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13 如图，在$5×5$的正方形网格中，从在格点上的点A，B，C，D中任取三点，所构成的三角形不是直角三角形的是（
A.$△ ABD$
B.$△ ADC$
C.$△ BCD$
D.$△ ABC$
C
）A.$△ ABD$
B.$△ ADC$
C.$△ BCD$
D.$△ ABC$
答案
13. C
解析
【分析】
要判断四个三角形中哪个不是直角三角形，我们可以利用勾股定理的逆定理求解。首先设每个小正方形的边长为1，再分别计算每个选项中三角形三条边长度的平方，验证是否存在两条边的平方和等于第三条边的平方，若存在则为直角三角形，反之则不是。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，根据勾股定理计算各边长度的平方：
1. 对选项A，$△ ABD$：
$AB^2=1^2+2^2=5$，$BD^2=1^2+2^2=5$，$AD^2=1^2+3^2=10$，
$\because AB^2+BD^2=5+5=10=AD^2$，$\therefore △ ABD$是直角三角形，不符合题意。
2. 对选项B，$△ ADC$：
$AD^2=10$，$DC^2=1^2+3^2=10$，$AC^2=2^2+4^2=20$，
$\because AD^2+DC^2=10+10=20=AC^2$，$\therefore △ ADC$是直角三角形，不符合题意。
3. 对选项C，$△ BCD$：
$BD^2=5$，$DC^2=10$，$BC^2=5^2=25$，
$\because 5+10\ne25$，$5+25\ne10$，$10+25\ne5$，不存在两边平方和等于第三边平方，$\therefore △ BCD$不是直角三角形，符合题意。
4. 对选项D，$△ ABC$：
$AB^2=5$，$AC^2=20$，$BC^2=25$，
$\because AB^2+AC^2=5+20=25=BC^2$，$\therefore △ ABC$是直角三角形，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理的逆定理，网格线段长度计算，直角三角形判定
【点评】
本题是网格类几何的常见题型，核心是通过勾股定理计算边长平方，再用逆定理判断三角形是否为直角三角形，解题时注意不要数错格子导致边长计算错误。
【难度系数】
0.7
要判断四个三角形中哪个不是直角三角形，我们可以利用勾股定理的逆定理求解。首先设每个小正方形的边长为1，再分别计算每个选项中三角形三条边长度的平方，验证是否存在两条边的平方和等于第三条边的平方，若存在则为直角三角形，反之则不是。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，根据勾股定理计算各边长度的平方：
1. 对选项A，$△ ABD$：
$AB^2=1^2+2^2=5$，$BD^2=1^2+2^2=5$，$AD^2=1^2+3^2=10$，
$\because AB^2+BD^2=5+5=10=AD^2$，$\therefore △ ABD$是直角三角形，不符合题意。
2. 对选项B，$△ ADC$：
$AD^2=10$，$DC^2=1^2+3^2=10$，$AC^2=2^2+4^2=20$，
$\because AD^2+DC^2=10+10=20=AC^2$，$\therefore △ ADC$是直角三角形，不符合题意。
3. 对选项C，$△ BCD$：
$BD^2=5$，$DC^2=10$，$BC^2=5^2=25$，
$\because 5+10\ne25$，$5+25\ne10$，$10+25\ne5$，不存在两边平方和等于第三边平方，$\therefore △ BCD$不是直角三角形，符合题意。
4. 对选项D，$△ ABC$：
$AB^2=5$，$AC^2=20$，$BC^2=25$，
$\because AB^2+AC^2=5+20=25=BC^2$，$\therefore △ ABC$是直角三角形，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理的逆定理，网格线段长度计算，直角三角形判定
【点评】
本题是网格类几何的常见题型，核心是通过勾股定理计算边长平方，再用逆定理判断三角形是否为直角三角形，解题时注意不要数错格子导致边长计算错误。
【难度系数】
0.7
14 如图，$AB ⊥ BC$于点B，$AB ⊥ AD$于点A，E是CD的中点.若$BC=5$，$AD=10$，$BE=\frac{13}{2}$，则AB的长是
12
.答案
14. 12 【解析】延长BE交AD于点F.因为$AB⊥BC$,$AB⊥AD$,所以$BC// AD$.所以$∠D=∠C$.因为E是CD的中点,所以易得$△BCE ≌ △FDE$.所以$BC=FD=5$,$BE=FE=\frac{13}{2}$.所以$AF=5$,$BF=13$.在$\mathrm{Rt}△ABF$中,由勾股定理,得$AB^2 = BF^2 - AF^2 = 144$.所以$AB=12$.
