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5. 已知$ m $，$ n $为两个连续的整数，且$ m ＜ \sqrt{11} ＜ n $，则$ m + n $的值是（
A.5
B.6
C.7
D.8
C
）。A.5
B.6
C.7
D.8
答案
5.C
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要确定无理数$\sqrt{11}$介于哪两个连续整数之间。解题思路如下：第一步，找到与11相邻的两个完全平方数，利用算术平方根的性质，比较这三个数的算术平方根的大小，就能得到$\sqrt{11}$的取值范围；第二步，结合$m$、$n$是连续整数且$m＜\sqrt{11}＜n$的条件，确定$m$和$n$的值；第三步，计算$m+n$的结果，匹配选项即可。
【解析】
首先计算相邻整数的平方：
∵ $3^2 = 9$，$4^2 = 16$，且 $9 ＜ 11 ＜ 16$
根据算术平方根的非负性，对三个数同时开算术平方根可得：
$\sqrt{9} ＜ \sqrt{11} ＜ \sqrt{16}$，即 $3 ＜ \sqrt{11} ＜ 4$
∵ $m$、$n$ 为连续的整数，且 $m ＜ \sqrt{11} ＜ n$
∴ $m = 3$，$n = 4$
则 $m + n = 3 + 4 = 7$
故选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 无理数的估算 2. 算术平方根的性质
【点评】
本题核心考查无理数大小的估算方法，解题的关键是准确找到和被开方数相邻的两个完全平方数，从而锁定无理数的整数范围，属于基础类题型，掌握估算方法即可快速得分。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需要确定无理数$\sqrt{11}$介于哪两个连续整数之间。解题思路如下：第一步，找到与11相邻的两个完全平方数，利用算术平方根的性质，比较这三个数的算术平方根的大小，就能得到$\sqrt{11}$的取值范围；第二步，结合$m$、$n$是连续整数且$m＜\sqrt{11}＜n$的条件，确定$m$和$n$的值；第三步，计算$m+n$的结果，匹配选项即可。
【解析】
首先计算相邻整数的平方：
∵ $3^2 = 9$，$4^2 = 16$，且 $9 ＜ 11 ＜ 16$
根据算术平方根的非负性，对三个数同时开算术平方根可得：
$\sqrt{9} ＜ \sqrt{11} ＜ \sqrt{16}$，即 $3 ＜ \sqrt{11} ＜ 4$
∵ $m$、$n$ 为连续的整数，且 $m ＜ \sqrt{11} ＜ n$
∴ $m = 3$，$n = 4$
则 $m + n = 3 + 4 = 7$
故选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 无理数的估算 2. 算术平方根的性质
【点评】
本题核心考查无理数大小的估算方法，解题的关键是准确找到和被开方数相邻的两个完全平方数，从而锁定无理数的整数范围，属于基础类题型，掌握估算方法即可快速得分。
【难度系数】
0.8
6.如图所示，正方形ABCD的面积为5，顶点A在数轴上，且点A表示的数为2，数轴上有一点E在点A的左侧，若AD=AE，则点E表示的数为（
A.$\sqrt{5}$
B.$2-\sqrt{5}$
C.$-\sqrt{5}$
D.$\sqrt{5}-2$
B
）。A.$\sqrt{5}$
B.$2-\sqrt{5}$
C.$-\sqrt{5}$
D.$\sqrt{5}-2$
答案
6.B
解析
【分析】
解题时首先从已知的正方形面积入手，利用正方形面积公式求出边长AD的长度；再根据AD=AE的等量关系得到AE的长度；最后结合点E在点A左侧、点A表示的数为2的条件，利用数轴上左侧的数小于右侧的数的规律，用A对应的数减去AE的长度即可得到E表示的数。
【解析】
解：
∵正方形ABCD的面积为5，
∴正方形的边长$AD=\sqrt{5}$（正方形面积=边长²，边长为正数，故取算术平方根）。
