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12.【新情境·生活情境】(2024·沈阳月考)“垃圾分类一小步，低碳生活一大步”.某单位积极响应垃圾分类的号召，从批发市场购进了甲、乙两种品牌的垃圾桶作为可回收垃圾桶和其他垃圾桶.已知乙品牌的垃圾桶比甲品牌的垃圾桶每个贵50元，用3200元购买甲品牌的垃圾桶的数量是用2600元购买乙品牌的垃圾桶数量的2倍.
(1)购买一个甲品牌、一个乙品牌的垃圾桶各需要多少元？
(2)若该单位决定再用不超过5800元购进甲、乙两种品牌的垃圾桶共60个，恰逢批发市场对这两种品牌的垃圾桶的售价进行调整：甲品牌比上一次购买时的售价提高了10%，乙品牌按上一次购买时售价的八折出售.求该单位此次最少购买多少个甲品牌的垃圾桶.
(1)购买一个甲品牌、一个乙品牌的垃圾桶各需要多少元？
(2)若该单位决定再用不超过5800元购进甲、乙两种品牌的垃圾桶共60个，恰逢批发市场对这两种品牌的垃圾桶的售价进行调整：甲品牌比上一次购买时的售价提高了10%，乙品牌按上一次购买时售价的八折出售.求该单位此次最少购买多少个甲品牌的垃圾桶.
答案
12.(1)购买一个甲品牌的垃圾桶需要 80 元，购买一个乙品牌的垃圾桶需要 130 元 (2)该单位此次最少购买 28 个甲品牌的垃圾桶
解析
【分析】
（1）本题属于分式方程的实际应用问题，解题核心是找准数量间的等量关系：①乙品牌单价比甲贵50元；②3200元购买甲的数量=2×2600元购买乙的数量。我们可以设甲品牌单价为未知数，用含未知数的式子表示乙的单价，再根据第二个等量关系列分式方程求解，最后要检验解是否符合实际意义和方程要求。
（2）本题属于一元一次不等式的实际应用问题，核心是抓住“总费用不超过5800元”的不等关系。先根据调价规则算出调整后甲乙的单价，设购买甲品牌的数量为未知数，用总数量表示乙的数量，再根据总费用的限制列不等式，最后结合未知数为正整数的实际要求，取最小的符合条件的解即可。
【解析】
（1）设购买一个甲品牌的垃圾桶需要$x$元，则购买一个乙品牌的垃圾桶需要$(x+50)$元。
根据“用3200元购买甲品牌的垃圾桶的数量是用2600元购买乙品牌的垃圾桶数量的2倍”，列方程：
$\frac{3200}{x}=2×\frac{2600}{x+50}$
方程两边同乘$x(x+50)$去分母得：
$3200(x+50)=5200x$
展开得：$3200x + 160000 = 5200x$
移项合并同类项得：$2000x=160000$
解得：$x=80$
检验：当$x=80$时，$x(x+50)=80×130=10400≠0$，所以$x=80$是原分式方程的解，且符合实际意义。
则乙品牌单价为：$x+50=80+50=130$（元）
（2）设该单位此次购买$m$个甲品牌的垃圾桶，则购买乙品牌垃圾桶$(60-m)$个。
调整后甲品牌单价：$80×(1+10\%)=88$（元）
调整后乙品牌单价：$130×0.8=104$（元）
根据总费用不超过5800元，列不等式：
$88m + 104(60 - m) ≤ 5800$
展开得：$88m + 6240 - 104m ≤ 5800$
合并同类项得：$-16m ≤ -440$
系数化为1（不等号方向改变）得：$m ≥ 27.5$
因为$m$为正整数，所以$m$的最小值为28。
【答案】
(1)购买一个甲品牌的垃圾桶需要80元，购买一个乙品牌的垃圾桶需要130元；(2)该单位此次最少购买28个甲品牌的垃圾桶。
【知识点】
1.分式方程的应用
2.一元一次不等式的应用
3.打折销售问题
【点评】
本题结合垃圾分类的热门生活情境设计考题，贴近生活，主要考查学生将实际问题转化为数学问题的能力，解题时要注意分式方程必须检验，不等式的解要结合实际情况取符合要求的整数。
【难度系数】
0.7
