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9 已知$(x-2024)^2 + (x-2026)^2 = 38$，则$(x-2025)^2$的值是（
A.4
B.18
C.12
D.16
B
）A.4
B.18
C.12
D.16
答案
B 【解析】设 $x-2\ 025=a.\ \because\ (x-2\ 024)^2 + (x-2\ 026)^2=38,\therefore\ [(x-2\ 025)+1]^2 + [(x-2\ 025)-1]^2=38,$即$(a+1)^2 + (a-1)^2=38.\ \therefore\ a^2 +2a +1 +a^2 -2a +1=38,$即$2a^2 +2=38.\ \therefore\ a^2=18,$即$(x-2\ 025)^2=18.$
解析
【分析】
观察题干中式子的底数特征，(x-2024)和(x-2026)的平均数恰好是所求式的底数(x-2025)，因此可采用换元法简化运算：设x-2025=a，将原式的两个底数转化为a+1和a-1的形式，代入原式后利用完全平方公式展开，一次项会相互抵消，即可快速求出a²的值，也就是所求式子的结果。
【解析】
设 $ x-2025=a $，则 $ x-2024 = a+1 $，$ x-2026 = a-1 $。
将其代入已知等式得：
$ (a+1)^2 + (a-1)^2 = 38 $
利用完全平方公式展开得：
$ a^2 + 2a + 1 + a^2 - 2a + 1 = 38 $
合并同类项得：
$ 2a^2 + 2 = 38 $
移项化简得：
$ 2a^2 = 36 $，即 $ a^2=18 $
因此 $ (x-2025)^2 = a^2 =18 $
【答案】
B
【知识点】
换元思想、完全平方公式、整式化简求值
【点评】
本题考查整式运算中的技巧性解法，通过观察底数的规律选择合适的换元对象，可避免直接展开大数运算的繁琐，降低计算错误概率，是整式化简类题目常用的解题技巧。
【难度系数】
0.7
观察题干中式子的底数特征，(x-2024)和(x-2026)的平均数恰好是所求式的底数(x-2025)，因此可采用换元法简化运算：设x-2025=a，将原式的两个底数转化为a+1和a-1的形式，代入原式后利用完全平方公式展开，一次项会相互抵消，即可快速求出a²的值，也就是所求式子的结果。
【解析】
设 $ x-2025=a $，则 $ x-2024 = a+1 $，$ x-2026 = a-1 $。
将其代入已知等式得：
$ (a+1)^2 + (a-1)^2 = 38 $
利用完全平方公式展开得：
$ a^2 + 2a + 1 + a^2 - 2a + 1 = 38 $
合并同类项得：
$ 2a^2 + 2 = 38 $
移项化简得：
$ 2a^2 = 36 $，即 $ a^2=18 $
因此 $ (x-2025)^2 = a^2 =18 $
【答案】
B
【知识点】
换元思想、完全平方公式、整式化简求值
【点评】
本题考查整式运算中的技巧性解法，通过观察底数的规律选择合适的换元对象，可避免直接展开大数运算的繁琐，降低计算错误概率，是整式化简类题目常用的解题技巧。
【难度系数】
0.7
10 如果$(2a+2b+1)(2a+2b-1)=63$，那么$(a+b)^2=$
16
答案
16 【解析】由题意,得$(2a+2b)^2 -1=63,\therefore\ 4(a+b)^2=64,$即$(a+b)^2=16.$
解析
【分析】
首先观察等式左侧的乘积结构，两个括号中相同的部分为2a+2b，相反的部分为+1和-1，符合平方差公式的形式，因此可将2a+2b看作整体，先用平方差公式化简等式左侧，再对化简后的式子变形，整理出含$(a+b)^2$的式子，最后求解即可。
【解析】
根据平方差公式，对等式左边化简：
$\begin{aligned}(2a+2b+1)(2a+2b-1)&=(2a+2b)^2 - 1^2\\\therefore (2a+2b)^2 -1&=63\\(2a+2b)^2&=64\\[2(a+b)]^2&=64\\4(a+b)^2&=64\\(a+b)^2&=16\end{aligned}$
