登录
1 下列方程组中,是三元一次方程组的是 (
A.$\begin{cases} x+z=2, \\ xy+x=4, \\ z-x=1 \end{cases}$
B.$\begin{cases} x-\dfrac{3}{y}=4, \\ x+z=6, \\ y-2z=7 \end{cases}$
C.$\begin{cases} x=9, \\ x-y=4, \\ z-y=5 \end{cases}$
D.$\begin{cases} x+y=8, \\ y-m=3, \\ z-x=5 \end{cases}$
C
)A.$\begin{cases} x+z=2, \\ xy+x=4, \\ z-x=1 \end{cases}$
B.$\begin{cases} x-\dfrac{3}{y}=4, \\ x+z=6, \\ y-2z=7 \end{cases}$
C.$\begin{cases} x=9, \\ x-y=4, \\ z-y=5 \end{cases}$
D.$\begin{cases} x+y=8, \\ y-m=3, \\ z-x=5 \end{cases}$
答案
1.C 【解析】A选项,含未知数的项的最高次数为2,不符合题意;B选项,第一个方程不是整式方程,不符合题意;C选项,有三个未知数,含未知数的项的次数均是1,均为整式方程,符合题意;D选项,有4个未知数,不符合题意.故选C.
解析
【分析】
要判断一个方程组是否为三元一次方程组，首先要明确三元一次方程组的三个核心判定条件：第一，方程组中总共含有3个不同的未知数；第二，方程组中的每个方程都是整式方程，即分母中不能含有未知数；第三，所有含未知数的项的次数都是1。解题时对照这三个条件，对每个选项逐一排查，排除不符合要求的选项，就能得到正确答案。
【解析】
根据三元一次方程组的判定条件逐一分析选项：
A选项：第二个方程中的$xy$项，次数为$1+1=2$，不满足“含未知数的项的次数都是1”的要求，不符合题意；
B选项：第一个方程的分母含有未知数$y$，不属于整式方程，不符合题意；
C选项：方程组共含有$x、y、z$三个未知数，所有方程都是整式方程，且含未知数的项的次数均为1，满足三元一次方程组的全部判定条件，符合题意；
D选项：方程组中共有$x、y、m、z$四个未知数，不满足“共3个未知数”的要求，不符合题意。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
三元一次方程组的定义；整式方程的判定；单项式的次数
【点评】
本题属于基础概念题，核心考查对三元一次方程组定义的理解，解题关键是牢记三元一次方程组的三个判定标准，排查时注意不要漏看未知数个数、是否为整式方程、项的次数这几个易错点，细心分析即可得分。
【难度系数】
0.8
要判断一个方程组是否为三元一次方程组，首先要明确三元一次方程组的三个核心判定条件：第一，方程组中总共含有3个不同的未知数；第二，方程组中的每个方程都是整式方程，即分母中不能含有未知数；第三，所有含未知数的项的次数都是1。解题时对照这三个条件，对每个选项逐一排查，排除不符合要求的选项，就能得到正确答案。
【解析】
根据三元一次方程组的判定条件逐一分析选项：
A选项：第二个方程中的$xy$项，次数为$1+1=2$，不满足“含未知数的项的次数都是1”的要求，不符合题意；
B选项：第一个方程的分母含有未知数$y$，不属于整式方程，不符合题意；
C选项：方程组共含有$x、y、z$三个未知数，所有方程都是整式方程，且含未知数的项的次数均为1，满足三元一次方程组的全部判定条件，符合题意；
D选项：方程组中共有$x、y、m、z$四个未知数，不满足“共3个未知数”的要求，不符合题意。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
三元一次方程组的定义；整式方程的判定；单项式的次数
【点评】
本题属于基础概念题，核心考查对三元一次方程组定义的理解，解题关键是牢记三元一次方程组的三个判定标准，排查时注意不要漏看未知数个数、是否为整式方程、项的次数这几个易错点，细心分析即可得分。
【难度系数】
0.8
2[2026福建莆田期末]若$(m+2)x+y^{|m+1|}+z=4$是关于$x,y,z$的三元一次方程，则$m=$
0
.答案
2.0 【解析】因为$(m+2)x+y^{|m+1|}+z=4$是关于$x,y,z$的三元一次方程,可得$m+2≠0,|m+1|=1$,所以$m=0$,故答案为0.
