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9.[2025·宿迁中考]若等腰三角形的两边长分别为2 cm和4 cm，则它的周长为
10
cm.答案
9.10
解析
【分析】
解决本题首先要结合等腰三角形两边相等的性质，分两种情况讨论已知的两条边哪个是腰、哪个是底；其次必须利用三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）验证每种情况是否能构成三角形，排除不符合条件的情况后，再计算符合条件的三角形周长即可。
【解析】
解：已知等腰三角形的两边长为2cm和4cm，分两种情况讨论：
① 若腰长为2cm，则三边长为2cm、2cm、4cm。
此时2+2=4，不满足三角形任意两边之和大于第三边的要求，无法构成三角形，该情况舍去。
② 若腰长为4cm，则三边长为4cm、4cm、2cm。
此时4+2＞4，4+4＞2，满足三角形三边关系，可构成三角形。
周长为：4+4+2=10（cm）。
【答案】
10
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形三边关系
【点评】
本题属于等腰三角形的常考基础题型，解题时容易忽略验证三角形三边关系的步骤，直接把两种情况的周长都算出来，导致出现错误答案，养成分类讨论后验证合理性的习惯可以有效避免这类失误。
【难度系数】
0.7
解决本题首先要结合等腰三角形两边相等的性质，分两种情况讨论已知的两条边哪个是腰、哪个是底；其次必须利用三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）验证每种情况是否能构成三角形，排除不符合条件的情况后，再计算符合条件的三角形周长即可。
【解析】
解：已知等腰三角形的两边长为2cm和4cm，分两种情况讨论：
① 若腰长为2cm，则三边长为2cm、2cm、4cm。
此时2+2=4，不满足三角形任意两边之和大于第三边的要求，无法构成三角形，该情况舍去。
② 若腰长为4cm，则三边长为4cm、4cm、2cm。
此时4+2＞4，4+4＞2，满足三角形三边关系，可构成三角形。
周长为：4+4+2=10（cm）。
【答案】
10
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形三边关系
【点评】
本题属于等腰三角形的常考基础题型，解题时容易忽略验证三角形三边关系的步骤，直接把两种情况的周长都算出来，导致出现错误答案，养成分类讨论后验证合理性的习惯可以有效避免这类失误。
【难度系数】
0.7
10.状状同学用长度分别为5 cm，7 cm，9 cm，13 cm的四根小棒摆三角形，用其中的三根首尾顺次相接，每摆好一个后，拆开再摆，这样最多可摆出不同的三角形的个数为（
A.1
B.2
C.3
D.4
C
）A.1
B.2
C.3
D.4
答案
10.C
解析
【分析】
要解决这道题，需明确两个核心思路：首先要有序列举出从4根小棒中任选3根的所有可能组合，避免漏选或重复；其次要掌握判断三根小棒能否构成三角形的依据——三角形三边关系，为简化计算，只需验证较短两边的和是否大于最长边即可，若满足则可构成三角形，反之则不能，最后统计符合条件的组合数量即可。
【解析】
从4根小棒中任选3根，共有以下4种组合，逐一验证：
1. 选5cm、7cm、9cm：较短两边和为$5+7=12\mathrm{cm}$，$12＞9$，满足三边关系，可构成三角形；
2. 选5cm、7cm、13cm：较短两边和为$5+7=12\mathrm{cm}$，$12＜13$，不满足三边关系，不可构成三角形；
3. 选5cm、9cm、13cm：较短两边和为$5+9=14\mathrm{cm}$，$14＞13$，满足三边关系，可构成三角形；
4. 选7cm、9cm、13cm：较短两边和为$7+9=16\mathrm{cm}$，$16＞13$，满足三边关系，可构成三角形。
综上，共可摆出3个不同的三角形。
【答案】
C
【知识点】
三角形三边关系、分类枚举
【点评】