∵$AD=AE$，
∴$AE=\sqrt{5}$。
又
∵点E在点A的左侧，点A表示的数为2，数轴上左侧的数比右侧的数小，
∴点E表示的数为$2-\sqrt{5}$。
【答案】
B
【知识点】
正方形面积公式，数轴的应用，算术平方根
【点评】
本题属于基础综合题，将几何图形性质和数轴、实数的知识点结合，解题核心是先求出线段AE的长度，再结合数轴上点的位置特征计算对应数值，解题时注意区分点在已知点左侧还是右侧，避免符号出错。
【难度系数】
0.7
解题时首先从已知的正方形面积入手，利用正方形面积公式求出边长AD的长度；再根据AD=AE的等量关系得到AE的长度；最后结合点E在点A左侧、点A表示的数为2的条件，利用数轴上左侧的数小于右侧的数的规律，用A对应的数减去AE的长度即可得到E表示的数。
【解析】
解：
∵正方形ABCD的面积为5，
∴正方形的边长$AD=\sqrt{5}$（正方形面积=边长²，边长为正数，故取算术平方根）。
∵$AD=AE$，
∴$AE=\sqrt{5}$。
又
∵点E在点A的左侧，点A表示的数为2，数轴上左侧的数比右侧的数小，
∴点E表示的数为$2-\sqrt{5}$。
【答案】
B
【知识点】
正方形面积公式，数轴的应用，算术平方根
【点评】
本题属于基础综合题，将几何图形性质和数轴、实数的知识点结合，解题核心是先求出线段AE的长度，再结合数轴上点的位置特征计算对应数值，解题时注意区分点在已知点左侧还是右侧，避免符号出错。
【难度系数】
0.7
7. $-\sqrt{3}$的绝对值是
$\sqrt{3}$
。答案
7.$\sqrt{3}$
解析
【分析】
解题时先回忆绝对值的基本性质：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。第一步先判断$-\sqrt{3}$的正负性，$\sqrt{3}$是正的无理数，因此$-\sqrt{3}$是负数，第二步再对应负数的绝对值计算规则，就能求出结果。
【解析】
首先判断正负：因为$\sqrt{3}＞0$，所以$-\sqrt{3}$是负数。
根据绝对值的性质，负数的绝对值等于它的相反数，因此：
$\left|-\sqrt{3}\right|=-(-\sqrt{3})=\sqrt{3}$
【答案】
$\sqrt{3}$
【知识点】
绝对值的性质；实数的概念
【点评】
本题是基础运算题，核心考查绝对值的运算规则，熟练掌握不同类型数的绝对值计算方法即可快速解题。
【难度系数】
0.9
解题时先回忆绝对值的基本性质：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。第一步先判断$-\sqrt{3}$的正负性，$\sqrt{3}$是正的无理数，因此$-\sqrt{3}$是负数，第二步再对应负数的绝对值计算规则，就能求出结果。
【解析】
首先判断正负：因为$\sqrt{3}＞0$，所以$-\sqrt{3}$是负数。
根据绝对值的性质，负数的绝对值等于它的相反数，因此：
$\left|-\sqrt{3}\right|=-(-\sqrt{3})=\sqrt{3}$
【答案】
$\sqrt{3}$
【知识点】
绝对值的性质；实数的概念
【点评】
本题是基础运算题，核心考查绝对值的运算规则，熟练掌握不同类型数的绝对值计算方法即可快速解题。
【难度系数】
0.9
8. －125的立方根为
$-5$
.答案
8.$-5$
解析
【分析】
解题时首先回忆立方根的定义：如果一个数的三次方等于a，那么这个数就是a的立方根。首先明确负数的立方根仍然是负数，接下来寻找三次方结果为-125的数即可，通过逆用乘方运算就能推导出结果。
【解析】
解：根据立方根的定义，若$x^3=a$，则$x$是$a$的立方根。
计算可得：$(-5)^3 = (-5) × (-5) × (-5) = -125$，因此-125的立方根为-5。
【答案】
$-5$
【知识点】
立方根的定义；有理数乘方运算
【点评】
