登录
9. 如图,将长方形ABCD沿EF翻折,使得点D落在AB边上的点G处,点C落在点H处,若∠1=32°,则∠2=.
答案
$\boldsymbol{106°}$
解析
【分析】
本题可结合长方形性质、折叠的性质和平行线的角度关系推导求解：首先利用平角的定义，结合已知的∠1的度数求出∠DEG的度数；再根据折叠前后对应角相等，求出∠DEF的度数；接着利用长方形对边平行，两直线平行同旁内角互补，求出∠EFC的度数；最后根据折叠的性质得到∠2与∠EFC相等，即可得出答案。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是长方形，
∴AD//BC，且点A、E、D共线，即∠AED为平角，
∴∠1 + ∠DEG = 180°，
已知∠1=32°，代入得∠DEG=180°-32°=148°，
由折叠的性质可知，∠DEF=∠GEF，
∴∠DEF = $\frac{1}{2}$∠DEG = $\frac{1}{2}×148°=74°$，
∵AD//BC，
∴∠DEF + ∠EFC = 180°（两直线平行，同旁内角互补），
代入∠DEF=74°，得∠EFC=180°-74°=106°，
再由折叠的性质可得∠2=∠EFC，
∴∠2=106°。
【答案】
$\boldsymbol{106°}$
【知识点】
平行线的性质，折叠的性质，长方形的性质
【点评】
本题是基础的几何角度计算题，解题的核心是抓住折叠前后对应角相等的特点，结合平行线的角度关系逐步推导，需要注意平角、平行线性质等基础知识点的灵活运用。
【难度系数】
0.7
本题可结合长方形性质、折叠的性质和平行线的角度关系推导求解：首先利用平角的定义，结合已知的∠1的度数求出∠DEG的度数；再根据折叠前后对应角相等，求出∠DEF的度数；接着利用长方形对边平行，两直线平行同旁内角互补，求出∠EFC的度数；最后根据折叠的性质得到∠2与∠EFC相等，即可得出答案。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是长方形，
∴AD//BC，且点A、E、D共线，即∠AED为平角，
∴∠1 + ∠DEG = 180°，
已知∠1=32°，代入得∠DEG=180°-32°=148°，
由折叠的性质可知，∠DEF=∠GEF，
∴∠DEF = $\frac{1}{2}$∠DEG = $\frac{1}{2}×148°=74°$，
∵AD//BC，
∴∠DEF + ∠EFC = 180°（两直线平行，同旁内角互补），
代入∠DEF=74°，得∠EFC=180°-74°=106°，
再由折叠的性质可得∠2=∠EFC，
∴∠2=106°。
【答案】
$\boldsymbol{106°}$
【知识点】
平行线的性质，折叠的性质，长方形的性质
【点评】
本题是基础的几何角度计算题，解题的核心是抓住折叠前后对应角相等的特点，结合平行线的角度关系逐步推导，需要注意平角、平行线性质等基础知识点的灵活运用。
【难度系数】
0.7
10. 如图,将长方形纸片ABCD进行翻折,图中EF为折痕.如果∠1=25°,则∠2=.
