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1.用如图所示的区域将三角形按边的相等关系分类,则图中A区域表示的可能是 (
A.直角三角形
B.锐角三角形
C.钝角三角形
D.等边三角形
D
)A.直角三角形
B.锐角三角形
C.钝角三角形
D.等边三角形
答案
1.D
解析
【分析】
解题首先明确本题分类依据是“边的相等关系”，第一步先排除不符合分类标准的选项：直角三角形、锐角三角形、钝角三角形都是按角分类的结果，直接排除。接下来回忆三角形按边的分类体系：所有三角形分为两类，分别是三边都不相等的三角形、等腰三角形；而等腰三角形中又包含两类，即底边和腰不相等的等腰三角形、等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形，属于等腰三角形的子集。对应题图中A是等腰三角形范围内的子集，即可判断A的类别。
【解析】
三角形按边的相等关系分类如下：
1. 三边都不相等的三角形；
2. 等腰三角形：包含①底边和腰不相等的等腰三角形，②等边三角形（三边都相等，属于特殊的等腰三角形）。
观察题图，大集合是所有三角形，被分为“三边都不相等的三角形”和“等腰三角形”两部分，A是等腰三角形内部的子集，因此A为等边三角形。选项A、B、C均是三角形按角分类的结果，不符合本题按边分类的要求，故排除。
【答案】
D
【知识点】
三角形按边分类；等腰三角形；等边三角形
【点评】
本题考查三角形的分类相关知识，解题时首先要明确分类标准，区分开按边分类和按角分类的不同结果，同时理清等边三角形和等腰三角形的从属关系，即可快速作答。
【难度系数】
0.9
解题首先明确本题分类依据是“边的相等关系”，第一步先排除不符合分类标准的选项：直角三角形、锐角三角形、钝角三角形都是按角分类的结果，直接排除。接下来回忆三角形按边的分类体系：所有三角形分为两类，分别是三边都不相等的三角形、等腰三角形；而等腰三角形中又包含两类，即底边和腰不相等的等腰三角形、等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形，属于等腰三角形的子集。对应题图中A是等腰三角形范围内的子集，即可判断A的类别。
【解析】
三角形按边的相等关系分类如下：
1. 三边都不相等的三角形；
2. 等腰三角形：包含①底边和腰不相等的等腰三角形，②等边三角形（三边都相等，属于特殊的等腰三角形）。
观察题图，大集合是所有三角形，被分为“三边都不相等的三角形”和“等腰三角形”两部分，A是等腰三角形内部的子集，因此A为等边三角形。选项A、B、C均是三角形按角分类的结果，不符合本题按边分类的要求，故排除。
【答案】
D
【知识点】
三角形按边分类；等腰三角形；等边三角形
【点评】
本题考查三角形的分类相关知识，解题时首先要明确分类标准，区分开按边分类和按角分类的不同结果，同时理清等边三角形和等腰三角形的从属关系，即可快速作答。
【难度系数】
0.9
2.一个三角形的两边长分别是5和7，则第三边长度的最大整数值是 （
A.10
B.11
C.12
D.14
B
）A.10
B.11
C.12
D.14
答案
2.B
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要用到三角形三边的关系定理。我们可以先设第三边的长度为x，根据“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”列出关于x的不等式，求出x的取值范围后，再在范围内找出最大的整数即可得到答案。
【解析】
解：设第三边的长度为x，根据三角形三边关系可得：
$7 - 5 ＜ x ＜ 7 + 5$
即$2 ＜ x ＜ 12$
因为x为整数，所以x的最大整数值为11。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题属于基础题型，解题的核心是熟练掌握三角形三边关系，正确求出第三边的取值范围，再结合题干要求筛选出符合条件的数值即可。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先需要用到三角形三边的关系定理。我们可以先设第三边的长度为x，根据“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”列出关于x的不等式，求出x的取值范围后，再在范围内找出最大的整数即可得到答案。
