1 在平面直角坐标系中，四个点的坐标分别为$A(-2,1),B(2,1),C(2,-1),D(-2,-1)$，顺次连接$AB,BC,CD,DA$，则四边形$ABCD$的面积为（）

A.2
B.4
C.8
D.16

1.C

【分析】
解题时首先观察四个点的坐标特征：纵坐标相同的两点连线平行于x轴，横坐标相同的两点连线平行于y轴，由此可判断四边形的形状。首先分别计算相邻两边的长度，再判断相邻边的位置关系，确定是矩形后，用矩形面积公式计算即可。
【解析】
解：由点的坐标可知：
1. 点A(-2,1)和B(2,1)纵坐标相等，故AB平行于x轴，长度为$AB=|2-(-2)|=4$；
2. 点B(2,1)和C(2,-1)横坐标相等，故BC平行于y轴，长度为$BC=|1-(-1)|=2$；
3. 同理可证CD平行于x轴，CD=4，DA平行于y轴，DA=2，且AB与BC垂直，因此四边形ABCD是矩形。
矩形面积=长×宽，即$S_{ABCD}=AB×BC=4×2=8$。
【答案】
C
【知识点】
1. 坐标系内线段长度计算
2. 矩形面积计算
【点评】
本题是平面直角坐标系中图形面积计算的基础题型，解题的核心是通过坐标特征快速判断图形形状，再代入对应面积公式求解，掌握坐标与线段位置、长度的对应关系是解题的关键。
【难度系数】
0.8

2 △ABC的边AC在正方形网格中的位置如图所示，每个小正方形的边长均为1，点A的坐标为(-2,-2)，点C的坐标为(0,2)。
（1）请在网格中建立平面直角坐标系；
（2）若点B的坐标为(3,-2)，请在图中标出点B并画出△ABC；
（3）在（2）的条件下，求△ABC的面积。

2.（1）建立平面直角坐标系如图所示
（2）如图，点B及△ABC即为所求
（3）因为点A的坐标为$(-2,-2)$,点C的坐标为$(0,2)$,点B的坐标为$(3,-2)$,所以$AB=5$,$△ ABC$的边AB上的高为4.所以$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×5×4=10$

【分析】
解题分三步思考：1. 建立坐标系：已知点A(-2,-2)，原点在A点向右2个单位、向上2个单位的位置，据此画出x轴、y轴即可。2. 描点画三角形：根据点B的坐标(3,-2)，在坐标系中找到对应位置，再顺次连接A、B、C三点即可得到△ABC。3. 求面积：观察到A、B两点纵坐标相同，说明AB边平行于x轴，先算AB的长度作为底，再计算点C到AB的垂直距离作为高，最后代入三角形面积公式求解即可。
【解析】
（1）建立平面直角坐标系：根据点A坐标为(-2,-2)，将A点向右平移2个单位、向上平移2个单位得到坐标原点O，过O作水平向右的x轴、竖直向上的y轴，完成坐标系建立。
（2）描点作图：在坐标系中找到横坐标为3、纵坐标为-2的点，标记为B，依次连接A、B、C三点，得到△ABC。
（3）计算面积：
∵ 点A(-2,-2)、点B(3,-2)纵坐标相同，
∴ AB边平行于x轴，AB的长度为$3 - (-2) = 5$。
又
∵ AB边在直线$y=-2$上，点C的坐标为(0,2)，
∴ AB边上的高为$2 - (-2) = 4$。
根据三角形面积公式：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×底×高=\frac{1}{2}×5×4=10$。
【答案】
2.（1）建立平面直角坐标系如图所示
（2）如图，点B及△ABC即为所求
（3）△ABC的面积为10

【知识点】
平面直角坐标系建立，坐标与图形性质，三角形面积计算
【点评】
本题结合网格考查坐标系的基础应用，解题的核心是利用平行于坐标轴的线段的长度计算规律，快速确定三角形的底和对应高，是坐标系内面积计算的基础题型。
【难度系数】
0.8

3 如图,在平面直角坐标系中,点A,B,C的坐标分别为$(a,0),(b,0),(0,3)$,且a,b满足$|a+2|+\sqrt{b-4}=0$.
(1) 求a,b的值及$△ ABC$的面积;
(2) 若点M在x轴上,且$S_{△ ACM}=\frac{1}{3}S_{△ ABC}$,求点M的坐标.

