13. 如图,一个盛有水的圆柱形玻璃容器的内底面半径为 20 cm,容器内的水的高度为15 cm,如果把一根半径为 10 cm 的玻璃棒垂直插入水中,那么容器内的水升高(水不会溢出) cm.

解：$A$点的坐标为$\boldsymbol{(3,2)}$，
$B$点的坐标为$\boldsymbol{(-3,4)}$，
$C$点的坐标为$\boldsymbol{(-4,-3)}$，
$D$点的坐标为$\boldsymbol{(3,-3)}$。

【分析】
要解决这个问题，首先需明确题中的等量关系：容器中原有水的体积 + 插入后玻璃棒浸入水中部分的体积 = 插入玻璃棒后容器内水面以下的总体积。我们可以设水面升高的高度为未知数，结合圆柱体积公式（圆柱体积=π×底面半径²×高）分别表示出三个部分的体积，代入等量关系列方程求解即可。
【解析】
设容器内的水升高$ x $ cm。
根据圆柱体积公式：原有水的体积为$ π × 20^2 × 15 $；玻璃棒浸入水中部分的高度为$ (15+x) $ cm，这部分体积为$ π × 10^2 × (15+x) $；插入玻璃棒后水面总高度为$ (15+x) $ cm，对应容器内水面以下的总体积为$ π × 20^2 × (15+x) $。
根据等量关系列方程：
$ π · 20^2 × 15 + π · 10^2 (15+x) = π · 20^2 (15+x) $
两边同时除以$ π $消去$ π $，得：
$ 400 × 15 + 100(15+x) = 400(15+x) $
化简计算：
$ 6000 + 1500 + 100x = 6000 + 400x $
移项合并同类项得：
$ 300x = 1500 $
解得$ x=5 $。
【答案】
5
【知识点】
一元一次方程的应用，圆柱体积计算，等积变形
【点评】
本题属于几何类的方程应用问题，解题核心是准确找到体积间的等量关系，需注意玻璃棒浸入水中的高度为升高后的总水面高度，不要误代入原水面高度，明确各部分体积的计算对象是解题的关键。
【难度系数】
0.6

14. 改编题 设一列数$a_1,a_2,a_3,\dots,a_{2026}$中任意三个相邻数之和都是28，已知$a_6=4x-1$，$a_{20}=10$，$a_{66}=5-2x$，那么$a_{2026}=$。

15 解析:因为任意三个相邻数之和都是28,所以 $a_1+a_2+ a_3=a_2+a_3+a_4=28,a_2+a_3+a_4=a_3+a_4+a_5=28,a_3+a_4+a_5= a_4+a_5+a_6=28$,所以 $a_1=a_4,a_2=a_5,a_3=a_6$,所以 $a_1= a_{3n+1},a_2=a_{3n+2},a_3=a_{3n}$.因为 $20=3×6+2,a_{20}=10$,所以 $a_{20}= a_2=10$.因为 $6=3×2,66=3×22$,所以 $a_{66}=a_6$.因为 $a_6=4x- 1,a_{66}=5-2x$,所以 $4x-1=5-2x$,所以 $x=1$,所以 $a_3=a_6=3$. 因为 $2\ 026÷ 3=675······ 1$,所以 $a_{2\ 026}=a_1$.因为 $a_1+a_2+ a_3=28$,所以 $a_1=15$,所以 $a_{2\ 026}=15$.

【分析】
首先根据“任意三个相邻数之和都是28”的条件，对比相邻两组三个数的和，消去重复项可推出数列周期为3，即每3个数为一组循环出现；接下来将已知项的下标除以3，根据余数判断其对应周期内的位置：其中a₆和a₆₆除以3均无余数，对应周期第3项，二者相等，据此列一元一次方程求出x，可得a₃的数值；a₂₀除以3余2，对应周期第2项，可得a₂的数值；再根据三个相邻数和为28求出a₁的数值；最后计算2026除以3的余数，对应到周期内的项即可求出结果。
【解析】
∵ 任意三个相邻数之和都是28
∴ $a_1+a_2+a_3=a_2+a_3+a_4=28$，$a_2+a_3+a_4=a_3+a_4+a_5=28$，$a_3+a_4+a_5=a_4+a_5+a_6=28$
依次消去等式两边相同的项，可得：$a_1=a_4$，$a_2=a_5$，$a_3=a_6$
即数列周期为3，规律为：$a_{3n+1}=a_1$，$a_{3n+2}=a_2$，$a_{3n}=a_3$（n为非负整数）
∵ $20=3×6+2$，$a_{20}=10$
∴ $a_{20}=a_2=10$
∵ $6=3×2$，$66=3×22$
∴ $a_6=a_3$，$a_{66}=a_3$，即$a_6=a_{66}$
代入$a_6=4x-1$，$a_{66}=5-2x$得：
$4x-1=5-2x$
解得：$x=1$
∴ $a_3=a_6=4×1-1=3$
∵ $a_1+a_2+a_3=28$
∴ $a_1=28-a_2-a_3=28-10-3=15$
∵ $2026÷3=675······1$，即$2026=3×675+1$
∴ $a_{2026}=a_1=15$
【答案】
15
【知识点】
数列规律探究，一元一次方程求解，周期规律应用
【点评】
本题是规律探究类的典型题型，核心是通过相邻项的和的关系推导数列的周期性，解题时需准确计算各项下标除以周期的余数，对应到周期内的位置，再结合方程求解未知量，整体逻辑清晰，侧重考查学生的归纳推理能力和运算能力。
【难度系数】
0.6

