登录
1 [2026江苏南京质检,中]已知直线$l_1:y=-4x+a$与直线$l_2:y=kx+b$,且直线$l_2$与$y$轴交于点$(0,4)$.
(1)若$l_1$与$l_2$交于点$(1,6)$,求$k,a,b$的值及关于$x,y$的方程组$\begin{cases}y=-4x+a,\\y=kx+b\end{cases}$的解.
(2)若$l_1// l_2$,求$k$的值及关于$x,y$的方程组$\begin{cases}y=-4x+a,\\y=kx+b\end{cases}$的解的组数.
(3)若$l_1$与$l_2$重合,求$k,a$的值并写出关于$x,y$的方程组$\begin{cases}y=-4x+a,\\y=kx+b\end{cases}$的任意一组解.
(1)若$l_1$与$l_2$交于点$(1,6)$,求$k,a,b$的值及关于$x,y$的方程组$\begin{cases}y=-4x+a,\\y=kx+b\end{cases}$的解.
(2)若$l_1// l_2$,求$k$的值及关于$x,y$的方程组$\begin{cases}y=-4x+a,\\y=kx+b\end{cases}$的解的组数.
(3)若$l_1$与$l_2$重合,求$k,a$的值并写出关于$x,y$的方程组$\begin{cases}y=-4x+a,\\y=kx+b\end{cases}$的任意一组解.
答案
因为直线$l_2:y=kx+b$与$y$轴交于点$(0,4)$,所以$4=0+b$,所以$b=4$,所以直线$l_2:y=kx+4$.
(1) 因为$l_1$与$l_2$交于点$(1,6)$,所以将点$(1,6)$代入$y=-4x+a$中,得$6=-4+a$,解得$a=10$.将点$(1,6)$代入$y=kx+4$中,得$6=k+4$,解得$k=2$,所以$k=2,a=10,b=4$,所以关于$x,y$的方程组为$\begin{cases}y=-4x+10,\\y=2x+4,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=1,\\y=6.\end{cases}$
(2) 因为$l_1// l_2$,所以$k=-4$,所以关于$x,y$的方程组$\begin{cases}y=-4x+a,\\y=-4x+b\end{cases}$无解,所以解的组数为0.
(3) 因为$l_1$与$l_2$重合,所以$k=-4,a=b=4$,所以关于$x,y$的方程组$\begin{cases}y=-4x+a,\\y=kx+b\end{cases}$的一组解为$\begin{cases}x=1,\\y=0,\end{cases}$(关于$x,y$的方程组的解不唯一,写出一组即可)
(1) 因为$l_1$与$l_2$交于点$(1,6)$,所以将点$(1,6)$代入$y=-4x+a$中,得$6=-4+a$,解得$a=10$.将点$(1,6)$代入$y=kx+4$中,得$6=k+4$,解得$k=2$,所以$k=2,a=10,b=4$,所以关于$x,y$的方程组为$\begin{cases}y=-4x+10,\\y=2x+4,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=1,\\y=6.\end{cases}$
(2) 因为$l_1// l_2$,所以$k=-4$,所以关于$x,y$的方程组$\begin{cases}y=-4x+a,\\y=-4x+b\end{cases}$无解,所以解的组数为0.
