9.将矩形ABCD沿DE折叠，使顶点A落在DC上的点A'处，如图(1)，然后将矩形展平，沿EF折叠，使顶点A落在折痕DE上的点G处，再将矩形ABCD沿CE折叠，此时顶点B恰好落在DE上的点H处，如图(2)。
(1)求证:EG=CH；
(2)已知$AF=\sqrt{2}$，求AD和AB的长。

9.(1)证明:由折叠的性质,知
$AE=AD=EG,BC=CH$.
∵四边形 $ABCD$ 是矩形,
∴$AD=BC,∴EG=CH$.
(2)解:由题意,得$∠ADE=45°$,
$∠FGE=∠A=90°,AF=FG$.
又
∵$AF=\sqrt{2},∴DG=FG=\sqrt{2},∴DF=2$,
∴$AD=AF+DF=\sqrt{2}+2$.
由折叠,知$∠AEF=∠GEF,∠BEC=∠HEC$,
∴$∠GEF+∠HEC=90°,∠AEF+∠BEC=90°$.
∵$∠AEF+∠AFE=90°,∴∠BEC=∠AFE$.
在$△AEF$ 和$△BCE$ 中,$\begin{cases} ∠AFE=∠BEC, \\ ∠A=∠B=90°, \\ AE=BC, \end{cases}$
∴$△AEF≌△BCE(\mathrm{AAS}),∴AF=BE$,
∴$AB=AE+BE=AD+AF=\sqrt{2}+2+\sqrt{2}=2\sqrt{2}+2$.

10.如图,在矩形ABCD中,$AB=\sqrt{3}$.将$∠ A$向内翻折,点A落在BC上,记为$A'$,折痕为DE.若将$∠ B$沿$EA'$向内翻折,点B恰好落在DE上,记为$B'$,求AD的长度.

10. 解:由折叠的性质可得$∠AED=∠A'ED$,
$∠A'EB=∠A'EB'$,
$AD=A'D,∠ADE=∠A'DE$,
∵四边形 $ABCD$ 为矩形,
∴$∠ADC=∠C=∠A=90°,AB=DC=\sqrt{3}$.
∵$∠AED+∠A'ED+∠A'EB =180°$,
∴$∠AED=∠A'ED=∠A'EB =60°$,
∴$∠ADE=90°-60°=30°=∠A'DE$.
∵$∠A'DC+∠A'DE+∠ADE=∠ADC=90°$,
∴$∠A'DC=90°-30°-30°=30°$.
在$\mathrm{Rt}△A'DC$ 中,设 $A'C=x$,则 $A'D=2x$,
根据勾股定理可得 $A'C^2+CD^2=A'D^2$,
即 $x^2+(\sqrt{3})^2=(2x)^2$,解得 $x=1$(负数舍去),
∴$A'C=1,A'D=2,∴AD=A'D=2$.

11.将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，点B，D重合于对角线AC上的点O处.若AB＝6，求四边形AECF的面积.

11. 解:
∵四边形 $ABCD$ 是矩形,
∴$AB=CD,AD=BC,∠D=90°$.
∵矩形纸片 $ABCD$ 按题图所示的方式折叠,点B,D重合于对角线 $AC$ 上的点 $O$ 处,
∴$AO=AD=CB=CO=\frac{1}{2}AC$,
∴在$\mathrm{Rt}△ACD$ 中,$AD=\frac{1}{2}AC$,
∴$∠ACD=30°,∠DAC=60°$,
由折叠可知$∠DAF=\frac{1}{2}∠CAD=30°$,
设 $AD=x$,则 $AC=2x$,
在$\mathrm{Rt}△ACD$ 中,$CD=AB=6$,
根据勾股定理得 $AC^2-AD^2=CD^2$,
∴$4x^2-x^2=36$,解得 $x=2\sqrt{3}$(负值已舍).
在$\mathrm{Rt}△ADF$ 中,同理可得 $DF=2$,
∴$CF=CD-DF=4$,
∴$S_{\mathrm{四边形}AECF}=CF·AD=4×2\sqrt{3}=8\sqrt{3}$.