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18. (12分)篝火晚会,学校统一为七年级各班准备了发光手环,每名同学一个,1班有50人,2班有48人,考虑到发光手环易坏,学校又额外给1班、2班共18个手环.
(1)要使1班、2班的手环数一样多,请问应额外给1班多少个手环?
(2)为营造氛围,七年级各班还需要集体购买发光头饰.姜经理看到商机,准备寻找进货途径.他在甲、乙两个批发商处,发现了同款高端发光头饰,均标价20元,甲批发商说:“如果你在我这里买,一律九折.”乙批发商说:“如果你在我这里买,超出40个,则超出部分一律八折.”(每次只能在一个批发商处进货)
①请问购进多少个发光头饰,去两个批发商处的进货价一样多?
②姜经理第一次购进60个发光头饰,正好全部售出,第二次购进的数量比第一次的3倍还多20个.两次均以最优惠的方式购进.如果第一次的总售价为1 150元,且两批发发光头饰全部售完后,总利润恰好为总进价的25%,则第二次每个发光头饰的售价为多少元?
(1)要使1班、2班的手环数一样多,请问应额外给1班多少个手环?
(2)为营造氛围,七年级各班还需要集体购买发光头饰.姜经理看到商机,准备寻找进货途径.他在甲、乙两个批发商处,发现了同款高端发光头饰,均标价20元,甲批发商说:“如果你在我这里买,一律九折.”乙批发商说:“如果你在我这里买,超出40个,则超出部分一律八折.”(每次只能在一个批发商处进货)
①请问购进多少个发光头饰,去两个批发商处的进货价一样多?
②姜经理第一次购进60个发光头饰,正好全部售出,第二次购进的数量比第一次的3倍还多20个.两次均以最优惠的方式购进.如果第一次的总售价为1 150元,且两批发发光头饰全部售完后,总利润恰好为总进价的25%,则第二次每个发光头饰的售价为多少元?
答案
(1)设应额外给1班 $x$ 个手环,则额外给2班 $(18-x)$ 个手环,因为要使1班、2班的手环数一样多,所以 $50+x=48+ (18-x)$,解得 $x=8$,所以应额外给1班8个手环.
(2)①设购进 $y$ 个发光头饰,去两个批发商处的进货价一样多,甲批发商处进货价为 $(20y×0.9)$ 元,乙批发商处进货价为 $[40×20+(y-40)×20×0.8]$ 元.因为去两个批发商处的进货价一样多,所以 $20y×0.9=40×20+(y-40)×20×0.8$,解得 $y=80$,所以购进80个发光头饰时,去两个批发商处的进货价一样多.
②设第二次每个发光头饰的售价为 $z$ 元时,两批发发光头饰全部售完后,总利润恰好为总进价的25%,由①可得当购进数量少于80时,选择甲批发商,当购进数量多于80时,选择乙批发商,第一次购进60个,所以第一次进价为 $60×20×0.9=1\ 080$(元).因为第二次进购的数量比第一次的3倍还多20个,所以第二次购进了200个,第二次进价为 $40×20+(200-40)×20×0.8=3\ 360$(元).因为两批发发光头饰全部售完后,总利润恰好为总进价的25%,所以 $(1\ 150+200z)-(1\ 080+3\ 360)=(1\ 080+3\ 360)×25\%$,解得 $z=22$,所以第二次每个发光头饰的售价为22元时,两批发发光头饰全部售完后,总利润恰好为总进价的25%.
(2)①设购进 $y$ 个发光头饰,去两个批发商处的进货价一样多,甲批发商处进货价为 $(20y×0.9)$ 元,乙批发商处进货价为 $[40×20+(y-40)×20×0.8]$ 元.因为去两个批发商处的进货价一样多,所以 $20y×0.9=40×20+(y-40)×20×0.8$,解得 $y=80$,所以购进80个发光头饰时,去两个批发商处的进货价一样多.