答案
$\boldsymbol{130°}$
解析
【分析】
首先观察题目，已知是长方形纸片沿EF翻折，∠1=25°，求∠2的度数。解题可从两个核心性质入手：一是长方形对边平行，可利用平行线的角的性质建立角的联系；二是翻折（折叠）的性质，翻折前后对应角相等，能得到相等的角。我们先通过翻折性质找到和∠1相关的等角，再结合平行线的同旁内角互补的性质，就能推导出∠2和∠1的数量关系，进而求出∠2的度数。
【解析】
解：
∵ 四边形ABCD是长方形，
∴ AD//BC。
根据翻折的性质可知，翻折后对应角相等，因此2个与∠1相关的等角之和为2∠1。
∵ AD//BC，
∴ ∠2与2∠1是同旁内角，满足∠2 + 2∠1 = 180°（两直线平行，同旁内角互补）。
将∠1=25°代入得：
∠2 = 180° - 2×25° = 180° - 50° = 130°。
【答案】
$\boldsymbol{130°}$
【知识点】
平行线的性质，折叠的性质
【点评】
本题是几何基础常考题，核心考查折叠变换的性质和平行线性质的结合应用，解题的关键是准确找到折叠后相等的角，再利用平行线的角的关系建立已知角和未知角的联系。
【难度系数】
0.7
首先观察题目，已知是长方形纸片沿EF翻折，∠1=25°，求∠2的度数。解题可从两个核心性质入手：一是长方形对边平行，可利用平行线的角的性质建立角的联系；二是翻折（折叠）的性质，翻折前后对应角相等，能得到相等的角。我们先通过翻折性质找到和∠1相关的等角，再结合平行线的同旁内角互补的性质，就能推导出∠2和∠1的数量关系，进而求出∠2的度数。
【解析】
解：
∵ 四边形ABCD是长方形，
∴ AD//BC。
根据翻折的性质可知，翻折后对应角相等，因此2个与∠1相关的等角之和为2∠1。
∵ AD//BC，
∴ ∠2与2∠1是同旁内角，满足∠2 + 2∠1 = 180°（两直线平行，同旁内角互补）。
将∠1=25°代入得：
∠2 = 180° - 2×25° = 180° - 50° = 130°。
【答案】
$\boldsymbol{130°}$
【知识点】
平行线的性质，折叠的性质
【点评】
本题是几何基础常考题，核心考查折叠变换的性质和平行线性质的结合应用，解题的关键是准确找到折叠后相等的角，再利用平行线的角的关系建立已知角和未知角的联系。
【难度系数】
0.7
11. 将一块含$30°$角的直角三角板和一把直尺按如图所示的方式摆放，若$∠ 2=40°$，则$∠ 1=$。
答案
$\boldsymbol{20°}$
解析
【分析】
解题时首先明确两个已知条件：一是直尺的对边互相平行，二是含30°角的直角三角板的另一个锐角为60°。我们可以利用平行线的性质，找到角之间的等量关系，再结合角的和差运算，代入已知的∠2的度数，就能求出∠1的大小。
【解析】
∵ 直尺的对边互相平行，
∴ 根据平行线的内错角相等的性质，可得$∠ 1 + ∠ 2 = 60°$（含30°角的直角三角板的较大锐角为60°）。
已知$∠ 2 = 40°$，
∴ $∠ 1 = 60° - 40° = 20°$。
【答案】
$\boldsymbol{20°}$
【知识点】
平行线的性质，角的和差计算，三角板角度特征
【点评】
本题结合生活中常见的直尺、三角板命题，考查平行线性质的灵活应用，解题的关键是准确找出已知角和未知角之间的和差关系，整体难度不高，属于基础应用型题目。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确两个已知条件：一是直尺的对边互相平行，二是含30°角的直角三角板的另一个锐角为60°。我们可以利用平行线的性质，找到角之间的等量关系，再结合角的和差运算，代入已知的∠2的度数，就能求出∠1的大小。
【解析】
∵ 直尺的对边互相平行，
∴ 根据平行线的内错角相等的性质，可得$∠ 1 + ∠ 2 = 60°$（含30°角的直角三角板的较大锐角为60°）。
已知$∠ 2 = 40°$，
∴ $∠ 1 = 60° - 40° = 20°$。
【答案】
$\boldsymbol{20°}$
【知识点】
平行线的性质，角的和差计算，三角板角度特征
【点评】
本题结合生活中常见的直尺、三角板命题，考查平行线性质的灵活应用，解题的关键是准确找出已知角和未知角之间的和差关系，整体难度不高，属于基础应用型题目。
【难度系数】
0.7
12. 如图，将一张长方形的纸片沿折痕EF翻折，使点C,D分别落在点M,N的位置，且$∠ BFM=\frac{1}{2}∠ EFM$，则$∠ AEN=$.