【答案】
16
【知识点】
平方差公式，整体代入法，代数式求值
【点评】
本题重点考查平方差公式的灵活运用，解题核心是识别出式子的结构特征，将2a+2b视为整体简化运算，体现了整体思想在整式运算中的应用，掌握基础公式即可快速解题。
【难度系数】
0.8
首先观察等式左侧的乘积结构，两个括号中相同的部分为2a+2b，相反的部分为+1和-1，符合平方差公式的形式，因此可将2a+2b看作整体，先用平方差公式化简等式左侧，再对化简后的式子变形，整理出含$(a+b)^2$的式子，最后求解即可。
【解析】
根据平方差公式，对等式左边化简：
$\begin{aligned}(2a+2b+1)(2a+2b-1)&=(2a+2b)^2 - 1^2\\\therefore (2a+2b)^2 -1&=63\\(2a+2b)^2&=64\\[2(a+b)]^2&=64\\4(a+b)^2&=64\\(a+b)^2&=16\end{aligned}$
【答案】
16
【知识点】
平方差公式，整体代入法，代数式求值
【点评】
本题重点考查平方差公式的灵活运用，解题核心是识别出式子的结构特征，将2a+2b视为整体简化运算，体现了整体思想在整式运算中的应用，掌握基础公式即可快速解题。
【难度系数】
0.8
11 计算：
(1) $(\dfrac{1}{2}a - 2b - 1)^2$；
(2) $(a^2 - a + 1)(a^2 + a + 1)$。
(1) $(\dfrac{1}{2}a - 2b - 1)^2$；
(2) $(a^2 - a + 1)(a^2 + a + 1)$。
答案
(1) 原式$=[(\frac{1}{2}a -2b)-1]^2=(\frac{1}{2}a -2b)^2 -2(\frac{1}{2}a -2b)+1=\frac{1}{4}a^2 -2ab +4b^2 -a +4b +1$ (2) 原式$=[(a^2 +1)-a][(a^2 +1)+a]=(a^2 +1)^2 -a^2=a^4 +a^2 +1$
解析
【分析】
(1) 本题是三项式的平方，没有直接对应的计算公式，因此可以利用添括号法则，将前两项看成一个整体，把原式转化为两数差的平方形式，再利用完全平方公式逐步展开计算即可。
(2) 观察两个因式的结构，发现$a^2+1$是两个因式共有的部分，$-a$和$+a$互为相反数，因此可以利用添括号法则，将相同项$a^2+1$看作整体，把原式转化为平方差公式的形式，先利用平方差公式化简，再展开完全平方合并同类项即可。
【解析】
(1) 先将原式添括号变形：
原式$=[(\frac{1}{2}a -2b)-1]^2$
根据完全平方差公式$(m-n)^2=m^2-2mn+n^2$，令$m=\frac{1}{2}a-2b$，$n=1$，展开得：
$=(\frac{1}{2}a -2b)^2 -2(\frac{1}{2}a -2b)+1$
再次利用完全平方差公式展开$(\frac{1}{2}a -2b)^2$，同时去括号：
$=\frac{1}{4}a^2 -2ab +4b^2 -a +4b +1$
(2) 观察式子结构，添括号将相同项合并：
原式$=[(a^2 +1)-a][(a^2 +1)+a]$
根据平方差公式$(m-n)(m+n)=m^2-n^2$，令$m=a^2+1$，$n=a$，展开得：
$=(a^2 +1)^2 -a^2$
利用完全平方和公式展开$(a^2+1)^2$，再合并同类项：
$=a^4+2a^2+1 -a^2 =a^4 +a^2 +1$
【答案】
(1) $\frac{1}{4}a^2 -2ab +4b^2 -a +4b +1$
(2) $a^4 +a^2 +1$
【知识点】
添括号法则；完全平方公式；平方差公式
【点评】
本题核心是灵活运用添括号法则将陌生的整式运算转化为已学的乘法公式形式，大幅简化计算过程，解题时需注意找准相同项和相反项，展开过程中不要漏乘、不要弄错符号。
【难度系数】
0.7
(1) 本题是三项式的平方，没有直接对应的计算公式，因此可以利用添括号法则，将前两项看成一个整体，把原式转化为两数差的平方形式，再利用完全平方公式逐步展开计算即可。