【解析】
解：设第三边的长度为x，根据三角形三边关系可得：
$7 - 5 ＜ x ＜ 7 + 5$
即$2 ＜ x ＜ 12$
因为x为整数，所以x的最大整数值为11。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题属于基础题型，解题的核心是熟练掌握三角形三边关系，正确求出第三边的取值范围，再结合题干要求筛选出符合条件的数值即可。
【难度系数】
0.9
3.一盏路灯的平面示意图如图所示，已知∠MAC=50°,∠ACB=20°,则∠CBA的度数为（
A.15°
B.20°
C.30°
D.50°
C
）A.15°
B.20°
C.30°
D.50°
答案
3.C
解析
【分析】
解题思路：首先观察图形特征，确定∠MAC是△ABC的外角，回忆三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。已知外角∠MAC和其中一个不相邻的内角∠ACB的度数，将数值代入公式即可求出∠CBA的度数。
【解析】
解：由图可知，∠MAC是△ABC的外角，根据三角形外角的性质可得：
$∠ MAC = ∠ CBA + ∠ ACB$
将$∠ MAC=50°$，$∠ ACB=20°$代入上式，得：
$∠ CBA = ∠ MAC - ∠ ACB = 50° - 20° = 30°$
【答案】
C
【知识点】
三角形外角的性质
【点评】
本题是对三角形外角性质的直接应用，解题关键是准确识别图形中的外角及其对应的两个不相邻内角，计算量小，难度较低。
【难度系数】
0.8
解题思路：首先观察图形特征，确定∠MAC是△ABC的外角，回忆三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。已知外角∠MAC和其中一个不相邻的内角∠ACB的度数，将数值代入公式即可求出∠CBA的度数。
【解析】
解：由图可知，∠MAC是△ABC的外角，根据三角形外角的性质可得：
$∠ MAC = ∠ CBA + ∠ ACB$
将$∠ MAC=50°$，$∠ ACB=20°$代入上式，得：
$∠ CBA = ∠ MAC - ∠ ACB = 50° - 20° = 30°$
【答案】
C
【知识点】
三角形外角的性质
【点评】
本题是对三角形外角性质的直接应用，解题关键是准确识别图形中的外角及其对应的两个不相邻内角，计算量小，难度较低。
【难度系数】
0.8
4.如图,在$△ ABC$中,BD,CE分别为它的两条高线,$BD=6$,$CE=5$,$AB=12$,则$AC=$ (
A.10
B.$\frac{72}{5}$
C.$\frac{5}{2}$
D.7
A
)A.10
B.$\frac{72}{5}$
C.$\frac{5}{2}$
D.7
答案
4.A
解析
【分析】
要计算AC的长度，可利用同一三角形面积固定的特点求解：同一个三角形选择不同的底和对应的高计算，得到的面积相等。本题中AB边上的高是CE，AC边上的高是BD，我们可以根据面积相等列出关于AC的等式，进而求出AC的长度。
【解析】
解：
∵BD、CE分别是△ABC的两条高线
∴△ABC的面积有两种表达方式：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × AB × CE$，也可表示为$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × AC × BD$
∴$\frac{1}{2} × AB × CE = \frac{1}{2} × AC × BD$
两边同时消去$\frac{1}{2}$，可得：$AB × CE = AC × BD$
将$BD=6$，$CE=5$，$AB=12$代入上式：
$12 × 5 = AC × 6$