②设第二次每个发光头饰的售价为 $z$ 元时,两批发发光头饰全部售完后,总利润恰好为总进价的25%,由①可得当购进数量少于80时,选择甲批发商,当购进数量多于80时,选择乙批发商,第一次购进60个,所以第一次进价为 $60×20×0.9=1\ 080$(元).因为第二次进购的数量比第一次的3倍还多20个,所以第二次购进了200个,第二次进价为 $40×20+(200-40)×20×0.8=3\ 360$(元).因为两批发发光头饰全部售完后,总利润恰好为总进价的25%,所以 $(1\ 150+200z)-(1\ 080+3\ 360)=(1\ 080+3\ 360)×25\%$,解得 $z=22$,所以第二次每个发光头饰的售价为22元时,两批发发光头饰全部售完后,总利润恰好为总进价的25%.
解析
【分析】
(1) 本题属于分配类问题，核心等量关系为最终1班手环总数量=最终2班手环总数量。设额外给1班$x$个手环，则额外给2班的手环数为总额外数减$x$，分别表示出两班最终的手环总数后列一元一次方程求解即可。
(2) ①属于购物优惠等量问题，首先可判断进货量≤40时乙无优惠、甲打九折，甲价格更低，因此两处价格相等时进货量必然大于40。设进货$y$个，分别表示出甲、乙两处的总进货价，令二者相等列方程求解。
②属于利润类问题，首先根据①的结论确定两次进货的最优选择：进货量少于80选甲，多于80选乙。先分别计算两次进货的总进价，再根据“总利润=总售价-总进价=总进价×25%”的等量关系列方程，求解第二次每个头饰的售价即可。
【解析】
(1) 设应额外给1班$x$个手环，则额外给2班$(18-x)$个手环。
根据两班最终手环数相等，列方程：
$50+x=48+(18-x)$
解得：$x=8$
(2) ①设购进$y$个发光头饰时，两个批发商处进货价一样多。
当$y＞40$时两处价格才可能相等，此时：
甲批发商总进货价：$20×0.9y=18y$元
乙批发商总进货价：$40×20 + 20×0.8(y-40)=(16y+160)$元
根据价格相等列方程：
$18y=16y+160$
解得：$y=80$
②设第二次每个发光头饰的售价为$z$元。
由①的结论可知：进货量＜80时选甲更优惠，进货量＞80时选乙更优惠。
第一次购进60个＜80，选甲批发商，总进价为：$60×20×0.9=1080$元
第二次购进数量：$60×3+20=200$个＞80，选乙批发商，总进价为：$40×20 + (200-40)×20×0.8=3360$元
总进价为：$1080+3360=4440$元
总售价为：$1150+200z$元
根据总利润为总进价的25%，列方程：
$(1150+200z)-4440=4440×25\%$
解得：$z=22$
【答案】
(1) 应额外给1班8个手环；
(2) ①购进80个发光头饰时，两个批发商处进货价一样多；
②第二次每个发光头饰的售价为22元。
【知识点】
一元一次方程的应用，销售利润问题，最优方案选择
【点评】
本题结合生活实际场景设置问题，涵盖分配、优惠方案对比、利润计算三类常见应用题型，侧重考查学生提取等量关系、分情况分析问题的能力，解题时需注意不同优惠方案的适用条件，避免忽略取值范围出错。
【难度系数】
0.6
(1) 本题属于分配类问题，核心等量关系为最终1班手环总数量=最终2班手环总数量。设额外给1班$x$个手环，则额外给2班的手环数为总额外数减$x$，分别表示出两班最终的手环总数后列一元一次方程求解即可。
(2) ①属于购物优惠等量问题，首先可判断进货量≤40时乙无优惠、甲打九折，甲价格更低，因此两处价格相等时进货量必然大于40。设进货$y$个，分别表示出甲、乙两处的总进货价，令二者相等列方程求解。
②属于利润类问题，首先根据①的结论确定两次进货的最优选择：进货量少于80选甲，多于80选乙。先分别计算两次进货的总进价，再根据“总利润=总售价-总进价=总进价×25%”的等量关系列方程，求解第二次每个头饰的售价即可。
【解析】