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确三元一次方程的定义：含有三个未知数，且含未知数的项的次数都是1，同时未知数的系数不为0的整式方程。我们从定义出发可得到两个约束条件：一是x的系数不能为0，否则方程缺少x这个未知数，不符合“三元”的要求；二是y的次数必须为1，符合“一次”的要求，结合两个条件求解m的取值，排除不符合的结果即可得到答案。
【解析】
解：
∵$(m+2)x+y^{|m+1|}+z=4$是关于$x,y,z$的三元一次方程
∴需同时满足以下两个条件：
1. 未知数$x$的系数不为0，即$m+2≠0$，解得$m≠-2$
2. 含$y$的项的次数为1，即$|m+1|=1$
解绝对值方程可得：
当$m+1=1$时，$m=0$；当$m+1=-1$时，$m=-2$
结合$m≠-2$的约束条件，舍去$m=-2$，因此$m=0$
【答案】
0
【知识点】
1. 三元一次方程的定义
2. 绝对值的性质
【点评】
本题主要考查对三元一次方程概念的理解，易错点是容易遗漏未知数系数不为0的约束条件，误将$m=-2$当作结果，解题时要全面考虑定义中的所有要求，避免漏解、错解。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先要明确三元一次方程的定义：含有三个未知数，且含未知数的项的次数都是1，同时未知数的系数不为0的整式方程。我们从定义出发可得到两个约束条件：一是x的系数不能为0，否则方程缺少x这个未知数，不符合“三元”的要求；二是y的次数必须为1，符合“一次”的要求，结合两个条件求解m的取值，排除不符合的结果即可得到答案。
【解析】
解：
∵$(m+2)x+y^{|m+1|}+z=4$是关于$x,y,z$的三元一次方程
∴需同时满足以下两个条件：
1. 未知数$x$的系数不为0，即$m+2≠0$，解得$m≠-2$
2. 含$y$的项的次数为1，即$|m+1|=1$
解绝对值方程可得：
当$m+1=1$时，$m=0$；当$m+1=-1$时，$m=-2$
结合$m≠-2$的约束条件，舍去$m=-2$，因此$m=0$
【答案】
0
【知识点】
1. 三元一次方程的定义
2. 绝对值的性质
【点评】
本题主要考查对三元一次方程概念的理解，易错点是容易遗漏未知数系数不为0的约束条件，误将$m=-2$当作结果，解题时要全面考虑定义中的所有要求，避免漏解、错解。
【难度系数】
0.7
3 解三元一次方程组$\begin{cases}x - y + z = -3, ① \\ x + 2y - z = 1, ② \\ x + y = 0 ③\end{cases}$时，要使解法较为简便，首先应进行的变形为（ ）
A.①+②
B.①-②
C.①+③
D.②-③
A.①+②
B.①-②
C.①+③
D.②-③
答案
3.A 【解析】解三元一次方程组$\begin{cases}x-y+z=-3,① \\x+2y-z=1,② \\x+y=0③\end{cases}$时,要使解法较为简便,首先应进行的变形为①+②消去z.故选A.
