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三、解答题(共30分)
13.(8分)$△ ABC$如图所示,按下列要求画图:
(1)画出$△ ABC$的中线$AD$；
(2)画出$△ ABD$的角平分线$DM$；
(3)画出$△ ACD$的高线$CN$.
13.(8分)$△ ABC$如图所示,按下列要求画图:
(1)画出$△ ABC$的中线$AD$；
(2)画出$△ ABD$的角平分线$DM$；
(3)画出$△ ACD$的高线$CN$.
答案
解：
(1) 取线段BC的中点D，连接AD，线段AD即为△ABC的中线；
(2) 作∠ADB的平分线，交AB于点M，线段DM即为△ABD的角平分线；
(3) 延长线段AD，过点C作CN⊥直线AD，垂足为N，线段CN即为△ACD的高线。
按上述步骤作图，所得图形符合题目要求。
(1) 取线段BC的中点D，连接AD，线段AD即为△ABC的中线；
(2) 作∠ADB的平分线，交AB于点M，线段DM即为△ABD的角平分线；
(3) 延长线段AD，过点C作CN⊥直线AD，垂足为N，线段CN即为△ACD的高线。
按上述步骤作图，所得图形符合题目要求。
解析
【分析】
解答本题需紧扣三角形中线、角平分线、高线的定义分步思考：
1. 画中线AD：三角形中线是顶点到对边中点的线段，因此先找到BC边的中点D，再连接顶点A和D即可；
2. 画△ABD的角平分线DM：三角形角平分线是从顶点出发平分内角、且与对边相交的线段，本题需以D为顶点，作∠ADB的平分线，交AB边于点M，即可得到DM；
3. 画△ACD的高线CN：三角形高线是顶点向对边所在直线作的垂线段，观察图形可知AD边长度不足，因此先延长AD所在直线，再过点C作该直线的垂线，垂足为N，即可得到高线CN。
【解析】
(1) 取线段BC的中点D，连接AD，线段AD即为△ABC的中线；
(2) 作∠ADB的平分线，交AB于点M，线段DM即为△ABD的角平分线；
(3) 延长线段AD，过点C作CN⊥直线AD，垂足为N，线段CN即为△ACD的高线。
按上述步骤作图，所得图形符合题目要求。
【答案】
按上述步骤作出的线段AD、DM、CN即为所求。
【知识点】
三角形的中线；三角形的角平分线；三角形的高
【点评】
本题为基础作图类题目，解题关键是准确理解三角形三类重要线段的定义，作图时要注意规范，作高时若对边长度不足，可先延长对边所在直线再作垂线。
【难度系数】
0.8
解答本题需紧扣三角形中线、角平分线、高线的定义分步思考：
1. 画中线AD：三角形中线是顶点到对边中点的线段，因此先找到BC边的中点D，再连接顶点A和D即可；
2. 画△ABD的角平分线DM：三角形角平分线是从顶点出发平分内角、且与对边相交的线段，本题需以D为顶点，作∠ADB的平分线，交AB边于点M，即可得到DM；
3. 画△ACD的高线CN：三角形高线是顶点向对边所在直线作的垂线段，观察图形可知AD边长度不足，因此先延长AD所在直线，再过点C作该直线的垂线，垂足为N，即可得到高线CN。
【解析】
(1) 取线段BC的中点D，连接AD，线段AD即为△ABC的中线；
(2) 作∠ADB的平分线，交AB于点M，线段DM即为△ABD的角平分线；
(3) 延长线段AD，过点C作CN⊥直线AD，垂足为N，线段CN即为△ACD的高线。
按上述步骤作图，所得图形符合题目要求。
【答案】
按上述步骤作出的线段AD、DM、CN即为所求。
【知识点】
三角形的中线；三角形的角平分线；三角形的高
【点评】
本题为基础作图类题目，解题关键是准确理解三角形三类重要线段的定义，作图时要注意规范，作高时若对边长度不足，可先延长对边所在直线再作垂线。
【难度系数】
0.8
14.(10分)如图，在$△ ABC$中，$∠ B = 25°$，$∠ BAC=31°$，过点A作BC边上的高，交BC的延长线于点D，CE平分$∠ ACD$，交AD于点E。求：
(1)$∠ ACD$的度数；
(2)$∠ AEC$的度数。
(1)$∠ ACD$的度数；