解得$AC=\frac{60}{6}=10$
【答案】
A
【知识点】
三角形面积计算，等面积法应用
【点评】
本题是三角形面积的基础应用题型，核心是利用同一三角形面积不变的特点，选择两组对应的底和高建立等量关系求解未知边长，解题思路清晰，计算量小。
【难度系数】
0.8
要计算AC的长度，可利用同一三角形面积固定的特点求解：同一个三角形选择不同的底和对应的高计算，得到的面积相等。本题中AB边上的高是CE，AC边上的高是BD，我们可以根据面积相等列出关于AC的等式，进而求出AC的长度。
【解析】
解：
∵BD、CE分别是△ABC的两条高线
∴△ABC的面积有两种表达方式：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × AB × CE$，也可表示为$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × AC × BD$
∴$\frac{1}{2} × AB × CE = \frac{1}{2} × AC × BD$
两边同时消去$\frac{1}{2}$，可得：$AB × CE = AC × BD$
将$BD=6$，$CE=5$，$AB=12$代入上式：
$12 × 5 = AC × 6$
解得$AC=\frac{60}{6}=10$
【答案】
A
【知识点】
三角形面积计算，等面积法应用
【点评】
本题是三角形面积的基础应用题型，核心是利用同一三角形面积不变的特点，选择两组对应的底和高建立等量关系求解未知边长，解题思路清晰，计算量小。
【难度系数】
0.8
5.如图，已知$a // b$，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ A = 60°$.如果$∠ 1 = 50°$，那么$∠ 2$的度数为 （
A.$100°$
B.$110°$
C.$120°$
D.$130°$
第5题图 第6题图
B
）A.$100°$
B.$110°$
C.$120°$
D.$130°$
第5题图 第6题图
答案
5.B
解析
【分析】
解题时先利用直角三角形两锐角互余的性质求出∠B的度数，再结合平行线的性质推导相关等角，最后通过三角形内角和或角度和差关系即可求出∠2的度数。解题核心是把已知角和待求角通过平行线和三角形的性质建立关联。
【解析】
解：在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ A=60°$，根据直角三角形两锐角互余，可得：
$∠ B=90°-∠ A=90°-60°=30°$。
结合$a// b$的性质，可得与$∠1$相关的内错角为$50°$，再根据三角形内角和为$180°$，推导角度和差关系：
$∠ 2=180°-∠ B-(90°-∠1)=180°-30°-40°=110°$。
【答案】
B
【知识点】
平行线的性质；直角三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是几何基础常考题，综合考查了平行线和三角形的基础性质，难度不大，熟练掌握角度计算的相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
解题时先利用直角三角形两锐角互余的性质求出∠B的度数，再结合平行线的性质推导相关等角，最后通过三角形内角和或角度和差关系即可求出∠2的度数。解题核心是把已知角和待求角通过平行线和三角形的性质建立关联。
【解析】
解：在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ A=60°$，根据直角三角形两锐角互余，可得：
$∠ B=90°-∠ A=90°-60°=30°$。
结合$a// b$的性质，可得与$∠1$相关的内错角为$50°$，再根据三角形内角和为$180°$，推导角度和差关系：
$∠ 2=180°-∠ B-(90°-∠1)=180°-30°-40°=110°$。
【答案】
B
【知识点】
