11.(2026·苏州月考)如图,四边形ABCD是一个梯形,AB//CD,梯形的两腰与上底均与半圆O相切,已知AD=3,BC=4,则CD=.

11.7 解析:如图,设切点分别为E,F,G,连接OE,AO,OF,OB,GO,
则OE=OF=OG,$OE⊥ AD$,$OF⊥ AB$,$OG⊥ BC$.$\because AB// CD$,$\therefore OF$是梯形ABCD的高,$\therefore \frac{1}{2}AD· OE+\frac{1}{2}AB· OF+\frac{1}{2}BC· OG=\frac{1}{2}(AB+CD)· OF$,$\therefore \frac{1}{2}(AB+3+4)· OF=\frac{1}{2}(AB+CD)· OF$,解得CD=7.

12. (2026·石家庄月考)如图,植物园新建了一个半径为100 m的圆形牡丹园,牡丹园两侧有两条平行的小路,其中小路l穿过牡丹园,出入口A,B之间的距离为120 m,若两条小路的距离为200 m,则另外一条小路(填“穿过”或“不穿过”)牡丹园.

12.不穿过 解析:设另一条小路为CD,如图,过点O作$MN⊥ AB$于点M,交CD于点N,$\therefore BM=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×120=60(\mathrm{m})$.$\because OB=100\ \mathrm{m}$,$\therefore OM=\sqrt{OB^2-BM^2}=\sqrt{100^2-60^2}=80(\mathrm{m})$.$\because AB// CD$,$MN⊥ AB$,$\therefore MN⊥ CD$.$\because MN=200\ \mathrm{m}$,$\therefore ON=MN-OM=200-80=120(\mathrm{m})$.$\because OB=100\ \mathrm{m}$,$\therefore ON＞OB$,$\therefore$ 直线CD与$\odot O$相离,即另一条小路不穿过牡丹园.

13. (2026·武汉月考)如图,在矩形ABCD中,BC=8,以AB为直径作$\odot O$,将矩形ABCD绕点B旋转,使所得矩形$A'BC'D'$的边$C'D'$第一次与$\odot O$相切,切点为E,边$A'B$与$\odot O$相交于点F,若$BF=8$,则CD的长为.

13.10 解析:如图,连接OE,延长EO交BF于点M,
$\because C'D'$与$\odot O$相切,$\therefore ∠ OEC'=90°$.在矩形$A'BC'D'$中,$A'B=C'D'$,$A'B// C'D'$,$\therefore ∠ EMB=90°$,$\therefore BM=FM=4$.由旋转的性质得$∠ C'=∠ C=90°$,$BC=BC'=8$,$\therefore$ 四边形EMBC'为矩形,$\therefore ME=8$.设$OB=OE=x$,则$OM=8-x$,$\because OM^2+BM^2=OB^2$,$\therefore (8-x)^2+4^2=x^2$,解得x=5.$\therefore AB=CD=10$.

14. (2026·无锡月考)如图,AB为$\odot O$的直径,PB,PC分别与$\odot O$相切于点B,C,过点C作AB的垂线,垂足为E,交$\odot O$于点D.若$CD=PB=2$,则$\odot O$的半径长为.

14.$\frac{2\sqrt{3}}{3}$ 解析:作$CH⊥ PB$于H,连接OC,如图.
$\because$ 直径$AB⊥ CD$于E,$CD=PB=2$,$\therefore CE=DE=\frac{1}{2}CD=1$,$∠ OEC=90°$.$\because PC$,PB分别切$\odot O$于C,B,$\therefore PB=PC=CD=2$,直径$AB⊥ PB$,$\therefore$ 四边形ECHB是矩形,$\therefore BH=CE=1$,$BE=CH$,$\therefore PH=PB-BH=2-1=1$,$\therefore CH=\sqrt{PC^2-PH^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$,$\therefore BE=CH=\sqrt{3}$,$\therefore OE=BE-BO=\sqrt{3}-OC$.$\because ∠ OEC=90°$,$\therefore OC^2=CE^2+OE^2$,即$OC^2=1^2+(\sqrt{3}-OC)^2$,解得$OC=\frac{2\sqrt{3}}{3}$.$\therefore \odot O$的半径长为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$.

三、解答题(共52分)
15. (10分)如图,已知$△ ABC$是锐角三角形$(AC＜AB)$.
(1)请在图中用无刻度的直尺和圆规作图:
作直线$l$,使$l$上的各点到$B,C$两点的距离相等;设直线$l$与$AB,BC$分别交于点$M,N$,作一个圆,使得圆心$O$在线段$MN$上,且与边$AB,BC$相切;(不写作法,保留作图痕迹)
(2)在(1)的条件下,若$BM=\frac{5}{3},BC=2$,则$\odot O$的半径为.

15.(1)如图所示. 解析:①先作BC的垂直平分线:分别以B,C为圆心,大于$\frac{1}{2}BC$的长为半径画弧,连接两个交点即为直线l,分别交AB,BC于M,N;
②再作$∠ ABC$的平分线:以点B为圆心,任意长为半径作圆弧,与$∠ ABC$的两条边分别有一个交点,再以这两个交点为圆心,相同长度为半径作弧,连接这两条弧的交点与点B,即为$∠ ABC$的平分线,这条角平分线与线段MN的交点即为O;
③以O为圆心,ON为半径画圆.

(2)$\frac{1}{2}$ 解析:如图,过点O作$OE⊥ AB$,垂足为E,设$ON=OE=r$,$\because BM=\frac{5}{3}$,$BC=2$,$\therefore BN=1$,$\therefore MN=\frac{4}{3}$.
$\because S_{△ BMN}=S_{△ BNO}+S_{△ BMO}$,$\therefore \frac{1}{2}×1×\frac{4}{3}=\frac{1}{2}×1· r+\frac{1}{2}×\frac{5}{3}· r$,解得$r=\frac{1}{2}$.

16. (10分)(2026·贵州期末)如图,在$△ ABC$中,$AB=BC$,以$BC$为直径作$\odot O$,交$AC$于点$D$,交$AB$于点$E$,过点$D$作$DF ⊥ AB$于点$F$.
(1)求证:$DF$是$\odot O$的切线;
(2)若$AC=12$,$\odot O$的半径为5,求$DF$的长.

16.(1)如图①,连接OD,则OD=OC,$\therefore ∠ ODC=∠ C$.$\because AB=BC$,$\therefore ∠ A=∠ C$,$\therefore ∠ ODC=∠ A$,$\therefore OD// AB$.$\because DF⊥ AB$于点F,$\therefore ∠ ODF=∠ AFD=90°$.$\because OD$是$\odot O$的半径,且$DF⊥ OD$,$\therefore DF$是$\odot O$的切线.
(2)如图②,连接BD,$\because BC$是$\odot O$的直径,$AC=12$,$\odot O$的半径为5,$\therefore AB=BC=2×5=10$,$∠ BDC=90°$,$\therefore BD⊥ AC$,$\therefore ∠ ADB=90°$,$AD=CD=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×12=6$,$\therefore BD=\sqrt{AB^2-AD^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$.$\because S_{△ ABD}=\frac{1}{2}×10× DF=\frac{1}{2}×6×8$,$\therefore DF=\frac{24}{5}$,$\therefore DF$的长是$\frac{24}{5}$.