登录
1. 已知$∠ 1$与$∠ 2$互余，$∠ 2$与$∠ 3$互补，且$∠ 3=3∠ 1$，则$∠ 2$的度数为 （
A.$30°$
B.$45°$
C.$60°$
D.$75°$
B
）A.$30°$
B.$45°$
C.$60°$
D.$75°$
答案
1. B 因为∠1与∠2互余，∠2与∠3互补，所以∠1=90°−∠2，∠3=180°−∠2. 因为∠3=3∠1，所以180°−∠2=3(90°−∠2)，解得∠2=45°.
2. 如图，O是直线AB上一点，OE平分$∠ AOB$，$∠ COD=90°$，则图中互余的角、互补的角各有（
A.3对,3对
B.4对,7对
C.4对,4对
D.4对,5对
B
）A.3对,3对
B.4对,7对
C.4对,4对
D.4对,5对
答案
2. B 因为OE平分∠AOB，所以∠AOE=∠BOE=90°.
所以∠AOC + ∠COE = ∠DOE + ∠DOB = 90°. 因为∠COD=90°，所以∠AOC + ∠BOD = ∠COE + ∠DOE = 90°. 所以互余的角有∠AOC和∠COE，∠AOC和∠BOD，∠COE和∠DOE，∠DOE和∠BOD，共4对. 易知互补的角有∠AOC和∠BOC，∠DOE和∠BOC，∠COE和∠AOD，∠BOD和∠AOD，∠AOE和∠BOE，∠AOE和∠COD，∠COD和∠BOE，共7对.
所以∠AOC + ∠COE = ∠DOE + ∠DOB = 90°. 因为∠COD=90°，所以∠AOC + ∠BOD = ∠COE + ∠DOE = 90°. 所以互余的角有∠AOC和∠COE，∠AOC和∠BOD，∠COE和∠DOE，∠DOE和∠BOD，共4对. 易知互补的角有∠AOC和∠BOC，∠DOE和∠BOC，∠COE和∠AOD，∠BOD和∠AOD，∠AOE和∠BOE，∠AOE和∠COD，∠COD和∠BOE，共7对.
3. 「方程思想」若一个角的补角比它的余角的2倍多$30°$，则这个角的度数为
30°
。答案
3. 30° 设这个角的度数为x. 由题意，得180°−x=2(90°−x)+30°，解得x=30°. 所以这个角的度数是30°.
4. 如图，O为直线AB上一点，$∠ BOC=110°$，$∠ COD=90°$，OM平分$∠ AOC$.
（1）求$∠ MOD$的度数.
（2）若$∠ BOP$与$∠ AOM$互余，求$∠ COP$的度数.
（1）求$∠ MOD$的度数.
（2）若$∠ BOP$与$∠ AOM$互余，求$∠ COP$的度数.
答案
4. （1）因为∠BOC=110°，∠COD=90°，所以∠BOC+∠COD=110°+90°=200°. 因为∠AOB=180°，所以∠AOD=20°，∠AOC=180°−110°=70°. 因为OM平分∠AOC，所以∠AOM=1/2∠AOC=35°. 所以∠MOD=∠AOM+∠AOD=35°+20°=55°. （2）因为∠BOP与∠AOM互余，所以∠BOP+∠AOM=90°. 因为∠AOM=35°，所以∠BOP=90°−∠AOM=55°. 所以∠COP=∠BOC−∠BOP=110°−55°=55°.
5. 已知∠1与∠2互为余角，∠1与∠3互为补角，有下列结论：① ∠3−∠2=90°；② ∠3+∠2=270°−2∠1；③ ∠3−∠1=2∠2；④ ∠3＞∠1+∠2。其中，正确的是 （
A.①②
B.①②③
C.①③④
D.①②③④
D
）A.①②
B.①②③
C.①③④
D.①②③④
答案
5. D 因为∠1与∠2互为余角，∠1与∠3互为补角，所以∠1+∠2=90°，∠1+∠3=180°. 所以∠3−∠2=(180°−∠1)−(90°−∠1)=90°. 故①正确. 易知∠3+∠2=180°−∠1+90°−∠1=270°−2∠1. 故②正确. 因为∠3+∠1=2(∠1+∠2)=180°，所以∠3−∠1=2∠2. 故③正确. 因为∠3=∠1+2∠2，所以∠3＞∠1+∠2. 故④正确. 综上所述，正确的是①②③④.
6. 在同一平面内,点O在直线AD上,∠AOC与∠AOB互补,OM,ON分别为∠AOC,∠AOB的平分线.若∠MON=α(0°＜α＜90°),则∠AOC的度数为（
A.$90° - α$
B.$90° + α$
C.$45° + \frac{α}{2}$或$45° - \frac{α}{2}$
D.$90° - α$或$90° + α$
D
）A.$90° - α$
B.$90° + α$
C.$45° + \frac{α}{2}$或$45° - \frac{α}{2}$
D.$90° - α$或$90° + α$
答案
6. D ① 如图①，当∠AOC＜∠AOB时，因为OM，ON分别为∠AOC，∠AOB的平分线，所以∠AOM=1/2∠AOC，∠AON=1/2∠AOB. 所以∠MON=∠AON−∠AOM=1/2(∠AOB−∠AOC). 所以∠AOB−∠AOC=2α. 因为∠AOC与∠AOB互补，所以∠AOB=180°−∠AOC. 所以180°−∠AOC−∠AOC=2α. 所以∠AOC=90°−α. ② 如图②，当∠AOC＞∠AOB时，因为OM，ON分别为∠AOC，∠AOB的平分线，所以∠AOM=1/2∠AOC，∠AON=1/2∠AOB. 所以∠MON=∠AOM−∠AON=1/2(∠AOC−∠AOB). 所以∠AOC−∠AOB=2α. 因为∠AOC与∠AOB互补，所以∠AOB=180°−∠AOC. 所以∠AOC−(180°−∠AOC)=2α. 所以∠AOC=90°+α. 综上所述，∠AOC的度数为90°−α或90°+α(0°＜α＜90°).
7. 如图,将三个大小不同的正方形的一个顶点重合放置,则∠α,∠β,∠γ这三个角之间的数量关系为
∠α−∠β+∠γ=90°
。答案
7. ∠α−∠β+∠γ=90° 如图，由条件可知，∠α+∠1=∠1+∠β+∠2=∠2+∠γ=90°，所以∠1=90°−∠α，∠2=90°−∠γ. 所以∠β=90°−∠1−∠2=90°−90°+∠α−90°+∠γ=∠α+∠γ−90°. 所以∠α−∠β+∠γ=90°.
8. [分类讨论思想] 如图，$∠ EOC$ 是平角，$∠ BOC=50°$，$OD$ 平分$∠ BOC$。若在平面内画一条射线 $OA$，使$∠ AOC$ 和$∠ COD$ 互余，则$∠ AOB$ 的度数为________。
答案
8. 15°或115° 因为OD平分∠BOC，∠BOC=50°，所以∠COD=1/2∠BOC=1/2×50°=25°. 因为∠AOC和∠COD互余，所以∠AOC=90°−25°=65°. 所以当射线OA，OD在射线OC的两侧时，∠AOB=∠AOC+∠BOC=65°+50°=115°；当射线OA，OD在射线OC的同侧时，∠AOB=∠AOC−∠BOC=65°−50°=15°. 综上所述，∠AOB的度数为15°或115°.