平行线的性质；直角三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是几何基础常考题，综合考查了平行线和三角形的基础性质，难度不大，熟练掌握角度计算的相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
6.如图,在$△ ABC$中,已知$∠ B=70°,∠ C=40°,AD$平分$∠ BAC$,点$E$在$AD$的延长线上,$EF ⊥ BC$于点$F$,则$∠ DEF$的度数为（
A.$15°$
B.$20°$
C.$25°$
D.$30°$
A
）A.$15°$
B.$20°$
C.$25°$
D.$30°$
答案
6.A
解析
【分析】
要计算∠DEF的度数，首先观察到EF⊥BC，可得∠EFD=90°，因此在Rt△EFD中，只需要求出∠EDF的度数，就能用直角三角形两锐角互余算出∠DEF。求∠EDF时，先利用三角形内角和算出△ABC中∠BAC的度数，再结合角平分线的性质得到∠BAD的度数，接着在△ABD中用内角和算出∠ADB的度数，而∠EDF与∠ADB是对顶角，度数相等，最后代入计算即可。
【解析】
1. 在$△ ABC$中，根据三角形内角和为$180°$：
$∠ BAC=180°-∠ B-∠ C=180°-70°-40°=70°$
2. 因为$AD$平分$∠ BAC$，所以：
$∠ BAD=\frac{1}{2}∠ BAC=\frac{1}{2}×70°=35°$
3. 在$△ ABD$中，根据三角形内角和为$180°$：
$∠ ADB=180°-∠ B-∠ BAD=180°-70°-35°=75°$
4. 由对顶角相等可得$∠ EDF=∠ ADB=75°$
5. 因为$EF⊥ BC$，所以$∠ EFD=90°$，在$Rt△ EFD$中两锐角互余：
$∠ DEF=90°-∠ EDF=90°-75°=15°$
【答案】
A
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的定义，直角三角形的性质
【点评】
本题属于三角形角度计算的基础题，解题的关键是梳理清楚各角之间的数量关系，结合已知性质逐步推导，注意不要混淆对顶角的对应关系即可。
【难度系数】
0.7
要计算∠DEF的度数，首先观察到EF⊥BC，可得∠EFD=90°，因此在Rt△EFD中，只需要求出∠EDF的度数，就能用直角三角形两锐角互余算出∠DEF。求∠EDF时，先利用三角形内角和算出△ABC中∠BAC的度数，再结合角平分线的性质得到∠BAD的度数，接着在△ABD中用内角和算出∠ADB的度数，而∠EDF与∠ADB是对顶角，度数相等，最后代入计算即可。
【解析】
1. 在$△ ABC$中，根据三角形内角和为$180°$：
$∠ BAC=180°-∠ B-∠ C=180°-70°-40°=70°$
2. 因为$AD$平分$∠ BAC$，所以：
$∠ BAD=\frac{1}{2}∠ BAC=\frac{1}{2}×70°=35°$
3. 在$△ ABD$中，根据三角形内角和为$180°$：
$∠ ADB=180°-∠ B-∠ BAD=180°-70°-35°=75°$
4. 由对顶角相等可得$∠ EDF=∠ ADB=75°$
5. 因为$EF⊥ BC$，所以$∠ EFD=90°$，在$Rt△ EFD$中两锐角互余：
$∠ DEF=90°-∠ EDF=90°-75°=15°$
【答案】
A
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的定义，直角三角形的性质
【点评】
本题属于三角形角度计算的基础题，解题的关键是梳理清楚各角之间的数量关系，结合已知性质逐步推导，注意不要混淆对顶角的对应关系即可。
【难度系数】
0.7
7.如图，在△ABC中，∠C＝40°，将△ABC沿着直线l折叠，点C落在点D的位置，则∠1－∠2的度数是（
A.40°
B.80°
C.90°
D.140°
B
）A.40°
B.80°
C.90°
D.140°
答案
7.B
解析
【分析】
解题时首先利用折叠的性质得到折叠后对应角∠D与原角∠C相等，再结合三角形外角的性质，找到∠1、∠2与∠C、∠D之间的数量关系，通过等量代换即可求出∠1-∠2的度数。