（1）本题属于分式方程的实际应用问题，解题核心是找准数量间的等量关系：①乙品牌单价比甲贵50元；②3200元购买甲的数量=2×2600元购买乙的数量。我们可以设甲品牌单价为未知数，用含未知数的式子表示乙的单价，再根据第二个等量关系列分式方程求解，最后要检验解是否符合实际意义和方程要求。
（2）本题属于一元一次不等式的实际应用问题，核心是抓住“总费用不超过5800元”的不等关系。先根据调价规则算出调整后甲乙的单价，设购买甲品牌的数量为未知数，用总数量表示乙的数量，再根据总费用的限制列不等式，最后结合未知数为正整数的实际要求，取最小的符合条件的解即可。
【解析】
（1）设购买一个甲品牌的垃圾桶需要$x$元，则购买一个乙品牌的垃圾桶需要$(x+50)$元。
根据“用3200元购买甲品牌的垃圾桶的数量是用2600元购买乙品牌的垃圾桶数量的2倍”，列方程：
$\frac{3200}{x}=2×\frac{2600}{x+50}$
方程两边同乘$x(x+50)$去分母得：
$3200(x+50)=5200x$
展开得：$3200x + 160000 = 5200x$
移项合并同类项得：$2000x=160000$
解得：$x=80$
检验：当$x=80$时，$x(x+50)=80×130=10400≠0$，所以$x=80$是原分式方程的解，且符合实际意义。
则乙品牌单价为：$x+50=80+50=130$（元）
（2）设该单位此次购买$m$个甲品牌的垃圾桶，则购买乙品牌垃圾桶$(60-m)$个。
调整后甲品牌单价：$80×(1+10\%)=88$（元）
调整后乙品牌单价：$130×0.8=104$（元）
根据总费用不超过5800元，列不等式：
$88m + 104(60 - m) ≤ 5800$
展开得：$88m + 6240 - 104m ≤ 5800$
合并同类项得：$-16m ≤ -440$
系数化为1（不等号方向改变）得：$m ≥ 27.5$
因为$m$为正整数，所以$m$的最小值为28。
【答案】
(1)购买一个甲品牌的垃圾桶需要80元，购买一个乙品牌的垃圾桶需要130元；(2)该单位此次最少购买28个甲品牌的垃圾桶。
【知识点】
1.分式方程的应用
2.一元一次不等式的应用
3.打折销售问题
【点评】
本题结合垃圾分类的热门生活情境设计考题，贴近生活，主要考查学生将实际问题转化为数学问题的能力，解题时要注意分式方程必须检验，不等式的解要结合实际情况取符合要求的整数。
【难度系数】
0.7
13.【新考法·阅读理解】材料一:在解决某些分式问题时,倒数法是常用的变形技巧之一.所谓倒数法,即把式子变成其倒数形式,从而运用约分化简,以达到计算目的.
例:已知$\frac{x}{x^2+1}=\frac{1}{4}$,求代数式$x^2+\frac{1}{x^2}$的值.
解:$\because \frac{x}{x^2+1}=\frac{1}{4},\therefore \frac{x^2+1}{x}=4$,即$\frac{x^2}{x}+\frac{1}{x}=4$,
$\therefore x+\frac{1}{x}=4,\therefore x^2+\frac{1}{x^2}=(x+\frac{1}{x})^2-2=16-2=14$.
材料二:在解决某些连等式问题时,通常可以引入参数“$k$”,将连等式变成几个值为$k$的等式,这样就可以通过适当变形解决问题.
例:若$2x=3y=4z$,且$xyz≠0$,求$\frac{x}{y+z}$的值.
解:令$2x=3y=4z=k(k≠0)$,则$x=\frac{k}{2},y=\frac{k}{3},z=\frac{k}{4},\therefore \frac{x}{y+z}=\frac{\frac{k}{2}}{\frac{k}{3}+\frac{k}{4}}=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{7}{12}}=\frac{6}{7}$.
