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1[2025陕西渭南期末,中]小明走楼梯回家,他所走的台阶总数m(个)是楼层的层数n(层)(n≥2且n为整数)的一次函数,其部分对应值如表所示:
当层数为20层时,小明走的台阶总数为 (
A.560个
B.546个
C.574个
D.592个
当层数为20层时,小明走的台阶总数为 (
B
)A.560个
B.546个
C.574个
D.592个
答案
设一次函数表达式为 $m=kn+b$. 将
$(2,42),(3,70)$ 代入得 $\begin{cases}2k+b=42,\\3k+b=70,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k=28,\\b=-14,\end{cases}$ 所以 $m=28n-14$. 当 $n=20$ 时, $m=28 × 20-14=546$. 故选 B.
$(2,42),(3,70)$ 代入得 $\begin{cases}2k+b=42,\\3k+b=70,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k=28,\\b=-14,\end{cases}$ 所以 $m=28n-14$. 当 $n=20$ 时, $m=28 × 20-14=546$. 故选 B.
解析
【分析】
题目明确台阶总数$m$是层数$n$的一次函数，因此用待定系数法求解即可：首先设一次函数的一般形式$m=kn+b(k≠0)$，再从表格中选取两组对应的$n、m$值代入表达式，得到关于$k、b$的二元一次方程组，解方程组求出$k、b$的值确定函数关系式，最后将$n=20$代入函数关系式计算就能得到对应的台阶总数。
【解析】
设一次函数的表达式为$m = kn + b$（$k ≠ 0$），
将表格中$n=2,m=42$和$n=3,m=70$代入表达式，可得：
$\begin{cases}2k + b = 42 \\3k + b = 70\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得$k=28$，
将$k=28$代入$2k + b = 42$，得$2×28 + b = 42$，解得$b=-14$，
所以一次函数表达式为$m = 28n - 14$。
当$n=20$时，$m = 28×20 - 14 = 560 - 14 = 546$。
【答案】
B
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；二元一次方程组的解法；一次函数的应用
【点评】
本题是一次函数应用的基础常规题型，核心考查待定系数法的使用，解题时需准确提取表格中的对应数值，正确求解方程组，代入计算时注意运算的准确性即可。
【难度系数】
0.7
题目明确台阶总数$m$是层数$n$的一次函数，因此用待定系数法求解即可：首先设一次函数的一般形式$m=kn+b(k≠0)$，再从表格中选取两组对应的$n、m$值代入表达式，得到关于$k、b$的二元一次方程组，解方程组求出$k、b$的值确定函数关系式，最后将$n=20$代入函数关系式计算就能得到对应的台阶总数。
【解析】
设一次函数的表达式为$m = kn + b$（$k ≠ 0$），
将表格中$n=2,m=42$和$n=3,m=70$代入表达式，可得：
$\begin{cases}2k + b = 42 \\3k + b = 70\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得$k=28$，
将$k=28$代入$2k + b = 42$，得$2×28 + b = 42$，解得$b=-14$，
所以一次函数表达式为$m = 28n - 14$。
当$n=20$时，$m = 28×20 - 14 = 560 - 14 = 546$。
【答案】
B
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；二元一次方程组的解法；一次函数的应用
【点评】
本题是一次函数应用的基础常规题型，核心考查待定系数法的使用，解题时需准确提取表格中的对应数值，正确求解方程组，代入计算时注意运算的准确性即可。
【难度系数】
0.7
2[2026广东佛山质检,中]已知一次函数$y=ax+b$($a,b$为常数,且$a≠0$),当$1≤x≤2$时,$2≤y≤3$,则$ab$的值为 (
A.$-4$
B.$4$
C.$1$或$-4$
D.$1$或$4$
C
)A.$-4$
B.$4$
C.$1$或$-4$
D.$1$或$4$
答案
由题意,分两种情况:①当 $a＞0$ 时,
$y$ 随 $x$ 的增大而增大. 因为当 $1 ≤ x ≤ 2$ 时,
$2 ≤ y ≤ 3$, 所以此时一次函数 $y=ax+b$ 的图象过点 $(1,2),(2,3)$, 所以 $\begin{cases}a+b=2,\\2a+b=3,\end{cases}$ 所以 $\begin{cases}a=1,\\b=1,\end{cases}$ 所以 $ab=1$. ②当 $a＜0$ 时, $y$ 随 $x$ 的增大而减小. 因为当 $1 ≤ x ≤ 2$ 时, $2 ≤ y ≤ 3$, 所以此时一次函数 $y=ax+b$ 的图象过点 $(1,3),(2,2)$, 所以 $\begin{cases}a+b=3,\\2a+b=2,\end{cases}$ 所以 $\begin{cases}a=-1,\\b=4,\end{cases}$ 所以 $ab=-4$. 综上, $ab$ 的值为 $-4$ 或 1. 故选 C.
$y$ 随 $x$ 的增大而增大. 因为当 $1 ≤ x ≤ 2$ 时,
$2 ≤ y ≤ 3$, 所以此时一次函数 $y=ax+b$ 的图象过点 $(1,2),(2,3)$, 所以 $\begin{cases}a+b=2,\\2a+b=3,\end{cases}$ 所以 $\begin{cases}a=1,\\b=1,\end{cases}$ 所以 $ab=1$. ②当 $a＜0$ 时, $y$ 随 $x$ 的增大而减小. 因为当 $1 ≤ x ≤ 2$ 时, $2 ≤ y ≤ 3$, 所以此时一次函数 $y=ax+b$ 的图象过点 $(1,3),(2,2)$, 所以 $\begin{cases}a+b=3,\\2a+b=2,\end{cases}$ 所以 $\begin{cases}a=-1,\\b=4,\end{cases}$ 所以 $ab=-4$. 综上, $ab$ 的值为 $-4$ 或 1. 故选 C.