【解析】
设直线$ l $与边$ AC $交于点$ F $，与边$ BC $交于点$ E $。
由折叠的性质可知，折叠前后对应角相等，因此$ ∠ D = ∠ C = 40° $。
根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
在$ △ CEF $中，$ ∠ 1 $是外角，因此$ ∠ 1 = ∠ C + ∠ CFE $；
在$ △ DEF $中，$ ∠ CFE $是外角，因此$ ∠ CFE = ∠ D + ∠ 2 $。
将$ ∠ CFE = ∠ D + ∠ 2 $代入$ ∠ 1 = ∠ C + ∠ CFE $，可得：
$ ∠ 1 = ∠ C + ∠ D + ∠ 2 $
移项得$ ∠ 1 - ∠ 2 = ∠ C + ∠ D = 40° + 40° = 80° $。
【答案】
B
【知识点】
折叠的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题是折叠类角度计算的典型题型，核心是利用折叠的不变性得到相等的角，再结合三角形外角性质梳理角之间的关系，解题时注意找准外角对应的两个不相邻内角即可快速突破。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用折叠的性质得到折叠后对应角∠D与原角∠C相等，再结合三角形外角的性质，找到∠1、∠2与∠C、∠D之间的数量关系，通过等量代换即可求出∠1-∠2的度数。
【解析】
设直线$ l $与边$ AC $交于点$ F $，与边$ BC $交于点$ E $。
由折叠的性质可知，折叠前后对应角相等，因此$ ∠ D = ∠ C = 40° $。
根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
在$ △ CEF $中，$ ∠ 1 $是外角，因此$ ∠ 1 = ∠ C + ∠ CFE $；
在$ △ DEF $中，$ ∠ CFE $是外角，因此$ ∠ CFE = ∠ D + ∠ 2 $。
将$ ∠ CFE = ∠ D + ∠ 2 $代入$ ∠ 1 = ∠ C + ∠ CFE $，可得：
$ ∠ 1 = ∠ C + ∠ D + ∠ 2 $
移项得$ ∠ 1 - ∠ 2 = ∠ C + ∠ D = 40° + 40° = 80° $。
【答案】
B
【知识点】
折叠的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题是折叠类角度计算的典型题型，核心是利用折叠的不变性得到相等的角，再结合三角形外角性质梳理角之间的关系，解题时注意找准外角对应的两个不相邻内角即可快速突破。
【难度系数】
0.7
8.如图,在平面直角坐标系中,直线AB与y轴的正半轴、x轴的正半轴分别交于A,B两点,点C在BA的延长线上,AD平分∠CAO,BD平分∠ABO,则∠D的度数是（
A.$30°$
B.$45°$
C.$55°$
D.$60°$
B
）A.$30°$
B.$45°$
C.$55°$
D.$60°$
答案
8.B
解析
【分析】
首先根据平面直角坐标系x轴与y轴垂直的特征，可得∠AOB=90°；再利用三角形外角的性质得到∠CAO与∠ABO的数量关系；结合角平分线的定义，表示出∠DAO和∠DBA的度数；最后再次利用三角形外角的性质，推导消去未知角即可求出∠D的度数。
【解析】
解：
∵平面直角坐标系中x轴⊥y轴，
∴∠AOB=90°。
∵∠CAO是△AOB的外角，
∴∠CAO=∠AOB + ∠ABO=90°+∠ABO。
∵AD平分∠CAO，
∴∠DAO=$\frac{1}{2}$∠CAO=$\frac{1}{2}$(90°+∠ABO)=45°+$\frac{1}{2}$∠ABO。
∵BD平分∠ABO，
∴∠DBA=$\frac{1}{2}$∠ABO。
又
∵∠DAO是△ABD的外角，
∴∠DAO=∠D + ∠DBA，
代入得：∠D=∠DAO - ∠DBA=45°+$\frac{1}{2}$∠ABO - $\frac{1}{2}$∠ABO=45°。
【答案】
B
【知识点】
角平分线的定义；三角形外角的性质；直角坐标系的特征
