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1 小静同学观察台球比赛，从中受到启发，抽象成如下数学问题：在平面直角坐标系中，小球P从点(0,3)处出发，沿如图所示的方向运动，当碰到长方形OABC的边时会反弹，反弹时反射角等于入射角。在点$P_1(3,0)$处，小球第一次碰到长方形的边。当小球P第2026次碰到长方形的边时，不考虑阻力，点$P_{2026}$的坐标是 （
A.(1,4)
B.(7,4)
C.(8,3)
D.(5,0)
D
）A.(1,4)
B.(7,4)
C.(8,3)
D.(5,0)
答案
1. D 【解析】因为点$P_1$的坐标为(3,0),根据点P的运动方式,结合反射角等于入射角,可知点$P_2$的坐标为(7,4),点$P_3$的坐标为(8,3),点$P_4$的坐标为(5,0),点$P_5$的坐标为(1,4),点$P_6$的坐标为(0,3),点$P_7$的坐标为(3,0)……由此可知,点P每反弹6次,点的坐标循环出现. 因为$2026÷6=337……4$,所以点$P_{2026}$的坐标与点$P_4$的坐标相同,为(5,0).
解析
【分析】
这是一道平面直角坐标系中的点坐标规律探究题，解题思路如下：首先根据反弹时反射角等于入射角的规则，依次计算出小球前几次碰到长方形边时的点坐标；接着观察这些坐标，找到坐标的循环周期；最后用碰撞总次数除以周期，根据余数确定第2026次碰撞对应的坐标和周期内第几个点的坐标一致，即可求解。
【解析】
根据题意和反射角等于入射角的规律，依次写出前几次碰撞点的坐标：
第1次碰到边的点$P_1$坐标为$(3,0)$，
第2次碰到边的点$P_2$坐标为$(7,4)$，
第3次碰到边的点$P_3$坐标为$(8,3)$，
第4次碰到边的点$P_4$坐标为$(5,0)$，
第5次碰到边的点$P_5$坐标为$(1,4)$，
第6次碰到边的点$P_6$坐标为$(0,3)$，
第7次碰到边的点$P_7$坐标为$(3,0)$，和$P_1$坐标相同。
由此可得：小球的碰撞点坐标每6次为一个循环周期。
计算$2026÷6=337······4$，即2026次碰撞对应循环周期中的第4个点，也就是和$P_4$的坐标相同，为$(5,0)$，所以答案选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 平面直角坐标系中点的坐标
2. 反射的性质
3. 周期规律探究
【点评】
本题结合生活中的台球反弹场景，考查坐标变化规律的探究能力，解题的核心是先推导前几个碰撞点的坐标，找到循环周期，再结合余数求解对应点的坐标，整体解题思路清晰，难度适中。
【难度系数】
0.7
这是一道平面直角坐标系中的点坐标规律探究题，解题思路如下：首先根据反弹时反射角等于入射角的规则，依次计算出小球前几次碰到长方形边时的点坐标；接着观察这些坐标，找到坐标的循环周期；最后用碰撞总次数除以周期，根据余数确定第2026次碰撞对应的坐标和周期内第几个点的坐标一致，即可求解。
【解析】
根据题意和反射角等于入射角的规律，依次写出前几次碰撞点的坐标：
第1次碰到边的点$P_1$坐标为$(3,0)$，
第2次碰到边的点$P_2$坐标为$(7,4)$，
第3次碰到边的点$P_3$坐标为$(8,3)$，
第4次碰到边的点$P_4$坐标为$(5,0)$，
第5次碰到边的点$P_5$坐标为$(1,4)$，
第6次碰到边的点$P_6$坐标为$(0,3)$，
第7次碰到边的点$P_7$坐标为$(3,0)$，和$P_1$坐标相同。
由此可得：小球的碰撞点坐标每6次为一个循环周期。
计算$2026÷6=337······4$，即2026次碰撞对应循环周期中的第4个点，也就是和$P_4$的坐标相同，为$(5,0)$，所以答案选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 平面直角坐标系中点的坐标