解析
【分析】
解三元一次方程组的核心思路是消元，即逐步减少未知数的个数，先将三元转化为二元，再求解二元一次方程组得到未知数的值。观察本题的三个方程，方程③仅含x、y两个未知数，因此优先消去未知数z就能快速得到只含x、y的方程，与方程③组成二元一次方程组简化计算。再观察方程①和②中z的系数，分别为+1和-1，互为相反数，将两个方程相加即可直接消去z，因此首先应进行的变形是①+②。
【解析】
解三元一次方程组的基本思路是消元，观察方程组特点：
方程③仅含有x、y，没有未知数z，因此优先消去z可简化计算；
方程①中z的系数为1，方程②中z的系数为-1，将①+②可得：
$(x-y+z)+(x+2y-z)=-3+1$
整理得$2x+y=-2$，该式仅含x、y，可直接与方程③联立组成二元一次方程组求解，是最简便的第一步变形，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
三元一次方程组解法、加减消元法、消元思想
【点评】
本题考查三元一次方程组的消元技巧，解题时需先观察各方程中未知数的系数特点，优先消去系数互为相反数或成整数倍的未知数，可有效减少计算量，提升解题效率。
【难度系数】
0.85
解三元一次方程组的核心思路是消元，即逐步减少未知数的个数，先将三元转化为二元，再求解二元一次方程组得到未知数的值。观察本题的三个方程，方程③仅含x、y两个未知数，因此优先消去未知数z就能快速得到只含x、y的方程，与方程③组成二元一次方程组简化计算。再观察方程①和②中z的系数，分别为+1和-1，互为相反数，将两个方程相加即可直接消去z，因此首先应进行的变形是①+②。
【解析】
解三元一次方程组的基本思路是消元，观察方程组特点：
方程③仅含有x、y，没有未知数z，因此优先消去z可简化计算；
方程①中z的系数为1，方程②中z的系数为-1，将①+②可得：
$(x-y+z)+(x+2y-z)=-3+1$
整理得$2x+y=-2$，该式仅含x、y，可直接与方程③联立组成二元一次方程组求解，是最简便的第一步变形，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
三元一次方程组解法、加减消元法、消元思想
【点评】
本题考查三元一次方程组的消元技巧，解题时需先观察各方程中未知数的系数特点，优先消去系数互为相反数或成整数倍的未知数，可有效减少计算量，提升解题效率。
【难度系数】
0.85
4[2026 四川凉山州期末]若实数$x,y,z$满足$\begin{cases}x - y + 4z = 1, \\ x - 2y + 3z = 3,\end{cases}$则$x + y + 6z =$（ ）
A.$-3$
B.$0$
C.$3$
D.不能确定值
A.$-3$
B.$0$
C.$3$
D.不能确定值
答案
4.A 【解析】由题意得$\begin{cases}x-y=1-4z,① \\x-2y=3-3z,②\end{cases}$ ①-②得$y=-z-2$,把$y=-z-2$代入①得$x+z+2=1-4z$,解得$x=-1-5z$.把$x=-1-5z,y=-z-2$代入$x+y+6z$得$-1-5z-z-2+6z=-3$.故选A.
解析
【分析】
本题给出的方程组含3个未知数但只有2个方程，无法直接求出x、y、z的具体取值，因此可将z看作常数，把原方程组转化为关于x、y的二元一次方程组，通过消元法用含z的式子分别表示x和y，再代入待求代数式x+y+6z中化简，即可得到结果。
【解析】
将原方程组变形，把含z的项移到等号右侧，得：
$\begin{cases}x-y=1-4z,① \\x-2y=3-3z,②\end{cases}$
用①-②消去x，得：
$(x-y)-(x-2y)=(1-4z)-(3-3z)$
化简得$y=-z-2$。
把$y=-z-2$代入①式，得：
$x - (-z-2)=1-4z$
整理解得$x=-1-5z$。
将$x=-1-5z$、$y=-z-2$代入$x+y+6z$，得：
$x+y+6z=(-1-5z)+(-z-2)+6z=-3$
故选A。
【答案】A
【知识点】
三元一次方程组求解，加减消元法，代数式求值