本题属于基础概念题，解题时注意区分立方根与平方根的性质，负数没有平方根，但存在一个负的立方根，避免混淆两类运算的性质出错。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆立方根的定义：如果一个数的三次方等于a，那么这个数就是a的立方根。首先明确负数的立方根仍然是负数，接下来寻找三次方结果为-125的数即可，通过逆用乘方运算就能推导出结果。
【解析】
解：根据立方根的定义，若$x^3=a$，则$x$是$a$的立方根。
计算可得：$(-5)^3 = (-5) × (-5) × (-5) = -125$，因此-125的立方根为-5。
【答案】
$-5$
【知识点】
立方根的定义；有理数乘方运算
【点评】
本题属于基础概念题，解题时注意区分立方根与平方根的性质，负数没有平方根，但存在一个负的立方根，避免混淆两类运算的性质出错。
【难度系数】
0.9
9. 请写出一个比$\sqrt{2}$小的实数：
$1$(答案不唯一)
.答案
9.$1$(答案不唯一)
解析
【分析】
要解决这道题，首先我们需要明确$\sqrt{2}$的大致大小：我们已经知道$\sqrt{2}$是无限不循环小数，估算可得它的近似值约为1.414；接下来只需写出任意一个小于1.414的实数即可，实数包含有理数和无理数，所以小于1.414的整数、分数、负实数，或者比$\sqrt{2}$小的正无理数都符合要求。
【解析】
首先估算$\sqrt{2}$的大小：因为$1^2=1$，$2^2=4$，且$1＜2＜4$，所以可得$1＜\sqrt{2}＜2$，更精确的近似值为$\sqrt{2}\approx1.414$。我们只需写出小于这个数值的实数即可，例如1满足$1＜\sqrt{2}$，符合要求，除此以外0、-1等也都符合要求，答案不唯一。
【答案】
1（答案不唯一）
【知识点】
1.无理数的估算 2.实数大小比较
【点评】
本题属于开放性基础题，只要掌握常见无理数的近似值，能正确进行实数的大小比较即可轻松作答，可选的答案范围很广。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先我们需要明确$\sqrt{2}$的大致大小：我们已经知道$\sqrt{2}$是无限不循环小数，估算可得它的近似值约为1.414；接下来只需写出任意一个小于1.414的实数即可，实数包含有理数和无理数，所以小于1.414的整数、分数、负实数，或者比$\sqrt{2}$小的正无理数都符合要求。
【解析】
首先估算$\sqrt{2}$的大小：因为$1^2=1$，$2^2=4$，且$1＜2＜4$，所以可得$1＜\sqrt{2}＜2$，更精确的近似值为$\sqrt{2}\approx1.414$。我们只需写出小于这个数值的实数即可，例如1满足$1＜\sqrt{2}$，符合要求，除此以外0、-1等也都符合要求，答案不唯一。
【答案】
1（答案不唯一）
【知识点】
1.无理数的估算 2.实数大小比较
【点评】
本题属于开放性基础题，只要掌握常见无理数的近似值，能正确进行实数的大小比较即可轻松作答，可选的答案范围很广。
【难度系数】
0.9
10.有一个数值转换器，其工作流程如图所示，当输入x的值为81时，输出y的值是
$\sqrt{3}$
。答案
10.$\sqrt{3}$
解析
【分析】
首先明确数值转换器的运算规则：输入x后先计算它的算术平方根，若结果为无理数就直接输出；若结果为有理数，就把这个结果作为新的x再次代入计算，直到得到无理数为止。我们按照这个规则逐步代入x=81运算即可得到结果。
【解析】
第一步：输入$x=81$，计算其算术平方根：$\sqrt{81}=9$，9属于有理数，因此将9作为新的输入值返回运算；
第二步：输入$x=9$，计算其算术平方根：$\sqrt{9}=3$，3属于有理数，因此将3作为新的输入值返回运算；
第三步：输入$x=3$，计算其算术平方根：$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$是无理数，满足输出条件。
【答案】
$\sqrt{3}$
【知识点】
1.算术平方根的计算
2.无理数的识别
【点评】
