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1 下列关于$96^2$的计算方法正确的是 （
A.$96^2=(100-4)^2=100^2-4^2=9984$
B.$96^2=(95+1)×(95-1)=95^2-1=9024$
C.$96^2=(90+6)^2=90^2+6^2=8136$
D.$96^2=(100-4)^2=100^2-2×4×100+4^2=9216$
D
）A.$96^2=(100-4)^2=100^2-4^2=9984$
B.$96^2=(95+1)×(95-1)=95^2-1=9024$
C.$96^2=(90+6)^2=90^2+6^2=8136$
D.$96^2=(100-4)^2=100^2-2×4×100+4^2=9216$
答案
D
解析
【分析】
本题考查乘法公式的应用，解题时首先要明确完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$、平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$的结构特征，再逐一分析每个选项的变形和计算是否符合公式规则，排除错误选项即可得到正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：将$96^2$变形为$(100-4)^2$，根据完全平方差公式，展开应为$100^2 - 2×100×4 +4^2$，选项中漏掉了交叉项$-2×100×4$，计算错误。
B选项：$(95+1)×(95-1)=96×94$，与$96^2$不相等，变形错误，属于误用平方差公式。
C选项：将$96^2$变形为$(90+6)^2$，根据完全平方和公式，展开应为$90^2 + 2×90×6 +6^2$，选项中漏掉了交叉项$2×90×6$，计算错误。
D选项：$(100-4)^2=100^2 - 2×4×100 +4^2=10000-800+16=9216$，完全符合完全平方差公式的计算规则，计算正确。
【答案】
D
【知识点】
完全平方公式，平方差公式
【点评】
本题核心考查对乘法公式结构的掌握，易错点是使用完全平方公式时遗漏中间的交叉乘积项，或混淆完全平方公式与平方差公式的适用场景，牢记公式结构即可快速判断正误。
【难度系数】
0.8
本题考查乘法公式的应用，解题时首先要明确完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$、平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$的结构特征，再逐一分析每个选项的变形和计算是否符合公式规则，排除错误选项即可得到正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：将$96^2$变形为$(100-4)^2$，根据完全平方差公式，展开应为$100^2 - 2×100×4 +4^2$，选项中漏掉了交叉项$-2×100×4$，计算错误。
B选项：$(95+1)×(95-1)=96×94$，与$96^2$不相等，变形错误，属于误用平方差公式。
C选项：将$96^2$变形为$(90+6)^2$，根据完全平方和公式，展开应为$90^2 + 2×90×6 +6^2$，选项中漏掉了交叉项$2×90×6$，计算错误。
D选项：$(100-4)^2=100^2 - 2×4×100 +4^2=10000-800+16=9216$，完全符合完全平方差公式的计算规则，计算正确。
【答案】
D
【知识点】
完全平方公式，平方差公式
【点评】
本题核心考查对乘法公式结构的掌握，易错点是使用完全平方公式时遗漏中间的交叉乘积项，或混淆完全平方公式与平方差公式的适用场景，牢记公式结构即可快速判断正误。
【难度系数】
0.8
2 小丽在计算$3×(4+1)×(4^2+1)$时，把3写成$(4-1)$后，发现可以连续运用平方差公式计算：$3×(4+1)×(4^2+1)=(4-1)×(4+1)×(4^2+1)=(4^2-1)×(4^2+1)=16^2-1=255$。