本题是三角形三边关系的基础应用，解题关键是有序列举所有组合，再用“较短两边之和大于最长边”的技巧快速验证，既能提高解题效率，也能减少计算错误。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，需明确两个核心思路：首先要有序列举出从4根小棒中任选3根的所有可能组合，避免漏选或重复；其次要掌握判断三根小棒能否构成三角形的依据——三角形三边关系，为简化计算，只需验证较短两边的和是否大于最长边即可，若满足则可构成三角形，反之则不能，最后统计符合条件的组合数量即可。
【解析】
从4根小棒中任选3根，共有以下4种组合，逐一验证：
1. 选5cm、7cm、9cm：较短两边和为$5+7=12\mathrm{cm}$，$12＞9$，满足三边关系，可构成三角形；
2. 选5cm、7cm、13cm：较短两边和为$5+7=12\mathrm{cm}$，$12＜13$，不满足三边关系，不可构成三角形；
3. 选5cm、9cm、13cm：较短两边和为$5+9=14\mathrm{cm}$，$14＞13$，满足三边关系，可构成三角形；
4. 选7cm、9cm、13cm：较短两边和为$7+9=16\mathrm{cm}$，$16＞13$，满足三边关系，可构成三角形。
综上，共可摆出3个不同的三角形。
【答案】
C
【知识点】
三角形三边关系、分类枚举
【点评】
本题是三角形三边关系的基础应用，解题关键是有序列举所有组合，再用“较短两边之和大于最长边”的技巧快速验证，既能提高解题效率，也能减少计算错误。
【难度系数】
0.7
11. 如图，元元同学将长度分别为2,2,3,4,x的5根小棒，摆成了以AC为公共边的两个三角形。若△ABC为等腰三角形，则x的值为（
A.2
B.3
C.4
D.5
B
）A.2
B.3
C.4
D.5
答案
11.B
解析
【分析】
解题思路分为两步：首先根据△ABC是等腰三角形的条件，确定x的可能取值；再结合三角形三边关系，验证x的取值是否同时满足△ACD的构成条件，最终筛选出正确结果。首先明确两个三角形的边长：△ABC三边为AB=3、BC=4、AC=x，△ACD三边为AD=2、CD=2、AC=x。
【解析】
1. 确定△ABC为等腰三角形时x的可能值：
等腰三角形需至少两边相等，△ABC已知边为AB=3、BC=4，因此公共边AC=x的可能取值为3或4（即AC=AB，或AC=BC）。
2. 根据△ACD的三边关系筛选x：
三角形任意两边之和大于第三边，△ACD中AD=2、CD=2，因此有$2+2＞x$，即$x＜4$。
3. 综合判断：
x的可能取值为3、4，结合$x＜4$的限制，可得x只能为3。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的定义、三角形三边关系
【点评】
本题是等腰三角形性质和三角形三边关系的综合应用，解题时需注意两个三角形共享边AC，因此x的取值需要同时满足两个三角形的构成条件，避免遗漏限制条件导致错选。
【难度系数】
0.7
解题思路分为两步：首先根据△ABC是等腰三角形的条件，确定x的可能取值；再结合三角形三边关系，验证x的取值是否同时满足△ACD的构成条件，最终筛选出正确结果。首先明确两个三角形的边长：△ABC三边为AB=3、BC=4、AC=x，△ACD三边为AD=2、CD=2、AC=x。
【解析】
1. 确定△ABC为等腰三角形时x的可能值：
等腰三角形需至少两边相等，△ABC已知边为AB=3、BC=4，因此公共边AC=x的可能取值为3或4（即AC=AB，或AC=BC）。
2. 根据△ACD的三边关系筛选x：
三角形任意两边之和大于第三边，△ACD中AD=2、CD=2，因此有$2+2＞x$，即$x＜4$。
3. 综合判断：
x的可能取值为3、4，结合$x＜4$的限制，可得x只能为3。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的定义、三角形三边关系
【点评】
本题是等腰三角形性质和三角形三边关系的综合应用，解题时需注意两个三角形共享边AC，因此x的取值需要同时满足两个三角形的构成条件，避免遗漏限制条件导致错选。
【难度系数】
0.7
12.[2026·合肥四十五中期中改编]已知$a,b,c$是$△ ABC$的三边长.