本题结合程序流程图考查算术平方根运算和无理数判定，解题关键是读懂流程图的循环运算规则，不能仅计算一次就直接输出结果，需反复运算到得到无理数为止，易错点是忽略循环步骤，提前终止计算导致结果错误。
【难度系数】
0.7
首先明确数值转换器的运算规则：输入x后先计算它的算术平方根，若结果为无理数就直接输出；若结果为有理数，就把这个结果作为新的x再次代入计算，直到得到无理数为止。我们按照这个规则逐步代入x=81运算即可得到结果。
【解析】
第一步：输入$x=81$，计算其算术平方根：$\sqrt{81}=9$，9属于有理数，因此将9作为新的输入值返回运算；
第二步：输入$x=9$，计算其算术平方根：$\sqrt{9}=3$，3属于有理数，因此将3作为新的输入值返回运算；
第三步：输入$x=3$，计算其算术平方根：$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$是无理数，满足输出条件。
【答案】
$\sqrt{3}$
【知识点】
1.算术平方根的计算
2.无理数的识别
【点评】
本题结合程序流程图考查算术平方根运算和无理数判定，解题关键是读懂流程图的循环运算规则，不能仅计算一次就直接输出结果，需反复运算到得到无理数为止，易错点是忽略循环步骤，提前终止计算导致结果错误。
【难度系数】
0.7
11.定义新运算“*”：$a*b=\sqrt{ab+4}$，例如$2*5=\sqrt{2×5+4}=\sqrt{14}$，则$4*(3*4)=$
$2\sqrt{5}$
.答案
11.$2\sqrt{5}$
解析
【分析】
解决这类定义新运算的题目，首先要准确理解新运算的规则：本题中“*”运算的规则是两个数运算的结果等于两数乘积加4的算术平方根。因为式子含有括号，按照运算顺序的要求，要先计算括号内的3*4，算出结果后，再计算括号外4和这个结果的新运算即可。
【解析】
第一步：先计算括号内的3*4，根据新运算规则$a*b=\sqrt{ab+4}$，代入$a=3$，$b=4$：
$3*4=\sqrt{3×4 + 4}=\sqrt{12+4}=\sqrt{16}=4$
第二步：计算$4*(3*4)$，即计算$4*4$，代入$a=4$，$b=4$：
$4*4=\sqrt{4×4 + 4}=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$
【答案】
$2\sqrt{5}$
【知识点】
定义新运算，实数运算，二次根式化简
【点评】
本题重点考查对新定义运算规则的理解和运用，解题时需遵循常规的运算顺序，先算括号内的部分，再算括号外的部分，最终的二次根式结果要化为最简形式。
【难度系数】
0.8
解决这类定义新运算的题目，首先要准确理解新运算的规则：本题中“*”运算的规则是两个数运算的结果等于两数乘积加4的算术平方根。因为式子含有括号，按照运算顺序的要求，要先计算括号内的3*4，算出结果后，再计算括号外4和这个结果的新运算即可。
【解析】
第一步：先计算括号内的3*4，根据新运算规则$a*b=\sqrt{ab+4}$，代入$a=3$，$b=4$：
$3*4=\sqrt{3×4 + 4}=\sqrt{12+4}=\sqrt{16}=4$
第二步：计算$4*(3*4)$，即计算$4*4$，代入$a=4$，$b=4$：
$4*4=\sqrt{4×4 + 4}=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$
【答案】
$2\sqrt{5}$
【知识点】
定义新运算，实数运算，二次根式化简
【点评】
本题重点考查对新定义运算规则的理解和运用，解题时需遵循常规的运算顺序，先算括号内的部分，再算括号外的部分，最终的二次根式结果要化为最简形式。
【难度系数】
0.8
12. 计算:
(1) $5\sqrt{3} - (-2\sqrt{3})$；
(2) $|1 - \sqrt[3]{2}| - \sqrt[3]{2}$；
(3) $2(\sqrt{5} - \sqrt{6}) + \sqrt{6}$；
(4) $(-\sqrt{2})^2 - 4$。
(1) $5\sqrt{3} - (-2\sqrt{3})$；