三、解答题(共58分)
15. (12分)解下列方程:
(1) $3(3x+1)=4(1-x)-3(x+3)$；
(2) $\frac{x+5}{3}-\frac{x-3}{4}=6$；
(3) $\frac{0.4x+0.9}{0.5}-\frac{0.03+0.02x}{0.03}=\frac{x-5}{2}$。

解：
1. 描点：
点$A(-3,1)$：在x轴上找到表示$-3$的刻度，作x轴的垂线，在y轴上找到表示$1$的刻度，作y轴的垂线，两垂线的交点即为点$A$；
点$B(2,-2)$：在x轴上找到表示$2$的刻度，作x轴的垂线，在y轴上找到表示$-2$的刻度，作y轴的垂线，两垂线的交点即为点$B$；
点$C(2,3)$：在x轴上找到表示$2$的刻度，作x轴的垂线，在y轴上找到表示$3$的刻度，作y轴的垂线，两垂线的交点即为点$C$；
点$D(0,1)$：该点横坐标为0，在y轴上找到纵坐标为$1$的位置，该点即为点$D$。
2. 连线：
用线段依次连接$AD$、$BD$、$AC$、$BC$，最终得到的图形即为题目要求绘制的图形。

【分析】
三道题均为一元一次方程求解，通用解题步骤为：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1。其中第(3)题需先利用分数的基本性质将分母中的小数转化为整数，再按常规步骤计算。计算时注意：去分母不要漏乘不含分母的项，去括号时要根据括号前的符号判断是否变号。
【解析】
(1) 去括号，得：
$9x+3=4-4x-3x-9$
移项，将含$x$的项移到等号左边，常数项移到等号右边，得：
$9x+4x+3x=4-9-3$
合并同类项，得：
$16x=-8$
系数化为1，得：
$x=-\frac{1}{2}$
(2) 去分母，两边同乘分母的最小公倍数12，得：
$4(x+5)-3(x-3)=72$
去括号，得：
$4x+20-3x+9=72$
合并同类项，得：
$x+29=72$
移项计算，得：
$x=72-29=43$
(3) 先利用分数的基本性质将小数分母化为整数：
第一个分数分子分母同乘10，得$\frac{4x+9}{5}$；第二个分数分子分母同乘100，得$\frac{3+2x}{3}$，原方程转化为：
$\frac{4x+9}{5}-\frac{3+2x}{3}=\frac{x-5}{2}$
去分母，两边同乘分母的最小公倍数30，得：
$6(4x+9)-10(3+2x)=15(x-5)$
去括号，得：
$24x+54-30-20x=15x-75$
合并同类项，得：
$4x+24=15x-75$
移项，得：
$4x-15x=-75-24$
合并同类项，得：
$-11x=-99$
系数化为1，得：
$x=9$
【答案】
(1)$x=-\frac{1}{2}$；(2)$x=43$；(3)$x=9$
【知识点】
一元一次方程的解法，分数的基本性质，去括号法则
【点评】
本题属于一元一次方程的基础计算题型，覆盖了一元一次方程常见的考查形式，计算时注意细节可以有效降低错误率，熟练掌握解题步骤是解这类题的核心。
【难度系数】
0.7

16. (8分)小明在对关于$x$的方程$\frac{x+3}{3}-\frac{mx-1}{6}=-1$去分母时,得到了方程$2(x+3)-(mx-1)=-1$,因而求得的解是$x=8$,你认为他的答案正确吗?如果不正确,请求出原方程的正确解.

不正确.求解如下:把 $x=8$ 代入 $2(x+3)-(mx-1)=-1$,得 $2×(8+3)-(8m-1)=-1$,解得 $m=3$,所以原方程为$\frac{x+3}{3}- \frac{3x-1}{6}=-1$,去分母,得 $2(x+3)-(3x-1)=-6$,解得 $x=13$.