解析
【分析】
首先观察已知条件，AB同时垂直于BC和AD，可推出BC与AD平行，又已知E是CD的中点，遇到“平行线+中点”的组合，通常可以通过延长线段构造全等三角形，将已知的BC边转化到AD边上，把分散的边长条件集中到同一个直角三角形中，最后利用勾股定理即可求出AB的长度。
【解析】
解：延长BE交AD于点F。
∵$AB⊥BC$，$AB⊥AD$，
∴$∠ABC=∠BAD=90°$，
∴$BC// AD$（垂直于同一条直线的两条直线互相平行），
∴$∠C=∠D$，$∠CBE=∠DFE$。
∵E是CD的中点，
∴$CE=DE$。
在$△ BCE$和$△ FDE$中：
$\begin{cases}∠C=∠D \\∠CBE=∠DFE \\CE=DE\end{cases}$
∴$△ BCE ≌ △ FDE$（AAS），
∴$BC=FD=5$，$BE=FE=\frac{13}{2}$，
∴$BF=BE+FE=13$，$AF=AD-FD=10-5=5$。
在$\mathrm{Rt}△ ABF$中，$∠BAF=90°$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{BF^2-AF^2}=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12$。
【答案】
12
【知识点】
平行线的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题核心考查“平行线遇中点构造全等三角形”的辅助线思路，通过构造全等将已知线段条件整合到直角三角形中，结合勾股定理求解未知边长，解题的关键是正确作出辅助线，实现条件的转化与集中。
【难度系数】
0.6
首先观察已知条件，AB同时垂直于BC和AD，可推出BC与AD平行，又已知E是CD的中点，遇到“平行线+中点”的组合，通常可以通过延长线段构造全等三角形，将已知的BC边转化到AD边上，把分散的边长条件集中到同一个直角三角形中，最后利用勾股定理即可求出AB的长度。
【解析】
解：延长BE交AD于点F。
∵$AB⊥BC$，$AB⊥AD$，
∴$∠ABC=∠BAD=90°$，
∴$BC// AD$（垂直于同一条直线的两条直线互相平行），
∴$∠C=∠D$，$∠CBE=∠DFE$。
∵E是CD的中点，
∴$CE=DE$。
在$△ BCE$和$△ FDE$中：
$\begin{cases}∠C=∠D \\∠CBE=∠DFE \\CE=DE\end{cases}$
∴$△ BCE ≌ △ FDE$（AAS），
∴$BC=FD=5$，$BE=FE=\frac{13}{2}$，
∴$BF=BE+FE=13$，$AF=AD-FD=10-5=5$。
在$\mathrm{Rt}△ ABF$中，$∠BAF=90°$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{BF^2-AF^2}=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12$。
【答案】
12
【知识点】
平行线的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题核心考查“平行线遇中点构造全等三角形”的辅助线思路，通过构造全等将已知线段条件整合到直角三角形中，结合勾股定理求解未知边长，解题的关键是正确作出辅助线，实现条件的转化与集中。
【难度系数】
0.6
15 如图，铁路MN和公路PQ在点O处交会，公路PQ上一点A到MN的直线距离为120 m，点A处距离点O处240 m。如果火车行驶时，周围200 m以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路MN上沿ON方向以20 m/s的速度行驶时，点A处受噪音影响的时间为
16
s。答案
15. 16 【解析】如图,过点A作$AC⊥ON$,在ON上取点B,D,使$AD=AB=200\ \mathrm{m}$.由条件可知,$AC=120\ \mathrm{m}$,当火车到点B,D处时对点A处产生噪音影响,此时$AB=AD=200\ \mathrm{m}$.在$\mathrm{Rt}△ABC$和$\mathrm{Rt}△ADC$中,由勾股定理,得$BC^2 = AB^2 - AC^2$,$CD^2 = AD^2 - AC^2$,所以$BC=CD=160\ \mathrm{m}$. 所以$BD=320\ \mathrm{m}$. $320÷20=16(\mathrm{s})$,即点A处受噪音影响的时间为16 s.