借鉴小丽的经验，计算$(1+\dfrac{1}{2})×(1+\dfrac{1}{2^2})×(1+\dfrac{1}{2^4})×(1+\dfrac{1}{2^8})+\dfrac{1}{2^{15}}$的结果是
借鉴小丽的经验，计算$(1+\dfrac{1}{2})×(1+\dfrac{1}{2^2})×(1+\dfrac{1}{2^4})×(1+\dfrac{1}{2^8})+\dfrac{1}{2^{15}}$的结果是
2
。答案
2
解析
【分析】
观察式子结构，每个括号均为两数和的形式，和题干示例结构类似，可借助平方差公式简化运算。要使用平方差公式，需要搭配对应的两数差项，因此给原式连乘部分先乘$(1-\dfrac{1}{2})$，再乘2（$(1-\dfrac{1}{2})×2=1$，不改变原式大小），即可构造出平方差公式的标准形式，连续运用平方差公式化简后，再和$\dfrac{1}{2^{15}}$合并即可得到结果。
【解析】
解：
$\begin{aligned}&(1+\frac{1}{2})×(1+\frac{1}{2^2})×(1+\frac{1}{2^4})×(1+\frac{1}{2^8})+\frac{1}{2^{15}}\\=&2×(1-\frac{1}{2})×(1+\frac{1}{2})×(1+\frac{1}{2^2})×(1+\frac{1}{2^4})×(1+\frac{1}{2^8})+\frac{1}{2^{15}}\\=&2×(1-\frac{1}{2^2})×(1+\frac{1}{2^2})×(1+\frac{1}{2^4})×(1+\frac{1}{2^8})+\frac{1}{2^{15}}\\=&2×(1-\frac{1}{2^4})×(1+\frac{1}{2^4})×(1+\frac{1}{2^8})+\frac{1}{2^{15}}\\=&2×(1-\frac{1}{2^8})×(1+\frac{1}{2^8})+\frac{1}{2^{15}}\\=&2×(1-\frac{1}{2^{16}})+\frac{1}{2^{15}}\\=&2 - \frac{1}{2^{15}} + \frac{1}{2^{15}}\\=&2\end{aligned}$
【答案】
2
【知识点】
平方差公式，凑项化简，有理数混合运算
【点评】
本题是平方差公式的拓展应用，核心是通过凑项构造平方差公式的结构，将复杂连乘运算通过公式简化，避免逐项计算的繁琐，熟练掌握平方差公式的形式是解题的基础。
【难度系数】
0.6
观察式子结构，每个括号均为两数和的形式，和题干示例结构类似，可借助平方差公式简化运算。要使用平方差公式，需要搭配对应的两数差项，因此给原式连乘部分先乘$(1-\dfrac{1}{2})$，再乘2（$(1-\dfrac{1}{2})×2=1$，不改变原式大小），即可构造出平方差公式的标准形式，连续运用平方差公式化简后，再和$\dfrac{1}{2^{15}}$合并即可得到结果。
【解析】
解：
$\begin{aligned}&(1+\frac{1}{2})×(1+\frac{1}{2^2})×(1+\frac{1}{2^4})×(1+\frac{1}{2^8})+\frac{1}{2^{15}}\\=&2×(1-\frac{1}{2})×(1+\frac{1}{2})×(1+\frac{1}{2^2})×(1+\frac{1}{2^4})×(1+\frac{1}{2^8})+\frac{1}{2^{15}}\\=&2×(1-\frac{1}{2^2})×(1+\frac{1}{2^2})×(1+\frac{1}{2^4})×(1+\frac{1}{2^8})+\frac{1}{2^{15}}\\=&2×(1-\frac{1}{2^4})×(1+\frac{1}{2^4})×(1+\frac{1}{2^8})+\frac{1}{2^{15}}\\=&2×(1-\frac{1}{2^8})×(1+\frac{1}{2^8})+\frac{1}{2^{15}}\\=&2×(1-\frac{1}{2^{16}})+\frac{1}{2^{15}}\\=&2 - \frac{1}{2^{15}} + \frac{1}{2^{15}}\\=&2\end{aligned}$