【点评】
本题是角度计算的常见题型，综合考查了角平分线和三角形外角的相关性质，解题的核心是找到各角之间的数量关系，通过消去未知角度的方式直接得到定值，无需额外计算各角具体度数。
【难度系数】
0.7
首先根据平面直角坐标系x轴与y轴垂直的特征，可得∠AOB=90°；再利用三角形外角的性质得到∠CAO与∠ABO的数量关系；结合角平分线的定义，表示出∠DAO和∠DBA的度数；最后再次利用三角形外角的性质，推导消去未知角即可求出∠D的度数。
【解析】
解：
∵平面直角坐标系中x轴⊥y轴，
∴∠AOB=90°。
∵∠CAO是△AOB的外角，
∴∠CAO=∠AOB + ∠ABO=90°+∠ABO。
∵AD平分∠CAO，
∴∠DAO=$\frac{1}{2}$∠CAO=$\frac{1}{2}$(90°+∠ABO)=45°+$\frac{1}{2}$∠ABO。
∵BD平分∠ABO，
∴∠DBA=$\frac{1}{2}$∠ABO。
又
∵∠DAO是△ABD的外角，
∴∠DAO=∠D + ∠DBA，
代入得：∠D=∠DAO - ∠DBA=45°+$\frac{1}{2}$∠ABO - $\frac{1}{2}$∠ABO=45°。
【答案】
B
【知识点】
角平分线的定义；三角形外角的性质；直角坐标系的特征
【点评】
本题是角度计算的常见题型，综合考查了角平分线和三角形外角的相关性质，解题的核心是找到各角之间的数量关系，通过消去未知角度的方式直接得到定值，无需额外计算各角具体度数。
【难度系数】
0.7
9.双人漫步机是一种有氧运动器材(如图所示).有氧运动能促进心血管健康,可以增强人体的心肺功能,降低血压,改善血糖,如慢跑、快走等.双人漫步机的三角形支架设计应用的几何原理是
三角形的稳定性
.答案
9.三角形的稳定性
解析
【分析】
解题时首先明确双人漫步机支架需要具备稳固、不易变形的特点，再回忆三角形与其他多边形的性质差异：三角形独有的稳定性可使结构在受力时不易发生形变，满足支架的使用需求，因此对应原理就是三角形的稳定性。
【解析】
三角形具有特殊的性质：当三角形的三条边长度确定后，它的形状和大小就完全固定，不会轻易发生形变，该性质被称为三角形的稳定性，而四边形等其他多边形不具备这一性质，容易变形。双人漫步机的支架需要保证结构稳固、使用安全，因此采用三角形支架的设计，应用的就是三角形的稳定性。
【答案】
三角形的稳定性
【知识点】
三角形的稳定性
【点评】
本题结合生活中常见的运动器材考查数学知识的实际应用，引导学生关注生活中的数学原理，只要掌握三角形的基本性质即可作答。
【难度系数】
0.9
解题时首先明确双人漫步机支架需要具备稳固、不易变形的特点，再回忆三角形与其他多边形的性质差异：三角形独有的稳定性可使结构在受力时不易发生形变，满足支架的使用需求，因此对应原理就是三角形的稳定性。
【解析】
三角形具有特殊的性质：当三角形的三条边长度确定后，它的形状和大小就完全固定，不会轻易发生形变，该性质被称为三角形的稳定性，而四边形等其他多边形不具备这一性质，容易变形。双人漫步机的支架需要保证结构稳固、使用安全，因此采用三角形支架的设计，应用的就是三角形的稳定性。
【答案】
三角形的稳定性
【知识点】
三角形的稳定性
【点评】
本题结合生活中常见的运动器材考查数学知识的实际应用，引导学生关注生活中的数学原理，只要掌握三角形的基本性质即可作答。
【难度系数】
0.9
10.已知等腰三角形的一边长为3，一边长为6，则它的周长为
15
。答案
10.15
解析
【分析】
解决本题首先要明确等腰三角形两条腰长度相等的性质，由于题目未明确给出长度为3和6的边分别是腰还是底边，因此需要分两种情况讨论。在计算出两种情况的周长后，还需要根据三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）验证对应的三条边能否构成三角形，排除不成立的情况后即可得到正确结果。
【解析】
解：分两种情况讨论：
① 若腰长为3，底边长为6，此时三角形的三边长为3、3、6。
根据三角形三边关系，任意两边之和需大于第三边，而3+3=6，不满足三边关系，因此该情况无法构成三角形，舍去。