【点评】
本题考查消元思想在三元一次方程组中的应用，当未知数数量多于方程数量时，可将其中一个未知数视为参数表示其余未知数，代入目标式后参数会抵消得到定值，不要直接误以为无法求解错选D。
【难度系数】
0.6
本题给出的方程组含3个未知数但只有2个方程，无法直接求出x、y、z的具体取值，因此可将z看作常数，把原方程组转化为关于x、y的二元一次方程组，通过消元法用含z的式子分别表示x和y，再代入待求代数式x+y+6z中化简，即可得到结果。
【解析】
将原方程组变形，把含z的项移到等号右侧，得：
$\begin{cases}x-y=1-4z,① \\x-2y=3-3z,②\end{cases}$
用①-②消去x，得：
$(x-y)-(x-2y)=(1-4z)-(3-3z)$
化简得$y=-z-2$。
把$y=-z-2$代入①式，得：
$x - (-z-2)=1-4z$
整理解得$x=-1-5z$。
将$x=-1-5z$、$y=-z-2$代入$x+y+6z$，得：
$x+y+6z=(-1-5z)+(-z-2)+6z=-3$
故选A。
【答案】A
【知识点】
三元一次方程组求解，加减消元法，代数式求值
【点评】
本题考查消元思想在三元一次方程组中的应用，当未知数数量多于方程数量时，可将其中一个未知数视为参数表示其余未知数，代入目标式后参数会抵消得到定值，不要直接误以为无法求解错选D。
【难度系数】
0.6
5[2026江苏南京质检]小明两次购买三种口味奶茶的数量和总价如表.现各买一杯,需要花费
6[2026重庆沙坪坝区质检]解下列方程组:
(1)$\begin{cases}x+2y=3, \\2y=3z, \\x-z=-1.\end{cases}$
(2)$\begin{cases}x+y-2z=5, \\2x-y+z=4, \\2x+y-3z=10.\end{cases}$
41
元.6[2026重庆沙坪坝区质检]解下列方程组:
(1)$\begin{cases}x+2y=3, \\2y=3z, \\x-z=-1.\end{cases}$
(2)$\begin{cases}x+y-2z=5, \\2x-y+z=4, \\2x+y-3z=10.\end{cases}$
答案
5.41 【解析】设小明购买一杯茉莉口味奶茶需要花费x元,购买一杯桂花口味奶茶需要花费y元,购买一杯蜜桃口味奶茶需要花费z元.由题意得$\begin{cases}2x+3y+4z=126,① \\4x+3y+2z=120,②\end{cases}$ ①+②得6x+6y+6z=246,所以x+y+z=41,所以各买一杯,需要花费41元,故答案为41.
6.【解】(1)$\begin{cases}x+2y=3,① \\2y=3z,② \\x-z=-1,③\end{cases}$ ①-②,得x=3-3z. ④
将④代入③,得3-3z-z=-1,解得z=1.将z=1代入④,得x=3-3×1=0.将x=0代入①,得0+2y=3,解得y=1.5,所以原方程组的解为$\begin{cases}x=0, \\y=1.5, \\z=1.\end{cases}$
(2)$\begin{cases}x+y-2z=5,① \\2x-y+z=4,② \\2x+y-3z=10,③\end{cases}$ ①+②,得3x-z=9,④
②+③,得4x-2z=14. ⑤ ④×2-⑤,得2x=4,解得x=2.将x=2代入④,得3×2-z=9,解得z=-3.将x=2,z=-3代入①,得2+y-2×(-3)=5,解得y=-3,所以原方程组的解为$\begin{cases}x=2, \\y=-3, \\z=-3.\end{cases}$
6.【解】(1)$\begin{cases}x+2y=3,① \\2y=3z,② \\x-z=-1,③\end{cases}$ ①-②,得x=3-3z. ④
将④代入③,得3-3z-z=-1,解得z=1.将z=1代入④,得x=3-3×1=0.将x=0代入①,得0+2y=3,解得y=1.5,所以原方程组的解为$\begin{cases}x=0, \\y=1.5, \\z=1.\end{cases}$