(1)若$a,b,c$满足$|a-b|+(b-c)^2=0$,则$△ ABC$是________三角形(填“等腰”或“等边”);
(2)化简:$|c-a+b|-|b-c-a|-|a+b+c|=\_\_\_\_\_\_$.
(1)若$a,b,c$满足$|a-b|+(b-c)^2=0$,则$△ ABC$是________三角形(填“等腰”或“等边”);
(2)化简:$|c-a+b|-|b-c-a|-|a+b+c|=\_\_\_\_\_\_$.
答案
12.(1)等边 (2)−3a+b−c
解析
【分析】
(1) 解题思路：先利用绝对值和平方的非负性，两个非负数相加和为0时，每个非负数都为0，从而推导a、b、c的数量关系，判断三角形形状。
(2) 解题思路：先根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”，判断每个绝对值内式子的正负，再根据“正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数”去掉绝对值符号，最后合并同类项得到化简结果。
【解析】
(1)
∵|a-b|≥0，(b-c)²≥0，且|a-b|+(b-c)²=0
∴|a-b|=0，(b-c)²=0，即a-b=0，b-c=0
∴a=b，b=c，即a=b=c
∴△ABC是等边三角形。
(2)
∵a、b、c是△ABC的三边长，根据三角形三边关系可得：
b+c＞a，
∴c-a+b=(b+c)-a＞0；
a+c＞b，
∴b-c-a=b-(a+c)＜0；
三角形边长均为正数，
∴a+b+c＞0。
根据绝对值的性质去绝对值：
|c-a+b|=c-a+b，|b-c-a|=-(b-c-a)=-b+c+a，|a+b+c|=a+b+c
代入原式化简：
原式=(c-a+b)-(-b+c+a)-(a+b+c)
=c-a+b+b-c-a-a-b-c
=-3a+b-c
【答案】
(1)等边；(2)-3a+b-c
【知识点】
非负数的性质；三角形三边关系；绝对值化简
【点评】
本题属于三角形边的关系的常规考题，第一小问结合非负数性质判断三角形类型，属于基础考点；第二小问的核心是利用三边关系判断绝对值内式子的正负，易错点是去绝对值时符号处理错误，熟练掌握基础性质即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
(1) 解题思路：先利用绝对值和平方的非负性，两个非负数相加和为0时，每个非负数都为0，从而推导a、b、c的数量关系，判断三角形形状。
(2) 解题思路：先根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”，判断每个绝对值内式子的正负，再根据“正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数”去掉绝对值符号，最后合并同类项得到化简结果。
【解析】
(1)
∵|a-b|≥0，(b-c)²≥0，且|a-b|+(b-c)²=0
∴|a-b|=0，(b-c)²=0，即a-b=0，b-c=0
∴a=b，b=c，即a=b=c
∴△ABC是等边三角形。
(2)
∵a、b、c是△ABC的三边长，根据三角形三边关系可得：
b+c＞a，
∴c-a+b=(b+c)-a＞0；
a+c＞b，
∴b-c-a=b-(a+c)＜0；
三角形边长均为正数，
∴a+b+c＞0。
根据绝对值的性质去绝对值：
|c-a+b|=c-a+b，|b-c-a|=-(b-c-a)=-b+c+a，|a+b+c|=a+b+c
代入原式化简：
原式=(c-a+b)-(-b+c+a)-(a+b+c)
=c-a+b+b-c-a-a-b-c
=-3a+b-c
【答案】
(1)等边；(2)-3a+b-c
【知识点】
非负数的性质；三角形三边关系；绝对值化简
【点评】
本题属于三角形边的关系的常规考题，第一小问结合非负数性质判断三角形类型，属于基础考点；第二小问的核心是利用三边关系判断绝对值内式子的正负，易错点是去绝对值时符号处理错误，熟练掌握基础性质即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
13.【教材P65例1变式题】[2025·池州期中]用一条长为21 cm的铁丝围一个等腰三角形.