解析
【分析】
解决本题的核心是结合一次函数的增减性分类讨论：一次函数$y=ax+b$的增减性由$a$的符号决定，$a＞0$时$y$随$x$增大而增大，$a＜0$时$y$随$x$增大而减小，题目未明确$a$的正负，因此需要分两种情况，找到$x$取边界值时对应的$y$值，代入解析式列二元一次方程组求解$a$、$b$的值，最后计算$ab$即可。
【解析】
由题意分两种情况讨论：
①当$a＞0$时，$y$随$x$的增大而增大，
∵$1≤x≤2$时，$2≤y≤3$，
∴$x=1$时$y=2$，$x=2$时$y=3$，代入$y=ax+b$得：
$\begin{cases}a+b=2\\2a+b=3\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=1\\b=1\end{cases}$，则$ab=1×1=1$；
②当$a＜0$时，$y$随$x$的增大而减小，
∵$1≤x≤2$时，$2≤y≤3$，
∴$x=1$时$y=3$，$x=2$时$y=2$，代入$y=ax+b$得：
$\begin{cases}a+b=3\\2a+b=2\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=-1\\b=4\end{cases}$，则$ab=-1×4=-4$。
综上，$ab$的值为1或$-4$。
【答案】
C
【知识点】
一次函数的性质；待定系数法；解二元一次方程组
【点评】
本题重点考查分类讨论思想的应用，易错点是忽略$a＜0$的情况，解题时需结合一次函数的增减性，准确匹配$x$与$y$的边界对应关系，再通过待定系数法求解参数即可。
【难度系数】
0.6
解决本题的核心是结合一次函数的增减性分类讨论：一次函数$y=ax+b$的增减性由$a$的符号决定，$a＞0$时$y$随$x$增大而增大，$a＜0$时$y$随$x$增大而减小，题目未明确$a$的正负，因此需要分两种情况，找到$x$取边界值时对应的$y$值，代入解析式列二元一次方程组求解$a$、$b$的值，最后计算$ab$即可。
【解析】
由题意分两种情况讨论：
①当$a＞0$时，$y$随$x$的增大而增大，
∵$1≤x≤2$时，$2≤y≤3$，
∴$x=1$时$y=2$，$x=2$时$y=3$，代入$y=ax+b$得：
$\begin{cases}a+b=2\\2a+b=3\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=1\\b=1\end{cases}$，则$ab=1×1=1$；
②当$a＜0$时，$y$随$x$的增大而减小，
∵$1≤x≤2$时，$2≤y≤3$，
∴$x=1$时$y=3$，$x=2$时$y=2$，代入$y=ax+b$得：
$\begin{cases}a+b=3\\2a+b=2\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=-1\\b=4\end{cases}$，则$ab=-1×4=-4$。
综上，$ab$的值为1或$-4$。
【答案】
C
【知识点】
一次函数的性质；待定系数法；解二元一次方程组
【点评】
本题重点考查分类讨论思想的应用，易错点是忽略$a＜0$的情况，解题时需结合一次函数的增减性，准确匹配$x$与$y$的边界对应关系，再通过待定系数法求解参数即可。
【难度系数】
0.6
3[2025福建厦门期末,中]某校科技节上,同学们在操场进行无人机表演,其中甲、乙两架无人机离操场地面的高度y(单位:米)与表演时间x(单位:秒)的图象如图所示.已知表演开始时甲、乙离地的高度分别是5米、15米,在1分钟的表演过程中甲、乙两架无人机的高度差不超过5米的时间可持续
（第3题图）
（第4题图）
20
秒.（第3题图）
（第4题图）
答案
设 $y_甲=k_1x+b_1$, 将 $(0,5),(20,60)$
分别代入, 得 $\begin{cases}5=b_1,\\60=20k_1+b_1,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k_1=2.75,\\b_1=5,\end{cases}$
则 $y_甲=2.75x+5$. 设 $y_乙=k_2x+b_2$, 将 $(0,15),(20,60)$ 分别代入, 得 $\begin{cases}15=b_2,\\60=20k_2+b_2,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k_2=2.25,\\b_2=15,\end{cases}$ 则 $y_乙=2.25x+15$. 当 $x＜20$ 时,
$y_乙-y_甲=5$, 即 $2.25x+15-2.75x-5=5$, 解得 $x=10$; 当 $x＞20$ 时, $y_乙-y_甲=-5$, 即 $2.25x+15-2.75x-5=-5$, 解得 $x=30$. $30-10=20$(秒). 故答案为 20.
