = 20 - 6 - 6 = 8
∵∠DEF = 90°，
∴∠OEC = 90°，△OEC为直角三角形
∴$S_{△ OEC} = \frac{1}{2} × OE × EC = \frac{1}{2} × 6 × 8 = 24$
【答案】
A
【知识点】
全等三角形的性质、线段和差计算、直角三角形面积计算
【点评】
本题属于全等三角形性质的基础应用题目，解题核心是利用全等三角形对应边相等的性质推导未知边的长度，结合图形分析边的和差关系是解题的关键，掌握该类题型的解题逻辑可以快速解决同类型问题。
【难度系数】
0.7
要计算△OEC的面积，首先确定它是直角三角形，需求出两条直角边OE和EC的长度：①利用全等三角形对应边相等的性质，先由AB=DE结合已知DO的长度求出OE；②再由全等三角形对应边BC=EF推出BE=CF，结合BF、BE的长度求出EC；最后代入直角三角形面积公式计算即可。
【解析】
解：
∵△ABC ≌ △DEF
∴AB = DE，BC = EF
∴BC - EC = EF - EC，即BE = CF
已知AB = 10，
∴DE = AB = 10
∵DO = 4，
∴OE = DE - DO = 10 - 4 = 6
已知BE = 6，
∴CF = BE = 6
又
∵BF = 20，且BF = BE + EC + CF
∴EC = BF - BE - CF = 20 - 6 - 6 = 8
∵∠DEF = 90°，
∴∠OEC = 90°，△OEC为直角三角形
∴$S_{△ OEC} = \frac{1}{2} × OE × EC = \frac{1}{2} × 6 × 8 = 24$
【答案】
A
【知识点】
全等三角形的性质、线段和差计算、直角三角形面积计算
【点评】
本题属于全等三角形性质的基础应用题目，解题核心是利用全等三角形对应边相等的性质推导未知边的长度，结合图形分析边的和差关系是解题的关键，掌握该类题型的解题逻辑可以快速解决同类型问题。
【难度系数】
0.7
11.如图，已知$△ ABC≌△ DEF$，BC与DF交于点G，CD平分$∠ BCA$.若$∠ A=30°$，$∠ BGD=94°$，则$∠ E=$
22
°.答案
11.22
解析
【分析】
解题时先利用全等三角形的性质得到对应角相等，确定∠D和∠A、∠E和∠B的等量关系；再结合已知的∠BGD求出其邻补角∠CGD的度数，在△CDG中用三角形内角和求出∠BCD；接着根据角平分线的定义得到∠ACB的度数，最后在△ABC中用内角和求出∠B，即可得到∠E的度数。
【解析】
1. 由$△ ABC≌△ DEF$，根据全等三角形对应角相等，可得$∠ D=∠ A=30°$，$∠ E=∠ B$。
2. 已知$∠ BGD=94°$，$∠ BGD$与$∠ CGD$为邻补角，因此$∠ CGD=180°-∠ BGD=180°-94°=86°$。
3. 在$△ CDG$中，根据三角形内角和为$180°$，得$∠ BCD=180°-∠ D-∠ CGD=180°-30°-86°=64°$。
4. 因为$CD$平分$∠ BCA$，所以$∠ BCA=2∠ BCD=2×64°=128°$。
5. 在$△ ABC$中，$∠ B=180°-∠ A-∠ BCA=180°-30°-128°=22°$，因此$∠ E=∠ B=22°$。
【答案】
22
【知识点】
全等三角形的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理
【点评】
本题是三角形基础性质的综合应用题，解题的核心是找准全等三角形的对应角，理清图中角的和差、邻补关系，逐步推导所求角的度数。
【难度系数】
0.65
解题时先利用全等三角形的性质得到对应角相等，确定∠D和∠A、∠E和∠B的等量关系；再结合已知的∠BGD求出其邻补角∠CGD的度数，在△CDG中用三角形内角和求出∠BCD；接着根据角平分线的定义得到∠ACB的度数，最后在△ABC中用内角和求出∠B，即可得到∠E的度数。
【解析】
1. 由$△ ABC≌△ DEF$，根据全等三角形对应角相等，可得$∠ D=∠ A=30°$，$∠ E=∠ B$。
2. 已知$∠ BGD=94°$，$∠ BGD$与$∠ CGD$为邻补角，因此$∠ CGD=180°-∠ BGD=180°-94°=86°$。
3. 在$△ CDG$中，根据三角形内角和为$180°$，得$∠ BCD=180°-∠ D-∠ CGD=180°-30°-86°=64°$。
4. 因为$CD$平分$∠ BCA$，所以$∠ BCA=2∠ BCD=2×64°=128°$。
5. 在$△ ABC$中，$∠ B=180°-∠ A-∠ BCA=180°-30°-128°=22°$，因此$∠ E=∠ B=22°$。
【答案】
22
【知识点】
全等三角形的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理
【点评】
本题是三角形基础性质的综合应用题，解题的核心是找准全等三角形的对应角，理清图中角的和差、邻补关系，逐步推导所求角的度数。
【难度系数】
0.65
12.如图，$△ ABD ≌ △ EBC$，点A，B，C在同一条直线上，点E在BD上，连接DC，AB＝2 cm，BC＝3 cm.
