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3.（南通中考）如图，一个半径为r的圆形纸片在边长为a（$a≥2\sqrt{3}r$）的等边三角形内任意运动，则在该等边三角形内，这个圆形纸片不能接触到的部分的面积是（
A.$\frac{π}{3}r^2$
B.$\frac{3\sqrt{3}-π}{3}r^2$
C.$(3\sqrt{3}-π)r^2$
D.$π r^2$
C
）A.$\frac{π}{3}r^2$
B.$\frac{3\sqrt{3}-π}{3}r^2$
C.$(3\sqrt{3}-π)r^2$
D.$π r^2$
答案
C
解析:如图,
,当圆形纸片运动到与$∠DAE$的两边相切的位置时,过圆形纸片的圆心$O_1$作两边的垂线,垂足分别为D,E,连接$AO_1$,则在$Rt△ADO_1$中,$∠O_1AD=30°$,$O_1D=r$,$AD=\sqrt{3}r$.∴$S_{△ADO_1}=\frac{1}{2}O_1D·AD=\frac{\sqrt{3}}{2}r^2$,
∴$S_{四边形ADO_1E}=2S_{△ADO_1}=\sqrt{3}r^2$.由题意知,$∠DO_1E=120°$,得$S_{扇形O_1DE}=\frac{π}{3}r^2$,
∴ 圆形纸片不能接触到的部分的面积为$3(\sqrt{3}r^2-\frac{π}{3}r^2)=(3\sqrt{3}-π)r^2$.
4. 如图①至图⑤，$\odot O$均做无滑动滚动，$\odot O_1$，$\odot O_2$，$\odot O_3$，$\odot O_4$均表示$\odot O$与线段AB或BC相切于端点时刻的位置，$\odot O$的周长为$c$.
阅读理解：
(1)如图①，$\odot O$从$\odot O_1$的位置出发，沿AB滚动到$\odot O_2$的位置，当$AB=c$时，$\odot O$恰好自转1周；
(2)如图②，$∠ ABC$相邻的补角是$n°$，$\odot O$在$∠ ABC$外部沿$A-B-C$滚动，在点B处，必须由$\odot O_1$的位置旋转到$\odot O_2$的位置，$\odot O$绕点B旋转的$∠ O_1BO_2=n°$，$\odot O$在点B处自转$\frac{n}{360}$周.
实践应用：
(1)在阅读理解的(1)中，若$AB=2c$，则$\odot O$自转
(2)如图③，$∠ ABC=90°$，$AB=BC=\frac{1}{2}c$. $\odot O$从$\odot O_1$的位置出发，在$∠ ABC$外部沿$A-B-C$滚动到$\odot O_4$的位置，$\odot O$自转
拓展联想：
(1)如图④，$△ ABC$的周长为$l$，$\odot O$从与AB相切于点D的位置出发，在$△ ABC$外部，按顺时针方向沿三角形滚动，又回到与AB相切于点D的位置，$\odot O$自转了
(2)如图⑤，多边形的周长为$l$，$\odot O$从与某边相切于点D的位置出发，在多边形外部，按顺时针方向沿多边形滚动，又回到与该边相切于点D的位置，则$\odot O$自转了
阅读理解：
(1)如图①，$\odot O$从$\odot O_1$的位置出发，沿AB滚动到$\odot O_2$的位置，当$AB=c$时，$\odot O$恰好自转1周；
(2)如图②，$∠ ABC$相邻的补角是$n°$，$\odot O$在$∠ ABC$外部沿$A-B-C$滚动，在点B处，必须由$\odot O_1$的位置旋转到$\odot O_2$的位置，$\odot O$绕点B旋转的$∠ O_1BO_2=n°$，$\odot O$在点B处自转$\frac{n}{360}$周.