(2) $|1 - \sqrt[3]{2}| - \sqrt[3]{2}$；
(3) $2(\sqrt{5} - \sqrt{6}) + \sqrt{6}$；
(4) $(-\sqrt{2})^2 - 4$。
答案
12.(1)$7\sqrt{3}$ (2)$-1$ (3)$2\sqrt{5}-\sqrt{6}$ (4)$-2$
解析
【分析】
这四道题均属于实数的基础运算，解题遵循先处理乘方、绝对值、括号，再合并同类项（同类二次根式）的顺序：①去括号时注意符号变化，运用乘法分配律要乘遍括号内每一项；②绝对值化简要先判断绝对值内代数式的正负，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数；③被开方数相同的最简二次根式可以直接合并系数；④二次根式乘方运算要注意符号和运算顺序。
【解析】
(1) 先去括号，减去负数等于加上它的相反数：
原式$=5\sqrt{3}+2\sqrt{3}$
合并同类二次根式，系数相加：
$=(5+2)\sqrt{3}=7\sqrt{3}$
(2) 判断绝对值内的符号：$\because \sqrt[3]{2}\approx1.26＞1$，$\therefore 1-\sqrt[3]{2}＜0$，负数的绝对值是它的相反数：
原式$=(\sqrt[3]{2}-1)-\sqrt[3]{2}$
去括号合并同类项：
$=\sqrt[3]{2}-1-\sqrt[3]{2}=-1$
(3) 用乘法分配律去括号：
原式$=2\sqrt{5}-2\sqrt{6}+\sqrt{6}$
合并同类二次根式：
$=2\sqrt{5}+(-2+1)\sqrt{6}=2\sqrt{5}-\sqrt{6}$
(4) 先计算乘方：$(-\sqrt{2})^2=(-1)^2×(\sqrt{2})^2=1×2=2$
再计算减法：
原式$=2-4=-2$
【答案】
(1)$7\sqrt{3}$；(2)$-1$；(3)$2\sqrt{5}-\sqrt{6}$；(4)$-2$
【知识点】
实数的运算、绝对值的性质、二次根式运算
【点评】
本题是实数运算的常规基础题，侧重考察运算基本规则的掌握程度，熟悉去括号、绝对值化简、二次根式合并等基础运算技巧，仔细计算即可避免失分。
【难度系数】
0.9
这四道题均属于实数的基础运算，解题遵循先处理乘方、绝对值、括号，再合并同类项（同类二次根式）的顺序：①去括号时注意符号变化，运用乘法分配律要乘遍括号内每一项；②绝对值化简要先判断绝对值内代数式的正负，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数；③被开方数相同的最简二次根式可以直接合并系数；④二次根式乘方运算要注意符号和运算顺序。
【解析】
(1) 先去括号，减去负数等于加上它的相反数：
原式$=5\sqrt{3}+2\sqrt{3}$
合并同类二次根式，系数相加：
$=(5+2)\sqrt{3}=7\sqrt{3}$
(2) 判断绝对值内的符号：$\because \sqrt[3]{2}\approx1.26＞1$，$\therefore 1-\sqrt[3]{2}＜0$，负数的绝对值是它的相反数：
原式$=(\sqrt[3]{2}-1)-\sqrt[3]{2}$
去括号合并同类项：
$=\sqrt[3]{2}-1-\sqrt[3]{2}=-1$
(3) 用乘法分配律去括号：
原式$=2\sqrt{5}-2\sqrt{6}+\sqrt{6}$
合并同类二次根式：
$=2\sqrt{5}+(-2+1)\sqrt{6}=2\sqrt{5}-\sqrt{6}$
(4) 先计算乘方：$(-\sqrt{2})^2=(-1)^2×(\sqrt{2})^2=1×2=2$
再计算减法：
原式$=2-4=-2$
【答案】
(1)$7\sqrt{3}$；(2)$-1$；(3)$2\sqrt{5}-\sqrt{6}$；(4)$-2$
【知识点】
实数的运算、绝对值的性质、二次根式运算
【点评】
本题是实数运算的常规基础题，侧重考察运算基本规则的掌握程度，熟悉去括号、绝对值化简、二次根式合并等基础运算技巧，仔细计算即可避免失分。
【难度系数】
0.9