(1)如果腰长是底边长的3倍,那么底边长是多少?
(2)能用这根铁丝围成一个一边长为5 cm的等腰三角形吗?如果能,请求出另外两条边的长;如果不能,请说明理由.
(1)如果腰长是底边长的3倍,那么底边长是多少?
(2)能用这根铁丝围成一个一边长为5 cm的等腰三角形吗?如果能,请求出另外两条边的长;如果不能,请说明理由.
答案
13.解:(1)设等腰三角形的底边长为x cm,则腰长为3x cm.
根据题意,得x+3x+3x=21,解得x=3.
所以底边长为3 cm.
(2)能.理由如下：
当腰长为5 cm时,底边长为21−5−5=11(cm),而5+5＜11,不满足三角形的三边关系,故不能围成三角形；
当底边长为5 cm时,腰长为(21−5)÷2=8(cm),而5+8＞8,满足三角形的三边关系,故能围成三角形.
所以能用这根铁丝围成一个底边长为5 cm的等腰三角形，另外两条边的长为8 cm,8 cm.
根据题意,得x+3x+3x=21,解得x=3.
所以底边长为3 cm.
(2)能.理由如下：
当腰长为5 cm时,底边长为21−5−5=11(cm),而5+5＜11,不满足三角形的三边关系,故不能围成三角形；
当底边长为5 cm时,腰长为(21−5)÷2=8(cm),而5+8＞8,满足三角形的三边关系,故能围成三角形.
所以能用这根铁丝围成一个底边长为5 cm的等腰三角形，另外两条边的长为8 cm,8 cm.
解析
【分析】
(1) 求解第一问时，利用等腰三角形两腰相等的性质，结合腰长是底边长3倍的数量关系，设底边长为未知数，根据周长公式列一元一次方程即可求解，求解后可验证三边是否符合三角形关系确保结果正确。
(2) 求解第二问时，由于题目未明确长为5cm的边是腰还是底边，因此需要分两种情况讨论：①5cm为腰长，②5cm为底边长。两种情况分别计算出剩余两边的长度后，都需要用“三角形任意两边之和大于第三边”的规则验证是否能构成三角形，不符合的情况要舍去。
【解析】
(1) 设等腰三角形的底边长为x cm，则腰长为3x cm。
根据题意列方程：$x+3x+3x=21$
解得$x=3$，经检验三边长为3cm、9cm、9cm，满足三角形三边关系。
(2) 能围成，分情况讨论：
① 当腰长为5 cm时，底边长为$21-5-5=11(\mathrm{cm})$，此时三边长为5cm、5cm、11cm，因为$5+5＜11$，不满足三角形三边关系，故该情况舍去；
② 当底边长为5 cm时，腰长为$(21-5)÷2=8(\mathrm{cm})$，此时三边长为5cm、8cm、8cm，因为$5+8＞8$，满足三角形三边关系，故该情况成立。
【答案】
(1) 底边长是3 cm；
(2) 能，另外两条边的长为8 cm，8 cm。
【知识点】
等腰三角形的性质、三角形三边关系、分类讨论思想
【点评】
本题围绕等腰三角形周长计算展开，重点考查分类讨论思想的应用和三角形三边关系的验证，解题时容易出现未分类讨论或忽略验证三边关系的错误，需注意思维的严谨性。
【难度系数】
0.7
(1) 求解第一问时，利用等腰三角形两腰相等的性质，结合腰长是底边长3倍的数量关系，设底边长为未知数，根据周长公式列一元一次方程即可求解，求解后可验证三边是否符合三角形关系确保结果正确。