【答案】
2
【知识点】
平方差公式，凑项化简，有理数混合运算
【点评】
本题是平方差公式的拓展应用，核心是通过凑项构造平方差公式的结构，将复杂连乘运算通过公式简化，避免逐项计算的繁琐，熟练掌握平方差公式的形式是解题的基础。
【难度系数】
0.6
3 计算：
(1) $105×95 - 203×197$；
(2) $\dfrac{312^2}{-1 - 313×311}$。
(1) $105×95 - 203×197$；
(2) $\dfrac{312^2}{-1 - 313×311}$。
答案
(1) -30 016
(2) -1
(2) -1
解析
【分析】
这两道题均可通过平方差公式简化运算，避免直接计算大数乘法出错。
(1) 观察到105和95分别是100与5的和、差，203和197分别是200与3的和、差，可先将两组乘法分别转化为平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$的形式计算，再求差即可。
(2) 观察分母中313和311分别是312与1的和、差，先将$313×311$用平方差公式展开，再化简分母，最后计算分式的值即可。
【解析】
(1) 利用平方差公式计算：
$105×95=(100+5)(100-5)=100^2 - 5^2=10000-25=9975$
$203×197=(200+3)(200-3)=200^2 - 3^2=40000-9=39991$
则原式$=9975 - 39991=-30016$
(2) 先化简分母：
分母中$313×311=(312+1)(312-1)=312^2 - 1^2=312^2 -1$
代入分母得：$-1-(312^2 -1)=-1-312^2 +1=-312^2$
则原式$=\dfrac{312^2}{-312^2}=-1$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-30016}$；(2) $\boldsymbol{-1}$
【知识点】
平方差公式，有理数混合运算
【点评】
本题考查乘法公式的灵活应用，解题核心是观察相乘的两个数的特征，将其变形为“两数和×两数差”的结构，利用平方差公式简化计算，大幅降低大数运算的出错概率。
【难度系数】
0.7
这两道题均可通过平方差公式简化运算，避免直接计算大数乘法出错。
(1) 观察到105和95分别是100与5的和、差，203和197分别是200与3的和、差，可先将两组乘法分别转化为平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$的形式计算，再求差即可。
(2) 观察分母中313和311分别是312与1的和、差，先将$313×311$用平方差公式展开，再化简分母，最后计算分式的值即可。
【解析】
(1) 利用平方差公式计算：
$105×95=(100+5)(100-5)=100^2 - 5^2=10000-25=9975$
$203×197=(200+3)(200-3)=200^2 - 3^2=40000-9=39991$
则原式$=9975 - 39991=-30016$
(2) 先化简分母：
分母中$313×311=(312+1)(312-1)=312^2 - 1^2=312^2 -1$
代入分母得：$-1-(312^2 -1)=-1-312^2 +1=-312^2$
则原式$=\dfrac{312^2}{-312^2}=-1$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-30016}$；(2) $\boldsymbol{-1}$
【知识点】
平方差公式，有理数混合运算
【点评】
本题考查乘法公式的灵活应用，解题核心是观察相乘的两个数的特征，将其变形为“两数和×两数差”的结构，利用平方差公式简化计算，大幅降低大数运算的出错概率。
【难度系数】
0.7
