10(2025·深圳南山区三模)如图,在同一平面直角坐标系中,$A(4,3)$,$\odot P$与射线$OA$以及$y$轴的正半轴始终相切,过点$B(6,0)$作$\odot P$的切线,切点为$Q$,则切线长$BQ$的最小值为。

10. $3\sqrt{3}$

11 如图，已知$□ ABCD$中，$AD=6$，$∠ ADC=45°$，以AB为直径的圆经过点C，Q为线段DC上任一点（与点D，点C不重合），过点Q作直线$PE⊥ AD$于点E，交射线BC于点P，求$△ DPQ$的面积的最大值。

11. 如图,连接AC.设DE=t,△DPQ的面积为S.

∵AB是圆的直径,
∴∠ACB=90°.
∵四边形ABCD是平行四边形,AD//BC,
∴∠DAC=90°.
∵∠ADC=45°,
∴AD=AC=6,∠QCP=45°.
∵PE⊥AD,
∴∠AEP =∠ACP=∠DAC=90°,
∴四边形ACPE是矩形,
∴AC=PE=6,∠QED=90°.
∵∠QDE=45°,
∴△DQE是等腰直角三角形,
∴DE=QE=t,
∴PQ=PE−QE=6−t,
∴S=1/2 PQ·DE=1/2 t(6−t)=−1/2 t²+3t=−1/2 (t−3)²+4.5(0＜t＜6).
∵(t−3)²≥0,
∴−1/2(t−3)²+4.5≤4.5,
∴当t=3时,S最大为4.5,即△DPQ的面积的最大值为4.5.

12 如图,在 Rt△ABC 中,∠ABC=90°,BC=3,AC=5,D 是其内部一动点,且∠DBC=∠BAD,则 C,D 两点的最小距离为().

A.3
B.4
C.$\sqrt{13} - 2$
D.$\sqrt{13}$

12.C

13(2025·山东日照东港区北京路中学期中)如图,正方形ABCD的边长为4,E是平面内一点,连接AE,BE,且∠AEB=90°,点O是正方形ABCD的中心,连接EO,线段EO绕点O逆时针旋转90°得到线段FO,连接EF,则EF的最大值是.

13.4√2 [解析]如图,连接AC,以AB为直径作圆P,点P为圆心,连接OP,
则P为AB的中点.
∵E是平面内一点,且∠AEB=90°,
∴点E在⊙P上运动.
∵四边形ABCD为正方形,点O为正方形ABCD的中心,边长为4.
∴AC过点O,且OA=OC,AB=BC=4,∠ABC=90°.
∵P为AB的中点,即PA=PB=1/2 AB=2,
∴PO为△ABC的中位线,
∴PO=1/2 BC=2,OP//BC,
∴PO=PA=PB=2,
∴点O在⊙P上.
∵线段EO绕点O逆时针旋转90°得到线段FO,
∴OE=OF,∠EOF=90°.
由勾股定理,得EF=√(OE²+OF²)=√2 OE,
∴当OE为最大时,EF最大.
∵点O,E都在⊙P上,
∴OE为⊙P的弦.
根据圆内最大的弦为直径,得OE的最大值为⊙P的直径,即OE的最大值为4,此时EF的最大值为4√2.

14 如图,在 Rt△ABC 中,∠CAB=90°,AC=AB=4,D,E 分别是 AB,AC 的中点.若等腰直角三角形 ADE 绕点 A 逆时针旋转,得到等腰直角三角形 AD₁E₁,记直线 BD₁ 与 CE₁ 的交点为 P,求点 P 到 AB 所在直线的距离的最大值.

14. 如图,过点P作PG⊥AB,交AB所在直线于点G.

∵D₁,E₁在以A为圆心,AD长为半径的圆上,
∴当BD₁所在直线与⊙A相切时,直线BD₁与CE₁的交点P到直线AB的距离最大,
此时四边形AD₁PE₁是正方形,PD₁=2,
则BD₁=√(AB²−AD₁²)=√(4²−2²)=2√3,
故∠ABP=30°,PB=2+2√3,故点P到AB所在直线的距离的最大值为PG=1+√3.