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1 (2025·徐州新沂期中)如图，AB是$\odot O$的弦，P为优弧APB上的一点，$∠ APB$的平分线交$\odot O$于点Q，AB=6，$∠ APB=60°$，则在点P运动的过程中，PQ长的最大值为(
A.$2\sqrt{3}$
B.$4\sqrt{3}$
C.6
D.$3+2\sqrt{3}$
B
).A.$2\sqrt{3}$
B.$4\sqrt{3}$
C.6
D.$3+2\sqrt{3}$
答案
1.B
2（2025·徐州睢宁期中）如图，AB是$\odot O$的弦，C是优弧$AmB$上一动点，连接$AC$，$BC$，$D$，$E$分别是$AB$，$BC$的中点，连接$DE$。若$AB=2\sqrt{3}$，$∠ ACB=60°$，则$DE$的最大值为________。
答案
2. 2
3 如图，AB，BC是以O为圆心，半径为4的圆的两条弦，∠B=60°，且点O在∠B内，则AC=
$4\sqrt{3}$
，若D是劣弧AC上的一个动点，M，N，P分别是AD，CD，BC的中点，则PN+MN的长度的最大值为$2\sqrt{3}+4$
。答案
3. $4\sqrt{3}$，$2\sqrt{3}+4$
4 (2025·合肥四模)如图，C为半圆$\overset{\frown}{AB}$的中点，P为$\overset{\frown}{BC}$上任意一点，$CD ⊥ CP$且与AP交于点D，连接BD。若$AB=2$，则BD的最小值为
$\sqrt{5}-1$
。答案
4. $\sqrt{5}-1$
5(2025·泸州龙马潭区模拟)如图,在同一平面直角坐标系中,点P是以$C(-\sqrt{2},\sqrt{3})$为圆心,1为半径的$\odot C$上的一个动点,已知$A(-1,0)$,$B(1,0)$,连接$PA$,$PB$,则$PA^2+PB^2$的最小值是
$14-4\sqrt{5}$
.答案
5. $14-4\sqrt{5}$
6（2025·湖北武汉新洲区月考）如图，$\odot O$的半径为4，弦$AB$的长为$4\sqrt{3}$，$P$为优弧$AB$上一动点，$AC⊥ AP$交直线$PB$于点$C$，则$△ ABC$的面积的最大值是（
A.$12\sqrt{3}+12$
B.$6\sqrt{3}+12$
C.$12\sqrt{3}+24$
D.$6\sqrt{3}+24$
C
）。A.$12\sqrt{3}+12$
B.$6\sqrt{3}+12$
C.$12\sqrt{3}+24$
D.$6\sqrt{3}+24$
答案
6.C [解析]如图,连接OA,OB,过点O作OD⊥AB于点D.
∵OD⊥AB,
∴AD=DB=2√3,
∠AOD=∠BOD,
→垂径定理
∴OD=√(OA²−AD²)=2,
∴∠OAD=30°,
∴∠AOD=∠BOD=60°,
∴∠AOB=120°,
∴∠P=1/2∠AOB=60°.
∵AP⊥AC,
∴∠CAP=90°,
∴∠C=30°,
∴点C在以O'为圆心,O'A为半径的圆上运动,如图,当点C'在AB的垂直平分线上时,△ABC的面积最大.
∵∠AO'B=2∠AC'B=60°,O'A=O'B,
∴△AO'B是等边三角形,
∴O'A=O'C'=AB=4√3,O'D=√(O'A²−AD²)=6,
∴C'D=4√3+6,
∴△ABC面积的最大值为1/2 AB·C'D=1/2×4√3×(4√3+6)=24+12√3.故选C.
7 (2025·广东汕头潮阳区期末)如图,在$Rt△ AOB$中,$OA=OB=4$,$\odot O$的半径为1,$P$是$AB$边上的动点,过点$P$作$\odot O$的一条切线$PQ$,$Q$为切点,则线段$PQ$长度的最小值为(
A.$\sqrt{5}$
B.$\sqrt{7}$
C.$2\sqrt{3}$
D.$3\sqrt{2}$
B
).A.$\sqrt{5}$
B.$\sqrt{7}$
C.$2\sqrt{3}$
D.$3\sqrt{2}$
答案
7.B
8（2025·无锡梁溪区模拟）如图，点A的坐标是(-2,0)，点C是以OA为直径的⊙B上的一动点，点A关于点C的对称点为点P(x,y)，则$3x+4y$的最小值为
（第8题）
-10
。（第8题）答案
8.−10 [解析]如图,连接BC,OP.
∵点A关于点C的对称点为点P(x,y),C是以OA为直径的⊙B上的一动点,
∴OP=2BC,
∴点P运动的轨迹是以O为圆心,以AO为半径的圆.
设3x+4y=k,则点P在直线y=−3/4 x +k/4上,
∴当直线y=−3/4 x +k/4与⊙O相切且在⊙O的下方时,k/4的值最小,此时3x+4y的值最小.
设此时直线y=−3/4 x +k/4与x轴交于点E,与y轴交于点F,⊙O与直线y=−3/4 x +k/4的切点为G,连接OG,则点E(k/3,0),F(0,k/4),
∴OE=−k/3,OF=−k/4,
∴EF=−5/12 k.
∵S△OEF=1/2 OE·OF=1/2 OG·EF,
∴1/2×(−k/3)×(−k/4)=1/2×2×(−5k/12),
解得k=−10或k=0(舍去),
∴3x+4y的最小值为−10.
归纳总结 本题考查了直线与圆的位置关系、轴对称的性质、轨迹等知识,解题的关键是熟练掌握这些基本知识.
9 在扇形OAB中，$OA=OB=2$，$∠ AOB=60°$，点C在弧AB上，$CD ⊥ AO$，垂足为D，则$△ OCD$面积的最大值为(
A.$\dfrac{1}{2}$
B.$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
C.$1$
D.$\sqrt{3}$
C
).A.$\dfrac{1}{2}$
B.$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
C.$1$
D.$\sqrt{3}$
答案
9.C