(2) 观察两个因式的结构，发现$a^2+1$是两个因式共有的部分，$-a$和$+a$互为相反数，因此可以利用添括号法则，将相同项$a^2+1$看作整体，把原式转化为平方差公式的形式，先利用平方差公式化简，再展开完全平方合并同类项即可。
【解析】
(1) 先将原式添括号变形：
原式$=[(\frac{1}{2}a -2b)-1]^2$
根据完全平方差公式$(m-n)^2=m^2-2mn+n^2$，令$m=\frac{1}{2}a-2b$，$n=1$，展开得：
$=(\frac{1}{2}a -2b)^2 -2(\frac{1}{2}a -2b)+1$
再次利用完全平方差公式展开$(\frac{1}{2}a -2b)^2$，同时去括号：
$=\frac{1}{4}a^2 -2ab +4b^2 -a +4b +1$
(2) 观察式子结构，添括号将相同项合并：
原式$=[(a^2 +1)-a][(a^2 +1)+a]$
根据平方差公式$(m-n)(m+n)=m^2-n^2$，令$m=a^2+1$，$n=a$，展开得：
$=(a^2 +1)^2 -a^2$
利用完全平方和公式展开$(a^2+1)^2$，再合并同类项：
$=a^4+2a^2+1 -a^2 =a^4 +a^2 +1$
【答案】
(1) $\frac{1}{4}a^2 -2ab +4b^2 -a +4b +1$
(2) $a^4 +a^2 +1$
【知识点】
添括号法则；完全平方公式；平方差公式
【点评】
本题核心是灵活运用添括号法则将陌生的整式运算转化为已学的乘法公式形式，大幅简化计算过程，解题时需注意找准相同项和相反项，展开过程中不要漏乘、不要弄错符号。
【难度系数】
0.7
12 先化简,再求值:$(x+2y-z)(x-2y-z)-(x-y-z)^2$,其中$x=3,y=-3,z=-\dfrac{1}{6}$.
答案
原式$=(x-z)^2 -4y^2 -[(x-y)^2 -2z(x-y)+z^2]=x^2 -2xz +z^2 -4y^2 -(x^2 -2xy +y^2 -2xz +2yz +z^2)=x^2 -2xz +z^2 -4y^2 -x^2 +2xy -y^2 +2xz -2yz -z^2=-5y^2 +2xy -2yz.$当$x=3,y=-3,z=-\frac{1}{6}$时,原式$=-64$
解析
【分析】
解题时先观察两个整式的结构，对于$(x+2y-z)(x-2y-z)$，可将$x-z$看作整体，添括号后转化为平方差公式的形式计算；对于$(x-y-z)^2$，可将$x-y$看作整体，添括号后用完全平方公式展开，再去括号、合并同类项得到最简式，最后代入$x,y,z$的数值计算结果即可。该方法比直接展开整式计算更简便，能降低出错率。
【解析】
第一步，变形整式套用乘法公式：
原式$=[(x-z)+2y][(x-z)-2y] - [(x-y)-z]^2$
根据平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$、完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$展开得：
$=(x-z)^2 - (2y)^2 - [(x-y)^2 - 2z(x-y) + z^2]$
第二步，展开各项：
$=x^2 - 2xz + z^2 - 4y^2 - (x^2 - 2xy + y^2 - 2xz + 2yz + z^2)$
第三步，去括号（括号前为负号时，括号内各项需变号）：
$=x^2 - 2xz + z^2 - 4y^2 - x^2 + 2xy - y^2 + 2xz - 2yz - z^2$
第四步，合并同类项：
$=-5y^2 + 2xy - 2yz$
第五步，代入数值计算：
当$x=3,y=-3,z=-\dfrac{1}{6}$时，
原式$=-5× (-3)^2 + 2× 3× (-3) - 2× (-3)× (-\dfrac{1}{6})$
$=-5×9 -18 -1$
$=-45-18-1=-64$
【答案】
$\boxed{-64}$
【知识点】