(2) 求解第二问时，由于题目未明确长为5cm的边是腰还是底边，因此需要分两种情况讨论：①5cm为腰长，②5cm为底边长。两种情况分别计算出剩余两边的长度后，都需要用“三角形任意两边之和大于第三边”的规则验证是否能构成三角形，不符合的情况要舍去。
【解析】
(1) 设等腰三角形的底边长为x cm，则腰长为3x cm。
根据题意列方程：$x+3x+3x=21$
解得$x=3$，经检验三边长为3cm、9cm、9cm，满足三角形三边关系。
(2) 能围成，分情况讨论：
① 当腰长为5 cm时，底边长为$21-5-5=11(\mathrm{cm})$，此时三边长为5cm、5cm、11cm，因为$5+5＜11$，不满足三角形三边关系，故该情况舍去；
② 当底边长为5 cm时，腰长为$(21-5)÷2=8(\mathrm{cm})$，此时三边长为5cm、8cm、8cm，因为$5+8＞8$，满足三角形三边关系，故该情况成立。
【答案】
(1) 底边长是3 cm；
(2) 能，另外两条边的长为8 cm，8 cm。
【知识点】
等腰三角形的性质、三角形三边关系、分类讨论思想
【点评】
本题围绕等腰三角形周长计算展开，重点考查分类讨论思想的应用和三角形三边关系的验证，解题时容易出现未分类讨论或忽略验证三边关系的错误，需注意思维的严谨性。
【难度系数】
0.7
14.(1)如图①，P是$△ ABC$内任意一点，延长BP交AC于点D，试说明：$AB+AC＞PB+PC$。
(2)如图②，E，F是$△ ABC$内两点，试说明：$AB+AC＞BE+EF+FC$。
(2)如图②，E，F是$△ ABC$内两点，试说明：$AB+AC＞BE+EF+FC$。
答案
14.解:(1)在△ABD中,AB+AD＞BD，
即AB+AD＞BP+PD.
在△PCD中,PD+DC＞PC.
所以AB+AD+PD+DC＞BP+PD+PC，
即AB+AC＞PB+PC.
(2)如图,延长FE,EF分别交AB,AC于点M,N.
在△AMN中,AM+AN＞MN；
在△BEM中,MB+ME＞BE；
在△CFN中,NF+NC＞CF.
所以AM+AN+MB+ME+NF+NC＞MN+BE+CF，
所以AB+ME+NF+AC＞MN+BE+CF，
所以AB+AC＞MN−ME−NF+BE+CF.
因为ME+EF+NF=MN，
所以AB+AC＞EF+BE+CF,即AB+AC＞BE+EF+FC.
[图2]
即AB+AD＞BP+PD.
在△PCD中,PD+DC＞PC.
所以AB+AD+PD+DC＞BP+PD+PC，
即AB+AC＞PB+PC.
(2)如图,延长FE,EF分别交AB,AC于点M,N.
在△AMN中,AM+AN＞MN；
在△BEM中,MB+ME＞BE；
在△CFN中,NF+NC＞CF.
所以AM+AN+MB+ME+NF+NC＞MN+BE+CF，
所以AB+ME+NF+AC＞MN+BE+CF，
所以AB+AC＞MN−ME−NF+BE+CF.
因为ME+EF+NF=MN，
所以AB+AC＞EF+BE+CF,即AB+AC＞BE+EF+FC.