分别代入, 得 $\begin{cases}5=b_1,\\60=20k_1+b_1,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k_1=2.75,\\b_1=5,\end{cases}$
则 $y_甲=2.75x+5$. 设 $y_乙=k_2x+b_2$, 将 $(0,15),(20,60)$ 分别代入, 得 $\begin{cases}15=b_2,\\60=20k_2+b_2,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k_2=2.25,\\b_2=15,\end{cases}$ 则 $y_乙=2.25x+15$. 当 $x＜20$ 时,
$y_乙-y_甲=5$, 即 $2.25x+15-2.75x-5=5$, 解得 $x=10$; 当 $x＞20$ 时, $y_乙-y_甲=-5$, 即 $2.25x+15-2.75x-5=-5$, 解得 $x=30$. $30-10=20$(秒). 故答案为 20.
解析
【分析】
要解决这个问题，我们可以按以下思路思考：首先，甲、乙的高度y与时间x的图象均为直线，说明二者都是一次函数关系，我们可以先用待定系数法，代入已知的初始点（x=0时的高度）和交点(20,60)，分别求出$y_甲$和$y_乙$的函数解析式。其次，要求高度差不超过5米的时长，观察图象可知20秒时二者高度相等，20秒前乙的高度更高，20秒后甲的高度更高，我们分别求出高度差刚好为5米的两个临界时间点，两个时间点的差值就是符合要求的持续时间，最后验证时间是否在1分钟（60秒）的表演范围内即可。
【解析】
设甲的高度函数为$y_甲=k_1x+b_1$，将点$(0,5)$、$(20,60)$分别代入得：
$\begin{cases}5=b_1\\60=20k_1+b_1\end{cases}$
解得$\begin{cases}k_1=2.75\\b_1=5\end{cases}$，因此$y_甲=2.75x+5$。
设乙的高度函数为$y_乙=k_2x+b_2$，将点$(0,15)$、$(20,60)$分别代入得：
$\begin{cases}15=b_2\\60=20k_2+b_2\end{cases}$
解得$\begin{cases}k_2=2.25\\b_2=15\end{cases}$，因此$y_乙=2.25x+15$。
高度差不超过5米，分两种情况讨论：
1. 当$x＜20$时，乙的高度更高，令$y_乙-y_甲=5$，代入解析式得：
$2.25x+15-(2.75x+5)=5$
解得$x=10$，即第10秒时，乙比甲高5米。
2. 当$x＞20$时，甲的高度更高，令$y_甲-y_乙=5$，即$y_乙-y_甲=-5$，代入解析式得：
$2.25x+15-(2.75x+5)=-5$
解得$x=30$，即第30秒时，甲比乙高5米。
第10秒到第30秒之间，两架无人机的高度差均不超过5米，且10秒、30秒都在0~60秒的表演时间内，因此持续时间为$30-10=20$（秒）。
【答案】
20
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用；一元一次方程的应用
【点评】
本题结合无人机表演的实际场景，考查了一次函数的应用，需要学生掌握待定系数法求函数解析式的方法，同时能结合图象特点分情况讨论临界条件，对读图能力和分类讨论思维有一定要求。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，我们可以按以下思路思考：首先，甲、乙的高度y与时间x的图象均为直线，说明二者都是一次函数关系，我们可以先用待定系数法，代入已知的初始点（x=0时的高度）和交点(20,60)，分别求出$y_甲$和$y_乙$的函数解析式。其次，要求高度差不超过5米的时长，观察图象可知20秒时二者高度相等，20秒前乙的高度更高，20秒后甲的高度更高，我们分别求出高度差刚好为5米的两个临界时间点，两个时间点的差值就是符合要求的持续时间，最后验证时间是否在1分钟（60秒）的表演范围内即可。
【解析】
设甲的高度函数为$y_甲=k_1x+b_1$，将点$(0,5)$、$(20,60)$分别代入得：
$\begin{cases}5=b_1\\60=20k_1+b_1\end{cases}$
解得$\begin{cases}k_1=2.75\\b_1=5\end{cases}$，因此$y_甲=2.75x+5$。
设乙的高度函数为$y_乙=k_2x+b_2$，将点$(0,15)$、$(20,60)$分别代入得：
$\begin{cases}15=b_2\\60=20k_2+b_2\end{cases}$
解得$\begin{cases}k_2=2.25\\b_2=15\end{cases}$，因此$y_乙=2.25x+15$。
高度差不超过5米，分两种情况讨论：
1. 当$x＜20$时，乙的高度更高，令$y_乙-y_甲=5$，代入解析式得：
$2.25x+15-(2.75x+5)=5$
解得$x=10$，即第10秒时，乙比甲高5米。
2. 当$x＞20$时，甲的高度更高，令$y_甲-y_乙=5$，即$y_乙-y_甲=-5$，代入解析式得：
$2.25x+15-(2.75x+5)=-5$
解得$x=30$，即第30秒时，甲比乙高5米。
第10秒到第30秒之间，两架无人机的高度差均不超过5米，且10秒、30秒都在0~60秒的表演时间内，因此持续时间为$30-10=20$（秒）。
【答案】
20
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用；一元一次方程的应用
【点评】
本题结合无人机表演的实际场景，考查了一次函数的应用，需要学生掌握待定系数法求函数解析式的方法，同时能结合图象特点分情况讨论临界条件，对读图能力和分类讨论思维有一定要求。
【难度系数】
0.6
4[2025辽宁辽阳期末，中]如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为$(3,1)$，$AB=OB$，$∠ ABO=90°$，则直线AB的函数表达式是
$y=-3x+10$
。答案
如图,过点 $A$ 作 $AC// x$ 轴交 $y$ 轴于点 $C$, 过点 $B$ 作 $BD// y$ 轴交 $x$ 轴于点 $D$, 两条直线相交于点 $E$, 易得 $∠ ACO=∠ E=∠ BDO=90°$, 所以 $∠ BAE+∠ EBA=90°$. 因为 $∠ ABO=90°$, 所以 $∠ EBA+∠ OBD=90°$, 所以 $∠ OBD=∠ BAE$. 因为 $B(3,1)$, 所以 $OD=3$, $BD=1$. 在 $△ ABE$ 与 $△ BOD$ 中,
$\begin{cases}∠ AEB=∠ ODB=90°,\\∠ BAE=∠ OBD,\\AB=OB,\end{cases}$
所以 $△ ABE ≌ △ BOD$ (AAS), 所以 $AE=BD=1$, $BE=OD=3$, 所以 $AC=CE-AE=OD-AE=2$, $DE=BD+BE=4$, 所以 $A(2,4)$. 设直线 $AB$ 的表达式为 $y=kx+b$. 将 $A(2,4),B(3,1)$ 代入, 得 $\begin{cases}2k+b=4,\\3k+b=1,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k=-3,\\b=10,\end{cases}$ 所以直线 $AB$ 的表达式为 $y=-3x+10$. 故答案为 $y=-3x+10$.