3.（1）因为$|a+2|+\sqrt{b-4}=0,|a+2|≥0,\sqrt{b-4}≥0$,所以$a+2=0,b-4=0.$所以$a=-2,b=4.$所以$A(-2,0),B(4,0).$所以$AB=|-2-4|=6.$又因为$C(0,3)$,所以$CO=3.$所以$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB·CO=\frac{1}{2}×6×3=9$
（2）设点M的坐标为$(x,0)$,则$AM=|x-(-2)|=|x+2|.$又因为$S_{△ ACM}=\frac{1}{3}S_{△ ABC}$，所以$\frac{1}{2}AM·OC=\frac{1}{3}×9.$所以$\frac{1}{2}|x+2|×3=3.$所以$|x+2|=2$,即$x+2=±2$,解得$x=0$或$x=-4.$所以点M的坐标为$(0,0)$或$(-4,0)$

【分析】
(1) 首先利用非负数的性质：绝对值和算术平方根均为非负数，若两个非负数的和为0，则这两个非负数各自为0，据此列方程即可求出a、b的值；得到A、B的坐标后，AB的长度为两点横坐标差的绝对值，AB边上的高是点C到x轴的距离即C点的纵坐标长度，代入三角形面积公式就能求出△ABC的面积。
(2) 点M在x轴上，因此设其坐标为$(x,0)$，△ACM的底为AM的长度，即M与A两点横坐标差的绝对值，高仍为C到x轴的距离3，结合题中给出的面积关系列方程，解绝对值方程时需考虑正负两种情况，即可得到M的坐标，注意不要漏解。
【解析】
(1) 解：$\because |a+2|+\sqrt{b-4}=0$，且$|a+2|≥0$，$\sqrt{b-4}≥0$，
$\therefore a+2=0$，$b-4=0$，
解得$a=-2$，$b=4$。
$\therefore A(-2,0)$，$B(4,0)$，
$\therefore AB=|-2-4|=6$，
又$\because C(0,3)$，即AB边上的高$CO=3$，
$\therefore S_{△ABC}=\frac{1}{2}AB·CO=\frac{1}{2}×6×3=9$。
(2) 设点M的坐标为$(x,0)$，则$AM=|x-(-2)|=|x+2|$，
$\because S_{△ACM}=\frac{1}{3}S_{△ABC}$，
$\therefore \frac{1}{2}AM·OC=\frac{1}{3}×9$，
代入得$\frac{1}{2}|x+2|×3=3$，
化简得$|x+2|=2$，
即$x+2=2$或$x+2=-2$，
解得$x=0$或$x=-4$，
$\therefore$点M的坐标为$(0,0)$或$(-4,0)$。
【答案】
(1) $a=-2$，$b=4$，$△ ABC$的面积为9；
(2) 点M的坐标为$(0,0)$或$(-4,0)$。
【知识点】
非负数的性质，三角形面积计算，绝对值方程求解
【点评】
本题综合考查了非负数性质与平面直角坐标系中图形面积的计算，解题核心是掌握用坐标表示线段长度的方法，求解绝对值方程时注意分情况讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.7

4 如图,直线 BC 经过坐标原点 O,点 A 在 x 轴上,AD⊥BC,垂足为 D.若点 A,B,C 的坐标分别为(4,0),(m,2),(n,-3),则 AD·BC 的值是 ()

A.8
B.12
C.16
D.20

4.D

【分析】
所求的AD·BC可结合AD⊥BC的条件，联系三角形面积公式转化：三角形面积=1/2×底×高，因此AD·BC=2S△ABC，将问题转化为求△ABC的面积。由于直线BC过原点O，可将△ABC拆分为△ABO和△ACO两个以OA为底的三角形，分别计算两个小三角形的面积求和，再乘2即可得到结果。
【解析】
∵AD⊥BC，
∴根据三角形面积公式可得：$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × BC × AD$，变形得$AD · BC=2S_{△ ABC}$。
∵直线BC经过原点O，
∴$S_{△ ABC}=S_{△ ABO}+S_{△ ACO}$。
已知点A坐标为(4,0)，因此OA的长度为4；
点B坐标为(m,2)，△ABO中OA边上的高为B点纵坐标的绝对值，即2，
∴$S_{△ ABO}=\frac{1}{2} × OA × 2=\frac{1}{2} × 4 × 2=4$；
点C坐标为(n,-3)，△ACO中OA边上的高为C点纵坐标的绝对值，即3，
∴$S_{△ ACO}=\frac{1}{2} × OA × 3=\frac{1}{2} × 4 × 3=6$；
∴$S_{△ ABC}=4+6=10$，
∴$AD · BC=2 × 10=20$。
【答案】D
【知识点】
三角形面积计算，坐标与图形性质，割补法求面积
【点评】
本题将线段乘积问题转化为面积问题，利用割补法拆分三角形简化计算，是平面直角坐标系中求解图形面积的典型考法，解题的关键是灵活运用面积公式进行转化。
【难度系数】
0.65

5 一题多解 如图，六边形ABCDEF在平面直角坐标系中，各顶点都在格点上，则六边形ABCDEF的面积为.