添括号法则、平方差公式、完全平方公式
【点评】
本题考查整式的化简求值，核心是通过添括号将式子转化为乘法公式的标准形式，大幅简化运算过程。解题时要注意去括号的符号规则，代入数值计算时要注意负号的处理，避免计算失误。
【难度系数】
0.6
解题时先观察两个整式的结构，对于$(x+2y-z)(x-2y-z)$，可将$x-z$看作整体，添括号后转化为平方差公式的形式计算；对于$(x-y-z)^2$，可将$x-y$看作整体，添括号后用完全平方公式展开，再去括号、合并同类项得到最简式，最后代入$x,y,z$的数值计算结果即可。该方法比直接展开整式计算更简便，能降低出错率。
【解析】
第一步，变形整式套用乘法公式：
原式$=[(x-z)+2y][(x-z)-2y] - [(x-y)-z]^2$
根据平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$、完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$展开得：
$=(x-z)^2 - (2y)^2 - [(x-y)^2 - 2z(x-y) + z^2]$
第二步，展开各项：
$=x^2 - 2xz + z^2 - 4y^2 - (x^2 - 2xy + y^2 - 2xz + 2yz + z^2)$
第三步，去括号（括号前为负号时，括号内各项需变号）：
$=x^2 - 2xz + z^2 - 4y^2 - x^2 + 2xy - y^2 + 2xz - 2yz - z^2$
第四步，合并同类项：
$=-5y^2 + 2xy - 2yz$
第五步，代入数值计算：
当$x=3,y=-3,z=-\dfrac{1}{6}$时，
原式$=-5× (-3)^2 + 2× 3× (-3) - 2× (-3)× (-\dfrac{1}{6})$
$=-5×9 -18 -1$
$=-45-18-1=-64$
【答案】
$\boxed{-64}$
【知识点】
添括号法则、平方差公式、完全平方公式
【点评】
本题考查整式的化简求值，核心是通过添括号将式子转化为乘法公式的标准形式，大幅简化运算过程。解题时要注意去括号的符号规则，代入数值计算时要注意负号的处理，避免计算失误。
【难度系数】
0.6
13 先阅读下面的内容，再解决问题.
例题：若 $ m^2 + 2mn + 2n^2 - 6n + 9 = 0 $，求 $ m $ 和 $ n $ 的值.
解：∵ $ m^2 + 2mn + 2n^2 - 6n + 9 = 0 $，
∴ $ (m^2 + 2mn + n^2) + (n^2 - 6n + 9) = 0 $.
∴ $ (m + n)^2 + (n - 3)^2 = 0 $.
∴ $ m + n = 0, n - 3 = 0 $.
∴ $ m = -3, n = 3 $.
问题：
（1）若 $ x^2 + 2y^2 - 2xy + 4y + 4 = 0 $，求 $ x^2 + y^2 $ 的值；
（2）已知等腰三角形 $ ABC $ 的三边长分别为 $ a, b, c $，其中 $ a, b $ 满足 $ a^2 + b^2 + 45 = 12a + 6b $，求 $ △ ABC $ 的周长.
例题：若 $ m^2 + 2mn + 2n^2 - 6n + 9 = 0 $，求 $ m $ 和 $ n $ 的值.
解：∵ $ m^2 + 2mn + 2n^2 - 6n + 9 = 0 $，
∴ $ (m^2 + 2mn + n^2) + (n^2 - 6n + 9) = 0 $.
∴ $ (m + n)^2 + (n - 3)^2 = 0 $.
∴ $ m + n = 0, n - 3 = 0 $.
∴ $ m = -3, n = 3 $.
问题：
（1）若 $ x^2 + 2y^2 - 2xy + 4y + 4 = 0 $，求 $ x^2 + y^2 $ 的值；
（2）已知等腰三角形 $ ABC $ 的三边长分别为 $ a, b, c $，其中 $ a, b $ 满足 $ a^2 + b^2 + 45 = 12a + 6b $，求 $ △ ABC $ 的周长.