解析
【分析】
要确定直线AB的函数表达式，需先得到直线上两个点的坐标，已知点B的坐标，因此核心是求点A的坐标。已知∠ABO=90°且AB=OB，可通过构造直角三角形，利用全等三角形的性质求A点坐标：过点A、B分别作平行于坐标轴的辅助线，利用同角的余角相等得到一组等角，结合AB=OB的条件，用AAS证明两个直角三角形全等，得到对应边的长度后即可算出A点坐标；再将A、B两点坐标代入一次函数一般式，解二元一次方程组求出系数，即可得到直线AB的表达式。
【解析】
过点 $A$ 作 $AC// x$ 轴交 $y$ 轴于点 $C$, 过点 $B$ 作 $BD// y$ 轴交 $x$ 轴于点 $D$, 两条直线相交于点 $E$。
易得 $∠ ACO=∠ E=∠ BDO=90°$, 所以 $∠ BAE+∠ EBA=90°$。
因为 $∠ ABO=90°$, 所以 $∠ EBA+∠ OBD=90°$, 可得 $∠ OBD=∠ BAE$。
已知 $B(3,1)$, 所以 $OD=3$, $BD=1$。
在 $△ ABE$ 与 $△ BOD$ 中:
$\begin{cases}∠ AEB=∠ ODB=90°,\\∠ BAE=∠ OBD,\\AB=OB,\end{cases}$
所以 $△ ABE ≌ △ BOD$ (AAS), 因此 $AE=BD=1$, $BE=OD=3$。
则点A的横坐标为$3-1=2$，纵坐标为$1+3=4$，即$A(2,4)$。
设直线 $AB$ 的表达式为 $y=kx+b$, 将 $A(2,4),B(3,1)$ 代入得:
$\begin{cases}2k+b=4,\\3k+b=1,\end{cases}$
解得 $\begin{cases}k=-3,\\b=10,\end{cases}$
因此直线AB的函数表达式为$y=-3x+10$。
【答案】
$y=-3x+10$
【知识点】
全等三角形的判定与性质；待定系数法求一次函数解析式；平面直角坐标系坐标特征
【点评】
本题是几何与代数结合的典型习题，解题关键是通过构造辅助线证明三角形全等，求出未知点的坐标，再结合待定系数法求解一次函数表达式，能较好地考查综合运用知识解决问题的能力。
【难度系数】
0.6
要确定直线AB的函数表达式，需先得到直线上两个点的坐标，已知点B的坐标，因此核心是求点A的坐标。已知∠ABO=90°且AB=OB，可通过构造直角三角形，利用全等三角形的性质求A点坐标：过点A、B分别作平行于坐标轴的辅助线，利用同角的余角相等得到一组等角，结合AB=OB的条件，用AAS证明两个直角三角形全等，得到对应边的长度后即可算出A点坐标；再将A、B两点坐标代入一次函数一般式，解二元一次方程组求出系数，即可得到直线AB的表达式。
【解析】
过点 $A$ 作 $AC// x$ 轴交 $y$ 轴于点 $C$, 过点 $B$ 作 $BD// y$ 轴交 $x$ 轴于点 $D$, 两条直线相交于点 $E$。
易得 $∠ ACO=∠ E=∠ BDO=90°$, 所以 $∠ BAE+∠ EBA=90°$。
因为 $∠ ABO=90°$, 所以 $∠ EBA+∠ OBD=90°$, 可得 $∠ OBD=∠ BAE$。
已知 $B(3,1)$, 所以 $OD=3$, $BD=1$。
在 $△ ABE$ 与 $△ BOD$ 中:
$\begin{cases}∠ AEB=∠ ODB=90°,\\∠ BAE=∠ OBD,\\AB=OB,\end{cases}$
所以 $△ ABE ≌ △ BOD$ (AAS), 因此 $AE=BD=1$, $BE=OD=3$。
则点A的横坐标为$3-1=2$，纵坐标为$1+3=4$，即$A(2,4)$。
设直线 $AB$ 的表达式为 $y=kx+b$, 将 $A(2,4),B(3,1)$ 代入得:
$\begin{cases}2k+b=4,\\3k+b=1,\end{cases}$
解得 $\begin{cases}k=-3,\\b=10,\end{cases}$
因此直线AB的函数表达式为$y=-3x+10$。
【答案】
$y=-3x+10$
【知识点】
全等三角形的判定与性质；待定系数法求一次函数解析式；平面直角坐标系坐标特征
【点评】
本题是几何与代数结合的典型习题，解题关键是通过构造辅助线证明三角形全等，求出未知点的坐标，再结合待定系数法求解一次函数表达式，能较好地考查综合运用知识解决问题的能力。
【难度系数】
0.6
5[中]小明从家去体育场锻炼,同时,妈妈从体育场以50米/分的速度回家,小明到体育场后发现要下雨,立即返回,追上妈妈后,小明以250米/分的速度回家取伞,立即又以250米/分的速度折回接妈妈,两人一同回家.如图是两人离家的距离y(米)与小明出发的时间x(分)之间的函数图象.