【分析】
小明去分母时漏乘了方程右侧不含分母的常数项-1，因此得到的整式方程是错误的，他求出的解不是原方程的解。不过x=8是小明得到的错误整式方程的解，我们可以先将x=8代入错误方程求出参数m的值，再把m代入原方程，按照解一元一次方程的正确步骤计算，就能得到原方程的正确解。
【解析】
小明的答案不正确，求解过程如下：
1. 求参数m的值
已知x=8是错误方程$2(x+3)-(mx-1)=-1$的解，将x=8代入该方程：
$2×(8+3)-(8m-1)=-1$
计算得：$22 -8m +1 = -1$
整理得：$23 -8m = -1$
移项解得：$m=3$
2. 解原方程
将$m=3$代入原方程，得：
$\frac{x+3}{3}-\frac{3x-1}{6}=-1$
两边同时乘6去分母，得：
$2(x+3)-(3x-1)=-6$
去括号：$2x +6 -3x +1 = -6$
合并同类项：$-x +7 = -6$
移项、系数化为1得：$x=13$
【答案】
不正确，原方程的正确解为$\boldsymbol{x=13}$
【知识点】
一元一次方程的解、解一元一次方程
【点评】
本题重点考察解一元一次方程中去分母的易错点，去分母时要注意所有项都要乘公分母，尤其是不含分母的常数项不能漏乘；利用错误方程的解求未知参数是解决这类问题的常用思路，计算时要注意去括号的符号变化，避免计算错误。
【难度系数】
0.7

17. (12分)抗震救灾,重建家园,为了修建在地震中受损的一条公路,若由甲工程队单独修建需3个月完成,每月耗资12万元;若由乙工程队单独修建需6个月完成,每月耗资5万元.
(1)请问甲、乙两工程队合修需几个月完成?共耗资多少万元?
(2)若要求最迟4个月完成修建任务,请你设计一种方案,既保证按时完成任务,又最大限度地节省资金(时间按整月计算).

(1)设甲、乙两工程队合修需 $x$ 个月完成,由题意,得 $(\frac{1}{3}+ \frac{1}{6})x=1$,解得 $x=2$.则 $(12+5)×2=34$(万元). 即甲、乙两工程队合修需2个月完成,共耗资34万元.
(2)由于要最大限度地节省资金,故应尽可能多地由乙工程队完成.设甲、乙两工程队合修 $y$ 个月,剩下的由乙工程队来完成. 由题意,得 $(\frac{1}{3}+\frac{1}{6})y+\frac{4-y}{6}=1$,解得 $y=1$.故甲、乙两工程队合修1个月,剩下的由乙工程队来修3个月.

【分析】
本题属于工程类应用题，核心思路是把总工作量看作单位“1”，工作效率=1÷单独完成总时长。(1)问先求出甲、乙各自的工作效率，合作的工作效率为两队效率之和，根据“工作效率×工作时间=工作总量”列方程求解合作时长，再结合两队每月耗资计算总耗资即可。(2)问由于乙队每月耗资更低，要最大限度节省资金，应尽可能让乙队多做，已知最迟4个月完成，可设两队合作y个月，剩余部分由乙队在(4-y)个月内完成，根据总工作量为1列方程求解，即可得到最优方案。
【解析】
(1) 设甲、乙两工程队合修需$x$个月完成。
把总工作量看作单位1，甲的工作效率为$\frac{1}{3}$每月，乙的工作效率为$\frac{1}{6}$每月，根据题意列方程：
$(\frac{1}{3}+\frac{1}{6})x=1$
化简得$\frac{1}{2}x=1$，解得$x=2$。
总耗资为两队每月耗资之和乘以合作时长：$(12+5)×2=34$（万元）。
(2) 要最大限度节省资金，因乙队每月耗资更少，应尽可能安排乙队多施工。设甲、乙两工程队合修$y$个月，剩余工程由乙队单独做$(4-y)$个月完成，根据总工作量为1列方程：
$(\frac{1}{3}+\frac{1}{6})y + \frac{4-y}{6}=1$
化简得$\frac{1}{2}y + \frac{4-y}{6}=1$，两边同乘6得$3y + 4 - y =6$，解得$y=1$。
则乙队单独施工的时长为$4-1=3$个月。
【答案】
(1) 甲、乙两工程队合修需2个月完成，共耗资34万元；
(2) 甲、乙两工程队合修1个月，剩下的由乙工程队单独修3个月。
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 工程问题
3. 最优方案设计
【点评】
本题结合实际场景出题，既考察了工程问题的基本公式和一元一次方程的解法，又需要学生结合成本最优的逻辑设计合理方案，能够有效提升学生用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7