2. 反射的性质
3. 周期规律探究
【点评】
本题结合生活中的台球反弹场景，考查坐标变化规律的探究能力，解题的核心是先推导前几个碰撞点的坐标，找到循环周期，再结合余数求解对应点的坐标，整体解题思路清晰，难度适中。
【难度系数】
0.7
2 如图,在平面直角坐标系中,动点 P 按图中箭头所示的方向依次运动,第 1 次从点$(-1,0)$运动到点$(0,1)$,第 2 次运动到点$(1,0)$,第3次运动到点$(2,-2)$……按这样的运动规律,动点 P 第2025次运动到点 (
A.$(2024,1)$
B.$(2024,0)$
C.$(2024,-2)$
D.$(2025,1)$
A
)A.$(2024,1)$
B.$(2024,0)$
C.$(2024,-2)$
D.$(2025,1)$
答案
2. A
解析
【分析】
解决本题的核心是分别探究动点运动后点的横坐标、纵坐标和运动次数的关系：首先写出前几次运动后对应点的坐标，先归纳横坐标的规律，再观察纵坐标的循环周期特征，最后将运动次数2025代入规律计算即可得到结果。
【解析】
先列出前几次运动后点P的坐标：
第1次：$(0,1)$
第2次：$(1,0)$
第3次：$(2,-2)$
第4次：$(3,0)$
第5次：$(4,1)$
第6次：$(5,0)$
……
观察坐标可得规律：
1. 横坐标：第$n$次运动后，点的横坐标为$n-1$；
2. 纵坐标：以$1,0,-2,0$为一个周期循环出现，周期长度为4。
当$n=2025$时：
横坐标为$2025-1=2024$；
计算周期余数：$2025÷4=506······1$，余数为1，对应周期中第1个纵坐标值，即$1$。
因此第2025次运动到点$(2024,1)$。
【答案】
A
【知识点】
1. 点坐标规律探究
2. 周期规律应用
【点评】
本题属于坐标系中的规律探究类典型题，解题关键是通过特殊点的坐标归纳出一般规律，重点要区分横、纵坐标不同的变化特征，掌握从特殊到一般的归纳思想即可快速解题。
【难度系数】
0.7
解决本题的核心是分别探究动点运动后点的横坐标、纵坐标和运动次数的关系：首先写出前几次运动后对应点的坐标，先归纳横坐标的规律，再观察纵坐标的循环周期特征，最后将运动次数2025代入规律计算即可得到结果。
【解析】
先列出前几次运动后点P的坐标：
第1次：$(0,1)$
第2次：$(1,0)$
第3次：$(2,-2)$
第4次：$(3,0)$
第5次：$(4,1)$
第6次：$(5,0)$
……
观察坐标可得规律：
1. 横坐标：第$n$次运动后，点的横坐标为$n-1$；
2. 纵坐标：以$1,0,-2,0$为一个周期循环出现，周期长度为4。
当$n=2025$时：
横坐标为$2025-1=2024$；
计算周期余数：$2025÷4=506······1$，余数为1，对应周期中第1个纵坐标值，即$1$。
因此第2025次运动到点$(2024,1)$。
【答案】
A
【知识点】
1. 点坐标规律探究
2. 周期规律应用
【点评】
本题属于坐标系中的规律探究类典型题，解题关键是通过特殊点的坐标归纳出一般规律，重点要区分横、纵坐标不同的变化特征，掌握从特殊到一般的归纳思想即可快速解题。
【难度系数】
0.7
3 如图所示的图形是由一连串的等腰直角三角形组成的，其中$∠ MA_1A_2 = ∠ MA_2A_3 = \dots = ∠ MA_nA_{n+1} = 90°$（$n$为正整数）.若点$M$的坐标是$(-1,2)$，点$A_1$的坐标是$(0,2)$，则点$A_{2025}$的坐标是
$(2^{1012}-1,2)$
.答案
3. $(2^{1012}-1,2)$
解析
【分析】
首先根据已知的点M和A₁的坐标求出线段MA₁的长度，再结合等腰直角三角形的性质，观察发现所有下标为奇数的点的纵坐标均为2，只需推导这类点横坐标的变化规律，最后将2025代入规律即可得到对应点的坐标。
【解析】