(1)求DE的长及$△ DEC$的面积；
(2)判断AD与CE的位置关系，并说明理由.
(1)求DE的长及$△ DEC$的面积；
(2)判断AD与CE的位置关系，并说明理由.
答案
12.(1)$DE=1\ \mathrm{cm}$,$△ DEC$ 的面积为 $\frac{3}{2}\ \mathrm{cm}^2$
(2)$AD⊥ CE$.理由略
(2)$AD⊥ CE$.理由略
解析
【分析】
(1) 解题思路：首先利用全等三角形对应边相等的性质，得到BE=AB、BD=BC，结合A、B、C共线可推出BD⊥AC，用BD减去BE即可求出DE的长度；△DEC以DE为底时，高等于BC的长度，代入三角形面积公式即可求解。
(2) 解题思路：要判断AD与CE的位置关系，可延长CE交AD于一点，利用全等三角形对应角相等的性质，结合直角三角形两锐角互余，推导得到该交点处的角为90°，即可证明垂直关系。
【解析】
(1) 解：
∵ $△ ABD ≌ △ EBC$
∴ $AB=EB=2\ \mathrm{cm}$，$BD=BC=3\ \mathrm{cm}$，$∠ ABD = ∠ EBC$
∵ 点A，B，C在同一条直线上
∴ $∠ ABD + ∠ EBC = 180°$，即 $∠ ABD = ∠ EBC = 90°$，可得$BD ⊥ AC$
∴ $DE = BD - BE = 3 - 2 = 1\ \mathrm{cm}$
∵ $BD ⊥ AC$，即$BC ⊥ DE$，BC为$△ DEC$中DE边上的高
∴ $S_{△ DEC} = \frac{1}{2} × DE × BC = \frac{1}{2} × 1 × 3 = \frac{3}{2}\ \mathrm{cm}^2$
(2) $AD ⊥ CE$，理由如下：
延长CE交AD于点F
∵ $△ ABD ≌ △ EBC$
∴ $∠ A = ∠ BEC$
在$\mathrm{Rt}△ EBC$中，$∠ BEC + ∠ BCE = 90°$
∴ $∠ A + ∠ BCE = 90°$
在$△ AFC$中，$∠ AFC = 180° - (∠ A + ∠ BCE) = 90°$
∴ $AD ⊥ CE$
【答案】
(1) $DE=1\ \mathrm{cm}$，$△ DEC$ 的面积为 $\frac{3}{2}\ \mathrm{cm}^2$；
(2) $AD⊥ CE$
【知识点】
全等三角形的性质、三角形面积计算、垂直的判定
【点评】
本题是全等三角形性质应用的典型基础题，解题的关键是准确识别全等三角形的对应边和对应角，结合平角定义、直角三角形两锐角互余等知识进行推导，考查学生对基础知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
(1) 解题思路：首先利用全等三角形对应边相等的性质，得到BE=AB、BD=BC，结合A、B、C共线可推出BD⊥AC，用BD减去BE即可求出DE的长度；△DEC以DE为底时，高等于BC的长度，代入三角形面积公式即可求解。
(2) 解题思路：要判断AD与CE的位置关系，可延长CE交AD于一点，利用全等三角形对应角相等的性质，结合直角三角形两锐角互余，推导得到该交点处的角为90°，即可证明垂直关系。
【解析】
(1) 解：
∵ $△ ABD ≌ △ EBC$
∴ $AB=EB=2\ \mathrm{cm}$，$BD=BC=3\ \mathrm{cm}$，$∠ ABD = ∠ EBC$
∵ 点A，B，C在同一条直线上
∴ $∠ ABD + ∠ EBC = 180°$，即 $∠ ABD = ∠ EBC = 90°$，可得$BD ⊥ AC$
∴ $DE = BD - BE = 3 - 2 = 1\ \mathrm{cm}$
∵ $BD ⊥ AC$，即$BC ⊥ DE$，BC为$△ DEC$中DE边上的高
∴ $S_{△ DEC} = \frac{1}{2} × DE × BC = \frac{1}{2} × 1 × 3 = \frac{3}{2}\ \mathrm{cm}^2$
(2) $AD ⊥ CE$，理由如下：
延长CE交AD于点F
∵ $△ ABD ≌ △ EBC$
∴ $∠ A = ∠ BEC$
在$\mathrm{Rt}△ EBC$中，$∠ BEC + ∠ BCE = 90°$
∴ $∠ A + ∠ BCE = 90°$
在$△ AFC$中，$∠ AFC = 180° - (∠ A + ∠ BCE) = 90°$
∴ $AD ⊥ CE$
【答案】