4 若$s-t=7$，则$s^2 - t^2 -14t$的值是（
A.42
B.50
C.56
D.49
D
）A.42
B.50
C.56
D.49
答案
D
解析
【分析】
首先观察所求代数式的结构，前两项$s^2 - t^2$符合平方差公式的形式，因此可以先利用平方差公式对其因式分解，再结合已知条件$s-t=7$代入化简，最后通过整理代数式，将其转化为仅含$s-t$的形式，整体代入即可求出结果，不需要单独求解s和t的具体值。
【解析】
首先利用平方差公式分解前两项：
$s^2 - t^2 -14t=(s-t)(s+t)-14t$
已知$s-t=7$，将其代入上式：
原式$=7(s+t)-14t$
展开并合并同类项：
$=7s+7t-14t=7s-7t=7(s-t)$
再将$s-t=7$整体代入：
原式$=7×7=49$
【答案】
D
【知识点】
平方差公式，代数式求值，整体代入思想
【点评】
本题考查乘法公式的灵活应用，解题核心是先通过平方差公式因式分解简化代数式，再利用整体代入思想代入已知条件求解，避免了单独求解未知量的繁琐，能有效提升解题效率。
【难度系数】
0.7
首先观察所求代数式的结构，前两项$s^2 - t^2$符合平方差公式的形式，因此可以先利用平方差公式对其因式分解，再结合已知条件$s-t=7$代入化简，最后通过整理代数式，将其转化为仅含$s-t$的形式，整体代入即可求出结果，不需要单独求解s和t的具体值。
【解析】
首先利用平方差公式分解前两项：
$s^2 - t^2 -14t=(s-t)(s+t)-14t$
已知$s-t=7$，将其代入上式：
原式$=7(s+t)-14t$
展开并合并同类项：
$=7s+7t-14t=7s-7t=7(s-t)$
再将$s-t=7$整体代入：
原式$=7×7=49$
【答案】
D
【知识点】
平方差公式，代数式求值，整体代入思想
【点评】
本题考查乘法公式的灵活应用，解题核心是先通过平方差公式因式分解简化代数式，再利用整体代入思想代入已知条件求解，避免了单独求解未知量的繁琐，能有效提升解题效率。
【难度系数】
0.7
5 如果$(x+1)^2=3$，$|y-1|=1$，那么$x^2+2x+y^2-2y+5$的值是（
A.7
B.9
C.13
D.14
A
）A.7
B.9
C.13
D.14
答案
A
解析
【分析】
解题时不要直接求解x、y的具体值，首先观察已知条件和所求代数式的结构特征，可利用完全平方公式将所求代数式变形为含有已知的$(x+1)^2$和$(y-1)^2$的形式，再结合绝对值的性质得到$(y-1)^2$的值，最后整体代入计算即可，能大幅简化运算步骤。
【解析】
首先对所求代数式利用完全平方公式变形：
$\begin{aligned}x^2+2x+y^2-2y+5&=(x^2+2x+1)+(y^2-2y+1)+3\\&=(x+1)^2+(y-1)^2+3\end{aligned}$
已知$(x+1)^2=3$，由$|y-1|=1$可得：$(y-1)^2=|y-1|^2=1^2=1$。
将两个值代入变形后的式子：
原式$=3+1+3=7$
【答案】
A
【知识点】
1.完全平方公式 2.绝对值的性质 3.整体代入求值
【点评】
本题侧重考查乘法公式的灵活运用，解题核心是通过拆项配方法将所求代数式转化为与已知条件对应的形式，用整体代入法避免了复杂的开方运算，是整式化简求值的典型题型。
【难度系数】
0.7
解题时不要直接求解x、y的具体值，首先观察已知条件和所求代数式的结构特征，可利用完全平方公式将所求代数式变形为含有已知的$(x+1)^2$和$(y-1)^2$的形式，再结合绝对值的性质得到$(y-1)^2$的值，最后整体代入计算即可，能大幅简化运算步骤。
【解析】
首先对所求代数式利用完全平方公式变形：
$\begin{aligned}x^2+2x+y^2-2y+5&=(x^2+2x+1)+(y^2-2y+1)+3\\&=(x+1)^2+(y-1)^2+3\end{aligned}$
已知$(x+1)^2=3$，由$|y-1|=1$可得：$(y-1)^2=|y-1|^2=1^2=1$。
将两个值代入变形后的式子：