解：已知点$M(-1,2)$，点$A_1(0,2)$，两点纵坐标相同，因此$MA_1$的长度为：
$MA_1=0 - (-1)=1$
观察图形可得，所有下标为奇数的点$A_1、A_3、A_5、\dots$的纵坐标均为2，均在直线$y=2$上，仅需推导横坐标的规律：
第1个奇数点$A_1$：到点M的水平距离为$1=2^0$，横坐标为$2^0 -1=0$，坐标为$(0,2)$；
第2个奇数点$A_3$：由等腰直角三角形的边长关系，到点M的水平距离为$2=2^1$，横坐标为$2^1 -1=1$，坐标为$(1,2)$；
第3个奇数点$A_5$：到点M的水平距离为$4=2^2$，横坐标为$2^2 -1=3$，坐标为$(3,2)$；
……
以此类推，第$k$个奇数点$A_{2k-1}$的横坐标为$2^{k-1}-1$，纵坐标为2。
对于点$A_{2025}$，令$2k-1=2025$，解得$k=1013$，代入得横坐标为$2^{1013-1}-1=2^{1012}-1$，纵坐标为2。
【答案】
$(2^{1012}-1,2)$
【知识点】
点的坐标规律，等腰直角三角形的性质
【点评】
本题属于平面直角坐标系中的规律探究题，解题的关键是先锁定奇数下标点的纵坐标不变的特征，再结合等腰直角三角形的边长变化推导横坐标的规律，考查了学生的观察归纳能力。
【难度系数】
0.6
首先根据已知的点M和A₁的坐标求出线段MA₁的长度，再结合等腰直角三角形的性质，观察发现所有下标为奇数的点的纵坐标均为2，只需推导这类点横坐标的变化规律，最后将2025代入规律即可得到对应点的坐标。
【解析】
解：已知点$M(-1,2)$，点$A_1(0,2)$，两点纵坐标相同，因此$MA_1$的长度为：
$MA_1=0 - (-1)=1$
观察图形可得，所有下标为奇数的点$A_1、A_3、A_5、\dots$的纵坐标均为2，均在直线$y=2$上，仅需推导横坐标的规律：
第1个奇数点$A_1$：到点M的水平距离为$1=2^0$，横坐标为$2^0 -1=0$，坐标为$(0,2)$；
第2个奇数点$A_3$：由等腰直角三角形的边长关系，到点M的水平距离为$2=2^1$，横坐标为$2^1 -1=1$，坐标为$(1,2)$；
第3个奇数点$A_5$：到点M的水平距离为$4=2^2$，横坐标为$2^2 -1=3$，坐标为$(3,2)$；
……
以此类推，第$k$个奇数点$A_{2k-1}$的横坐标为$2^{k-1}-1$，纵坐标为2。
对于点$A_{2025}$，令$2k-1=2025$，解得$k=1013$，代入得横坐标为$2^{1013-1}-1=2^{1012}-1$，纵坐标为2。
【答案】
$(2^{1012}-1,2)$
【知识点】
点的坐标规律，等腰直角三角形的性质
【点评】
本题属于平面直角坐标系中的规律探究题，解题的关键是先锁定奇数下标点的纵坐标不变的特征，再结合等腰直角三角形的边长变化推导横坐标的规律，考查了学生的观察归纳能力。
【难度系数】
0.6
4 如图，正方形ABCD的顶点A，B的坐标分别为(1,1)，(3,1)，规定把正方形ABCD先沿x轴翻折，再向左平移1个单位长度为1次变换，这样连续经过2026次变换后，正方形ABCD的顶点C的坐标为
$(-2023,3)$
.答案
4. $(-2023,3)$ 【解析】因为正方形ABCD的顶点A,B的坐标分别为(1,1),(3,1),所以$AB=BC=2$,则$C(3,3)$. 把正方形ABCD先沿x轴翻折,再向左平移1个单位长度,1次变换后,点$C_1$的坐标为(2,-3),2次变换后,点$C_2$的坐标为(1,3),3次变换后,点$C_3$的坐标为(0,-3)……通过观察可知,当翻折次数为奇数时,点C的纵坐标为-3;当翻折次数为偶数时,点C的纵坐标为3. 因为2026是偶数,所以点C的纵坐标为3,其横坐标为$3-2026×1=-2023$. 所以经过2026次变换后,正方形ABCD的顶点C的坐标为$(-2023,3)$.