(2)$\begin{cases}x+y-2z=5,① \\2x-y+z=4,② \\2x+y-3z=10,③\end{cases}$ ①+②,得3x-z=9,④
②+③,得4x-2z=14. ⑤ ④×2-⑤,得2x=4,解得x=2.将x=2代入④,得3×2-z=9,解得z=-3.将x=2,z=-3代入①,得2+y-2×(-3)=5,解得y=-3,所以原方程组的解为$\begin{cases}x=2, \\y=-3, \\z=-3.\end{cases}$
解析
第5题
【分析】
要求三种口味奶茶各买一杯的总费用，可先设三种奶茶的单价分别为x元、y元、z元，根据两次购买的数量和总价列出三元一次方程组。观察方程系数特点，无需单独求出x、y、z的具体值，将两个方程相加后可直接得到6倍的(x+y+z)的总金额，再除以6即可得到各买一杯的费用，用整体思想简化计算。
【解析】
设购买一杯茉莉奶茶需要x元，一杯桂花奶茶需要y元，一杯蜜桃奶茶需要z元，根据题意得：
$\begin{cases}2x+3y+4z=126&① \\4x+3y+2z=120&②\end{cases}$
将①和②左右两边分别相加，可得：
$6x+6y+6z=246$
两边同时除以6，得：
$x+y+z=41$
即三种口味奶茶各买一杯需要花费41元。
【答案】
41
【知识点】
三元一次方程组应用、整体代入求值
【点评】
本题巧妙运用整体思想，不需要单独求解每个未知数的数值，通过两式相加直接得到所求的总费用，大大降低了计算量，是解决此类问题的常用技巧。
【难度系数】
0.7
---
第6题
【分析】
解三元一次方程组的核心是消元，通过加减消元或代入消元法，先把三元转化为二元，再转化为一元求解。
(1)观察方程组，①和②都含有2y，先通过①-②消去y，得到x关于z的表达式，再代入③即可求出z的值，之后依次回代求出x和y即可。
(2)观察方程组中y的系数分别为1、-1、1，优先消去y：将①+②消去y得到仅含x和z的方程，再将②+③消去y得到另一个仅含x和z的方程，组成二元一次方程组求解x和z，最后回代求y即可。
【解析】
(1) 对于方程组$\begin{cases}x+2y=3&① \\2y=3z&② \\x-z=-1&③\end{cases}$
第一步：①-②消去y，得$x=3-3z$ ④
第二步：将④代入③，得$3-3z-z=-1$
整理得$-4z=-4$，解得$z=1$
第三步：把$z=1$代入④，得$x=3-3×1=0$
第四步：把$x=0$代入①，得$0+2y=3$，解得$y=1.5$
所以原方程组的解为$\begin{cases}x=0 \\y=1.5 \\z=1\end{cases}$
(2) 对于方程组$\begin{cases}x+y-2z=5&① \\2x-y+z=4&② \\2x+y-3z=10&③\end{cases}$
第一步：①+②消去y，得$3x-z=9$ ④
第二步：②+③消去y，得$4x-2z=14$，化简为$2x-z=7$ ⑤
第三步：④-⑤，得$x=2$
第四步：把$x=2$代入④，得$3×2-z=9$，解得$z=-3$
第五步：把$x=2$、$z=-3$代入①，得$2+y-2×(-3)=5$，解得$y=-3$
所以原方程组的解为$\begin{cases}x=2 \\y=-3 \\z=-3\end{cases}$
【答案】
(1) $\begin{cases}x=0 \\y=\frac{3}{2}(\mathrm{或}1.5) \\z=1\end{cases}$
(2) $\begin{cases}x=2 \\y=-3 \\z=-3\end{cases}$
【知识点】
三元一次方程组解法、消元思想
【点评】
解三元一次方程组时要先观察未知数的系数特点，优先消去系数最简单的未知数，逐步降元求解，求出结果后可以代入原方程组验证是否正确。
【难度系数】
0.65
【分析】
要求三种口味奶茶各买一杯的总费用，可先设三种奶茶的单价分别为x元、y元、z元，根据两次购买的数量和总价列出三元一次方程组。观察方程系数特点，无需单独求出x、y、z的具体值，将两个方程相加后可直接得到6倍的(x+y+z)的总金额，再除以6即可得到各买一杯的费用，用整体思想简化计算。
【解析】