(1) $DE=1\ \mathrm{cm}$，$△ DEC$ 的面积为 $\frac{3}{2}\ \mathrm{cm}^2$；
(2) $AD⊥ CE$
【知识点】
全等三角形的性质、三角形面积计算、垂直的判定
【点评】
本题是全等三角形性质应用的典型基础题，解题的关键是准确识别全等三角形的对应边和对应角，结合平角定义、直角三角形两锐角互余等知识进行推导，考查学生对基础知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
13.如图,在$△ ABC$中,$AB=AC=24\ \mathrm{cm}$,$BC=16\ \mathrm{cm}$,$D$为$AB$的中点.点$P$在线段$BC$上以$4\ \mathrm{cm/s}$的速度由$B$点向$C$点运动.同时,点$Q$在线段$CA$上以$a\ \mathrm{cm/s}$的速度由$C$点向$A$点运动.设运动的时间为$t\ \mathrm{s}$.
(1)直接写出:
①$BP=\_\_\_\_\_\_\mathrm{cm}$;
②$CP=\_\_\_\_\_\_\mathrm{cm}$;
③$CQ=\_\_\_\_\_\_\mathrm{cm}$.(用含$t,a$的式子表示)
(2)若以$D,B,P$为顶点的三角形和以$P,C,Q$为顶点的三角形全等,试求$a,t$的值.
(1)直接写出:
①$BP=\_\_\_\_\_\_\mathrm{cm}$;
②$CP=\_\_\_\_\_\_\mathrm{cm}$;
③$CQ=\_\_\_\_\_\_\mathrm{cm}$.(用含$t,a$的式子表示)
(2)若以$D,B,P$为顶点的三角形和以$P,C,Q$为顶点的三角形全等,试求$a,t$的值.
答案
13.解:(1)①$4t$ ②$(16-4t)$ ③$at$
(2)由(1)可知,$BP=4t\ \mathrm{cm}$,$CP=(16-4t)\mathrm{cm}$,$CQ=at\ \mathrm{cm}$.$\because D$ 为 $AB$ 的中点,$AB=AC=24\ \mathrm{cm}$,$\therefore ∠ B=∠ C$,$BD=12\ \mathrm{cm}$,
$\therefore$ 分两种情况讨论:
①若$△ DBP≌△ QCP$,则 $\begin{cases} BD=QC,\\ BP=CP, \end{cases}$
$\therefore \begin{cases} 12=at,\\ 4t=16-4t, \end{cases}$ $\therefore \begin{cases} a=6,\\ t=2; \end{cases}$
②若$△ DBP≌△ PCQ$,则 $\begin{cases} BD=PC,\\ BP=CQ, \end{cases}$
$\therefore \begin{cases} 12=16-4t,\\ 4t=at, \end{cases}$ $\therefore \begin{cases} t=1,\\ a=4. \end{cases}$
综上所述,$a$ 的值为 $6$,$t$ 的值为 $2$ 或 $a$ 的值为 $4$,$t$ 的值为 $1$.
(2)由(1)可知,$BP=4t\ \mathrm{cm}$,$CP=(16-4t)\mathrm{cm}$,$CQ=at\ \mathrm{cm}$.$\because D$ 为 $AB$ 的中点,$AB=AC=24\ \mathrm{cm}$,$\therefore ∠ B=∠ C$,$BD=12\ \mathrm{cm}$,
$\therefore$ 分两种情况讨论:
①若$△ DBP≌△ QCP$,则 $\begin{cases} BD=QC,\\ BP=CP, \end{cases}$
$\therefore \begin{cases} 12=at,\\ 4t=16-4t, \end{cases}$ $\therefore \begin{cases} a=6,\\ t=2; \end{cases}$
②若$△ DBP≌△ PCQ$,则 $\begin{cases} BD=PC,\\ BP=CQ, \end{cases}$
$\therefore \begin{cases} 12=16-4t,\\ 4t=at, \end{cases}$ $\therefore \begin{cases} t=1,\\ a=4. \end{cases}$
综上所述,$a$ 的值为 $6$,$t$ 的值为 $2$ 或 $a$ 的值为 $4$,$t$ 的值为 $1$.