(注:小明和妈妈始终在同一条笔直的公路上行走,图象上A,C,D三点在一条直线上)
(1)求线段BC的函数表达式;
(2)求点D的坐标,并说明点D的实际意义.
(注:小明和妈妈始终在同一条笔直的公路上行走,图象上A,C,D三点在一条直线上)
(1)求线段BC的函数表达式;
(2)求点D的坐标,并说明点D的实际意义.
答案
(1)因为 $45 × 50 = 2250$(米), $3000 - 2250 = 750$(米), 所以点 $C$ 的坐标为 $(45,750)$. 设线段 $BC$ 的函数表达式为 $y=kx+b(k ≠ 0,30 ≤ x ≤ 45)$. 把 $(30,3000),(45,750)$ 代入 $y=kx+b$, 得 $\begin{cases}30k+b=3000,\\45k+b=750,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k=-150,\\b=7500.\end{cases}$ 所以线段 $BC$ 的函数表达式为 $y = -150x + 7500(30 ≤ x ≤ 45)$.
(2)设 $AC$ 所在直线的函数表达式为 $y = k_1x+b_1$. 把 $(0,3000),(45,750)$ 代入 $y=k_1x+b_1$, 得 $\begin{cases}b_1=3000,\\45k_1+b_1=750,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k_1=-50,\\b_1=3000.\end{cases}$ 所以 $AC$ 所在直线的函数表达式为 $y=-50x+3000$.
因为 $750 ÷ 250 = 3$(分), $45+3=48$(分), 所以点 $E$ 的坐标为 $(48,0)$, 所以易得 $ED$ 所在直线的函数表达式为 $y=250(x-48)=250x-12000$.
联立, 得方程组 $\begin{cases}y=-50x+3000,\\y=250x-12000,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}x=50,\\y=500,\end{cases}$ 所以点 $D$ 的坐标为 $(50,500)$.
点 $D$ 的实际意义:小明将在出发 50 分时离家 500 米的地方接到妈妈.
(2)设 $AC$ 所在直线的函数表达式为 $y = k_1x+b_1$. 把 $(0,3000),(45,750)$ 代入 $y=k_1x+b_1$, 得 $\begin{cases}b_1=3000,\\45k_1+b_1=750,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k_1=-50,\\b_1=3000.\end{cases}$ 所以 $AC$ 所在直线的函数表达式为 $y=-50x+3000$.
因为 $750 ÷ 250 = 3$(分), $45+3=48$(分), 所以点 $E$ 的坐标为 $(48,0)$, 所以易得 $ED$ 所在直线的函数表达式为 $y=250(x-48)=250x-12000$.
联立, 得方程组 $\begin{cases}y=-50x+3000,\\y=250x-12000,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}x=50,\\y=500,\end{cases}$ 所以点 $D$ 的坐标为 $(50,500)$.
点 $D$ 的实际意义:小明将在出发 50 分时离家 500 米的地方接到妈妈.