根据材料回答下列问题:
(1)已知$\frac{x}{x^2 -x +1}=\frac{1}{5}$,求$x+\frac{1}{x}$的值;
(2)已知$\frac{a}{5}=\frac{b}{4}=\frac{c}{3}(abc≠0)$,求$\frac{3b +4c}{2a}$的值;
(3)若 $\frac{yz}{bz + cy}=\frac{zx}{cx + az}=\frac{xy}{ay + bx}=\frac{x^2 + y^2 + z^2}{a^2 + b^2 + c^2}(xyz≠0)$,且$abc=5$,求$xyz$的值.
例:已知$\frac{x}{x^2+1}=\frac{1}{4}$,求代数式$x^2+\frac{1}{x^2}$的值.
解:$\because \frac{x}{x^2+1}=\frac{1}{4},\therefore \frac{x^2+1}{x}=4$,即$\frac{x^2}{x}+\frac{1}{x}=4$,
$\therefore x+\frac{1}{x}=4,\therefore x^2+\frac{1}{x^2}=(x+\frac{1}{x})^2-2=16-2=14$.
材料二:在解决某些连等式问题时,通常可以引入参数“$k$”,将连等式变成几个值为$k$的等式,这样就可以通过适当变形解决问题.
例:若$2x=3y=4z$,且$xyz≠0$,求$\frac{x}{y+z}$的值.
解:令$2x=3y=4z=k(k≠0)$,则$x=\frac{k}{2},y=\frac{k}{3},z=\frac{k}{4},\therefore \frac{x}{y+z}=\frac{\frac{k}{2}}{\frac{k}{3}+\frac{k}{4}}=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{7}{12}}=\frac{6}{7}$.
根据材料回答下列问题:
(1)已知$\frac{x}{x^2 -x +1}=\frac{1}{5}$,求$x+\frac{1}{x}$的值;
(2)已知$\frac{a}{5}=\frac{b}{4}=\frac{c}{3}(abc≠0)$,求$\frac{3b +4c}{2a}$的值;
(3)若 $\frac{yz}{bz + cy}=\frac{zx}{cx + az}=\frac{xy}{ay + bx}=\frac{x^2 + y^2 + z^2}{a^2 + b^2 + c^2}(xyz≠0)$,且$abc=5$,求$xyz$的值.
答案
13.(1)$6$ (2)$\frac{12}{5}$ (3)$\frac{5}{8}$
解析
【分析】
本题为阅读类新考法题型，解题时结合材料给出的技巧逐步求解即可：
(1) 运用材料一的倒数法，对已知分式取倒数后拆分化简，直接推导得到$x+\frac{1}{x}$的值；
(2) 运用材料二的参数法，给连等式设参数$k$，用$k$表示$a、b、c$后代入待求式约分化简；
(3) 先对前三个连等分式取倒数拆分，推导出$a、b、c$和$x、y、z$的比例关系，再代入第四个等式结合$abc=5$计算$xyz$的值。
【解析】
(1) 由$\frac{x}{x^2 -x +1}=\frac{1}{5}$可知$x≠0$，对等式两边取倒数得：
$\frac{x^2 -x +1}{x}=5$，拆分得$x - 1 + \frac{1}{x}=5$，移项得$x+\frac{1}{x}=5+1=6$。
(2) 令$\frac{a}{5}=\frac{b}{4}=\frac{c}{3}=k(k≠0)$，则$a=5k$，$b=4k$，$c=3k$。
将其代入$\frac{3b +4c}{2a}$得：
$\frac{3×4k +4×3k}{2×5k}=\frac{12k+12k}{10k}=\frac{24k}{10k}=\frac{12}{5}$。
(3) 已知$xyz≠0$，对$\frac{yz}{bz + cy}=\frac{zx}{cx + az}=\frac{xy}{ay + bx}$取倒数得：
$\frac{bz + cy}{yz}=\frac{cx + az}{zx}=\frac{ay + bx}{xy}$，拆分得$\frac{b}{y}+\frac{c}{z}=\frac{c}{z}+\frac{a}{x}=\frac{a}{x}+\frac{b}{y}$，