(3) 因为$l_1$与$l_2$重合,所以$k=-4,a=b=4$,所以关于$x,y$的方程组$\begin{cases}y=-4x+a,\\y=kx+b\end{cases}$的一组解为$\begin{cases}x=1,\\y=0,\end{cases}$(关于$x,y$的方程组的解不唯一,写出一组即可)
解析
【分析】
解题时先利用直线$l_2$与y轴的交点求出$b$的值，作为后续计算的基础。
(1) 两直线的交点坐标同时满足两条直线的解析式，因此将交点坐标分别代入$l_1$、$l_2$的解析式，即可求出$a$和$k$的值，同时二元一次方程组的解就是两直线的交点坐标。
(2) 若两条直线平行，它们的一次项系数（斜率）相等，此时两条直线没有交点，对应的二元一次方程组无解。
(3) 若两条直线重合，它们的一次项系数和常数项都分别相等，此时两条直线上所有点都是公共点，对应的二元一次方程组有无数组解，任意写出一组满足解析式的解即可。
【解析】
已知直线$l_2:y=kx+b$与y轴交于点$(0,4)$，将$x=0,y=4$代入解析式得：$4=0+b$，解得$b=4$，因此$l_2$的解析式为$y=kx+4$。
(1) 因为$l_1$与$l_2$交于点$(1,6)$，将$(1,6)$代入$l_1:y=-4x+a$得：
$6=-4×1+a$，解得$a=10$；
将$(1,6)$代入$l_2:y=kx+4$得：
$6=k×1+4$，解得$k=2$；
两直线的交点坐标就是对应方程组的解，因此方程组的解为$\begin{cases}x=1\\y=6\end{cases}$。
(2) 若$l_1// l_2$，两条直线斜率相等，因此$k=-4$，此时两条直线解析式为$y=-4x+a$和$y=-4x+4$，两直线无交点，对应方程组无解，即解的组数为0。
(3) 若$l_1$与$l_2$重合，说明两条直线的解析式完全相同，因此$k=-4$，$a=b=4$；
此时方程组有无数组解，例如取$x=1$，代入$y=-4x+4$得$y=0$，即一组解为$\begin{cases}x=1\\y=0\end{cases}$（解不唯一）。
【答案】
(1) $k=2,a=10,b=4$，方程组的解为$\begin{cases}x=1\\y=6\end{cases}$；
(2) $k=-4$，方程组解的组数为0；
(3) $k=-4,a=4$，方程组的一组解为$\begin{cases}x=1\\y=0\end{cases}$（解不唯一）。
【知识点】
一次函数图象与性质，二元一次方程组与一次函数的关系，两直线位置关系判定
【点评】
本题围绕一次函数的位置关系和对应二元一次方程组的解展开考查，需要熟练掌握两直线平行、重合时系数的特征，理解函数交点与方程组解的对应关系，是一次函数章节的典型题型。
【难度系数】
0.7
解题时先利用直线$l_2$与y轴的交点求出$b$的值，作为后续计算的基础。
(1) 两直线的交点坐标同时满足两条直线的解析式，因此将交点坐标分别代入$l_1$、$l_2$的解析式，即可求出$a$和$k$的值，同时二元一次方程组的解就是两直线的交点坐标。
(2) 若两条直线平行，它们的一次项系数（斜率）相等，此时两条直线没有交点，对应的二元一次方程组无解。
(3) 若两条直线重合，它们的一次项系数和常数项都分别相等，此时两条直线上所有点都是公共点，对应的二元一次方程组有无数组解，任意写出一组满足解析式的解即可。
【解析】
已知直线$l_2:y=kx+b$与y轴交于点$(0,4)$，将$x=0,y=4$代入解析式得：$4=0+b$，解得$b=4$，因此$l_2$的解析式为$y=kx+4$。
(1) 因为$l_1$与$l_2$交于点$(1,6)$，将$(1,6)$代入$l_1:y=-4x+a$得：
$6=-4×1+a$，解得$a=10$；
将$(1,6)$代入$l_2:y=kx+4$得：
$6=k×1+4$，解得$k=2$；
两直线的交点坐标就是对应方程组的解，因此方程组的解为$\begin{cases}x=1\\y=6\end{cases}$。
(2) 若$l_1// l_2$，两条直线斜率相等，因此$k=-4$，此时两条直线解析式为$y=-4x+a$和$y=-4x+4$，两直线无交点，对应方程组无解，即解的组数为0。
(3) 若$l_1$与$l_2$重合，说明两条直线的解析式完全相同，因此$k=-4$，$a=b=4$；
此时方程组有无数组解，例如取$x=1$，代入$y=-4x+4$得$y=0$，即一组解为$\begin{cases}x=1\\y=0\end{cases}$（解不唯一）。
【答案】
(1) $k=2,a=10,b=4$，方程组的解为$\begin{cases}x=1\\y=6\end{cases}$；
(2) $k=-4$，方程组解的组数为0；
(3) $k=-4,a=4$，方程组的一组解为$\begin{cases}x=1\\y=0\end{cases}$（解不唯一）。
【知识点】
一次函数图象与性质，二元一次方程组与一次函数的关系，两直线位置关系判定
【点评】
本题围绕一次函数的位置关系和对应二元一次方程组的解展开考查，需要熟练掌握两直线平行、重合时系数的特征，理解函数交点与方程组解的对应关系，是一次函数章节的典型题型。
【难度系数】
0.7
2[2025广西钦州质检,中]若一个自然数$M$能分解成$p^2+q$,其中$p$与$q$都是两位数,$p$与$q$的个位数字相同,十位数字之和为10,则称数$M$为“方加数”,并把数$M$分解成$p^2+q$的过程称为“方加分解”.例如:$236=12^2+92$,12与92的个位数字相同,十位数字之和等于10,所以236是“方加数”.