解析
【分析】
(1) 求线段BC的函数表达式需用待定系数法，首先确定B、C两点坐标：由图象可得B点坐标为(30,3000)；C点是小明出发45分钟时追上妈妈的位置，根据妈妈的速度和行走时间可算出妈妈剩余的离家距离，得到C点坐标，再将两点坐标代入一次函数一般式求解即可。
(2) 求D点坐标首先需确定两条直线的解析式：一是A、C、D所在直线，为妈妈离家距离随时间变化的函数，用A、C两点坐标即可求出解析式；二是小明取伞后从家出发接妈妈的函数，先计算小明从C点回家的时间得到小明到家的时刻（E点坐标），再结合速度求出该段函数解析式，最后联立两个解析式解二元一次方程组，得到的解就是D点坐标，再结合x、y的实际意义说明D点的含义即可。
【解析】
(1) 妈妈的行走速度为50米/分，45分钟行走的路程为$45 × 50 = 2250$米，此时离家的距离为$3000 - 2250 = 750$米，即点$C$的坐标为$(45,750)$。
设线段$BC$的函数表达式为$y=kx+b(k ≠ 0,30 ≤ x ≤ 45)$，将$B(30,3000)$、$C(45,750)$代入得：
$\begin{cases}30k+b=3000\\45k+b=750\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-150\\b=7500\end{cases}$
因此线段$BC$的函数表达式为$y = -150x + 7500(30 ≤ x ≤ 45)$。
(2) 设$AC$所在直线的函数表达式为$y = k_1x+b_1$，将$A(0,3000)$、$C(45,750)$代入得：
$\begin{cases}b_1=3000\\45k_1+b_1=750\end{cases}$
解得$\begin{cases}k_1=-50\\b_1=3000\end{cases}$
因此$AC$所在直线的函数表达式为$y=-50x+3000$。
小明在C点时离家750米，回家速度为250米/分，回家所需时间为$750 ÷ 250 = 3$分，到家的时刻为$45+3=48$分，即点$E$坐标为$(48,0)$。
小明从家出发接妈妈的速度为250米/分，因此该段函数表达式为$y=250(x-48)=250x-12000$。
联立两个解析式得方程组：
$\begin{cases}y=-50x+3000\\y=250x-12000\end{cases}$
解得$\begin{cases}x=50\\y=500\end{cases}$
因此点$D$的坐标为$(50,500)$。
点$D$的实际意义：小明出发50分钟时，在离家500米的位置接到妈妈。
【答案】
(1) $y = -150x + 7500(30 ≤ x ≤ 45)$
(2) $D(50,500)$，实际意义为小明出发50分钟时，在离家500米的地方接到妈妈。
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式，一次函数的实际应用，一次函数与二元一次方程组的关系
【点评】
本题结合行程场景考查一次函数的应用，需要学生理清不同阶段的运动状态，准确提取图象信息，熟练掌握待定系数法求解析式、联立方程组求交点的方法，同时能结合实际场景理解函数坐标的含义。
【难度系数】
0.6
(1) 求线段BC的函数表达式需用待定系数法，首先确定B、C两点坐标：由图象可得B点坐标为(30,3000)；C点是小明出发45分钟时追上妈妈的位置，根据妈妈的速度和行走时间可算出妈妈剩余的离家距离，得到C点坐标，再将两点坐标代入一次函数一般式求解即可。
(2) 求D点坐标首先需确定两条直线的解析式：一是A、C、D所在直线，为妈妈离家距离随时间变化的函数，用A、C两点坐标即可求出解析式；二是小明取伞后从家出发接妈妈的函数，先计算小明从C点回家的时间得到小明到家的时刻（E点坐标），再结合速度求出该段函数解析式，最后联立两个解析式解二元一次方程组，得到的解就是D点坐标，再结合x、y的实际意义说明D点的含义即可。
【解析】
(1) 妈妈的行走速度为50米/分，45分钟行走的路程为$45 × 50 = 2250$米，此时离家的距离为$3000 - 2250 = 750$米，即点$C$的坐标为$(45,750)$。
设线段$BC$的函数表达式为$y=kx+b(k ≠ 0,30 ≤ x ≤ 45)$，将$B(30,3000)$、$C(45,750)$代入得：
$\begin{cases}30k+b=3000\\45k+b=750\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-150\\b=7500\end{cases}$
因此线段$BC$的函数表达式为$y = -150x + 7500(30 ≤ x ≤ 45)$。
(2) 设$AC$所在直线的函数表达式为$y = k_1x+b_1$，将$A(0,3000)$、$C(45,750)$代入得：
$\begin{cases}b_1=3000\\45k_1+b_1=750\end{cases}$
解得$\begin{cases}k_1=-50\\b_1=3000\end{cases}$
因此$AC$所在直线的函数表达式为$y=-50x+3000$。
小明在C点时离家750米，回家速度为250米/分，回家所需时间为$750 ÷ 250 = 3$分，到家的时刻为$45+3=48$分，即点$E$坐标为$(48,0)$。
小明从家出发接妈妈的速度为250米/分，因此该段函数表达式为$y=250(x-48)=250x-12000$。
联立两个解析式得方程组：
$\begin{cases}y=-50x+3000\\y=250x-12000\end{cases}$
解得$\begin{cases}x=50\\y=500\end{cases}$
因此点$D$的坐标为$(50,500)$。
点$D$的实际意义：小明出发50分钟时，在离家500米的位置接到妈妈。
【答案】
(1) $y = -150x + 7500(30 ≤ x ≤ 45)$
(2) $D(50,500)$，实际意义为小明出发50分钟时，在离家500米的地方接到妈妈。
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式，一次函数的实际应用，一次函数与二元一次方程组的关系
【点评】
本题结合行程场景考查一次函数的应用，需要学生理清不同阶段的运动状态，准确提取图象信息，熟练掌握待定系数法求解析式、联立方程组求交点的方法，同时能结合实际场景理解函数坐标的含义。
【难度系数】
0.6
6[较难]如图,直线$l_1:y_1=kx+b$与y轴交于点A,与x轴交于点$B(\dfrac{3}{2},0)$,直线$l_2:y_2=-\dfrac{1}{2}x+2$与y轴交于点C,与直线$l_1$交于点D,点D到y轴的距离为2.
(1)求直线$l_1$的函数表达式.
(2)请直接写出方程组$\begin{cases}kx-y=-b,\\x+2y=4\end{cases}$的解: ______ .
(3)求$△ ACD$的面积.
(4)在直线$l_1$上是否存在异于点D的另一点M,使得$△ ACD$与$△ ACM$的面积相等?若存在,请求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
(1)求直线$l_1$的函数表达式.
(2)请直接写出方程组$\begin{cases}kx-y=-b,\\x+2y=4\end{cases}$的解: ______ .
(3)求$△ ACD$的面积.