(2)$∠ AEC$的度数。
答案
14.(1)56° (2)118°
解析
【分析】
（1）求∠ACD的度数时，观察可知∠ACD是△ABC的外角，根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，直接将已知的∠B和∠BAC的度数相加即可求解。
（2）求∠AEC的度数时，首先根据AD是BC边上的高可得∠D=90°；再结合CE平分∠ACD，利用角平分线的定义求出∠ECD的度数；接着在△CDE中利用三角形内角和定理求出∠CED的度数，最后根据∠AEC与∠CED互为邻补角，和为180°即可算出∠AEC的度数。
【解析】
（1）
∵∠ACD是△ABC的外角，∠B=25°，∠BAC=31°，
∴根据三角形外角的性质可得：
$∠ ACD = ∠ B + ∠ BAC = 25° + 31° = 56°$。
（2）
∵AD是BC边上的高，
∴$∠ D = 90°$，
∵CE平分∠ACD，∠ACD=56°，
∴$∠ ECD = \frac{1}{2}∠ ACD = \frac{1}{2} × 56° = 28°$，
在△CDE中，根据三角形内角和为180°：
$∠ CED = 180° - ∠ D - ∠ ECD = 180° - 90° - 28° = 62°$，
又
∵∠AEC与∠CED互为邻补角，
∴$∠ AEC = 180° - ∠ CED = 180° - 62° = 118°$。
【答案】
(1)$56°$；(2)$118°$
【知识点】
三角形外角的性质；角平分线的定义；三角形内角和定理
【点评】
本题属于角度计算的基础题，解题的关键是准确识别三角形外角，结合角平分线、直角的性质，逐步推导所求角度，熟练掌握三角形相关基础性质即可快速解答。
【难度系数】
0.8
（1）求∠ACD的度数时，观察可知∠ACD是△ABC的外角，根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，直接将已知的∠B和∠BAC的度数相加即可求解。
（2）求∠AEC的度数时，首先根据AD是BC边上的高可得∠D=90°；再结合CE平分∠ACD，利用角平分线的定义求出∠ECD的度数；接着在△CDE中利用三角形内角和定理求出∠CED的度数，最后根据∠AEC与∠CED互为邻补角，和为180°即可算出∠AEC的度数。
【解析】
（1）
∵∠ACD是△ABC的外角，∠B=25°，∠BAC=31°，
∴根据三角形外角的性质可得：
$∠ ACD = ∠ B + ∠ BAC = 25° + 31° = 56°$。
（2）
∵AD是BC边上的高，
∴$∠ D = 90°$，
∵CE平分∠ACD，∠ACD=56°，
∴$∠ ECD = \frac{1}{2}∠ ACD = \frac{1}{2} × 56° = 28°$，
在△CDE中，根据三角形内角和为180°：
$∠ CED = 180° - ∠ D - ∠ ECD = 180° - 90° - 28° = 62°$，
又
∵∠AEC与∠CED互为邻补角，
∴$∠ AEC = 180° - ∠ CED = 180° - 62° = 118°$。
【答案】
(1)$56°$；(2)$118°$
【知识点】
三角形外角的性质；角平分线的定义；三角形内角和定理
【点评】
本题属于角度计算的基础题，解题的关键是准确识别三角形外角，结合角平分线、直角的性质，逐步推导所求角度，熟练掌握三角形相关基础性质即可快速解答。
【难度系数】
0.8
15.(12分)如图,在△ABC中,D为∠ABC的平分线BD上一点,连接AD,过点D作EF//BC交AB于点E,交AC于点F.
(1)如图1,若AD⊥BD于点D,∠BEF=120°,求∠BAD的度数;
(2)如图2,若∠ABC=α,∠BDA=β,求∠FAD+∠C的度数(用含α和β的代数式表示).
(1)如图1,若AD⊥BD于点D,∠BEF=120°,求∠BAD的度数;
(2)如图2,若∠ABC=α,∠BDA=β,求∠FAD+∠C的度数(用含α和β的代数式表示).