设购买一杯茉莉奶茶需要x元，一杯桂花奶茶需要y元，一杯蜜桃奶茶需要z元，根据题意得：
$\begin{cases}2x+3y+4z=126&① \\4x+3y+2z=120&②\end{cases}$
将①和②左右两边分别相加，可得：
$6x+6y+6z=246$
两边同时除以6，得：
$x+y+z=41$
即三种口味奶茶各买一杯需要花费41元。
【答案】
41
【知识点】
三元一次方程组应用、整体代入求值
【点评】
本题巧妙运用整体思想，不需要单独求解每个未知数的数值，通过两式相加直接得到所求的总费用，大大降低了计算量，是解决此类问题的常用技巧。
【难度系数】
0.7
---
第6题
【分析】
解三元一次方程组的核心是消元，通过加减消元或代入消元法，先把三元转化为二元，再转化为一元求解。
(1)观察方程组，①和②都含有2y，先通过①-②消去y，得到x关于z的表达式，再代入③即可求出z的值，之后依次回代求出x和y即可。
(2)观察方程组中y的系数分别为1、-1、1，优先消去y：将①+②消去y得到仅含x和z的方程，再将②+③消去y得到另一个仅含x和z的方程，组成二元一次方程组求解x和z，最后回代求y即可。
【解析】
(1) 对于方程组$\begin{cases}x+2y=3&① \\2y=3z&② \\x-z=-1&③\end{cases}$
第一步：①-②消去y，得$x=3-3z$ ④
第二步：将④代入③，得$3-3z-z=-1$
整理得$-4z=-4$，解得$z=1$
第三步：把$z=1$代入④，得$x=3-3×1=0$
第四步：把$x=0$代入①，得$0+2y=3$，解得$y=1.5$
所以原方程组的解为$\begin{cases}x=0 \\y=1.5 \\z=1\end{cases}$
(2) 对于方程组$\begin{cases}x+y-2z=5&① \\2x-y+z=4&② \\2x+y-3z=10&③\end{cases}$
第一步：①+②消去y，得$3x-z=9$ ④
第二步：②+③消去y，得$4x-2z=14$，化简为$2x-z=7$ ⑤
第三步：④-⑤，得$x=2$
第四步：把$x=2$代入④，得$3×2-z=9$，解得$z=-3$
第五步：把$x=2$、$z=-3$代入①，得$2+y-2×(-3)=5$，解得$y=-3$
所以原方程组的解为$\begin{cases}x=2 \\y=-3 \\z=-3\end{cases}$
【答案】
(1) $\begin{cases}x=0 \\y=\frac{3}{2}(\mathrm{或}1.5) \\z=1\end{cases}$
(2) $\begin{cases}x=2 \\y=-3 \\z=-3\end{cases}$
【知识点】
三元一次方程组解法、消元思想
【点评】
解三元一次方程组时要先观察未知数的系数特点，优先消去系数最简单的未知数，逐步降元求解，求出结果后可以代入原方程组验证是否正确。
【难度系数】
0.65
7[2025湖北十堰调研]古代数学著作《九章算术》中有一题的译文如下:用卖2只牛、5只羊的钱买13只猪,剩钱1000;用卖3只牛、3只猪的钱买9只羊,钱正好;用卖6只羊、8只猪的钱买5只牛,还差钱600,求牛、羊、猪每只的价钱各是多少.
刷易错 小心有坑~
刷易错 小心有坑~
答案
7.【解】设每只牛的价钱为x,每只羊的价钱为y,每只猪的价钱为z.
由题意,得$\begin{cases}2x+5y-13z=1\ 000, \\3x+3z=9y, \\6y+8z=5x-600,\end{cases}$
解得$\begin{cases}x=1\ 200, \\y=500, \\z=300.\end{cases}$
答:每只牛的价钱为1 200,每只羊的价钱为500,每只猪的价钱为300.
由题意,得$\begin{cases}2x+5y-13z=1\ 000, \\3x+3z=9y, \\6y+8z=5x-600,\end{cases}$
解得$\begin{cases}x=1\ 200, \\y=500, \\z=300.\end{cases}$
答:每只牛的价钱为1 200,每只羊的价钱为500,每只猪的价钱为300.
