1. (2026·延边期末)已知$\odot O$与直线$l$有2个公共点,若$\odot O$直径为8 cm,则圆心$O$到直线$l$的距离可以是 ()

A.3 cm
B.4 cm
C.5 cm
D.6 cm

1.A 解析:$\because \odot O$直径为8 cm,$\therefore$ 半径r=4 cm.$\because \odot O$与直线l有2个公共点,$\therefore$ 直线l与$\odot O$相交,$\therefore$ 圆心O到直线l的距离小于4 cm,$\therefore$ 选项A符合题意,选项B,C,D不符合题意.故选A.

2. (2026·北京期末)如图,PA,PB与$\odot O$分别相切于点A,B.如果$∠P=60°,AB=2$,那么PA的长度是 ()

A.2
B.3
C.$\sqrt{3}$
D.$2\sqrt{3}$

2.A 解析:$\because$ PA,PB与$\odot O$分别相切于点A,B,$\therefore$ PA=PB,又$\because ∠ P=60°$,$\therefore △ PAB$为等边三角形,$\therefore$ PA=AB=2,故选A.

3. (2026·温州月考)如图, $△ ABC$ 内接于 $\odot O$, $∠ B=20°$, 以弦 $AC$ 为边作 $\odot O$ 的内接正多边形,则该正多边形为 ()

A.正十八边形
B.正十五边形
C.正十二边形
D.正九边形

3.D 解析:如图,连接OA,OC, $\because \widehat{AC}=\widehat{AC}$,$∠ B=20°$,$\therefore ∠ AOC=2∠ B=40°$,$\therefore$ 若以弦AC为边作$\odot O$的内接正多边形,则该正多边形的边数为$\frac{360}{40}=9$,即该正多边形为正九边形.故选D.

4. (2026·昭通期末)张老师计划在一个直角三角形花坛$ABC(∠C=90°)$内建造一个圆形喷泉,要求喷泉与花坛的三条边都相切,如图所示,设切点分别为$D,E,F$,已知$AC=12$米,$BC=9$米,则圆形喷泉的半径是 ()

A.2米
B.2.5米
C.3米
D.4米

4.C 解析:$\because$ 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ C=90°$,$AC=12$米,$BC=9$米,$\therefore AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{12^2+9^2}=15$(米).
如图,连接OA,OB,OC,OD,OE,OF,设内切圆半径为r米,则OD=OE=OF=r米.$\because \mathrm{Rt}△ ABC$的面积可以表示为$\frac{1}{2}× AC× BC$,也可以表示为$\frac{1}{2}×(AC+BC+AB)× r$,$\therefore \frac{1}{2}×12×9=\frac{1}{2}×(12+9+15)× r$,解得r=3.故选C.

5. (2026·南充期末)如图,AB与$\odot O$相切于C,$OA=OB,CD// OA$与$\odot O$交于D,延长BO与$\odot O$交于E.若$∠AOB=80°$,则$∠BED$为 ()

A.$20°$
B.$25°$
C.$30°$
D.$35°$

5.C 解析:如图,连接OC,$\because$ AB与$\odot O$相切于C,$\therefore OC⊥ AB$.
$\because OA=OB$,$\therefore OC$平分$∠ AOB$,$\therefore ∠ BOC=∠ AOC=\frac{1}{2}∠ AOB=40°$,$\therefore ∠ EOC=180°-∠ BOC=140°$,$\therefore ∠ EDC=\frac{1}{2}∠ EOC=70°$,设CD交BE于点F,$\because CD// OA$,$\therefore ∠ EFD=80°$,$\therefore ∠ BED=180°-∠ EFD-∠ EDC=30°$.故选C.

6. (2026·盐城期中)如图,将三角形纸片ABC沿EF折叠,点C恰好与$△ ABC$的内心I重合,若$∠ ACB=40°$,则$∠ EIA+∠ FIB=$ ()

A.$210°$
B.$220°$
C.$230°$
D.$240°$

6.A 解析:$\because$ 在$△ ABC$中,$∠ ACB=40°$,$\therefore ∠ BAC+∠ ABC=180°-∠ ACB=140°$.$\because △ ABC$沿EF折叠,点C恰好与$△ ABC$的内心I重合,$\therefore ∠ EIF=∠ ACB=40°$,AI平分$∠ BAC$,BI平分$∠ ABC$,$\therefore ∠ IAB=\frac{1}{2}∠ BAC$,$∠ IBA=\frac{1}{2}∠ ABC$,$\therefore ∠ IAB+∠ IBA=\frac{1}{2}(∠ BAC+∠ ABC)=\frac{1}{2}×140°=70°$,$\therefore ∠ AIB=180°-(∠ IAB+∠ IBA)=180°-70°=110°$,$\therefore ∠ EIA+∠ FIB=360°-∠ EIF-∠ AIB=360°-40°-110°=210°$.故选A.