[图2]
解析
【分析】
本题两小问均考查利用三角形三边关系证明线段不等关系，解题核心思路是构造含相关线段的三角形，利用“三角形任意两边之和大于第三边”列出不等式，再通过不等式相加、消去中间公共线段，最终推导出要证的结论。
(1)问中，将AC拆分为AD和DC两段，分别在△ABD和△PCD中列三边关系不等式，两式相加后消去PD即可得到结论；
(2)问中，通过作辅助线延长FE、EF分别交AB、AC于M、N点，分别在△AMN、△BEM、△CFN中列三边关系不等式，三式相加后消去ME、NF等中间线段，结合线段和差关系即可推导得证。
【解析】
(1) 在△ABD中，根据三角形三边关系可得：$AB+AD＞BD$，
因为$BD=BP+PD$，所以$AB+AD＞BP+PD$ ①；
在△PCD中，根据三角形三边关系可得：$PD+DC＞PC$ ②；
将①和②左右两边分别相加，得：$AB+AD+PD+DC＞BP+PD+PC$，
两边同时减去PD，且$AD+DC=AC$，因此可得$AB+AC＞PB+PC$。
(2) 延长FE交AB于点M，延长EF交AC于点N。
在△AMN中，根据三角形三边关系可得：$AM+AN＞MN$ ①；
在△BEM中，根据三角形三边关系可得：$MB+ME＞BE$ ②；
在△CFN中，根据三角形三边关系可得：$NF+NC＞CF$ ③；
将①②③左右两边分别相加，得：$AM+AN+MB+ME+NF+NC＞MN+BE+CF$，
整理左边：$AM+MB=AB$，$AN+NC=AC$，因此上式可化为$AB+AC+ME+NF＞MN+BE+CF$，
移项得：$AB+AC＞MN - ME - NF + BE + CF$，
又因为线段$MN=ME+EF+NF$，即$MN-ME-NF=EF$，代入上式可得：
$AB+AC＞EF+BE+CF$，即$AB+AC＞BE+EF+FC$。
【答案】
(1) $AB+AC＞PB+PC$，证明成立；
(2) $AB+AC＞BE+EF+FC$，证明成立。
【知识点】
三角形三边关系、不等式的性质、线段和差计算
【点评】
本题是三角形三边关系的典型应用题型，解决这类线段不等关系证明题的关键是合理构造三角形，将待证的线段拆分到不同的三角形中列出三边不等关系，再通过不等式的变形消去无关的中间线段，即可得到要证的结论，其中作辅助线延长内部线段到三角形边上是常用的解题技巧。
【难度系数】
0.6
本题两小问均考查利用三角形三边关系证明线段不等关系，解题核心思路是构造含相关线段的三角形，利用“三角形任意两边之和大于第三边”列出不等式，再通过不等式相加、消去中间公共线段，最终推导出要证的结论。
(1)问中，将AC拆分为AD和DC两段，分别在△ABD和△PCD中列三边关系不等式，两式相加后消去PD即可得到结论；
(2)问中，通过作辅助线延长FE、EF分别交AB、AC于M、N点，分别在△AMN、△BEM、△CFN中列三边关系不等式，三式相加后消去ME、NF等中间线段，结合线段和差关系即可推导得证。
【解析】
(1) 在△ABD中，根据三角形三边关系可得：$AB+AD＞BD$，
因为$BD=BP+PD$，所以$AB+AD＞BP+PD$ ①；
在△PCD中，根据三角形三边关系可得：$PD+DC＞PC$ ②；
将①和②左右两边分别相加，得：$AB+AD+PD+DC＞BP+PD+PC$，
两边同时减去PD，且$AD+DC=AC$，因此可得$AB+AC＞PB+PC$。
(2) 延长FE交AB于点M，延长EF交AC于点N。
在△AMN中，根据三角形三边关系可得：$AM+AN＞MN$ ①；
在△BEM中，根据三角形三边关系可得：$MB+ME＞BE$ ②；
在△CFN中，根据三角形三边关系可得：$NF+NC＞CF$ ③；
将①②③左右两边分别相加，得：$AM+AN+MB+ME+NF+NC＞MN+BE+CF$，
整理左边：$AM+MB=AB$，$AN+NC=AC$，因此上式可化为$AB+AC+ME+NF＞MN+BE+CF$，
移项得：$AB+AC＞MN - ME - NF + BE + CF$，
又因为线段$MN=ME+EF+NF$，即$MN-ME-NF=EF$，代入上式可得：
$AB+AC＞EF+BE+CF$，即$AB+AC＞BE+EF+FC$。
【答案】
(1) $AB+AC＞PB+PC$，证明成立；
(2) $AB+AC＞BE+EF+FC$，证明成立。
【知识点】
三角形三边关系、不等式的性质、线段和差计算
【点评】
本题是三角形三边关系的典型应用题型，解决这类线段不等关系证明题的关键是合理构造三角形，将待证的线段拆分到不同的三角形中列出三边不等关系，再通过不等式的变形消去无关的中间线段，即可得到要证的结论，其中作辅助线延长内部线段到三角形边上是常用的解题技巧。
【难度系数】
0.6