解析
【分析】
首先根据A、B两点的坐标求出正方形的边长，进而得到顶点C的初始坐标；再明确每次变换的规则：沿x轴翻折时横坐标不变、纵坐标变为原数的相反数，向左平移1个单位时横坐标减1、纵坐标不变；接着计算前几次变换后点C的坐标，归纳得出规律：纵坐标随变换次数的奇偶性交替变化，横坐标每次变换均减少1；最后结合2026是偶数的特点，代入规律计算即可得到最终坐标。
【解析】
∵ 正方形ABCD的顶点A、B坐标分别为(1,1)、(3,1)，
∴ AB的长度为$3-1=2$，由正方形边长相等得$BC=AB=2$，
∴ 点C的初始坐标为$(3,1+2)$即$(3,3)$。
1次变换后，点C先沿x轴翻折得$(3,-3)$，再左移1个单位得$(3-1,-3)$即$(2,-3)$；
2次变换后，点C先沿x轴翻折得$(2,3)$，再左移1个单位得$(2-1,3)$即$(1,3)$；
3次变换后，点C先沿x轴翻折得$(1,-3)$，再左移1个单位得$(1-1,-3)$即$(0,-3)$；
……
观察规律可得：n次变换后，点C的横坐标为$3-n$；当n为奇数时纵坐标为$-3$，当n为偶数时纵坐标为$3$。
∵ 2026是偶数，
∴ 此时点C的纵坐标为$3$，横坐标为$3-2026=-2023$，即坐标为$(-2023,3)$。
【答案】
$(-2023,3)$
【知识点】
坐标平移规律，坐标翻折规律，规律探究
【点评】
本题属于平面直角坐标系中的规律探究类题型，结合了正方形的性质与坐标变换的核心知识点，解题关键是通过计算前几次变换的结果归纳出横、纵坐标的变化规律，能够有效考查学生的归纳推理能力。
【难度系数】
0.7
首先根据A、B两点的坐标求出正方形的边长，进而得到顶点C的初始坐标；再明确每次变换的规则：沿x轴翻折时横坐标不变、纵坐标变为原数的相反数，向左平移1个单位时横坐标减1、纵坐标不变；接着计算前几次变换后点C的坐标，归纳得出规律：纵坐标随变换次数的奇偶性交替变化，横坐标每次变换均减少1；最后结合2026是偶数的特点，代入规律计算即可得到最终坐标。
【解析】
∵ 正方形ABCD的顶点A、B坐标分别为(1,1)、(3,1)，
∴ AB的长度为$3-1=2$，由正方形边长相等得$BC=AB=2$，
∴ 点C的初始坐标为$(3,1+2)$即$(3,3)$。
1次变换后，点C先沿x轴翻折得$(3,-3)$，再左移1个单位得$(3-1,-3)$即$(2,-3)$；
2次变换后，点C先沿x轴翻折得$(2,3)$，再左移1个单位得$(2-1,3)$即$(1,3)$；
3次变换后，点C先沿x轴翻折得$(1,-3)$，再左移1个单位得$(1-1,-3)$即$(0,-3)$；
……
观察规律可得：n次变换后，点C的横坐标为$3-n$；当n为奇数时纵坐标为$-3$，当n为偶数时纵坐标为$3$。
∵ 2026是偶数，
∴ 此时点C的纵坐标为$3$，横坐标为$3-2026=-2023$，即坐标为$(-2023,3)$。
【答案】
$(-2023,3)$
【知识点】
坐标平移规律，坐标翻折规律，规律探究
【点评】
本题属于平面直角坐标系中的规律探究类题型，结合了正方形的性质与坐标变换的核心知识点，解题关键是通过计算前几次变换的结果归纳出横、纵坐标的变化规律，能够有效考查学生的归纳推理能力。
【难度系数】
0.7
5 如图,在平面直角坐标系中,一只蚂蚁从原点O出发,按向上、向右、向下、向右的方向依次不断地移动,每次移动1个单位长度.
(1) 写出下列各点的坐标: $A_4$ ( ______ , ______ ), $A_{10}$ ( ______ , ______ ), $A_{15}$ ( ______ , ______ );
(2) 写出点 $A_{2025}$ 的坐标;
(3) 写出蚂蚁从点 $A_{2024}$ 到点 $A_{2025}$ 的移动方向.
(1) 写出下列各点的坐标: $A_4$ ( ______ , ______ ), $A_{10}$ ( ______ , ______ ), $A_{15}$ ( ______ , ______ );
(2) 写出点 $A_{2025}$ 的坐标;
(3) 写出蚂蚁从点 $A_{2024}$ 到点 $A_{2025}$ 的移动方向.