答案
$\boldsymbol{36°}$
解析
【分析】
本题是长方形折叠类角度计算问题，解题思路如下：1. 利用折叠的性质，折叠前后对应角相等，可得∠EFM=∠EFC、∠NEF=∠DEF；2. 结合∠BFM=$\frac{1}{2}$∠EFM的条件，设未知数表示相关角度，利用平角为180°的性质列方程求出∠EFC的度数；3. 根据长方形对边平行的性质，由内错角相等得到∠DEF的度数，结合折叠性质得∠NEF的度数；4. 最后根据平角定义计算∠AEN的度数。
【解析】
解：设∠BFM = x，由题意得∠EFM = 2x。
根据折叠的性质，折叠前后对应角相等，因此∠EFC = ∠EFM = 2x。
∵ 点F在BC上，∠BFC为平角，即∠BFM + ∠EFM + ∠EFC = 180°，
代入角度得：$x + 2x + 2x = 180°$，
解得$x = 36°$，因此$∠ EFC = 2x = 72°$。
∵ 四边形ABCD是长方形，
∴ AD//BC，
根据两直线平行，内错角相等，得$∠ DEF = ∠ EFC = 72°$。
再由折叠的性质得$∠ NEF = ∠ DEF = 72°$。
∵ 点E在AD上，∠AED为平角，
∴ $∠ AEN = 180° - ∠ NEF - ∠ DEF = 180° - 72° - 72° = 36°$。
【答案】
$\boldsymbol{36°}$
【知识点】
折叠的性质，平行线的性质，平角的定义
【点评】
本题综合考查了折叠性质和平行线性质的应用，解题关键是通过折叠找到相等的角，结合平角定义列方程求解，属于几何基础应用题型，需熟练掌握折叠前后对应角度不变的特点。
【难度系数】
0.65
本题是长方形折叠类角度计算问题，解题思路如下：1. 利用折叠的性质，折叠前后对应角相等，可得∠EFM=∠EFC、∠NEF=∠DEF；2. 结合∠BFM=$\frac{1}{2}$∠EFM的条件，设未知数表示相关角度，利用平角为180°的性质列方程求出∠EFC的度数；3. 根据长方形对边平行的性质，由内错角相等得到∠DEF的度数，结合折叠性质得∠NEF的度数；4. 最后根据平角定义计算∠AEN的度数。
【解析】
解：设∠BFM = x，由题意得∠EFM = 2x。
根据折叠的性质，折叠前后对应角相等，因此∠EFC = ∠EFM = 2x。
∵ 点F在BC上，∠BFC为平角，即∠BFM + ∠EFM + ∠EFC = 180°，
代入角度得：$x + 2x + 2x = 180°$，
解得$x = 36°$，因此$∠ EFC = 2x = 72°$。
∵ 四边形ABCD是长方形，
∴ AD//BC，
根据两直线平行，内错角相等，得$∠ DEF = ∠ EFC = 72°$。
再由折叠的性质得$∠ NEF = ∠ DEF = 72°$。
∵ 点E在AD上，∠AED为平角，
∴ $∠ AEN = 180° - ∠ NEF - ∠ DEF = 180° - 72° - 72° = 36°$。
【答案】
$\boldsymbol{36°}$
【知识点】
折叠的性质，平行线的性质，平角的定义
【点评】
本题综合考查了折叠性质和平行线性质的应用，解题关键是通过折叠找到相等的角，结合平角定义列方程求解，属于几何基础应用题型，需熟练掌握折叠前后对应角度不变的特点。
【难度系数】
0.65