(1) 设应额外给1班$x$个手环，则额外给2班$(18-x)$个手环。
根据两班最终手环数相等，列方程：
$50+x=48+(18-x)$
解得：$x=8$
(2) ①设购进$y$个发光头饰时，两个批发商处进货价一样多。
当$y＞40$时两处价格才可能相等，此时：
甲批发商总进货价：$20×0.9y=18y$元
乙批发商总进货价：$40×20 + 20×0.8(y-40)=(16y+160)$元
根据价格相等列方程：
$18y=16y+160$
解得：$y=80$
②设第二次每个发光头饰的售价为$z$元。
由①的结论可知：进货量＜80时选甲更优惠，进货量＞80时选乙更优惠。
第一次购进60个＜80，选甲批发商，总进价为：$60×20×0.9=1080$元
第二次购进数量：$60×3+20=200$个＞80，选乙批发商，总进价为：$40×20 + (200-40)×20×0.8=3360$元
总进价为：$1080+3360=4440$元
总售价为：$1150+200z$元
根据总利润为总进价的25%，列方程：
$(1150+200z)-4440=4440×25\%$
解得：$z=22$
【答案】
(1) 应额外给1班8个手环；
(2) ①购进80个发光头饰时，两个批发商处进货价一样多；
②第二次每个发光头饰的售价为22元。
【知识点】
一元一次方程的应用，销售利润问题，最优方案选择
【点评】
本题结合生活实际场景设置问题，涵盖分配、优惠方案对比、利润计算三类常见应用题型，侧重考查学生提取等量关系、分情况分析问题的能力，解题时需注意不同优惠方案的适用条件，避免忽略取值范围出错。
【难度系数】
0.6
19. (14分)(2025·乐山期中)在学习绝对值时,老师通过绝对值的几何意义,拓展了数轴上任意两点之间的距离公式,点A,B在数轴上分别表示有理数a,b,那么A,B两点之间的距离为AB=|a−b|.
【问题解决】如图,在数轴上,点A表示-10,点B表示11,点C表示18.动点P从点A出发沿数轴正方向以每秒3个单位长度的速度匀速运动;同时,动点Q从点C出发,沿数轴负方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动.设运动时间为t秒.
(1)当t=2时,线段OP的长为
(2)当t为何值时,P,Q两点相遇?相遇点M所对应的数是多少?
(3)在点Q出发后到达点B之前,求t为何值时OP=BQ.
(4)当t为何值时,P,Q两点间的距离PQ=4.
【问题解决】如图,在数轴上,点A表示-10,点B表示11,点C表示18.动点P从点A出发沿数轴正方向以每秒3个单位长度的速度匀速运动;同时,动点Q从点C出发,沿数轴负方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动.设运动时间为t秒.
(1)当t=2时,线段OP的长为
4
;线段BQ的长为5
.(2)当t为何值时,P,Q两点相遇?相遇点M所对应的数是多少?
(3)在点Q出发后到达点B之前,求t为何值时OP=BQ.
(4)当t为何值时,P,Q两点间的距离PQ=4.
答案
(1)4 5 解析:因为动点 P 从点 A 出发沿数轴正方向以每秒 3 个单位长度的速度匀速运动;同时,动点 Q 从点 C 出发,沿数轴负方向以每秒 1 个单位长度的速度匀速运动,所以点 P 表示的数为 $-10+3t$,点 Q 表示的数为 $18- t$,所以当 $t=2$ 时,点 P 表示的数为 $-10+3×2=-4$,点 Q 表示的数为 $18-2=16$,所以 $OP=|0-(-4)|=4,BQ=|11- 16|=5$.
(2)由题意得点 P 表示的数为 $-10+3t$,点 Q 表示的数为 $18-t$,所以当 P,Q 两点相遇时,$-10+3t=18-t$,解得 $t= 7$,所以相遇点 M 所对应的数为 $-10+3t=-10+3×7=11$,所以当 $t=7$ 时,P,Q 两点相遇,相遇点 M 所对应的数为 11.