解析
【分析】
本题包含三个未知量，即牛、羊、猪的单价，因此可分别设三个未知数，再梳理题干给出的三个等量关系列三元一次方程组求解。解题时先根据“卖货总钱数-买货总钱数=剩余钱数（若钱不够则买货总钱数-卖货总钱数=差的钱数）”的逻辑找全等量关系，列出方程组后先化简方程，通过代入消元法将三元一次方程组转化为二元一次方程组，解出两个未知数的值后，再回代求出第三个未知数即可。
【解析】
解：设每只牛的价钱为$x$，每只羊的价钱为$y$，每只猪的价钱为$z$。
由题意，得$\begin{cases}2x+5y-13z=1\ 000&① \\3x+3z=9y&② \\6y+8z=5x-600&③\end{cases}$
化简方程②，两边同时除以3得$x+z=3y$，变形为$x=3y-z$ ④
将④代入①，得$2(3y-z)+5y-13z=1000$，整理得$11y-15z=1000$ ⑤
将④代入③，得$6y+8z=5(3y-z)-600$，整理得$9y-13z=600$ ⑥
联立⑤⑥得二元一次方程组$\begin{cases}11y-15z=1000 \\9y-13z=600\end{cases}$
⑤×9得$99y-135z=9000$ ⑦，⑥×11得$99y-143z=6600$ ⑧
⑦-⑧得$8z=2400$，解得$z=300$。
将$z=300$代入⑥，得$9y-13×300=600$，解得$y=500$。
将$y=500$、$z=300$代入④，得$x=3×500-300=1200$。
经检验，所得解符合题意。
答：每只牛的价钱为1200，每只羊的价钱为500，每只猪的价钱为300。
【答案】
每只牛的价钱为1200，每只羊的价钱为500，每只猪的价钱为300。
【知识点】
三元一次方程组的应用、代入消元法、加减消元法
【点评】
本题以古代数学著作《九章算术》的问题为背景，考查了利用三元一次方程组解决实际问题的能力，解题的关键是准确提取题干中的等量关系，正确列出方程组，再通过消元法逐步求解，计算时要注意符号问题，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.6
本题包含三个未知量，即牛、羊、猪的单价，因此可分别设三个未知数，再梳理题干给出的三个等量关系列三元一次方程组求解。解题时先根据“卖货总钱数-买货总钱数=剩余钱数（若钱不够则买货总钱数-卖货总钱数=差的钱数）”的逻辑找全等量关系，列出方程组后先化简方程，通过代入消元法将三元一次方程组转化为二元一次方程组，解出两个未知数的值后，再回代求出第三个未知数即可。
【解析】
解：设每只牛的价钱为$x$，每只羊的价钱为$y$，每只猪的价钱为$z$。
由题意，得$\begin{cases}2x+5y-13z=1\ 000&① \\3x+3z=9y&② \\6y+8z=5x-600&③\end{cases}$
化简方程②，两边同时除以3得$x+z=3y$，变形为$x=3y-z$ ④
将④代入①，得$2(3y-z)+5y-13z=1000$，整理得$11y-15z=1000$ ⑤
将④代入③，得$6y+8z=5(3y-z)-600$，整理得$9y-13z=600$ ⑥
联立⑤⑥得二元一次方程组$\begin{cases}11y-15z=1000 \\9y-13z=600\end{cases}$
⑤×9得$99y-135z=9000$ ⑦，⑥×11得$99y-143z=6600$ ⑧
⑦-⑧得$8z=2400$，解得$z=300$。
将$z=300$代入⑥，得$9y-13×300=600$，解得$y=500$。
将$y=500$、$z=300$代入④，得$x=3×500-300=1200$。
经检验，所得解符合题意。
答：每只牛的价钱为1200，每只羊的价钱为500，每只猪的价钱为300。
【答案】
每只牛的价钱为1200，每只羊的价钱为500，每只猪的价钱为300。
【知识点】
三元一次方程组的应用、代入消元法、加减消元法
【点评】
本题以古代数学著作《九章算术》的问题为背景，考查了利用三元一次方程组解决实际问题的能力，解题的关键是准确提取题干中的等量关系，正确列出方程组，再通过消元法逐步求解，计算时要注意符号问题，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.6
8 解方程组$\begin{cases} a+b+c=1, ① \\ a-b+c=5, ② \\ 4a+2b+c=2. ③ \end{cases}$
下面是马虎同学的解题过程,请问他的解题过程正确吗?如果不正确,请写出正确的解题过程.
解:①+②,得$2a+2c=6$,即$a+c=3$. ④
③-②,得$3a+3b=-3$,即$a+b=-1$. ⑤
联立④⑤得方程组$\begin{cases} a+c=3, \\ a+b=-1, \end{cases}$无法求解,故原方程组无解.
下面是马虎同学的解题过程,请问他的解题过程正确吗?如果不正确,请写出正确的解题过程.
解:①+②,得$2a+2c=6$,即$a+c=3$. ④
③-②,得$3a+3b=-3$,即$a+b=-1$. ⑤
联立④⑤得方程组$\begin{cases} a+c=3, \\ a+b=-1, \end{cases}$无法求解,故原方程组无解.