原式$=3+1+3=7$
【答案】
A
【知识点】
1.完全平方公式 2.绝对值的性质 3.整体代入求值
【点评】
本题侧重考查乘法公式的灵活运用，解题核心是通过拆项配方法将所求代数式转化为与已知条件对应的形式，用整体代入法避免了复杂的开方运算，是整式化简求值的典型题型。
【难度系数】
0.7
6 若$a - b = 4$，$ab = -2$，则$a^2 + 4ab + b^2$的值为
4
答案
4
解析
【分析】
首先观察所求代数式的结构，联想到完全平方公式，该公式可以实现$a^2+b^2$与$(a-b)^2$、$ab$之间的转换。已知$a-b$和$ab$的取值，因此解题思路是先将所求的$a^2+4ab+b^2$变形为含有$(a-b)$和$ab$的形式，再整体代入已知数值计算即可，无需单独求出$a$、$b$的具体值，用整体代入法更简便。
【解析】
解：根据完全平方公式可得：$a^2 + b^2 = (a - b)^2 + 2ab$
将其代入所求代数式变形得：
$\begin{aligned}a^2 + 4ab + b^2&=(a^2 + b^2) + 4ab\\&=(a - b)^2 + 2ab + 4ab\\&=(a - b)^2 + 6ab\end{aligned}$
把$a - b = 4$，$ab = -2$代入上式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&= 4^2 + 6×(-2)\\&= 16 - 12\\&= 4\end{aligned}$
【答案】
4
【知识点】
1.完全平方公式 2.代数式求值 3.整体代入思想
【点评】
本题主要考查乘法公式的灵活应用，解题核心是通过对所求代数式进行合理变形，将未知转化为已知，利用整体代入的思想简化计算，避免复杂的解方程运算，是整式运算中的常见题型。
【难度系数】
0.8
首先观察所求代数式的结构，联想到完全平方公式，该公式可以实现$a^2+b^2$与$(a-b)^2$、$ab$之间的转换。已知$a-b$和$ab$的取值，因此解题思路是先将所求的$a^2+4ab+b^2$变形为含有$(a-b)$和$ab$的形式，再整体代入已知数值计算即可，无需单独求出$a$、$b$的具体值，用整体代入法更简便。
【解析】
解：根据完全平方公式可得：$a^2 + b^2 = (a - b)^2 + 2ab$
将其代入所求代数式变形得：
$\begin{aligned}a^2 + 4ab + b^2&=(a^2 + b^2) + 4ab\\&=(a - b)^2 + 2ab + 4ab\\&=(a - b)^2 + 6ab\end{aligned}$
把$a - b = 4$，$ab = -2$代入上式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&= 4^2 + 6×(-2)\\&= 16 - 12\\&= 4\end{aligned}$
【答案】
4
【知识点】
1.完全平方公式 2.代数式求值 3.整体代入思想
【点评】
本题主要考查乘法公式的灵活应用，解题核心是通过对所求代数式进行合理变形，将未知转化为已知，利用整体代入的思想简化计算，避免复杂的解方程运算，是整式运算中的常见题型。
【难度系数】
0.8
7 若$(a+b)^2=7,(a-b)^2=3$,则$a^2+b^2-3ab$的值为
2
.答案
2 【解析】
∵$(a+b)^2=7,∴ a^2+b^2+2ab=7①. ∵ (a-b)^2=3,∴ a^2+b^2-2ab=3②. 由①+②,得 a^2+b^2=5;由①-②,得 ab=1. ∴ a^2+b^2-3ab=5-3=2.$
∵$(a+b)^2=7,∴ a^2+b^2+2ab=7①. ∵ (a-b)^2=3,∴ a^2+b^2-2ab=3②. 由①+②,得 a^2+b^2=5;由①-②,得 ab=1. ∴ a^2+b^2-3ab=5-3=2.$
解析
【分析】