(3)因为点 P 表示的数为 $-10+3t$,点 Q 表示的数为 $18- t$,所以 $OP=|-10+3t|,BQ=|18-t-11|=|7-t|$.当 $OP=BQ$ 时,$|-10+3t|=|7-t|$,解得 $t=\frac{3}{2}$ 或 $t=\frac{17}{4}$;当点 Q 到达点 B 时,$18-t=11$,解得 $t=7$,所以 $t=\frac{3}{2}$ 或 $t=\frac{17}{4}$ 都符合题意.综上,$t=\frac{3}{2}$ 或 $t=\frac{17}{4}$.
(4)点 P 表示的数为 $-10+3t$,点 Q 表示的数为 $18-t$,所以 $PQ=|18-t-(-10+3t)|=|18-t+10-3t|=|28-4t|$,当 $PQ=4$ 时,则 $|28-4t|=4$,解得 $t=6$ 或 $t=8$.
(2)由题意得点 P 表示的数为 $-10+3t$,点 Q 表示的数为 $18-t$,所以当 P,Q 两点相遇时,$-10+3t=18-t$,解得 $t= 7$,所以相遇点 M 所对应的数为 $-10+3t=-10+3×7=11$,所以当 $t=7$ 时,P,Q 两点相遇,相遇点 M 所对应的数为 11.
(3)因为点 P 表示的数为 $-10+3t$,点 Q 表示的数为 $18- t$,所以 $OP=|-10+3t|,BQ=|18-t-11|=|7-t|$.当 $OP=BQ$ 时,$|-10+3t|=|7-t|$,解得 $t=\frac{3}{2}$ 或 $t=\frac{17}{4}$;当点 Q 到达点 B 时,$18-t=11$,解得 $t=7$,所以 $t=\frac{3}{2}$ 或 $t=\frac{17}{4}$ 都符合题意.综上,$t=\frac{3}{2}$ 或 $t=\frac{17}{4}$.
(4)点 P 表示的数为 $-10+3t$,点 Q 表示的数为 $18-t$,所以 $PQ=|18-t-(-10+3t)|=|18-t+10-3t|=|28-4t|$,当 $PQ=4$ 时,则 $|28-4t|=4$,解得 $t=6$ 或 $t=8$.
解析
【分析】
解决本题的核心是先根据动点的起点、运动方向和速度，用含运动时间t的代数式表示出点P、Q在数轴上对应的数：点P从-10出发沿正方向运动，速度为3单位/秒，因此t秒后对应的数为-10+3t；点Q从18出发沿负方向运动，速度为1单位/秒，因此t秒后对应的数为18-t。再结合数轴上两点距离公式AB=|a-b|，针对各小问的条件列算式或方程求解即可：
(1)将t=2代入表达式得到两点对应的数，再分别计算到原点O、点B的距离；
(2)两点相遇时表示的数相等，据此列方程求解t，再代入计算相遇点对应的数；
(3)先写出OP、BQ的绝对值表达式，列绝对值方程求解，再结合“Q到达B之前”的条件筛选符合要求的解；
(4)根据PQ=4列绝对值方程求解即可。
【解析】
(1) 当t=2时，点P对应的数为$-10+3×2=-4$，点Q对应的数为$18-2=16$。
OP是原点（对应数0）到P的距离，因此$OP=|0 - (-4)|=4$；
BQ是点B（对应数11）到Q的距离，因此$BQ=|11 - 16|=5$。
(2) P、Q两点相遇时，两点对应的数相等，列方程：
$-10+3t = 18 - t$
移项合并同类项得$4t=28$，解得$t=7$。
将$t=7$代入点P的表达式，得相遇点M对应的数为$-10+3×7=11$。
(3) 由题意得$OP=|-10+3t|$，$BQ=|(18-t) - 11|=|7 - t|$。
当$OP=BQ$时，列方程$|-10+3t|=|7-t|$，根据绝对值的性质分两种情况：
① $-10+3t = 7 - t$，解得$t=\frac{17}{4}$；
② $-10+3t = -(7 - t)$，即$-10+3t = -7 + t$，解得$t=\frac{3}{2}$。
点Q到达点B时，$18-t=11$，解得$t=7$，两个解$\frac{3}{2}$、$\frac{17}{4}$均小于7，符合题意。