答案
15.(1)60° (2)$β-\frac{1}{2}α$
解析
【分析】
(1) 先利用平行线的同旁内角互补性质，结合已知∠BEF的度数求出∠ABC的度数；再根据BD是∠ABC的平分线，求出∠ABD的度数；最后结合AD⊥BD得到∠ADB=90°，利用三角形内角和定理计算出∠BAD的度数。
(2) 先根据角平分线定义得到∠ABD的度数；再在△ABD中用三角形内角和定理表示出∠BAD；最后结合△ABC的内角和定理，将∠BAD代入式子整理，即可求出∠FAD+∠C的代数式。
【解析】
(1)
∵ EF//BC，∠BEF=120°，
∴ ∠BEF+∠ABC=180°（两直线平行，同旁内角互补），
∴ ∠ABC=180°-120°=60°。
∵ BD平分∠ABC，
∴ ∠ABD=$\frac{1}{2}$∠ABC=30°。
∵ AD⊥BD，
∴ ∠ADB=90°。
在△ABD中，∠BAD+∠ABD+∠ADB=180°，
∴ ∠BAD=180°-90°-30°=60°。
(2)
∵ BD平分∠ABC，∠ABC=α，
∴ ∠ABD=$\frac{1}{2}$α。
在△ABD中，∠BDA+∠ABD+∠BAD=180°，∠BDA=β，
∴ ∠BAD=180°-β-$\frac{1}{2}$α。
在△ABC中，∠BAC+∠ABC+∠C=180°，且∠BAC=∠BAD+∠FAD，
∴ ∠BAD+∠FAD+α+∠C=180°，
将∠BAD=180°-β-$\frac{1}{2}$α代入上式：
$180°-β-\frac{1}{2}α+∠ FAD+α+∠ C=180°$，
整理得：$∠ FAD+∠ C=β-\frac{1}{2}α$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{60°}$；(2) $\boldsymbol{β-\dfrac{1}{2}α}$
【知识点】
平行线的性质；角平分线的定义；三角形内角和定理
【点评】
本题属于几何基础综合题，核心考查角的转化和整体代入思想，解题的关键是找准各角之间的数量关系，熟练运用相关性质定理列式计算即可。
【难度系数】
0.7
(1) 先利用平行线的同旁内角互补性质，结合已知∠BEF的度数求出∠ABC的度数；再根据BD是∠ABC的平分线，求出∠ABD的度数；最后结合AD⊥BD得到∠ADB=90°，利用三角形内角和定理计算出∠BAD的度数。
(2) 先根据角平分线定义得到∠ABD的度数；再在△ABD中用三角形内角和定理表示出∠BAD；最后结合△ABC的内角和定理，将∠BAD代入式子整理，即可求出∠FAD+∠C的代数式。
【解析】
(1)
∵ EF//BC，∠BEF=120°，
∴ ∠BEF+∠ABC=180°（两直线平行，同旁内角互补），
∴ ∠ABC=180°-120°=60°。
∵ BD平分∠ABC，
∴ ∠ABD=$\frac{1}{2}$∠ABC=30°。
∵ AD⊥BD，
∴ ∠ADB=90°。
在△ABD中，∠BAD+∠ABD+∠ADB=180°，
∴ ∠BAD=180°-90°-30°=60°。
(2)
∵ BD平分∠ABC，∠ABC=α，
∴ ∠ABD=$\frac{1}{2}$α。
在△ABD中，∠BDA+∠ABD+∠BAD=180°，∠BDA=β，
∴ ∠BAD=180°-β-$\frac{1}{2}$α。
在△ABC中，∠BAC+∠ABC+∠C=180°，且∠BAC=∠BAD+∠FAD，
∴ ∠BAD+∠FAD+α+∠C=180°，
将∠BAD=180°-β-$\frac{1}{2}$α代入上式：
$180°-β-\frac{1}{2}α+∠ FAD+α+∠ C=180°$，
整理得：$∠ FAD+∠ C=β-\frac{1}{2}α$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{60°}$；(2) $\boldsymbol{β-\dfrac{1}{2}α}$
【知识点】
平行线的性质；角平分线的定义；三角形内角和定理
【点评】
本题属于几何基础综合题，核心考查角的转化和整体代入思想，解题的关键是找准各角之间的数量关系，熟练运用相关性质定理列式计算即可。
【难度系数】
0.7