答案
(1) 由$x^2 +2y^2 -2xy +4y +4=0,$得$(x^2 -2xy +y^2)+(y^2 +4y +4)=0,$即$(x-y)^2 +(y+2)^2=0.\ \therefore\ x-y=0,y+2=0.\ \therefore\ x=y=-2.\ \therefore\ x^2 +y^2=(-2)^2 +(-2)^2=4+4=8$ (2) 由$a^2 +b^2 +45=12a +6b,$得$(a^2 -12a +36)+(b^2 -6b +9)=0,$即$(a-6)^2 +(b-3)^2=0.\ \therefore\ a-6=0,b-3=0,$解得$a=6,b=3.$ ① 若$c=6,$则$△ ABC$的周长为$6+6+3=15;$② 若$c=3,\because\ 3+3=6,\therefore$不能构成三角形,此种情况不存在.综上所述,$△ ABC$的周长是15
解析
【分析】
本题参照例题的配方法思路求解：
（1）先将等式左边的多项式拆分为两个完全平方式的和，根据偶次幂的非负性，两个非负数相加得0时各自均为0，即可求出x、y的值，再代入计算$x^2+y^2$即可；
（2）先对已知等式移项、配方求出a、b的值，再结合等腰三角形边长相等的性质分情况讨论第三边的长度，最后用三角形三边关系验证能否构成三角形，进而求出周长。
【解析】
（1）$\because x^2 + 2y^2 - 2xy + 4y + 4 = 0$，
$\therefore (x^2 - 2xy + y^2) + (y^2 + 4y + 4) = 0$，
即$(x-y)^2 + (y+2)^2 = 0$，
$\because$ 平方数为非负数，
$\therefore x-y=0$，$y+2=0$，
解得$x=y=-2$，
$\therefore x^2 + y^2 = (-2)^2 + (-2)^2 = 4+4=8$。
（2）$\because a^2 + b^2 + 45 = 12a + 6b$，
移项得$a^2 -12a + b^2 -6b +45=0$，
$\therefore (a^2 -12a +36) + (b^2 -6b +9) = 0$，
即$(a-6)^2 + (b-3)^2 = 0$，
$\therefore a-6=0$，$b-3=0$，
解得$a=6$，$b=3$，
$\because △ ABC$为等腰三角形，分两种情况讨论：
① 若$c=6$，三边长为6、6、3，满足三角形三边关系，周长为$6+6+3=15$；
② 若$c=3$，三边长为6、3、3，$\because 3+3=6$，不满足三角形两边之和大于第三边，不能构成三角形，舍去。
综上，$△ ABC$的周长为15。
【答案】
（1）$\boxed{8}$；（2）$\boxed{15}$
【知识点】
完全平方公式，非负数的性质，三角形三边关系
【点评】
本题解题核心是掌握配方法，通过拆项凑出完全平方式，结合非负数的性质求出未知量的值；第二问需要注意分类讨论等腰三角形的腰长后，必须验证三边是否满足三角形的构成条件，避免出现不符合实际的错解。
【难度系数】
0.7
本题参照例题的配方法思路求解：
（1）先将等式左边的多项式拆分为两个完全平方式的和，根据偶次幂的非负性，两个非负数相加得0时各自均为0，即可求出x、y的值，再代入计算$x^2+y^2$即可；
（2）先对已知等式移项、配方求出a、b的值，再结合等腰三角形边长相等的性质分情况讨论第三边的长度，最后用三角形三边关系验证能否构成三角形，进而求出周长。
【解析】
（1）$\because x^2 + 2y^2 - 2xy + 4y + 4 = 0$，
$\therefore (x^2 - 2xy + y^2) + (y^2 + 4y + 4) = 0$，
即$(x-y)^2 + (y+2)^2 = 0$，
$\because$ 平方数为非负数，
$\therefore x-y=0$，$y+2=0$，
解得$x=y=-2$，
$\therefore x^2 + y^2 = (-2)^2 + (-2)^2 = 4+4=8$。
（2）$\because a^2 + b^2 + 45 = 12a + 6b$，
移项得$a^2 -12a + b^2 -6b +45=0$，
$\therefore (a^2 -12a +36) + (b^2 -6b +9) = 0$，
即$(a-6)^2 + (b-3)^2 = 0$，
$\therefore a-6=0$，$b-3=0$，
解得$a=6$，$b=3$，
$\because △ ABC$为等腰三角形，分两种情况讨论：
① 若$c=6$，三边长为6、6、3，满足三角形三边关系，周长为$6+6+3=15$；
② 若$c=3$，三边长为6、3、3，$\because 3+3=6$，不满足三角形两边之和大于第三边，不能构成三角形，舍去。
综上，$△ ABC$的周长为15。
【答案】
（1）$\boxed{8}$；（2）$\boxed{15}$
【知识点】
完全平方公式，非负数的性质，三角形三边关系
【点评】
本题解题核心是掌握配方法，通过拆项凑出完全平方式，结合非负数的性质求出未知量的值；第二问需要注意分类讨论等腰三角形的腰长后，必须验证三边是否满足三角形的构成条件，避免出现不符合实际的错解。
【难度系数】
0.7