13. 如图，将长方形ABCD沿EF翻折，再沿EG翻折，若∠FEA''=105°，则∠CFE=。
答案
$\boldsymbol{155°}$
解析
【分析】
本题考查翻折的性质与平行线的性质，解题思路如下：首先利用翻折前后对应角相等的性质，得到两次翻折后相关角的等量关系；再结合平角为180°的性质，求出和∠CFE互补的内错角的度数；最后根据长方形对边平行，同旁内角互补的性质，计算出∠CFE的度数。
【解析】
解：由翻折的性质可知，翻折前后对应角相等，因此两次翻折后与∠AEF对应的角相等。
已知∠FEA'' = 105°，结合平角为180°，可推出∠AEF = 180°-155°=25°。
因为四边形ABCD是长方形，所以AD//BC，根据两直线平行，同旁内角互补可得：
∠AEF + ∠CFE = 180°
因此∠CFE = 180° - 25° = 155°
【答案】
$\boldsymbol{155°}$
【知识点】
翻折的性质,平行线的性质,平角的定义
【点评】
本题属于翻折变换的基础题，重点考查对轴对称性质和平行线性质的综合运用能力，解题的关键是准确找到翻折前后相等的角，结合平行线的性质求解。
【难度系数】
0.6
本题考查翻折的性质与平行线的性质，解题思路如下：首先利用翻折前后对应角相等的性质，得到两次翻折后相关角的等量关系；再结合平角为180°的性质，求出和∠CFE互补的内错角的度数；最后根据长方形对边平行，同旁内角互补的性质，计算出∠CFE的度数。
【解析】
解：由翻折的性质可知，翻折前后对应角相等，因此两次翻折后与∠AEF对应的角相等。
已知∠FEA'' = 105°，结合平角为180°，可推出∠AEF = 180°-155°=25°。
因为四边形ABCD是长方形，所以AD//BC，根据两直线平行，同旁内角互补可得：
∠AEF + ∠CFE = 180°
因此∠CFE = 180° - 25° = 155°
【答案】
$\boldsymbol{155°}$
【知识点】
翻折的性质,平行线的性质,平角的定义
【点评】
本题属于翻折变换的基础题，重点考查对轴对称性质和平行线性质的综合运用能力，解题的关键是准确找到翻折前后相等的角，结合平行线的性质求解。
【难度系数】
0.6
14. 已知,直线$PQ// MN$,点C是直线PQ和MN之间的一点.
(1)如图①,点D,E分别在PQ,MN上,$∠1$和$∠2$为锐角,求证:$∠C=∠1+∠2$;
(2)把一块三角板ABC(其中$∠A=30°$,$∠C=90°$)按如图②所示的方式放置,点D,E分别是三角板的两直角边分别与平行线的交点,若$∠AEN=∠A$,求$∠BDQ$的度数;
(3)如图③,将(2)中的三角板进行适当转动,把射线EM沿直线AC翻折,交BC于点G,试判断$∠BDQ$和$∠GEN$之间的数量关系,写出你的结论并说明理由.
(1)如图①,点D,E分别在PQ,MN上,$∠1$和$∠2$为锐角,求证:$∠C=∠1+∠2$;
(2)把一块三角板ABC(其中$∠A=30°$,$∠C=90°$)按如图②所示的方式放置,点D,E分别是三角板的两直角边分别与平行线的交点,若$∠AEN=∠A$,求$∠BDQ$的度数;
(3)如图③,将(2)中的三角板进行适当转动,把射线EM沿直线AC翻折,交BC于点G,试判断$∠BDQ$和$∠GEN$之间的数量关系,写出你的结论并说明理由.