解析
【分析】
要计算点A受噪音影响的时间，首先明确噪音影响的条件：火车到A的距离≤200m时A处受影响，因此需要先找到铁路MN上到A的距离恰好为200m的两个分界点，两点之间的路段就是火车行驶时会影响A的总路程。解题思路如下：1.过A作MN的垂线段，即为A到MN的距离120m；2.利用勾股定理计算两个分界点到垂足的距离，相加得到受影响的总路程；3.根据“时间=路程÷速度”计算受影响的总时长。
【解析】
如图，过点A作$AC⊥ON$，在ON上取点B、D，使$AD=AB=200\ \mathrm{m}$。
由题意可知$AC=120\ \mathrm{m}$，当火车行驶在B、D两点之间时，到A的距离小于200m，A处会受到噪音影响。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{200^2-120^2}=160\ \mathrm{m}$
同理在$\mathrm{Rt}△ ADC$中，$CD=\sqrt{AD^2-AC^2}=160\ \mathrm{m}$
因此受影响的总路程$BD=BC+CD=160+160=320\ \mathrm{m}$
受影响的时间为$t=\frac{320}{20}=16(\mathrm{s})$
【答案】
16
【知识点】
勾股定理的应用；点到直线的距离；行程问题计算
【点评】
本题结合实际生活场景，考查了数学建模能力，解题关键是将噪音影响的实际问题转化为几何计算问题，找到受影响的路程边界，再结合勾股定理和行程公式求解。
【难度系数】
0.7
要计算点A受噪音影响的时间，首先明确噪音影响的条件：火车到A的距离≤200m时A处受影响，因此需要先找到铁路MN上到A的距离恰好为200m的两个分界点，两点之间的路段就是火车行驶时会影响A的总路程。解题思路如下：1.过A作MN的垂线段，即为A到MN的距离120m；2.利用勾股定理计算两个分界点到垂足的距离，相加得到受影响的总路程；3.根据“时间=路程÷速度”计算受影响的总时长。
【解析】
如图，过点A作$AC⊥ON$，在ON上取点B、D，使$AD=AB=200\ \mathrm{m}$。
由题意可知$AC=120\ \mathrm{m}$，当火车行驶在B、D两点之间时，到A的距离小于200m，A处会受到噪音影响。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{200^2-120^2}=160\ \mathrm{m}$
同理在$\mathrm{Rt}△ ADC$中，$CD=\sqrt{AD^2-AC^2}=160\ \mathrm{m}$
因此受影响的总路程$BD=BC+CD=160+160=320\ \mathrm{m}$
受影响的时间为$t=\frac{320}{20}=16(\mathrm{s})$
【答案】
16
【知识点】
勾股定理的应用；点到直线的距离；行程问题计算
【点评】
本题结合实际生活场景，考查了数学建模能力，解题关键是将噪音影响的实际问题转化为几何计算问题，找到受影响的路程边界，再结合勾股定理和行程公式求解。
【难度系数】
0.7
16 如图①所示为一幅“青朱出入图”，运用“割补术”，通过三个正方形之间的面积转化验证勾股定理$(a^2 + b^2 = c^2)$。如图②，小明连接BE和AF后，得到涂色部分的面积为18，则CG的长为
6
。答案
16. 6 【解析】连接AE.由题意和图形,可知$S_{△ EAB} = \frac{1}{2} b^2$,$S_{△ AEF} = \frac{1}{2} EF · DE = \frac{1}{2} a^2$. 所以$S_{涂色} = S_{△ EAB} + S_{△ AEF} = \frac{1}{2} b^2 + \frac{1}{2} a^2 = \frac{1}{2}(b^2 + a^2) = \frac{1}{2} c^2$.因为涂色部分的面积为18,所以$\frac{1}{2} c^2 = 18$.所以$c=6$.所以$CG=6$.