(4)在直线$l_1$上是否存在异于点D的另一点M,使得$△ ACD$与$△ ACM$的面积相等?若存在,请求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
答案
(1)因为点 $D$ 到 $y$ 轴的距离为 2, 所以点 $D$ 的横坐标为 2. 把 $x=2$ 代入 $y_2=-\dfrac{1}{2}x+2$, 得 $y_2=-\dfrac{1}{2} × 2+2=1$, 所以 $D(2,1)$. 把 $B(\dfrac{3}{2},0)$, $D(2,1)$ 代入 $y_1=kx+b$, 得 $\begin{cases}\dfrac{3}{2}k+b=0,\\2k+b=1,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k=2,\\b=-3,\end{cases}$ 所以直线 $l_1$ 的函数表达式为 $y_1=2x-3$.
(2)根据原方程组易知, 直线 $l_1$ 与直线 $l_2$ 交点的坐标即为原方程组的解. 因为直线 $l_1$: $y_1=2x-3$ 与直线 $l_2$: $y_2=-\dfrac{1}{2}x+2$ 交于点 $D(2,1)$, 所以方程组 $\begin{cases}2x-y=3,\\x+2y=4\end{cases}$ 的解是 $\begin{cases}x=2,\\y=1,\end{cases}$ 故答案为 $\begin{cases}x=2,\\y=1.\end{cases}$
(3)把 $x=0$ 代入 $y_2=-\dfrac{1}{2}x+2$, 得 $y_2=2$, 所以 $C(0,2)$. 把 $x=0$ 代入 $y_1=2x-3$, 得 $y_1=-3$, 所以 $A(0,-3)$, 所以 $AC=2+3=5$, 所以 $S_{△ ACD}=\dfrac{1}{2} × 5 × 2=5$.
(4)存在. 若在直线 $l_1$ 上存在异于点 $D$ 的另一点 $M$, 使得 $△ ACD$ 与 $△ ACM$ 的面积相等, 则点 $M$ 到 $y$ 轴的距离为 2, 所以点 $M$ 的横坐标为 $-2$, 把 $x=-2$ 代入 $y_1=2x-3$, 得 $y_1=2 × (-2)-3=-7$, 所以点 $M$ 的坐标为 $(-2,-7)$.
(2)根据原方程组易知, 直线 $l_1$ 与直线 $l_2$ 交点的坐标即为原方程组的解. 因为直线 $l_1$: $y_1=2x-3$ 与直线 $l_2$: $y_2=-\dfrac{1}{2}x+2$ 交于点 $D(2,1)$, 所以方程组 $\begin{cases}2x-y=3,\\x+2y=4\end{cases}$ 的解是 $\begin{cases}x=2,\\y=1,\end{cases}$ 故答案为 $\begin{cases}x=2,\\y=1.\end{cases}$
(3)把 $x=0$ 代入 $y_2=-\dfrac{1}{2}x+2$, 得 $y_2=2$, 所以 $C(0,2)$. 把 $x=0$ 代入 $y_1=2x-3$, 得 $y_1=-3$, 所以 $A(0,-3)$, 所以 $AC=2+3=5$, 所以 $S_{△ ACD}=\dfrac{1}{2} × 5 × 2=5$.
(4)存在. 若在直线 $l_1$ 上存在异于点 $D$ 的另一点 $M$, 使得 $△ ACD$ 与 $△ ACM$ 的面积相等, 则点 $M$ 到 $y$ 轴的距离为 2, 所以点 $M$ 的横坐标为 $-2$, 把 $x=-2$ 代入 $y_1=2x-3$, 得 $y_1=2 × (-2)-3=-7$, 所以点 $M$ 的坐标为 $(-2,-7)$.
解析
【分析】
（1）要确定直线$l_1$的函数表达式，需用待定系数法，已知$l_1$过点$B$，还需先求交点$D$的坐标：点$D$到$y$轴距离为2，可知其横坐标为2，代入$l_2$的解析式可求出$D$的纵坐标，再将$B$、$D$坐标代入$y_1=kx+b$求解$k$和$b$即可。
（2）二元一次方程组的解对应两个方程所代表的一次函数图象的交点坐标，题中方程组是$l_1$、$l_2$解析式变形得到的，因此两直线交点$D$的坐标就是方程组的解。
（3）求$△ ACD$的面积，先求$A$、$C$两点坐标（令直线解析式中$x=0$即可得到两点纵坐标，两点都在$y$轴上），$AC$为底时，高是点$D$到$y$轴的水平距离，代入三角形面积公式计算即可。
（4）$△ ACD$和$△ ACM$有公共底$AC$，若面积相等则高相等，即点$M$到$y$轴的距离也为2，结合$M$异于$D$可得$M$的横坐标，代入$l_1$解析式即可求出$M$的坐标。
【解析】
(1) 因为点$D$到$y$轴的距离为2，所以点$D$的横坐标为2。把$x=2$代入$y_2=-\dfrac{1}{2}x+2$，得$y_2=-\dfrac{1}{2} × 2 + 2 = 1$，即$D(2,1)$。
将$B(\dfrac{3}{2},0)$、$D(2,1)$代入$y_1=kx+b$，得：
$\begin{cases}\dfrac{3}{2}k + b = 0 \\2k + b = 1\end{cases}$
用第二个方程减第一个方程，得$\dfrac{1}{2}k=1$，解得$k=2$，将$k=2$代入$2k+b=1$，得$b=-3$。
因此直线$l_1$的函数表达式为$y_1=2x-3$。