首先观察已知条件和待求式的结构特征，已知为两个完全平方的形式，待求式由$a^2+b^2$和$ab$两个整体组成，因此可以先利用完全平方公式将已知的两个等式展开，通过将两个展开式相加、相减，分别求出$a^2+b^2$和$ab$的值，最后整体代入待求式计算即可得到结果，无需单独求解$a$、$b$的具体值。
【解析】
∵$(a+b)^2=7$，
∴$a^2+b^2+2ab=7$ ①，
∵$(a-b)^2=3$，
∴$a^2+b^2-2ab=3$ ②，
由①+②，得$2(a^2+b^2)=10$，解得$a^2+b^2=5$；
由①-②，得$4ab=4$，解得$ab=1$，
将$a^2+b^2=5$，$ab=1$代入$a^2+b^2-3ab$，得：
原式$=5-3×1=2$。
【答案】
2
【知识点】
1. 完全平方公式
2. 整体代入求值
【点评】
本题是乘法公式应用的典型题型，核心是利用完全平方展开式的结构特征，通过作和、作差快速得到所需的代数式整体，避免了单独求解未知数的繁琐，能很好地考查对乘法公式的灵活运用能力和整体思想的掌握情况。
【难度系数】
0.7
首先观察已知条件和待求式的结构特征，已知为两个完全平方的形式，待求式由$a^2+b^2$和$ab$两个整体组成，因此可以先利用完全平方公式将已知的两个等式展开，通过将两个展开式相加、相减，分别求出$a^2+b^2$和$ab$的值，最后整体代入待求式计算即可得到结果，无需单独求解$a$、$b$的具体值。
【解析】
∵$(a+b)^2=7$，
∴$a^2+b^2+2ab=7$ ①，
∵$(a-b)^2=3$，
∴$a^2+b^2-2ab=3$ ②，
由①+②，得$2(a^2+b^2)=10$，解得$a^2+b^2=5$；
由①-②，得$4ab=4$，解得$ab=1$，
将$a^2+b^2=5$，$ab=1$代入$a^2+b^2-3ab$，得：
原式$=5-3×1=2$。
【答案】
2
【知识点】
1. 完全平方公式
2. 整体代入求值
【点评】
本题是乘法公式应用的典型题型，核心是利用完全平方展开式的结构特征，通过作和、作差快速得到所需的代数式整体，避免了单独求解未知数的繁琐，能很好地考查对乘法公式的灵活运用能力和整体思想的掌握情况。
【难度系数】
0.7
8 数形结合思想 如图,边长为$a$的正方形$ABCD$和边长为$b(a＞b)$的正方形$CEFG$拼在一起,$B$,$C$,$E$三点在同一条直线上,设图中阴影部分的面积为$S$.
(1) 如图①,$S$的值与$a$的大小有关吗?请说明理由.
(2) 如图②,若$a+b=10$,$ab=21$,求$S$的值.
(3) 如图③,若$a-b=2$,$a^2+b^2=7$,求$S^2$的值.
(1) 如图①,$S$的值与$a$的大小有关吗?请说明理由.
(2) 如图②,若$a+b=10$,$ab=21$,求$S$的值.
(3) 如图③,若$a-b=2$,$a^2+b^2=7$,求$S^2$的值.
答案
(1) S 的值与a 的大小无关 理由:由题意,得 $S=a^2+b^2-\frac{1}{2}(a+b)· a-\frac{1}{2}(a-b)· a-\frac{1}{2}b^2=\frac{1}{2}b^2$,
∴ S 的值与a 的大小无关.
(2)
∵ $a+b=10,ab=21,∴ S=\frac{1}{2}a^2+b^2-\frac{1}{2}(a+b)· b=\frac{1}{2}a^2+\frac{1}{2}b^2-\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}(a+b)^2-\frac{3}{2}ab=\frac{1}{2}×10^2-\frac{3}{2}×21=50-31.5=18.5$
(3)
∵ $S=\frac{1}{2}(a-b)· a+\frac{1}{2}(a-b)· b=\frac{1}{2}(a-b)(a+b),∴ S^2=\frac{1}{4}(a-b)^2(a+b)^2. ∵ a-b=2,∴ (a-b)^2=a^2-2ab+b^2=4. ∵ a^2+b^2=7,∴ 2ab=3. ∴ (a+b)^2=a^2+2ab+b^2=10. ∴ S^2=\frac{1}{4}×4×10=10$
∴ S 的值与a 的大小无关.