解析
【分析】
解题时首先结合青朱出入图的背景，明确图形满足勾股定理$a^2+b^2=c^2$。要求CG的长，需要先将已知的涂色面积和$a、b、c$建立联系：先添加辅助线AE，把涂色部分拆分为两个三角形，分别计算两个三角形的面积，再结合勾股定理将面积和转化为仅含$c$的表达式，进而求出$c$的值，而CG的长度等于弦长$c$，即可得到最终结果。
【解析】
解：连接AE。
由图形特征可得，边长为$b$的正方形中，$△ EAB$的底为$b$，高为$b$，因此$S_{△ EAB}=\frac{1}{2} × b × b=\frac{1}{2}b^2$；
边长为$a$的正方形中，$△ AEF$的底为$a$，高为$a$，因此$S_{△ AEF}=\frac{1}{2} × a × a=\frac{1}{2}a^2$；
因此涂色部分面积$S_{涂色}=S_{△ EAB}+S_{△ AEF}=\frac{1}{2}a^2+\frac{1}{2}b^2=\frac{1}{2}(a^2+b^2)$。
根据勾股定理可知$a^2+b^2=c^2$，代入得$S_{涂色}=\frac{1}{2}c^2$。
已知涂色部分面积为18，因此$\frac{1}{2}c^2=18$，解得$c^2=36$，因为边长为正数，所以$c=6$。
由图可知$CG$的长等于弦长$c$，因此$CG=6$。
【答案】
6
【知识点】
勾股定理、三角形面积计算、割补法求面积
【点评】
本题以古代验证勾股定理的“青朱出入图”为载体，将几何图形面积计算与勾股定理相结合，解题的关键是合理拆分涂色部分面积，结合勾股定理建立面积与边长的关系，既考查了对勾股定理的理解，也考查了图形分析与面积计算的能力。
【难度系数】
0.6
解题时首先结合青朱出入图的背景，明确图形满足勾股定理$a^2+b^2=c^2$。要求CG的长，需要先将已知的涂色面积和$a、b、c$建立联系：先添加辅助线AE，把涂色部分拆分为两个三角形，分别计算两个三角形的面积，再结合勾股定理将面积和转化为仅含$c$的表达式，进而求出$c$的值，而CG的长度等于弦长$c$，即可得到最终结果。
【解析】
解：连接AE。
由图形特征可得，边长为$b$的正方形中，$△ EAB$的底为$b$，高为$b$，因此$S_{△ EAB}=\frac{1}{2} × b × b=\frac{1}{2}b^2$；
边长为$a$的正方形中，$△ AEF$的底为$a$，高为$a$，因此$S_{△ AEF}=\frac{1}{2} × a × a=\frac{1}{2}a^2$；
因此涂色部分面积$S_{涂色}=S_{△ EAB}+S_{△ AEF}=\frac{1}{2}a^2+\frac{1}{2}b^2=\frac{1}{2}(a^2+b^2)$。
根据勾股定理可知$a^2+b^2=c^2$，代入得$S_{涂色}=\frac{1}{2}c^2$。
已知涂色部分面积为18，因此$\frac{1}{2}c^2=18$，解得$c^2=36$，因为边长为正数，所以$c=6$。
由图可知$CG$的长等于弦长$c$，因此$CG=6$。
【答案】
6
【知识点】
勾股定理、三角形面积计算、割补法求面积
【点评】
本题以古代验证勾股定理的“青朱出入图”为载体，将几何图形面积计算与勾股定理相结合，解题的关键是合理拆分涂色部分面积，结合勾股定理建立面积与边长的关系，既考查了对勾股定理的理解，也考查了图形分析与面积计算的能力。
【难度系数】
0.6
17 如图,在$△ ABC$中,AB边上的垂直平分线DE与AB,AC分别交于点D,E,且$CB^2=AE^2-CE^2$.
(1) 试说明:$∠ C=90°$;
(2) 若$AC=8,BC=6$,求CE的长.
(1) 试说明:$∠ C=90°$;
(2) 若$AC=8,BC=6$,求CE的长.
答案
17. （1）连接BE.因为AB边上的垂直平分线为DE,所以$AE=BE$.因为$CB^2 = AE^2 - CE^2$,所以$CB^2 = BE^2 - CE^2$.所以$CB^2 + CE^2 = BE^2$.所以$△BCE$是直角三角形,且$∠C=90°$ （2）设$CE=x$,则$AE=BE=8-x$.在$\mathrm{Rt}△BCE$中,由勾股定理,得$EC^2 + BC^2 = BE^2$,即$x^2 + 6^2 = (8-x)^2$,所以$x=\frac{7}{4}$.所以$CE=\frac{7}{4}$