(2) 方程组$\begin{cases}kx-y=-b\\x+2y=4\end{cases}$可变形为$\begin{cases}y=kx+b\\y=-\dfrac{1}{2}x+2\end{cases}$，其解就是直线$l_1$和$l_2$的交点坐标，已知两直线交点为$D(2,1)$，所以方程组的解为$\begin{cases}x=2\\y=1\end{cases}$。
(3) 令$y_2=-\dfrac{1}{2}x+2$中$x=0$，得$y_2=2$，即$C(0,2)$；
令$y_1=2x-3$中$x=0$，得$y_1=-3$，即$A(0,-3)$；
$AC$的长度为$|2-(-3)|=5$，点$D$到$y$轴的距离为2，即$△ ACD$中$AC$边上的高为2，
因此$S_{△ ACD}=\dfrac{1}{2} × 5 × 2 = 5$。
(4) 存在。
$△ ACD$和$△ ACM$共底$AC$，若面积相等，则$AC$边上的高相等，即点$M$到$y$轴的距离为2。
因为$M$异于点$D$，所以$M$的横坐标为$-2$，将$x=-2$代入$y_1=2x-3$，得$y=2×(-2)-3=-7$，即$M(-2,-7)$。
【答案】
(1) $y=2x-3$
(2) $\begin{cases}x=2\\y=1\end{cases}$
(3) $5$
(4) 存在，$M(-2,-7)$
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一次函数与二元一次方程组的关系；一次函数面积计算
【点评】
本题综合考查一次函数的相关应用，涵盖解析式求解、函数与方程组的联系、三角形面积计算及存在性探究，解题时需结合数形结合思想，利用“共底等高的三角形面积相等”的规律简化计算，对一次函数的综合应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
（1）要确定直线$l_1$的函数表达式，需用待定系数法，已知$l_1$过点$B$，还需先求交点$D$的坐标：点$D$到$y$轴距离为2，可知其横坐标为2，代入$l_2$的解析式可求出$D$的纵坐标，再将$B$、$D$坐标代入$y_1=kx+b$求解$k$和$b$即可。
（2）二元一次方程组的解对应两个方程所代表的一次函数图象的交点坐标，题中方程组是$l_1$、$l_2$解析式变形得到的，因此两直线交点$D$的坐标就是方程组的解。
（3）求$△ ACD$的面积，先求$A$、$C$两点坐标（令直线解析式中$x=0$即可得到两点纵坐标，两点都在$y$轴上），$AC$为底时，高是点$D$到$y$轴的水平距离，代入三角形面积公式计算即可。
（4）$△ ACD$和$△ ACM$有公共底$AC$，若面积相等则高相等，即点$M$到$y$轴的距离也为2，结合$M$异于$D$可得$M$的横坐标，代入$l_1$解析式即可求出$M$的坐标。
【解析】
(1) 因为点$D$到$y$轴的距离为2，所以点$D$的横坐标为2。把$x=2$代入$y_2=-\dfrac{1}{2}x+2$，得$y_2=-\dfrac{1}{2} × 2 + 2 = 1$，即$D(2,1)$。
将$B(\dfrac{3}{2},0)$、$D(2,1)$代入$y_1=kx+b$，得：
$\begin{cases}\dfrac{3}{2}k + b = 0 \\2k + b = 1\end{cases}$
用第二个方程减第一个方程，得$\dfrac{1}{2}k=1$，解得$k=2$，将$k=2$代入$2k+b=1$，得$b=-3$。
因此直线$l_1$的函数表达式为$y_1=2x-3$。
(2) 方程组$\begin{cases}kx-y=-b\\x+2y=4\end{cases}$可变形为$\begin{cases}y=kx+b\\y=-\dfrac{1}{2}x+2\end{cases}$，其解就是直线$l_1$和$l_2$的交点坐标，已知两直线交点为$D(2,1)$，所以方程组的解为$\begin{cases}x=2\\y=1\end{cases}$。
(3) 令$y_2=-\dfrac{1}{2}x+2$中$x=0$，得$y_2=2$，即$C(0,2)$；
令$y_1=2x-3$中$x=0$，得$y_1=-3$，即$A(0,-3)$；
$AC$的长度为$|2-(-3)|=5$，点$D$到$y$轴的距离为2，即$△ ACD$中$AC$边上的高为2，
因此$S_{△ ACD}=\dfrac{1}{2} × 5 × 2 = 5$。
(4) 存在。
$△ ACD$和$△ ACM$共底$AC$，若面积相等，则$AC$边上的高相等，即点$M$到$y$轴的距离为2。
因为$M$异于点$D$，所以$M$的横坐标为$-2$，将$x=-2$代入$y_1=2x-3$，得$y=2×(-2)-3=-7$，即$M(-2,-7)$。
【答案】
(1) $y=2x-3$
(2) $\begin{cases}x=2\\y=1\end{cases}$
(3) $5$
(4) 存在，$M(-2,-7)$
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一次函数与二元一次方程组的关系；一次函数面积计算
【点评】
本题综合考查一次函数的相关应用，涵盖解析式求解、函数与方程组的联系、三角形面积计算及存在性探究，解题时需结合数形结合思想，利用“共底等高的三角形面积相等”的规律简化计算，对一次函数的综合应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