(2)
∵ $a+b=10,ab=21,∴ S=\frac{1}{2}a^2+b^2-\frac{1}{2}(a+b)· b=\frac{1}{2}a^2+\frac{1}{2}b^2-\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}(a+b)^2-\frac{3}{2}ab=\frac{1}{2}×10^2-\frac{3}{2}×21=50-31.5=18.5$
(3)
∵ $S=\frac{1}{2}(a-b)· a+\frac{1}{2}(a-b)· b=\frac{1}{2}(a-b)(a+b),∴ S^2=\frac{1}{4}(a-b)^2(a+b)^2. ∵ a-b=2,∴ (a-b)^2=a^2-2ab+b^2=4. ∵ a^2+b^2=7,∴ 2ab=3. ∴ (a+b)^2=a^2+2ab+b^2=10. ∴ S^2=\frac{1}{4}×4×10=10$
解析
【分析】
本题考查数形结合思想下的面积计算与乘法公式的综合应用，解题思路如下：
(1) 要判断S和a是否有关，可先用两个正方形的面积之和减去所有空白三角形的面积，得到S的表达式，再观察表达式中是否含有a即可判断；
(2) 先通过割补法推导图②中S的表达式，再利用完全平方公式将表达式变形为用a+b、ab表示的形式，整体代入已知数值计算即可，无需单独求解a、b；
(3) 先将图③的阴影部分分割为两个同底的三角形，推导得到S的表达式，再结合已知条件，利用完全平方公式分别求出$(a-b)^2$和$(a+b)^2$的值，代入计算$S^2$即可。
【解析】
(1) S的值与a的大小无关，理由如下：
两个正方形的面积之和为$a^2 + b^2$，
空白部分三个三角形的面积分别为：$\frac{1}{2}a(a+b)$、$\frac{1}{2}a(a-b)$、$\frac{1}{2}b^2$，
因此阴影面积$S = a^2 + b^2 - \frac{1}{2}a(a+b) - \frac{1}{2}a(a-b) - \frac{1}{2}b^2$，
化简得：
$S = a^2 + b^2 - \frac{1}{2}a^2 - \frac{1}{2}ab - \frac{1}{2}a^2 + \frac{1}{2}ab - \frac{1}{2}b^2 = \frac{1}{2}b^2$，
表达式中不含a，因此S的值与a的大小无关。
(2) 对于图②，阴影面积S可表示为：
$S = \frac{1}{2}a^2 + b^2 - \frac{1}{2}b(a+b)$，
化简得：
$S = \frac{1}{2}a^2 + b^2 - \frac{1}{2}ab - \frac{1}{2}b^2 = \frac{1}{2}a^2 + \frac{1}{2}b^2 - \frac{1}{2}ab$，
利用完全平方公式变形：$\frac{1}{2}(a^2 + b^2) - \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2}[(a+b)^2 - 2ab] - \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2}(a+b)^2 - \frac{3}{2}ab$，
将$a+b=10$，$ab=21$代入得：
$S = \frac{1}{2}×10^2 - \frac{3}{2}×21 = 50 - 31.5 = 18.5$。
(3) 对于图③，阴影部分可分为底均为$(a-b)$，高分别为a、b的两个三角形，因此：
$S = \frac{1}{2}(a-b)·a + \frac{1}{2}(a-b)·b = \frac{1}{2}(a-b)(a+b)$，
因此$S^2 = \frac{1}{4}(a-b)^2(a+b)^2$，
已知$a-b=2$，因此$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 = 4$，
又已知$a^2 + b^2 =7$，代入得$7 - 2ab = 4$，解得$2ab=3$，
因此$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 = 7 + 3 =10$，
将$(a-b)^2=4$，$(a+b)^2=10$代入$S^2$的表达式得：