答案
5. (1) 2 0 5 1 7 0 (2) 观察题图,可知每四次运动为一个循环,在每个循环中,横坐标增加2,纵坐标依次为1,1,0,0. 因为$2025÷4=506……1$,所以点$A_{2025}$的纵坐标为1,横坐标为$2×506=1012$. 所以点$A_{2025}$的坐标为$(1012,1)$ (3) 因为$2025÷4=506……1$,所以从点$A_{2024}$到点$A_{2025}$的移动方向与从点$A_4$到点$A_5$的移动方向一致,为向上
解析
【分析】
解决本题的核心是先找到蚂蚁移动的周期规律：蚂蚁按向上、向右、向下、向右的顺序移动，每4次移动为1个循环周期，每个周期内横坐标总共增加2，纵坐标按1、1、0、0依次变化。解题时先计算所求点的下标除以4的余数，根据余数判断对应周期内的位置，再结合周期数计算横坐标，即可得到点的坐标，同时可对应判断移动方向。
【解析】
首先总结规律：蚂蚁每4次移动为一个循环周期，每个周期中，横坐标共增加2，4次移动对应的纵坐标依次为1、1、0、0。
(1) 计算各点下标除以4的结果：
① 对于$A_4$：$4÷4=1$，无余数，对应周期最后一个位置，纵坐标为0，横坐标为$2×1=2$，故$A_4$坐标为$(2,0)$；
② 对于$A_{10}$：$10÷4=2······2$，余数为2，对应周期第2个位置，纵坐标为1，横坐标为$2×2+1=5$，故$A_{10}$坐标为$(5,1)$；
③ 对于$A_{15}$：$15÷4=3······3$，余数为3，对应周期第3个位置，纵坐标为0，横坐标为$2×3+1=7$，故$A_{15}$坐标为$(7,0)$。
(2) 计算$2025÷4=506······1$，余数为1，对应周期第1个位置，纵坐标为1；横坐标为$2×506=1012$，因此点$A_{2025}$的坐标为$(1012,1)$。
(3) $2024÷4=506$，无余数，说明$A_{2024}$是第506个周期的最后一个点，下一次移动是下一个周期的第1步，与$A_4$到$A_5$的移动方向一致，为向上。
【答案】
(1) 2，0；5，1；7，0
(2) $(1012,1)$
(3) 向上
【知识点】
点的坐标规律；周期问题；平面直角坐标系
【点评】
本题是平面直角坐标系中的规律探究题，解题的关键是梳理出蚂蚁移动的周期规律，通过计算下标除以4的余数快速定位对应位置，进而求解坐标和移动方向，这类题型能有效考查观察归纳能力。
【难度系数】
0.7
解决本题的核心是先找到蚂蚁移动的周期规律：蚂蚁按向上、向右、向下、向右的顺序移动，每4次移动为1个循环周期，每个周期内横坐标总共增加2，纵坐标按1、1、0、0依次变化。解题时先计算所求点的下标除以4的余数，根据余数判断对应周期内的位置，再结合周期数计算横坐标，即可得到点的坐标，同时可对应判断移动方向。
【解析】
首先总结规律：蚂蚁每4次移动为一个循环周期，每个周期中，横坐标共增加2，4次移动对应的纵坐标依次为1、1、0、0。
(1) 计算各点下标除以4的结果：
① 对于$A_4$：$4÷4=1$，无余数，对应周期最后一个位置，纵坐标为0，横坐标为$2×1=2$，故$A_4$坐标为$(2,0)$；
② 对于$A_{10}$：$10÷4=2······2$，余数为2，对应周期第2个位置，纵坐标为1，横坐标为$2×2+1=5$，故$A_{10}$坐标为$(5,1)$；
③ 对于$A_{15}$：$15÷4=3······3$，余数为3，对应周期第3个位置，纵坐标为0，横坐标为$2×3+1=7$，故$A_{15}$坐标为$(7,0)$。
(2) 计算$2025÷4=506······1$，余数为1，对应周期第1个位置，纵坐标为1；横坐标为$2×506=1012$，因此点$A_{2025}$的坐标为$(1012,1)$。
(3) $2024÷4=506$，无余数，说明$A_{2024}$是第506个周期的最后一个点，下一次移动是下一个周期的第1步，与$A_4$到$A_5$的移动方向一致，为向上。
【答案】
(1) 2，0；5，1；7，0
(2) $(1012,1)$
(3) 向上
【知识点】
点的坐标规律；周期问题；平面直角坐标系
【点评】
本题是平面直角坐标系中的规律探究题，解题的关键是梳理出蚂蚁移动的周期规律，通过计算下标除以4的余数快速定位对应位置，进而求解坐标和移动方向，这类题型能有效考查观察归纳能力。
【难度系数】
0.7