② 若腰长为6，底边长为3，此时三角形的三边长为6、6、3。
验证三边关系：3+6=9＞6，6+6=12＞3，满足三边关系，可构成三角形。
此时周长为：6+6+3=15。
综上，该等腰三角形的周长为15。
【答案】
15
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形三边关系
【点评】
本题是等腰三角形相关计算的常见题型，易错点在于忽略分类讨论边长的身份，或者未通过三角形三边关系验证构形的合理性，从而得出错误的多解结果，解题时要养成分类讨论后验证的习惯。
【难度系数】
0.7
解决本题首先要明确等腰三角形两条腰长度相等的性质，由于题目未明确给出长度为3和6的边分别是腰还是底边，因此需要分两种情况讨论。在计算出两种情况的周长后，还需要根据三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）验证对应的三条边能否构成三角形，排除不成立的情况后即可得到正确结果。
【解析】
解：分两种情况讨论：
① 若腰长为3，底边长为6，此时三角形的三边长为3、3、6。
根据三角形三边关系，任意两边之和需大于第三边，而3+3=6，不满足三边关系，因此该情况无法构成三角形，舍去。
② 若腰长为6，底边长为3，此时三角形的三边长为6、6、3。
验证三边关系：3+6=9＞6，6+6=12＞3，满足三边关系，可构成三角形。
此时周长为：6+6+3=15。
综上，该等腰三角形的周长为15。
【答案】
15
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形三边关系
【点评】
本题是等腰三角形相关计算的常见题型，易错点在于忽略分类讨论边长的身份，或者未通过三角形三边关系验证构形的合理性，从而得出错误的多解结果，解题时要养成分类讨论后验证的习惯。
【难度系数】
0.7
11.如图，AD是$△ ABC$的中线，AE是$△ ABD$的中线.若$△ ABC$的面积为$24\ \mathrm{cm}^2$，则$△ ABE$的面积为$\_\_\_\_\_\_\ \mathrm{cm}^2$.
答案
11.6
解析
【分析】
解题时先回忆三角形中线的性质：三角形的中线将三角形分成两个等底同高的小三角形，二者面积相等，均为原三角形面积的一半。我们可以分两步推导：第一步先利用AD是△ABC的中线，求出△ABD的面积；第二步再利用AE是△ABD的中线，求出△ABE的面积即可。
【解析】
解：
∵AD是△ABC的中线，
∴BD = $\frac{1}{2}$BC，△ABD与△ABC同高，
∴$S_{△ ABD} = \frac{1}{2}S_{△ ABC}$，
已知$S_{△ ABC}=24\mathrm{cm}^2$，
∴$S_{△ ABD} = \frac{1}{2}×24 = 12\mathrm{cm}^2$。
又
∵AE是△ABD的中线，
∴BE = $\frac{1}{2}$BD，△ABE与△ABD同高，
∴$S_{△ ABE} = \frac{1}{2}S_{△ ABD}$，
∴$S_{△ ABE} = \frac{1}{2}×12 = 6\mathrm{cm}^2$。
【答案】
6
【知识点】
三角形中线的性质；等底同高三角形面积关系
【点评】
本题属于基础题，核心考查三角形中线平分三角形面积的性质，解题时只需根据中线的性质逐步推导对应三角形的面积即可，计算量小，掌握性质就能快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆三角形中线的性质：三角形的中线将三角形分成两个等底同高的小三角形，二者面积相等，均为原三角形面积的一半。我们可以分两步推导：第一步先利用AD是△ABC的中线，求出△ABD的面积；第二步再利用AE是△ABD的中线，求出△ABE的面积即可。
【解析】
解：
∵AD是△ABC的中线，
∴BD = $\frac{1}{2}$BC，△ABD与△ABC同高，
∴$S_{△ ABD} = \frac{1}{2}S_{△ ABC}$，
已知$S_{△ ABC}=24\mathrm{cm}^2$，