(4) PQ为P、Q两点的距离，因此$PQ=|(18-t) - (-10+3t)|=|28 - 4t|$。
当$PQ=4$时，列方程$|28-4t|=4$，分两种情况：
① $28-4t=4$，解得$t=6$；
② $28-4t=-4$，解得$t=8$。
两个解均符合运动的实际意义，因此成立。
【答案】
(1) $\boxed{4}$；$\boxed{5}$
(2) 当$\boxed{t=7}$时P、Q两点相遇，相遇点M对应的数是$\boxed{11}$
(3) $\boxed{t=\frac{3}{2}}$或$\boxed{t=\frac{17}{4}}$
(4) $\boxed{t=6}$或$\boxed{t=8}$
【知识点】
数轴两点距离公式，动点行程问题，绝对值方程求解
【点评】
本题以数轴为载体考查动点相关的计算，解题关键是用含t的代数式表示动点对应的数，再结合距离公式建立方程求解，解题时需注意绝对值方程的多解性，以及题目给出的范围限制，能有效考查数形结合思想的应用。
【难度系数】
0.6
解决本题的核心是先根据动点的起点、运动方向和速度，用含运动时间t的代数式表示出点P、Q在数轴上对应的数：点P从-10出发沿正方向运动，速度为3单位/秒，因此t秒后对应的数为-10+3t；点Q从18出发沿负方向运动，速度为1单位/秒，因此t秒后对应的数为18-t。再结合数轴上两点距离公式AB=|a-b|，针对各小问的条件列算式或方程求解即可：
(1)将t=2代入表达式得到两点对应的数，再分别计算到原点O、点B的距离；
(2)两点相遇时表示的数相等，据此列方程求解t，再代入计算相遇点对应的数；
(3)先写出OP、BQ的绝对值表达式，列绝对值方程求解，再结合“Q到达B之前”的条件筛选符合要求的解；
(4)根据PQ=4列绝对值方程求解即可。
【解析】
(1) 当t=2时，点P对应的数为$-10+3×2=-4$，点Q对应的数为$18-2=16$。
OP是原点（对应数0）到P的距离，因此$OP=|0 - (-4)|=4$；
BQ是点B（对应数11）到Q的距离，因此$BQ=|11 - 16|=5$。
(2) P、Q两点相遇时，两点对应的数相等，列方程：
$-10+3t = 18 - t$
移项合并同类项得$4t=28$，解得$t=7$。
将$t=7$代入点P的表达式，得相遇点M对应的数为$-10+3×7=11$。
(3) 由题意得$OP=|-10+3t|$，$BQ=|(18-t) - 11|=|7 - t|$。
当$OP=BQ$时，列方程$|-10+3t|=|7-t|$，根据绝对值的性质分两种情况：
① $-10+3t = 7 - t$，解得$t=\frac{17}{4}$；
② $-10+3t = -(7 - t)$，即$-10+3t = -7 + t$，解得$t=\frac{3}{2}$。
点Q到达点B时，$18-t=11$，解得$t=7$，两个解$\frac{3}{2}$、$\frac{17}{4}$均小于7，符合题意。
(4) PQ为P、Q两点的距离，因此$PQ=|(18-t) - (-10+3t)|=|28 - 4t|$。
当$PQ=4$时，列方程$|28-4t|=4$，分两种情况：
① $28-4t=4$，解得$t=6$；
② $28-4t=-4$，解得$t=8$。
两个解均符合运动的实际意义，因此成立。
【答案】
(1) $\boxed{4}$；$\boxed{5}$
(2) 当$\boxed{t=7}$时P、Q两点相遇，相遇点M对应的数是$\boxed{11}$
(3) $\boxed{t=\frac{3}{2}}$或$\boxed{t=\frac{17}{4}}$
(4) $\boxed{t=6}$或$\boxed{t=8}$
【知识点】
数轴两点距离公式，动点行程问题，绝对值方程求解
【点评】
本题以数轴为载体考查动点相关的计算，解题关键是用含t的代数式表示动点对应的数，再结合距离公式建立方程求解，解题时需注意绝对值方程的多解性，以及题目给出的范围限制，能有效考查数形结合思想的应用。
【难度系数】
0.6