实践应用：
(1)在阅读理解的(1)中，若$AB=2c$，则$\odot O$自转
2
周；若$AB = l$，则$\odot O$自转了 $\frac{l}{c}$
周.在阅读理解的(2)中，若$∠ ABC=120°$，则$\odot O$在点B处自转 $\frac{1}{6}$
周；若$∠ ABC = 60°$，则$\odot O$在点B处自转 $\frac{1}{3}$
周.(2)如图③，$∠ ABC=90°$，$AB=BC=\frac{1}{2}c$. $\odot O$从$\odot O_1$的位置出发，在$∠ ABC$外部沿$A-B-C$滚动到$\odot O_4$的位置，$\odot O$自转
$\frac{5}{4}$
周.拓展联想：
(1)如图④，$△ ABC$的周长为$l$，$\odot O$从与AB相切于点D的位置出发，在$△ ABC$外部，按顺时针方向沿三角形滚动，又回到与AB相切于点D的位置，$\odot O$自转了
$(\frac{l}{c}+1)$
周；(2)如图⑤，多边形的周长为$l$，$\odot O$从与某边相切于点D的位置出发，在多边形外部，按顺时针方向沿多边形滚动，又回到与该边相切于点D的位置，则$\odot O$自转了
$(\frac{l}{c}+1)$
周.答案
实践应用:(1)2 $\frac{l}{c}$ $\frac{1}{6}$ $\frac{1}{3}$ (2)$\frac{5}{4}$
拓展联想:(1) $(\frac{l}{c}+1)$ 解析:
∵ △ABC的周长为$l$,
∴ ⊙O在三边上自转了$\frac{l}{c}$周.又
∵ 三角形的外角和是360°,
∴ 在三个顶点处,⊙O自转了$\frac{360}{360}=1$(周),
∴ ⊙O共自转了$(\frac{l}{c}+1)$周.
(2) $(\frac{l}{c}+1)$
拓展联想:(1) $(\frac{l}{c}+1)$ 解析:
∵ △ABC的周长为$l$,
∴ ⊙O在三边上自转了$\frac{l}{c}$周.又
∵ 三角形的外角和是360°,
∴ 在三个顶点处,⊙O自转了$\frac{360}{360}=1$(周),
∴ ⊙O共自转了$(\frac{l}{c}+1)$周.
(2) $(\frac{l}{c}+1)$
5. (1)如图，$\odot A$和$\odot B$的半径都是$r$，固定$\odot B$，使$\odot A$沿$\odot B$的边缘滚动一周，则$\odot A$滚动了
(2)如图所示，有2026个半径为$r$的圆紧密排列成一条直线，半径为$r$的动圆$C$从图示位置绕这2026个圆排成的图形无滑动地滚动一圈回到原位，则动圆$C$自身转动的周数为
2
周.(2)如图所示，有2026个半径为$r$的圆紧密排列成一条直线，半径为$r$的动圆$C$从图示位置绕这2026个圆排成的图形无滑动地滚动一圈回到原位，则动圆$C$自身转动的周数为
1352
周.答案
(1)2 解析:由题图可知,⊙A绕⊙B滚动一周,其圆心A所经过的路线是一个以B为圆心,以2r为半径的圆,即路线长为$4πr$,
∴$4πr÷2πr=2$(周).
(2)1 352 解析:从第1个圆左侧滚动到第2 026个圆右侧,共滚过了2 026段弧长,其中有2段是半径为2r,圆心角为120度的弧长,有2 024段是半径为2r,圆心角为60度的弧长,故$\frac{120×2πr}{180}×2+\frac{60×2πr}{180}×2 024=1 352πr$,
∴ 来回总路程为$1 352πr×2=2 704πr$,
∴ 动圆C自身转动的周数为$2 704πr÷2πr=1 352$(周).
∴$4πr÷2πr=2$(周).
(2)1 352 解析:从第1个圆左侧滚动到第2 026个圆右侧,共滚过了2 026段弧长,其中有2段是半径为2r,圆心角为120度的弧长,有2 024段是半径为2r,圆心角为60度的弧长,故$\frac{120×2πr}{180}×2+\frac{60×2πr}{180}×2 024=1 352πr$,
∴ 来回总路程为$1 352πr×2=2 704πr$,
∴ 动圆C自身转动的周数为$2 704πr÷2πr=1 352$(周).
