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1 在月历上,我们可以发现其中某些数满足一定的规律.如图是2025年9月的月历,用图中所示的空心十字框框住4个位置上的数,用其中左右相对的两数的乘积减去上下相对的两数的乘积,例如:$7×9－1×15＝$
（1）把上面的空填充完整,并猜想规律；
（2）用同样的空心十字框再框出4个位置上的数,看看是否符合这个规律；
（3）请你利用整式的运算对以上的规律加以证明.
48
, $18×20－12×26＝$48
.不难发现,结果都是48
.（1）把上面的空填充完整,并猜想规律；
（2）用同样的空心十字框再框出4个位置上的数,看看是否符合这个规律；
（3）请你利用整式的运算对以上的规律加以证明.
答案
1.（1）空心十字框中左右相对的两数的乘积减去上下相对的两数的乘积的结果为48
（2）$22×24−16×30=528−480=48$(答案不唯一),计算结果为48,符合规律
（3）设被空心十字框中的4个数围起来的中间的数为x,则空心十字框中的数分别为$x-7,x-1,x+1,x+7$.由题意,得$(x-1)(x+1)-(x-7)(x+7)=(x^2-1)-(x^2-49)=x^2-1-x^2+49=48$
（2）$22×24−16×30=528−480=48$(答案不唯一),计算结果为48,符合规律
（3）设被空心十字框中的4个数围起来的中间的数为x,则空心十字框中的数分别为$x-7,x-1,x+1,x+7$.由题意,得$(x-1)(x+1)-(x-7)(x+7)=(x^2-1)-(x^2-49)=x^2-1-x^2+49=48$
解析
【分析】
解决本题首先要明确月历的数字排列规律：同一行相邻两个数相差1，同一列相邻两个数相差7。解题步骤如下：①先计算题干给出的两个算式，根据计算结果猜想规律；②任意选取一组空心十字框框住的4个数，按照规则计算验证规律；③要证明规律的普遍性，设十字框中间的数为x，用含x的代数式表示出上下左右四个数，代入规则对应的算式，通过整式运算化简，若结果为定值则规律成立，计算时可利用平方差公式简化运算。
【解析】
（1）计算算式：
$7×9－1×15=63-15=48$，
$18×20－12×26=360-312=48$，
可得两个算式结果均为48，猜想规律：空心十字框中左右相对的两数的乘积减去上下相对的两数的乘积的结果为48。
（2）示例：选取空心十字框中间数为23，对应四个数为16、22、24、30，计算得：
$22×24−16×30=528−480=48$，结果为48，符合上述规律（举例不唯一，只要符合十字框要求均可）。
（3）证明：设被空心十字框中的4个数围起来的中间的数为x，根据月历数字规律可得，十字框中左右两个数为$x-1$、$x+1$，上下两个数为$x-7$、$x+7$。
根据题意列式：
$\begin{aligned}&(x-1)(x+1)-(x-7)(x+7)\\=&(x^2-1)-(x^2-49)\\=&x^2-1-x^2+49\\=&48\end{aligned}$
因此无论x取月历中符合条件的任意值，计算结果均为48，规律成立。
【答案】
（1）$48$，$48$，$48$；规律：空心十字框中左右相对的两数的乘积减去上下相对的两数的乘积的结果为48
（2）示例：$22×24−16×30=528−480=48$，符合规律（答案不唯一）
（3）证明如上，规律成立
【知识点】
月历数字规律，平方差公式，整式化简
【点评】
本题结合生活中常见的月历考查规律探究类问题，需要经历“计算猜想-举例验证-代数证明”的探究过程，既锻炼了观察归纳能力，也考查了整式运算的实际应用，体现了从特殊到一般的数学思想。
【难度系数】
0.7
解决本题首先要明确月历的数字排列规律：同一行相邻两个数相差1，同一列相邻两个数相差7。解题步骤如下：①先计算题干给出的两个算式，根据计算结果猜想规律；②任意选取一组空心十字框框住的4个数，按照规则计算验证规律；③要证明规律的普遍性，设十字框中间的数为x，用含x的代数式表示出上下左右四个数，代入规则对应的算式，通过整式运算化简，若结果为定值则规律成立，计算时可利用平方差公式简化运算。