解析
【分析】
(1) 要证明$∠ C=90°$，已知给出了边的平方关系，可结合勾股定理的逆定理推导。因为DE是AB的垂直平分线，根据垂直平分线性质，连接BE可得到$AE=BE$，将已知等式中的AE替换为BE，就能得到符合勾股逆定理的三边关系，即可证明$∠ C$是直角。
(2) 求CE的长度时，可设CE为未知数，用含未知数的式子表示出BE的长度，在$\mathrm{Rt}△ BCE$中利用勾股定理列方程，解方程即可求出CE的长。
【解析】
(1) 连接$BE$。
∵DE是AB边上的垂直平分线，
∴$AE=BE$。
∵$CB^2 = AE^2 - CE^2$，
把$AE$替换为$BE$可得：$CB^2 = BE^2 - CE^2$，
移项得：$CB^2 + CE^2 = BE^2$，
根据勾股定理的逆定理，可知$△ BCE$是直角三角形，且$∠ C=90°$。
(2) 设$CE=x$，则$AE=AC-CE=8-x$。
由$AE=BE$可得$BE=8-x$。
在$\mathrm{Rt}△ BCE$中，根据勾股定理：$EC^2 + BC^2 = BE^2$，
代入$BC=6$得：$x^2 + 6^2 = (8-x)^2$，
展开整理得：$x^2+36=64-16x+x^2$，
消去$x^2$后解得：$16x=28$，$x=\frac{7}{4}$。
【答案】
(1) 已证$∠ C=90°$；(2) $CE=\frac{7}{4}$
【知识点】
线段垂直平分线的性质；勾股定理；勾股定理的逆定理
【点评】
本题综合考查了线段垂直平分线性质、勾股定理及其逆定理的应用，通过作辅助线构造目标三角形，结合方程思想求解线段长度，是几何类的常规题型，熟练掌握相关定理、学会合理构造辅助线是解题的关键。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明$∠ C=90°$，已知给出了边的平方关系，可结合勾股定理的逆定理推导。因为DE是AB的垂直平分线，根据垂直平分线性质，连接BE可得到$AE=BE$，将已知等式中的AE替换为BE，就能得到符合勾股逆定理的三边关系，即可证明$∠ C$是直角。
(2) 求CE的长度时，可设CE为未知数，用含未知数的式子表示出BE的长度，在$\mathrm{Rt}△ BCE$中利用勾股定理列方程，解方程即可求出CE的长。
【解析】
(1) 连接$BE$。
∵DE是AB边上的垂直平分线，
∴$AE=BE$。
∵$CB^2 = AE^2 - CE^2$，
把$AE$替换为$BE$可得：$CB^2 = BE^2 - CE^2$，
移项得：$CB^2 + CE^2 = BE^2$，
根据勾股定理的逆定理，可知$△ BCE$是直角三角形，且$∠ C=90°$。
(2) 设$CE=x$，则$AE=AC-CE=8-x$。
由$AE=BE$可得$BE=8-x$。
在$\mathrm{Rt}△ BCE$中，根据勾股定理：$EC^2 + BC^2 = BE^2$，
代入$BC=6$得：$x^2 + 6^2 = (8-x)^2$，
展开整理得：$x^2+36=64-16x+x^2$，
消去$x^2$后解得：$16x=28$，$x=\frac{7}{4}$。
【答案】
(1) 已证$∠ C=90°$；(2) $CE=\frac{7}{4}$
【知识点】
线段垂直平分线的性质；勾股定理；勾股定理的逆定理
【点评】
本题综合考查了线段垂直平分线性质、勾股定理及其逆定理的应用，通过作辅助线构造目标三角形，结合方程思想求解线段长度，是几何类的常规题型，熟练掌握相关定理、学会合理构造辅助线是解题的关键。
【难度系数】
0.7
18 如图,上午9时50分,码头A的正东方向有一艘货轮C油量不足,正在以13海里/时的速度向正西方向航行,正在MN线(南北方向)上巡逻的救援艇B收到求救信号后立即测算,码头A与货轮C之间的距离是13海里,码头A与救援艇B之间的距离是5海里,救援艇B与货轮C之间的距离是12海里.若货轮C的速度不变,救援艇B向正北方向继续航行,正好可以在货轮C抵达MN线时进行救援,则货轮C可在什么时间得到救援(参考数据:$\frac{144}{169}\approx0.85$)?