∴$S_{△ ABD} = \frac{1}{2}×24 = 12\mathrm{cm}^2$。
又
∵AE是△ABD的中线，
∴BE = $\frac{1}{2}$BD，△ABE与△ABD同高，
∴$S_{△ ABE} = \frac{1}{2}S_{△ ABD}$，
∴$S_{△ ABE} = \frac{1}{2}×12 = 6\mathrm{cm}^2$。
【答案】
6
【知识点】
三角形中线的性质；等底同高三角形面积关系
【点评】
本题属于基础题，核心考查三角形中线平分三角形面积的性质，解题时只需根据中线的性质逐步推导对应三角形的面积即可，计算量小，掌握性质就能快速求解。
【难度系数】
0.8
12.如图，将一把直角三角尺DEF放置在△ABC上，使得该三角尺的两条直角边DE，DF恰好分别经过点B，C.过点A作直线MN // DE.若∠ACD=20°，则∠CAM=
110°
.答案
12.110°
解析
【分析】
解题时首先利用直角三角尺的特征得到∠D=90°，在△DBC中根据三角形内角和得到∠DBC与∠DCB的和为90°；再结合△ABC的内角和为180°，代入角的和差关系求出∠BAC+∠ABD的度数；接着利用平行线的性质将∠NAB转化为∠ABD，最后根据平角为180°即可求出∠CAM的度数。
【解析】
解：
∵三角尺DEF是直角三角尺，∠EDF=90°
∴在△DBC中，∠DBC + ∠DCB = 180° - ∠D = 90°
在△ABC中，根据三角形内角和定理：
∠BAC + ∠ABC + ∠ACB = 180°
又
∵∠ABC = ∠ABD + ∠DBC，∠ACB = ∠ACD + ∠DCB
代入得：∠BAC + ∠ABD + ∠DBC + ∠ACD + ∠DCB = 180°
将∠DBC+∠DCB=90°，∠ACD=20°代入上式：
∠BAC + ∠ABD + 90° + 20° = 180°
解得：∠BAC + ∠ABD = 70°
∵MN//DE，根据两直线平行，内错角相等，得∠NAB = ∠ABD
∴∠NAB + ∠BAC = ∠ABD + ∠BAC = 70°
∵MN为直线，∠MAN=180°
∴∠CAM = 180° - (∠NAB + ∠BAC) = 180° - 70° = 110°
【答案】
110°
【知识点】
三角形内角和定理；平行线的性质；平角的定义
【点评】
本题是几何基础综合题，解题的关键是灵活运用三角形内角和与平行线的性质实现角的转化，理清图中角的和差关系即可快速求解。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用直角三角尺的特征得到∠D=90°，在△DBC中根据三角形内角和得到∠DBC与∠DCB的和为90°；再结合△ABC的内角和为180°，代入角的和差关系求出∠BAC+∠ABD的度数；接着利用平行线的性质将∠NAB转化为∠ABD，最后根据平角为180°即可求出∠CAM的度数。
【解析】
解：
∵三角尺DEF是直角三角尺，∠EDF=90°
∴在△DBC中，∠DBC + ∠DCB = 180° - ∠D = 90°
在△ABC中，根据三角形内角和定理：
∠BAC + ∠ABC + ∠ACB = 180°
又
∵∠ABC = ∠ABD + ∠DBC，∠ACB = ∠ACD + ∠DCB
代入得：∠BAC + ∠ABD + ∠DBC + ∠ACD + ∠DCB = 180°
将∠DBC+∠DCB=90°，∠ACD=20°代入上式：
∠BAC + ∠ABD + 90° + 20° = 180°
解得：∠BAC + ∠ABD = 70°
∵MN//DE，根据两直线平行，内错角相等，得∠NAB = ∠ABD
∴∠NAB + ∠BAC = ∠ABD + ∠BAC = 70°
∵MN为直线，∠MAN=180°
∴∠CAM = 180° - (∠NAB + ∠BAC) = 180° - 70° = 110°
【答案】
110°
【知识点】
三角形内角和定理；平行线的性质；平角的定义
【点评】
本题是几何基础综合题，解题的关键是灵活运用三角形内角和与平行线的性质实现角的转化，理清图中角的和差关系即可快速求解。
【难度系数】
0.7