【解析】
（1）计算算式：
$7×9－1×15=63-15=48$，
$18×20－12×26=360-312=48$，
可得两个算式结果均为48，猜想规律：空心十字框中左右相对的两数的乘积减去上下相对的两数的乘积的结果为48。
（2）示例：选取空心十字框中间数为23，对应四个数为16、22、24、30，计算得：
$22×24−16×30=528−480=48$，结果为48，符合上述规律（举例不唯一，只要符合十字框要求均可）。
（3）证明：设被空心十字框中的4个数围起来的中间的数为x，根据月历数字规律可得，十字框中左右两个数为$x-1$、$x+1$，上下两个数为$x-7$、$x+7$。
根据题意列式：
$\begin{aligned}&(x-1)(x+1)-(x-7)(x+7)\\=&(x^2-1)-(x^2-49)\\=&x^2-1-x^2+49\\=&48\end{aligned}$
因此无论x取月历中符合条件的任意值，计算结果均为48，规律成立。
【答案】
（1）$48$，$48$，$48$；规律：空心十字框中左右相对的两数的乘积减去上下相对的两数的乘积的结果为48
（2）示例：$22×24−16×30=528−480=48$，符合规律（答案不唯一）
（3）证明如上，规律成立
【知识点】
月历数字规律，平方差公式，整式化简
【点评】
本题结合生活中常见的月历考查规律探究类问题，需要经历“计算猜想-举例验证-代数证明”的探究过程，既锻炼了观察归纳能力，也考查了整式运算的实际应用，体现了从特殊到一般的数学思想。
【难度系数】
0.7
2 观察下列各式：
① $60×60=60^2 - 0^2=3600$；
② $59×61=(60-1)×(60+1)=60^2 -1=3599$；
③ $58×62=(60-2)×(60+2)=60^2 -2^2=3596$；
④ $57×63=(60-3)×(60+3)=60^2 -3^2=3591$；
……
【探究】（1）上面的式子表示的规律是$(60+m)(60-m)= \_\_\_\_\_\_$；观察各等式的左边发现两数之和都是120，而两数的乘积却随着两数的接近程度在变化，当两个数________时，乘积最大。
【应用】（2）根据上面的规律思考，若$a+b=400$，则$ab$的最大值是________。
【拓展】（3）将一根长40 cm的铁丝折成一个长方形（无剩余），设它的一边长为$x$ cm，面积为$S$ cm²，写出$S$与$x$之间的等量关系。当$x$为何值时，$S$取得最大值？
① $60×60=60^2 - 0^2=3600$；
② $59×61=(60-1)×(60+1)=60^2 -1=3599$；
③ $58×62=(60-2)×(60+2)=60^2 -2^2=3596$；
④ $57×63=(60-3)×(60+3)=60^2 -3^2=3591$；
……
【探究】（1）上面的式子表示的规律是$(60+m)(60-m)= \_\_\_\_\_\_$；观察各等式的左边发现两数之和都是120，而两数的乘积却随着两数的接近程度在变化，当两个数________时，乘积最大。
【应用】（2）根据上面的规律思考，若$a+b=400$，则$ab$的最大值是________。
【拓展】（3）将一根长40 cm的铁丝折成一个长方形（无剩余），设它的一边长为$x$ cm，面积为$S$ cm²，写出$S$与$x$之间的等量关系。当$x$为何值时，$S$取得最大值？
答案
2.（1）$60^2 - m^2$ 相等
（2）40 000
（3）
∵ 长方形的周长为40 cm,一边长为x cm,
∴ 另一条边的长为$(20-x)$cm.由长方形的面积公式,可得$S=x(20-x)=20x-x^2$.
∵ $x+(20-x)=20$,
∴ 由(1)中的规律,知当$x=20-x$,即$x=10$时,$x(20-x)$最大,即面积最大.