答案
18. 设MN交AC于点E,则$∠BEC=90°$.因为$AB^2 + BC^2 = 5^2 + 12^2 = 13^2 = AC^2$,所以$△ABC$是直角三角形,且$∠ABC=90°$.又因为$MN⊥CE$,所以$∠BEA=∠BEC=90°$.所以$BE^2 = AB^2 - (AC - CE)^2$,$BE^2 = BC^2 - CE^2$.所以$BC^2 - CE^2 = AB^2 - (AC - CE)^2$.所以$CE=\frac{144}{13}$海里. $\frac{144}{13} ÷13 = \frac{144}{169} \approx 0.85$(时),$0.85×60=51$(分),所以货轮C可在10时41分得到救援
解析
【分析】
首先观察题目给出的三边长度：AB=5海里，BC=12海里，AC=13海里，可联想到勾股定理的逆定理，先判断△ABC的形状；要求救援时间，需要先求出货轮C到MN线的距离CE，因为MN垂直于AC，所以△ABE和△CBE都是直角三角形，二者共享直角边BE，可据此列方程求出CE的长度；再根据“时间=路程÷速度”计算货轮C航行到MN线所需的时间，最后加上初始时间即可得到救援时间。
【解析】
设MN交AC于点E，则$∠ BEC=90°$。
1. 判定$△ ABC$的形状：
$\because AB^2 + BC^2 = 5^2 + 12^2 = 25+144=169=13^2 = AC^2$，
根据勾股定理的逆定理，可得$△ ABC$是直角三角形，且$∠ ABC=90°$。
2. 求$CE$的长度：
$\because MN⊥ AC$，$\therefore ∠ BEA=∠ BEC=90°$。
在$Rt△ ABE$中，由勾股定理得：$BE^2 = AB^2 - AE^2$，又$\because AE=AC-CE=13-CE$，
$\therefore BE^2 = 5^2 - (13 - CE)^2$。
在$Rt△ CBE$中，由勾股定理得：$BE^2 = BC^2 - CE^2 = 12^2 - CE^2$。
联立两个等式可得：$12^2 - CE^2 = 5^2 - (13 - CE)^2$
展开计算：$144 - CE^2 = 25 - (169 - 26CE + CE^2)$
$144 - CE^2 = 25 - 169 + 26CE - CE^2$
消去$CE^2$，整理得：$144 = -144 + 26CE$
解得$CE=\frac{144}{13}$海里。
3. 计算航行时间：
货轮C的速度是13海里/时，航行CE所需时间为：
$\frac{144}{13} ÷13 = \frac{144}{169} \approx 0.85$（时）
换算为分钟：$0.85×60=51$（分）
4. 计算救援时间：
初始时间是上午9时50分，加上51分，得到10时41分。
【答案】
货轮C可在10时41分得到救援。
【知识点】
勾股定理逆定理；勾股定理的应用；行程问题计算
【点评】
本题将几何知识与实际行程场景结合，解题的核心是先利用勾股定理逆定理判定直角三角形，再通过公共直角边构造方程求解未知线段长，最后结合行程公式得到结果，较好地考查了知识的综合运用和实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.6
首先观察题目给出的三边长度：AB=5海里，BC=12海里，AC=13海里，可联想到勾股定理的逆定理，先判断△ABC的形状；要求救援时间，需要先求出货轮C到MN线的距离CE，因为MN垂直于AC，所以△ABE和△CBE都是直角三角形，二者共享直角边BE，可据此列方程求出CE的长度；再根据“时间=路程÷速度”计算货轮C航行到MN线所需的时间，最后加上初始时间即可得到救援时间。
【解析】
设MN交AC于点E，则$∠ BEC=90°$。
1. 判定$△ ABC$的形状：
$\because AB^2 + BC^2 = 5^2 + 12^2 = 25+144=169=13^2 = AC^2$，
根据勾股定理的逆定理，可得$△ ABC$是直角三角形，且$∠ ABC=90°$。
2. 求$CE$的长度：
$\because MN⊥ AC$，$\therefore ∠ BEA=∠ BEC=90°$。
在$Rt△ ABE$中，由勾股定理得：$BE^2 = AB^2 - AE^2$，又$\because AE=AC-CE=13-CE$，
$\therefore BE^2 = 5^2 - (13 - CE)^2$。
在$Rt△ CBE$中，由勾股定理得：$BE^2 = BC^2 - CE^2 = 12^2 - CE^2$。
联立两个等式可得：$12^2 - CE^2 = 5^2 - (13 - CE)^2$
展开计算：$144 - CE^2 = 25 - (169 - 26CE + CE^2)$
$144 - CE^2 = 25 - 169 + 26CE - CE^2$
消去$CE^2$，整理得：$144 = -144 + 26CE$
解得$CE=\frac{144}{13}$海里。
3. 计算航行时间：
货轮C的速度是13海里/时，航行CE所需时间为：
$\frac{144}{13} ÷13 = \frac{144}{169} \approx 0.85$（时）
换算为分钟：$0.85×60=51$（分）
4. 计算救援时间：
初始时间是上午9时50分，加上51分，得到10时41分。
【答案】
货轮C可在10时41分得到救援。
【知识点】
勾股定理逆定理；勾股定理的应用；行程问题计算
【点评】
本题将几何知识与实际行程场景结合，解题的核心是先利用勾股定理逆定理判定直角三角形，再通过公共直角边构造方程求解未知线段长，最后结合行程公式得到结果，较好地考查了知识的综合运用和实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.6