(1)判断212是否为“方加数”,并说明理由；
(2)把一个四位“方加数”$M$进行“方加分解”,即$M=p^2+q$,并将$p$放在$q$的左边组成一个新的四位数$N$,若$N$能被7整除,且$N$各个数位上的数字之和能被3整除,求出所有满足条件的$M$.
(1)判断212是否为“方加数”,并说明理由；
(2)把一个四位“方加数”$M$进行“方加分解”,即$M=p^2+q$,并将$p$放在$q$的左边组成一个新的四位数$N$,若$N$能被7整除,且$N$各个数位上的数字之和能被3整除,求出所有满足条件的$M$.
答案
(1) 212是“方加数”.理由：
因为$212=11^2+91$,11与91的个位数字相同,十位数字之和等于10,所以212是“方加数”.
(2) 设$p$的十位数字是$m$,个位数字是$n$,则$q$的十位数字是$10-m$,个位数字是$n$,
所以$N$的各个数位上的数字之和是$m+n+10-m+n=10+2n$.
因为$N$的各个数位上的数字之和能被3整除,
所以$n=1$或$n=4$或$n=7$.
当$n=1$时,$N=1\ 000m+100+100-10m+1=990m+201=7(141m+28)+3m+5$.
因为$N$能被7整除,
所以$m=3$,
所以$M=31^2+71=1\ 032$.
当$n=4$时,$N=1\ 000m+400+100-10m+4=990m+504=7(141m+72)+3m$.
因为$N$能被7整除,所以$m=7$,
所以$M=74^2+34=5\ 510$.
当$n=7$时,$N=1\ 000m+700+100-10m+7=990m+807=7(141m+115)+3m+2$.
因为$N$能被7整除,所以$m=4$,
所以$M=47^2+67=2\ 276$.
综上所述,满足条件的$M$有1 032和5 510和2 276.
因为$212=11^2+91$,11与91的个位数字相同,十位数字之和等于10,所以212是“方加数”.
(2) 设$p$的十位数字是$m$,个位数字是$n$,则$q$的十位数字是$10-m$,个位数字是$n$,
所以$N$的各个数位上的数字之和是$m+n+10-m+n=10+2n$.
因为$N$的各个数位上的数字之和能被3整除,
所以$n=1$或$n=4$或$n=7$.
当$n=1$时,$N=1\ 000m+100+100-10m+1=990m+201=7(141m+28)+3m+5$.
因为$N$能被7整除,
所以$m=3$,
所以$M=31^2+71=1\ 032$.
当$n=4$时,$N=1\ 000m+400+100-10m+4=990m+504=7(141m+72)+3m$.
因为$N$能被7整除,所以$m=7$,
所以$M=74^2+34=5\ 510$.
当$n=7$时,$N=1\ 000m+700+100-10m+7=990m+807=7(141m+115)+3m+2$.
因为$N$能被7整除,所以$m=4$,
所以$M=47^2+67=2\ 276$.
综上所述,满足条件的$M$有1 032和5 510和2 276.
解析
【分析】
(1) 判断212是否为“方加数”，只需紧扣“方加数”的定义，寻找满足条件的两位数p、q：二者个位数字相同，十位数字之和为10，且满足$p^2+q=212$即可。
(2) 第二问先设p的十位数字为m、个位数字为n，根据定义表示出q的十位和个位数字，再写出新四位数N的表达式，先利用“N各数位数字之和能被3整除”确定n的可能取值，再分情况结合“N能被7整除”求出对应m值，最终计算出符合条件的M即可。
【解析】
(1) 212是“方加数”，理由如下：
∵ $212=11^2+91$，其中$p=11$，$q=91$，二者个位数字均为1，十位数字分别为1和9，和为$1+9=10$，完全符合“方加数”的定义，
∴ 212是“方加数”。
(2) 设p的十位数字为m，个位数字为n（m、n均为整数，且$1≤ m≤9$，$0≤ n≤9$），根据题意可知q的十位数字为$10-m$，个位数字为n。
首先计算N的各数位数字之和：四个数位数字分别为m、n、$10-m$、n，求和得$m+n+(10-m)+n=10+2n$。
∵ N的各数位数字之和能被3整除，
∴ $10+2n$是3的倍数，结合n的取值范围，可得$n=1$或$n=4$或$n=7$。
分三种情况讨论：
① 当$n=1$时，$p=10m+1$，$q=10(10-m)+1=101-10m$，将p放在q左边组成的四位数$N=100(10m+1)+(101-10m)=990m+201$。
变形得$990m+201=7×(141m+28)+3m+5$，
∵ N能被7整除，