解析
【分析】
(1)根据“路程=速度×时间”可直接表示出BP、CQ的长度，再用BC的总长度减去BP的长度即可得到CP的长度；(2)由AB=AC可得∠B=∠C，因此△DBP和以P、C、Q为顶点的三角形全等时，∠B和∠C是对应角，对应边存在两种情况：第一种是BD与QC对应、BP与CP对应，第二种是BD与PC对应、BP与CQ对应，分别根据全等三角形对应边相等列方程组求解，即可得到a和t的值。
【解析】
(1)①点P的运动速度为4cm/s，运动时间为t s，因此$BP=4t\ \mathrm{cm}$；
②BC的长度为16cm，因此$CP=BC-BP=(16-4t)\ \mathrm{cm}$；
③点Q的运动速度为a cm/s，运动时间为t s，因此$CQ=at\ \mathrm{cm}$。
(2)
∵$AB=AC$，
∴$∠B=∠C$，
∵D为AB的中点，$AB=24\ \mathrm{cm}$，
∴$BD=\frac{1}{2}AB=12\ \mathrm{cm}$，
两个三角形全等分两种情况讨论：
①若$△ DBP≌△ QCP$，根据全等三角形对应边相等可得：
$\begin{cases} BD=QC \\ BP=CP \end{cases}$，代入表达式得$\begin{cases} 12=at \\ 4t=16-4t \end{cases}$，
解得$\begin{cases} t=2 \\ a=6 \end{cases}$；
②若$△ DBP≌△ PCQ$，根据全等三角形对应边相等可得：
$\begin{cases} BD=PC \\ BP=CQ \end{cases}$，代入表达式得$\begin{cases} 12=16-4t \\ 4t=at \end{cases}$，
解得$\begin{cases} t=1 \\ a=4 \end{cases}$。
【答案】
(1)①$4t$；②$(16-4t)$；③$at$
(2)$a=6,t=2$或$a=4,t=1$
【知识点】
1. 列代数式 2. 全等三角形的性质 3. 等腰三角形的性质
【点评】
本题是行程问题与全等三角形结合的基础综合题，解题的核心是明确全等三角形对应边不唯一时需要分类讨论，避免漏解，同时要熟练掌握行程的路程计算方法和全等三角形对应边相等的性质。
【难度系数】
0.7
(1)根据“路程=速度×时间”可直接表示出BP、CQ的长度，再用BC的总长度减去BP的长度即可得到CP的长度；(2)由AB=AC可得∠B=∠C，因此△DBP和以P、C、Q为顶点的三角形全等时，∠B和∠C是对应角，对应边存在两种情况：第一种是BD与QC对应、BP与CP对应，第二种是BD与PC对应、BP与CQ对应，分别根据全等三角形对应边相等列方程组求解，即可得到a和t的值。
【解析】
(1)①点P的运动速度为4cm/s，运动时间为t s，因此$BP=4t\ \mathrm{cm}$；
②BC的长度为16cm，因此$CP=BC-BP=(16-4t)\ \mathrm{cm}$；
③点Q的运动速度为a cm/s，运动时间为t s，因此$CQ=at\ \mathrm{cm}$。
(2)
∵$AB=AC$，
∴$∠B=∠C$，
∵D为AB的中点，$AB=24\ \mathrm{cm}$，
∴$BD=\frac{1}{2}AB=12\ \mathrm{cm}$，
两个三角形全等分两种情况讨论：
①若$△ DBP≌△ QCP$，根据全等三角形对应边相等可得：
$\begin{cases} BD=QC \\ BP=CP \end{cases}$，代入表达式得$\begin{cases} 12=at \\ 4t=16-4t \end{cases}$，
解得$\begin{cases} t=2 \\ a=6 \end{cases}$；
②若$△ DBP≌△ PCQ$，根据全等三角形对应边相等可得：
$\begin{cases} BD=PC \\ BP=CQ \end{cases}$，代入表达式得$\begin{cases} 12=16-4t \\ 4t=at \end{cases}$，
解得$\begin{cases} t=1 \\ a=4 \end{cases}$。
【答案】
(1)①$4t$；②$(16-4t)$；③$at$
(2)$a=6,t=2$或$a=4,t=1$
【知识点】
1. 列代数式 2. 全等三角形的性质 3. 等腰三角形的性质
【点评】
本题是行程问题与全等三角形结合的基础综合题，解题的核心是明确全等三角形对应边不唯一时需要分类讨论，避免漏解，同时要熟练掌握行程的路程计算方法和全等三角形对应边相等的性质。
【难度系数】
0.7