答案
解：
(1) 证明：过点C作CF//PQ，
∵ PQ//MN，
∴ CF//PQ//MN，
∴ ∠1=∠DCF，∠2=∠ECF，
∵ ∠DCE=∠DCF+∠ECF，
∴ ∠DCE=∠1+∠2，即∠C=∠1+∠2。
(2) ∵ ∠A=30°，∠AEN=∠A，
∴ ∠AEN=30°，
∵ AC与MN交于点E，
∴ ∠CEM=∠AEN=30°，
由(1)的结论得：∠C=∠BDC + ∠CEM=90°，
∴ ∠BDC=90°-30°=60°，
又∵ ∠BDC与∠BDQ是对顶角，
∴ ∠BDQ=60°。
(3) 结论：∠GEN=2∠BDQ，理由如下：
由翻折的性质可得：∠CEM=∠CEG，
∴ ∠MEG=∠CEM+∠CEG=2∠CEM，
∵ ∠MEG + ∠GEN=180°，
∴ 2∠CEM + ∠GEN=180°，
即∠CEM=$\frac{180°-∠ GEN}{2}$，
由(1)的结论得：∠C=∠BDQ + ∠CEM=90°，
代入得：$∠ BDQ + \frac{180°-∠ GEN}{2} =90°$，
化简得：$2∠ BDQ +180° -∠ GEN=180°$，
∴ ∠GEN=2∠BDQ。
(1) 证明：过点C作CF//PQ，
∵ PQ//MN，
∴ CF//PQ//MN，
∴ ∠1=∠DCF，∠2=∠ECF，
∵ ∠DCE=∠DCF+∠ECF，
∴ ∠DCE=∠1+∠2，即∠C=∠1+∠2。
(2) ∵ ∠A=30°，∠AEN=∠A，
∴ ∠AEN=30°，
∵ AC与MN交于点E，
∴ ∠CEM=∠AEN=30°，
由(1)的结论得：∠C=∠BDC + ∠CEM=90°，
∴ ∠BDC=90°-30°=60°，
又∵ ∠BDC与∠BDQ是对顶角，
∴ ∠BDQ=60°。
(3) 结论：∠GEN=2∠BDQ，理由如下：
由翻折的性质可得：∠CEM=∠CEG，
∴ ∠MEG=∠CEM+∠CEG=2∠CEM，
∵ ∠MEG + ∠GEN=180°，
∴ 2∠CEM + ∠GEN=180°，
即∠CEM=$\frac{180°-∠ GEN}{2}$，
由(1)的结论得：∠C=∠BDQ + ∠CEM=90°，
代入得：$∠ BDQ + \frac{180°-∠ GEN}{2} =90°$，
化简得：$2∠ BDQ +180° -∠ GEN=180°$，
∴ ∠GEN=2∠BDQ。
解析
【分析】
(1) 针对平行线间的拐角角度证明问题，通用解法是过拐点作已知直线的平行线，借助平行线的传递性得到三组平行直线，再利用“两直线平行，内错角相等”将∠C拆分为两个分别等于∠1、∠2的角之和，即可完成证明。
(2) 首先根据已知条件求出∠AEN的度数，利用对顶角相等得到∠CEM的度数，直接复用第(1)问的结论，结合∠C=90°求出∠BDC，最后通过对顶角相等得到∠BDQ的度数。
(3) 先根据翻折的性质得到翻折前后对应角相等，推出∠CEM和∠GEN的关系，再代入第(1)问的结论，通过代数化简即可得到∠BDQ和∠GEN的数量关系。
【解析】
(1) 证明：过点C作CF//PQ，
∵ PQ//MN，
∴ CF//PQ//MN，
∴ ∠1=∠DCF，∠2=∠ECF（两直线平行，内错角相等），
∵ ∠DCE=∠DCF+∠ECF，
∴ ∠DCE=∠1+∠2，即∠C=∠1+∠2。
(2) 解：
∵ ∠A=30°，∠AEN=∠A，
∴ ∠AEN=30°，
∵ AC与MN交于点E，∠CEM与∠AEN是对顶角，
∴ ∠CEM=∠AEN=30°，
由(1)的结论可得：∠C=∠BDC + ∠CEM=90°，
∴ ∠BDC=90°-30°=60°，
又
∵ ∠BDC与∠BDQ是对顶角，