∴ $3m+5$能被7整除，结合$1≤ m≤9$，解得$m=3$。
此时$M=31^2+71=961+71=1032$。
② 当$n=4$时，$p=10m+4$，$q=10(10-m)+4=104-10m$，四位数$N=100(10m+4)+(104-10m)=990m+504$。
变形得$990m+504=7×(141m+72)+3m$，
∵ N能被7整除，
∴ $3m$能被7整除，结合$1≤ m≤9$，解得$m=7$。
此时$M=74^2+34=5476+34=5510$。
③ 当$n=7$时，$p=10m+7$，$q=10(10-m)+7=107-10m$，四位数$N=100(10m+7)+(107-10m)=990m+807$。
变形得$990m+807=7×(141m+115)+3m+2$，
∵ N能被7整除，
∴ $3m+2$能被7整除，结合$1≤ m≤9$，解得$m=4$。
此时$M=47^2+67=2209+67=2276$。
综上，满足条件的M为1032、2276、5510。
【答案】
(1) 212是“方加数”，理由见解析；
(2) $\boxed{1032}$、$\boxed{2276}$、$\boxed{5510}$
【知识点】
1. 新定义问题
2. 数的整除性
3. 列代数式
【点评】
本题属于新定义类题型，解题核心是准确理解“方加数”的定义，通过设字母表示数位上的数字，将未知量转化为代数式，再结合整除的性质分类讨论求解，解题时要注意数位的取值范围限制，避免出现增根。
【难度系数】
0.6
(1) 判断212是否为“方加数”，只需紧扣“方加数”的定义，寻找满足条件的两位数p、q：二者个位数字相同，十位数字之和为10，且满足$p^2+q=212$即可。
(2) 第二问先设p的十位数字为m、个位数字为n，根据定义表示出q的十位和个位数字，再写出新四位数N的表达式，先利用“N各数位数字之和能被3整除”确定n的可能取值，再分情况结合“N能被7整除”求出对应m值，最终计算出符合条件的M即可。
【解析】
(1) 212是“方加数”，理由如下：
∵ $212=11^2+91$，其中$p=11$，$q=91$，二者个位数字均为1，十位数字分别为1和9，和为$1+9=10$，完全符合“方加数”的定义，
∴ 212是“方加数”。
(2) 设p的十位数字为m，个位数字为n（m、n均为整数，且$1≤ m≤9$，$0≤ n≤9$），根据题意可知q的十位数字为$10-m$，个位数字为n。
首先计算N的各数位数字之和：四个数位数字分别为m、n、$10-m$、n，求和得$m+n+(10-m)+n=10+2n$。
∵ N的各数位数字之和能被3整除，
∴ $10+2n$是3的倍数，结合n的取值范围，可得$n=1$或$n=4$或$n=7$。
分三种情况讨论：
① 当$n=1$时，$p=10m+1$，$q=10(10-m)+1=101-10m$，将p放在q左边组成的四位数$N=100(10m+1)+(101-10m)=990m+201$。
变形得$990m+201=7×(141m+28)+3m+5$，
∵ N能被7整除，
∴ $3m+5$能被7整除，结合$1≤ m≤9$，解得$m=3$。
此时$M=31^2+71=961+71=1032$。
② 当$n=4$时，$p=10m+4$，$q=10(10-m)+4=104-10m$，四位数$N=100(10m+4)+(104-10m)=990m+504$。
变形得$990m+504=7×(141m+72)+3m$，
∵ N能被7整除，
∴ $3m$能被7整除，结合$1≤ m≤9$，解得$m=7$。
此时$M=74^2+34=5476+34=5510$。
③ 当$n=7$时，$p=10m+7$，$q=10(10-m)+7=107-10m$，四位数$N=100(10m+7)+(107-10m)=990m+807$。
变形得$990m+807=7×(141m+115)+3m+2$，
∵ N能被7整除，
∴ $3m+2$能被7整除，结合$1≤ m≤9$，解得$m=4$。
此时$M=47^2+67=2209+67=2276$。
综上，满足条件的M为1032、2276、5510。
【答案】
(1) 212是“方加数”，理由见解析；
(2) $\boxed{1032}$、$\boxed{2276}$、$\boxed{5510}$
【知识点】
1. 新定义问题
2. 数的整除性
3. 列代数式
【点评】
本题属于新定义类题型，解题核心是准确理解“方加数”的定义，通过设字母表示数位上的数字，将未知量转化为代数式，再结合整除的性质分类讨论求解，解题时要注意数位的取值范围限制，避免出现增根。
【难度系数】
0.6