5. 34.5 【解析】解法一:六边形ABCDEF的面积为$6×7-\frac{1}{2}×2×3-\frac{1}{2}×1×3-\frac{1}{2}×1×3-\frac{1}{2}×1×3=34.5.$解法二:六边形ABCDEF的面积为$\frac{1}{2}×(4+7)×3+\frac{1}{2}×(5+7)×3=34.5.$

【分析】计算格点中不规则六边形的面积，通常采用割补法，有两种常见思路：①补形法：将六边形补成一个大矩形，用大矩形的面积减去周围多余的直角三角形的面积，得到六边形的面积；②分割法：沿x轴将六边形分割为上下两个梯形，分别计算两个梯形的面积后求和，得到六边形的面积。计算时先确定各规则图形的边长、高等对应数值，再代入面积公式计算即可。
【解析】
解法一（补形法）：
将六边形补成长为7、宽为6的大矩形，大矩形面积为：$6 × 7 = 42$。
六边形外共有4个直角三角形，面积和为：$\frac{1}{2} × 2 × 3 + \frac{1}{2} × 1 × 3 + \frac{1}{2} × 1 × 3 + \frac{1}{2} × 1 × 3 = 7.5$。
因此六边形的面积为：$42 - 7.5 = 34.5$。
解法二（分割法）：
沿x轴将六边形分为上下两个梯形：
上方梯形上底长为4，下底长为7，高为3，面积为：$\frac{1}{2} × (4 + 7) × 3 = 16.5$；
下方梯形上底长为5，下底长为7，高为3，面积为：$\frac{1}{2} × (5 + 7) × 3 = 18$；
因此六边形的面积为：$16.5 + 18 = 34.5$。
【答案】
34.5
【知识点】
割补法求面积；坐标与图形性质；规则图形面积计算
【点评】
本题考查平面直角坐标系中不规则格点图形的面积计算，解题核心是通过割补法将不规则图形转化为矩形、三角形、梯形等规则图形，简化计算过程，考查了学生的图形转化能力和运算能力。
【难度系数】
0.7

6 如图,在平面直角坐标系中,点$A$,$B$,$C$的坐标分别为$(4,0)$,$(3,4)$,$(0,2)$,连接$AB$,$BC$,$AC$.
(1) 求$S_{\mathrm{四边形}ABCO}$的值.
(2) 求$S_{△ ABC}$的值.
(3) $x$轴上是否存在一点$P$,使$S_{△ PAB}=10$?若存在,请求出点$P$的坐标;若不存在,请说明理由.

6.（1）过点B作$BD⊥OA$于点D.因为点A,B,C的坐标分别为$(4,0),(3,4),(0,2)$,所以$OC=2,OD=3,OA=4,BD=4,AD=4-3=1.$易得四边形CODB是梯形，所以$S_{四边形ABCO}=S_{梯形CODB}+S_{△ ABD}=\frac{1}{2}×(2+4)×3+\frac{1}{2}×1×4=11$
（2）$S_{△ ABC}=S_{四边形ABCO}-S_{△ AOC}=11-\frac{1}{2}×4×2=7$
（3）存在 设点P的坐标为$(x,0)$,则$PA=|x-4|.$因为$S_{△ PAB}=10$,所以$\frac{1}{2}×|x-4|×4=10$,即$|x-4|=5$,解得$x=9$或$x=-1.$所以点P的坐标为$(9,0)$或$(-1,0)$

【分析】
(1) 四边形ABCO是不规则图形，可通过割补法求解：过点B作x轴的垂线，将四边形分割为梯形和直角三角形，分别计算两部分面积再求和即可。
(2) 观察图形可知$△ ABC$的面积等于四边形ABCO的面积减去直角$△ AOC$的面积，直接作差计算即可。
(3) 点P在x轴上，$△ PAB$的高为点B到x轴的距离（即B点纵坐标的数值），设P的坐标为$(x,0)$，用含x的绝对值表示PA的长度，再根据三角形面积公式列方程求解即可，注意绝对值方程有两个解，不要漏解。
【解析】
(1) 过点B作$BD⊥OA$于点D。
已知点$A(4,0)$，$B(3,4)$，$C(0,2)$，可得$OC=2$，$OD=3$，$OA=4$，$BD=4$，$AD=4-3=1$。
四边形CODB为梯形，$△ ABD$为直角三角形：
$S_{四边形ABCO}=S_{梯形CODB}+S_{△ ABD}=\frac{1}{2}×(2+4)×3+\frac{1}{2}×1×4=9+2=11$。
(2) $△ AOC$为直角三角形，直角边$OA=4$，$OC=2$：
$S_{△ AOC}=\frac{1}{2}×4×2=4$，
则$S_{△ ABC}=S_{四边形ABCO}-S_{△ AOC}=11-4=7$。
(3) 存在。设点P的坐标为$(x,0)$，则$PA=|x-4|$，$△ PAB$底边PA上的高为4：
由$S_{△ PAB}=10$得$\frac{1}{2}×|x-4|×4=10$，
化简得$|x-4|=5$，解得$x=9$或$x=-1$，
即点P的坐标为$(9,0)$或$(-1,0)$。
【答案】
(1) $\boxed{11}$
(2) $\boxed{7}$
(3) 存在，点P的坐标为$\boxed{(9,0)}$或$\boxed{(-1,0)}$
【知识点】
割补法求面积、坐标的几何意义、绝对值方程应用
【点评】
本题核心是运用割补法将不规则图形转化为规则图形计算面积，求解动点坐标时要注意距离的非负性，避免漏解。
【难度系数】
0.65