$S^2 = \frac{1}{4}×4×10 =10$。
【答案】
(1) S的值与a的大小无关，理由见解析；
(2) $S=18.5$；
(3) $S^2=10$
【知识点】
割补法求面积、完全平方公式、整体代入求值
【点评】
本题是数形结合思想的典型应用，将几何面积计算与代数乘法公式相结合，解题时无需单独求出a、b的数值，通过公式变形进行整体代入即可简化计算，能很好地考查对乘法公式的灵活应用能力。
【难度系数】
0.7
本题考查数形结合思想下的面积计算与乘法公式的综合应用，解题思路如下：
(1) 要判断S和a是否有关，可先用两个正方形的面积之和减去所有空白三角形的面积，得到S的表达式，再观察表达式中是否含有a即可判断；
(2) 先通过割补法推导图②中S的表达式，再利用完全平方公式将表达式变形为用a+b、ab表示的形式，整体代入已知数值计算即可，无需单独求解a、b；
(3) 先将图③的阴影部分分割为两个同底的三角形，推导得到S的表达式，再结合已知条件，利用完全平方公式分别求出$(a-b)^2$和$(a+b)^2$的值，代入计算$S^2$即可。
【解析】
(1) S的值与a的大小无关，理由如下：
两个正方形的面积之和为$a^2 + b^2$，
空白部分三个三角形的面积分别为：$\frac{1}{2}a(a+b)$、$\frac{1}{2}a(a-b)$、$\frac{1}{2}b^2$，
因此阴影面积$S = a^2 + b^2 - \frac{1}{2}a(a+b) - \frac{1}{2}a(a-b) - \frac{1}{2}b^2$，
化简得：
$S = a^2 + b^2 - \frac{1}{2}a^2 - \frac{1}{2}ab - \frac{1}{2}a^2 + \frac{1}{2}ab - \frac{1}{2}b^2 = \frac{1}{2}b^2$，
表达式中不含a，因此S的值与a的大小无关。
(2) 对于图②，阴影面积S可表示为：
$S = \frac{1}{2}a^2 + b^2 - \frac{1}{2}b(a+b)$，
化简得：
$S = \frac{1}{2}a^2 + b^2 - \frac{1}{2}ab - \frac{1}{2}b^2 = \frac{1}{2}a^2 + \frac{1}{2}b^2 - \frac{1}{2}ab$，
利用完全平方公式变形：$\frac{1}{2}(a^2 + b^2) - \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2}[(a+b)^2 - 2ab] - \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2}(a+b)^2 - \frac{3}{2}ab$，
将$a+b=10$，$ab=21$代入得：
$S = \frac{1}{2}×10^2 - \frac{3}{2}×21 = 50 - 31.5 = 18.5$。
(3) 对于图③，阴影部分可分为底均为$(a-b)$，高分别为a、b的两个三角形，因此：
$S = \frac{1}{2}(a-b)·a + \frac{1}{2}(a-b)·b = \frac{1}{2}(a-b)(a+b)$，
因此$S^2 = \frac{1}{4}(a-b)^2(a+b)^2$，
已知$a-b=2$，因此$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 = 4$，
又已知$a^2 + b^2 =7$，代入得$7 - 2ab = 4$，解得$2ab=3$，
因此$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 = 7 + 3 =10$，
将$(a-b)^2=4$，$(a+b)^2=10$代入$S^2$的表达式得：
$S^2 = \frac{1}{4}×4×10 =10$。
【答案】
(1) S的值与a的大小无关，理由见解析；
(2) $S=18.5$；
(3) $S^2=10$
【知识点】
割补法求面积、完全平方公式、整体代入求值
【点评】
本题是数形结合思想的典型应用，将几何面积计算与代数乘法公式相结合，解题时无需单独求出a、b的数值，通过公式变形进行整体代入即可简化计算，能很好地考查对乘法公式的灵活应用能力。
【难度系数】
0.7