∴ S与x之间的等量关系为$S=20x-x^2$,当$x=10$时,S取得最大值
（2）40 000
（3）
∵ 长方形的周长为40 cm,一边长为x cm,
∴ 另一条边的长为$(20-x)$cm.由长方形的面积公式,可得$S=x(20-x)=20x-x^2$.
∵ $x+(20-x)=20$,
∴ 由(1)中的规律,知当$x=20-x$,即$x=10$时,$x(20-x)$最大,即面积最大.
∴ S与x之间的等量关系为$S=20x-x^2$,当$x=10$时,S取得最大值
解析
【分析】
解题时先从给出的几个具体等式入手，首先运用平方差公式归纳出通用规律；再观察等式左边两个因数的和固定时，乘积随两个因数差的变化趋势，总结出乘积最大的条件。接下来应用得到的“两个数和固定，相等时乘积最大”的规律解决第二问的代数最值问题，第三问先根据长方形周长公式表示出邻边长度，再结合面积公式写出S与x的关系式，最后套用前面的规律求面积最大值即可。
【解析】
（1）根据平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，可得$(60+m)(60-m)=60^2 - m^2$；观察给出的等式：两个数的和都是120，两个数的差越小，乘积越大，当两个数相等时，乘积最大。
（2）已知$a+b=400$，根据（1）中得到的规律，当$a=b$时，$ab$取得最大值，此时$a=b=400÷2=200$，因此$ab$的最大值为$200×200=40000$。
（3）已知长方形周长为40cm，一边长为$x$cm，根据长方形周长公式，邻边长度为$\frac{40}{2}-x=(20-x)$cm。
根据长方形面积公式：$S=x(20-x)=20x-x^2$。
由于$x+(20-x)=20$，和为固定值，根据前面总结的规律，当$x=20-x$时，乘积$x(20-x)$最大，解得$x=10$，即此时S取得最大值。
【答案】
（1）$60^2 - m^2$；相等
（2）40000
（3）$S$与$x$的等量关系为$S=20x-x^2$，当$x=10$时，$S$取得最大值
【知识点】
平方差公式，和定积最大规律，长方形面积计算
【点评】
本题从具体算式出发引导学生探究规律，再将规律应用到代数最值、几何面积最值问题中，既考查了对平方差公式的掌握，也锻炼了观察归纳、知识迁移应用的能力，属于规律探究类的典型基础题。
【难度系数】
0.7
解题时先从给出的几个具体等式入手，首先运用平方差公式归纳出通用规律；再观察等式左边两个因数的和固定时，乘积随两个因数差的变化趋势，总结出乘积最大的条件。接下来应用得到的“两个数和固定，相等时乘积最大”的规律解决第二问的代数最值问题，第三问先根据长方形周长公式表示出邻边长度，再结合面积公式写出S与x的关系式，最后套用前面的规律求面积最大值即可。
【解析】
（1）根据平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，可得$(60+m)(60-m)=60^2 - m^2$；观察给出的等式：两个数的和都是120，两个数的差越小，乘积越大，当两个数相等时，乘积最大。
（2）已知$a+b=400$，根据（1）中得到的规律，当$a=b$时，$ab$取得最大值，此时$a=b=400÷2=200$，因此$ab$的最大值为$200×200=40000$。
（3）已知长方形周长为40cm，一边长为$x$cm，根据长方形周长公式，邻边长度为$\frac{40}{2}-x=(20-x)$cm。
根据长方形面积公式：$S=x(20-x)=20x-x^2$。
由于$x+(20-x)=20$，和为固定值，根据前面总结的规律，当$x=20-x$时，乘积$x(20-x)$最大，解得$x=10$，即此时S取得最大值。
【答案】
（1）$60^2 - m^2$；相等
（2）40000
（3）$S$与$x$的等量关系为$S=20x-x^2$，当$x=10$时，$S$取得最大值
【知识点】
平方差公式，和定积最大规律，长方形面积计算
【点评】
本题从具体算式出发引导学生探究规律，再将规律应用到代数最值、几何面积最值问题中，既考查了对平方差公式的掌握，也锻炼了观察归纳、知识迁移应用的能力，属于规律探究类的典型基础题。
【难度系数】
0.7