∴ ∠BDQ=∠BDC=60°。
(3) 结论：∠GEN=2∠BDQ，理由如下：
由翻折的性质可得：∠CEM=∠CEG，
∴ ∠MEG=∠CEM+∠CEG=2∠CEM，
∵ ∠MEG + ∠GEN=180°（平角的定义），
∴ 2∠CEM + ∠GEN=180°，即$∠ CEM=\frac{180°-∠ GEN}{2}$，
由(1)的结论得：∠C=∠BDQ + ∠CEM=90°，
将$∠ CEM=\frac{180°-∠ GEN}{2}$代入得：$∠ BDQ + \frac{180°-∠ GEN}{2} =90°$，
等式两边同乘2得：$2∠ BDQ +180° -∠ GEN=180°$，
化简可得：∠GEN=2∠BDQ。
【答案】
(1) 证明见解析；
(2) $∠ BDQ=60°$；
(3) $∠ GEN=2∠ BDQ$，理由见解析。
【知识点】
平行线的性质；对顶角的性质；翻折的性质
【点评】
本题是平行线与几何变换的综合题，重点考察了平行线间拐点问题的通用辅助线作法，同时需要灵活复用前一问的结论简化计算，融合了对顶角、翻折性质的应用，能有效锻炼逻辑推理和知识迁移能力。
【难度系数】
0.6
(1) 针对平行线间的拐角角度证明问题，通用解法是过拐点作已知直线的平行线，借助平行线的传递性得到三组平行直线，再利用“两直线平行，内错角相等”将∠C拆分为两个分别等于∠1、∠2的角之和，即可完成证明。
(2) 首先根据已知条件求出∠AEN的度数，利用对顶角相等得到∠CEM的度数，直接复用第(1)问的结论，结合∠C=90°求出∠BDC，最后通过对顶角相等得到∠BDQ的度数。
(3) 先根据翻折的性质得到翻折前后对应角相等，推出∠CEM和∠GEN的关系，再代入第(1)问的结论，通过代数化简即可得到∠BDQ和∠GEN的数量关系。
【解析】
(1) 证明：过点C作CF//PQ，
∵ PQ//MN，
∴ CF//PQ//MN，
∴ ∠1=∠DCF，∠2=∠ECF（两直线平行，内错角相等），
∵ ∠DCE=∠DCF+∠ECF，
∴ ∠DCE=∠1+∠2，即∠C=∠1+∠2。
(2) 解：
∵ ∠A=30°，∠AEN=∠A，
∴ ∠AEN=30°，
∵ AC与MN交于点E，∠CEM与∠AEN是对顶角，
∴ ∠CEM=∠AEN=30°，
由(1)的结论可得：∠C=∠BDC + ∠CEM=90°，
∴ ∠BDC=90°-30°=60°，
又
∵ ∠BDC与∠BDQ是对顶角，
∴ ∠BDQ=∠BDC=60°。
(3) 结论：∠GEN=2∠BDQ，理由如下：
由翻折的性质可得：∠CEM=∠CEG，
∴ ∠MEG=∠CEM+∠CEG=2∠CEM，
∵ ∠MEG + ∠GEN=180°（平角的定义），
∴ 2∠CEM + ∠GEN=180°，即$∠ CEM=\frac{180°-∠ GEN}{2}$，
由(1)的结论得：∠C=∠BDQ + ∠CEM=90°，
将$∠ CEM=\frac{180°-∠ GEN}{2}$代入得：$∠ BDQ + \frac{180°-∠ GEN}{2} =90°$，
等式两边同乘2得：$2∠ BDQ +180° -∠ GEN=180°$，
化简可得：∠GEN=2∠BDQ。
【答案】
(1) 证明见解析；
(2) $∠ BDQ=60°$；
(3) $∠ GEN=2∠ BDQ$，理由见解析。
【知识点】
平行线的性质；对顶角的性质；翻折的性质
【点评】
本题是平行线与几何变换的综合题，重点考察了平行线间拐点问题的通用辅助线作法，同时需要灵活复用前一问的结论简化计算，融合了对顶角、翻折性质的应用，能有效锻炼逻辑推理和知识迁移能力。
【难度系数】
0.6