答案
8.【解】不正确.正确的解题过程如下:
①+②,得2a+2c=6,即a+c=3. ④
③-①×2,得2a-c=0. ⑤
联立④⑤,得方程组$\begin{cases}a+c=3, \\2a-c=0.\end{cases}$ 解这个二元一次方程组,得$\begin{cases}a=1, \\c=2.\end{cases}$ 把$\begin{cases}a=1, \\c=2\end{cases}$代入①,得b=-2. 所以原方程组的解为$\begin{cases}a=1, \\b=-2, \\c=2.\end{cases}$
①+②,得2a+2c=6,即a+c=3. ④
③-①×2,得2a-c=0. ⑤
联立④⑤,得方程组$\begin{cases}a+c=3, \\2a-c=0.\end{cases}$ 解这个二元一次方程组,得$\begin{cases}a=1, \\c=2.\end{cases}$ 把$\begin{cases}a=1, \\c=2\end{cases}$代入①,得b=-2. 所以原方程组的解为$\begin{cases}a=1, \\b=-2, \\c=2.\end{cases}$
解析
【分析】
解三元一次方程组的核心思路是消元，通过加减或代入法逐步减少未知数个数，先将三元转化为二元，再转化为一元求解。本题中马虎同学的错误在于两次消元没有消去同一个未知数：第一次①+②消去了b，得到仅含a、c的方程④，但第二次③-②消去的是c，得到仅含a、b的方程⑤，两个新方程仍包含a、b、c三个未知数，因此无法继续求解。正确做法是两次消元都消去同一个未知数b，得到仅含a、c的二元一次方程组，即可继续求解。
【解析】
解：马虎同学的解题过程不正确。正确解题过程如下：
①+②，得$2a + 2c = 6$，即$a + c = 3$ ④
③-①×2，得$2a - c = 0$ ⑤
联立④⑤，得二元一次方程组$\begin{cases}a + c = 3 \\ 2a - c = 0\end{cases}$
解这个方程组，将两式相加得$3a=3$，解得$a=1$，把$a=1$代入④得$c=2$
把$\begin{cases}a=1 \\ c=2\end{cases}$代入①，得$1+b+2=1$，解得$b=-2$
【答案】
不正确，原方程组的解为$\begin{cases}a=1 \\ b=-2 \\ c=2\end{cases}$
【知识点】
三元一次方程组解法，加减消元法，代入消元法
【点评】
本题考查三元一次方程组的消元原则，消元过程中需保证每次消去的是同一个未知数，才能顺利将三元方程组转化为二元方程组求解，马虎同学的错误就是违反了这个消元原则。
【难度系数】
0.7
解三元一次方程组的核心思路是消元，通过加减或代入法逐步减少未知数个数，先将三元转化为二元，再转化为一元求解。本题中马虎同学的错误在于两次消元没有消去同一个未知数：第一次①+②消去了b，得到仅含a、c的方程④，但第二次③-②消去的是c，得到仅含a、b的方程⑤，两个新方程仍包含a、b、c三个未知数，因此无法继续求解。正确做法是两次消元都消去同一个未知数b，得到仅含a、c的二元一次方程组，即可继续求解。
【解析】
解：马虎同学的解题过程不正确。正确解题过程如下：
①+②，得$2a + 2c = 6$，即$a + c = 3$ ④
③-①×2，得$2a - c = 0$ ⑤
联立④⑤，得二元一次方程组$\begin{cases}a + c = 3 \\ 2a - c = 0\end{cases}$
解这个方程组，将两式相加得$3a=3$，解得$a=1$，把$a=1$代入④得$c=2$
把$\begin{cases}a=1 \\ c=2\end{cases}$代入①，得$1+b+2=1$，解得$b=-2$
【答案】
不正确，原方程组的解为$\begin{cases}a=1 \\ b=-2 \\ c=2\end{cases}$
【知识点】
三元一次方程组解法，加减消元法，代入消元法
【点评】
本题考查三元一次方程组的消元原则，消元过程中需保证每次消去的是同一个未知数，才能顺利将三元方程组转化为二元方程组求解，马虎同学的错误就是违反了这个消元原则。
【难度系数】
0.7