由此可得$\frac{a}{x}=\frac{b}{y}=\frac{c}{z}$，设该比值为$k(k≠0)$，则$a=kx$，$b=ky$，$c=kz$。
将$b=ky、c=kz$代入$\frac{yz}{bz + cy}$得：$\frac{yz}{ky· z + kz· y}=\frac{yz}{2kyz}=\frac{1}{2k}$；
将$a=kx、b=ky、c=kz$代入$\frac{x^2 + y^2 + z^2}{a^2 + b^2 + c^2}$得：$\frac{x^2 + y^2 + z^2}{k^2(x^2 + y^2 + z^2)}=\frac{1}{k^2}$；
由题意得$\frac{1}{2k}=\frac{1}{k^2}$，解得$k=2$（$k≠0$），即$a=2x$，$b=2y$，$c=2z$。
则$abc=2x·2y·2z=8xyz$，已知$abc=5$，故$8xyz=5$，解得$xyz=\frac{5}{8}$。
【答案】
(1)$6$；(2)$\frac{12}{5}$；(3)$\frac{5}{8}$
【知识点】
倒数法化简，参数法解连等式，分式基本性质
【点评】
本题考查知识迁移应用能力，解题核心是读懂材料给出的倒数法、参数法两种技巧，前两问为基础应用，第三问需结合两种方法综合推导，能有效考查对分式运算的掌握程度。
【难度系数】
0.6
本题为阅读类新考法题型，解题时结合材料给出的技巧逐步求解即可：
(1) 运用材料一的倒数法，对已知分式取倒数后拆分化简，直接推导得到$x+\frac{1}{x}$的值；
(2) 运用材料二的参数法，给连等式设参数$k$，用$k$表示$a、b、c$后代入待求式约分化简；
(3) 先对前三个连等分式取倒数拆分，推导出$a、b、c$和$x、y、z$的比例关系，再代入第四个等式结合$abc=5$计算$xyz$的值。
【解析】
(1) 由$\frac{x}{x^2 -x +1}=\frac{1}{5}$可知$x≠0$，对等式两边取倒数得：
$\frac{x^2 -x +1}{x}=5$，拆分得$x - 1 + \frac{1}{x}=5$，移项得$x+\frac{1}{x}=5+1=6$。
(2) 令$\frac{a}{5}=\frac{b}{4}=\frac{c}{3}=k(k≠0)$，则$a=5k$，$b=4k$，$c=3k$。
将其代入$\frac{3b +4c}{2a}$得：
$\frac{3×4k +4×3k}{2×5k}=\frac{12k+12k}{10k}=\frac{24k}{10k}=\frac{12}{5}$。
(3) 已知$xyz≠0$，对$\frac{yz}{bz + cy}=\frac{zx}{cx + az}=\frac{xy}{ay + bx}$取倒数得：
$\frac{bz + cy}{yz}=\frac{cx + az}{zx}=\frac{ay + bx}{xy}$，拆分得$\frac{b}{y}+\frac{c}{z}=\frac{c}{z}+\frac{a}{x}=\frac{a}{x}+\frac{b}{y}$，
由此可得$\frac{a}{x}=\frac{b}{y}=\frac{c}{z}$，设该比值为$k(k≠0)$，则$a=kx$，$b=ky$，$c=kz$。
将$b=ky、c=kz$代入$\frac{yz}{bz + cy}$得：$\frac{yz}{ky· z + kz· y}=\frac{yz}{2kyz}=\frac{1}{2k}$；
将$a=kx、b=ky、c=kz$代入$\frac{x^2 + y^2 + z^2}{a^2 + b^2 + c^2}$得：$\frac{x^2 + y^2 + z^2}{k^2(x^2 + y^2 + z^2)}=\frac{1}{k^2}$；
由题意得$\frac{1}{2k}=\frac{1}{k^2}$，解得$k=2$（$k≠0$），即$a=2x$，$b=2y$，$c=2z$。
则$abc=2x·2y·2z=8xyz$，已知$abc=5$，故$8xyz=5$，解得$xyz=\frac{5}{8}$。
【答案】
(1)$6$；(2)$\frac{12}{5}$；(3)$\frac{5}{8}$
【知识点】
倒数法化简，参数法解连等式，分式基本性质
【点评】
本题考查知识迁移应用能力，解题核心是读懂材料给出的倒数法、参数法两种技巧，前两问为基础应用，第三问需结合两种方法综合推导，能有效考查对分式运算的掌握程度。
【难度系数】
0.6