7. 如图,在$△ ABC$中,$BC=3$,$AC=4$,$AB=5$,$\odot O$是它的内切圆,用剪刀沿$\odot O$的切线$DE$剪一个$△ ADE$,则$△ ADE$的周长为（）

A.4
B.6
C.8
D.10

7.B 解析:如图,设$△ ABC$的内切圆切三边于点F,H,G,连接OF,OH,OG,由切线长定理可知AF=AG,BF=BH,CH=CG,$\because$ DE是$\odot O$的切线,$\therefore DM=DF$,$EM=EG$.$\because BC=3$,$AC=4$,$AB=5$,$\therefore AB^2=AC^2+BC^2$,$\therefore ∠ ACB=90°$,则四边形OHCG是正方形.$\because \odot O$是$△ ABC$的内切圆,设内切圆的半径为r,由$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}(AB+AC+BC)· r=\frac{1}{2}BC· AC$,得$\frac{1}{2}(5+4+3)· r=\frac{1}{2}×3×4$,解得r=1,$\therefore CH=CG=1$,$\therefore BF=BH=BC-CH=3-1=2$,$AF=AG=AC-CG=4-1=3$,$\therefore △ ADE$的周长=AD+DE+AE=AD+DF+AE+EG=AF+AG=3+3=6.故选B.

8. (2026·广州月考)如图,在平面直角坐标系中,$\odot A$的圆心A的坐标为$(2,0)$,圆的半径为2,点P为直线$y=\frac{3}{4}x+6$上的动点,过点P作$\odot A$的切线,切点为Q,则切线长PQ的最小值是 ()


A.6
B.8
C.$2\sqrt{2}$
D.$4\sqrt{2}$

8.D 解析:如图所示,过点A作$AP⊥ BC$,过点P作$\odot A$的切线PQ,此时切线PQ的长最小,当x=0时,$y=\frac{3}{4}x+6=6$,$\therefore$ 点B的坐标是(0,6),当y=0时,可得$\frac{3}{4}x+6=0$,解得x=-8,$\therefore$ 点C的坐标是(-8,0),$\therefore BC=\sqrt{6^2+8^2}=10$.$\because$ 点A的坐标是(2,0),$\therefore AC=2-(-8)=10$,$\therefore AC=BC$.$\because ∠ BOC=90°$,$\therefore ∠ BCO+∠ CBO=90°$.$\because AP⊥ BC$,$\therefore ∠ APC=90°$,$\therefore ∠ BCO+∠ PAC=90°$,$\therefore ∠ PAC=∠ CBO$,在$△ BCO$和$△ ACP$中,$\begin{cases}∠ BOC=∠ APC,\\∠ CBO=∠ CAP,\\BC=AC,\end{cases}$$\therefore △ BCO≌△ ACP$,$\therefore AP=OB=6$,在$\mathrm{Rt}△ APQ$中,$PQ=\sqrt{AP^2-AQ^2}=\sqrt{6^2-2^2}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$.故选D.

9. (2026·天津月考)已知$\odot O$的半径为方程$3x^2 -5x -2=0$的一个根，直线AB与$\odot O$相切，则圆心O到直线AB的距离为。

9.2 解析:解方程$3x^2-5x-2=0$,因式分解得$(3x+1)(x-2)=0$,解得$x_1=-\frac{1}{3}$,$x_2=2$,圆的半径为正数,故半径r=2,由于直线与圆相切,则圆心到直线的距离d=r=2.

10. (2026·鞍山期末)如图,AB是$\odot O$的直径,过点D的切线与AB的延长线相交于点C,且$∠ C=3∠ A$,则$∠ C$的度数为°

10.54 解析:如图,连接OD,$\because OA=OD$,$\therefore ∠ ODA=∠ A$,$\therefore ∠ DOC=∠ A+∠ ODA=2∠ A$.$\because DC$是$\odot O$的切线,$\therefore ∠ ODC=90°$,$\therefore ∠ DOC+∠ C=90°$,$\therefore 2∠ A+3∠ A=90°$,$\therefore ∠ A=18°$,$\therefore ∠ C=3∠ A=54°$.