5.如图，在正方形网格中，线段AB绕点O旋转一定的角度后与线段CD重合(C,D均为格点，点A的对应点是点C)，若点A的坐标为(-1,5)，点B的坐标为(3,3)，则旋转中心点O的坐标为 ()

A.(1,1)
B.(4,4)
C.(2,1)
D.(1,1)或(4,4)

5.A

6. 如图,已知一个锐角等于$60°$的菱形$ABCD$,将一个$60°$的$∠ MAN$的顶点与该菱形的顶点$A$重合,以点$A$为旋转中心,按顺时针方向旋转这个$60°$的$∠ MAN$,使它的两边分别交$CB,DC$或它们的延长线于点$E,F$.
(1)如图①,当$∠ BAE=∠ DAF$时,线段$AE$与线段$AF$之间的数量关系是.
(2)如图②,旋转$∠ MAN$,当$∠ BAE≠∠ DAF$时,(1)中的结论是否成立?若成立,加以证明;若不成立,请说明理由.
(3)若菱形$ABCD$的边长为$4$,$BE=1$,求$AF$的长.

6.(1)$AE=AF$
(2)解:成立.证明如下:
如答图①,连接AC,
∵四边形ABCD是菱形,∠B=60°,
∴AB=BC=AD=CD,∠B=∠D=60°,
∴△ABC,△ACD均是等边三角形,
∴AB=AC,∠ACD=∠B=60°=∠BAC.
∵∠MAN=60°=∠BAC,
∴∠BAE=∠CAF,
∴△BAE≌△CAF(ASA),
∴AE=AF.
(3)解:当点E在边BC上时,如答图①,连接AC,过点A作AH⊥BC于点H.
∵△ABC是等边三角形,AH⊥BC,AB=BC=4,
∴BH=HC=2,
∴AH=$\sqrt{AB^2-BH^2}=\sqrt{16-4}=2\sqrt{3}$,
∴EH=BH-BE=2-1=1,
∴AE=$\sqrt{AH^2+EH^2}=\sqrt{12+1}=\sqrt{13}$,
由(2)知AF=AE,
∴AF=AE=$\sqrt{13}$.
当点E在CB的延长线上时,如答图②,连接AC,过点A作AH⊥BC于点H,同理可得BH=HC=2,AH=2$\sqrt{3}$.
∵EH=BH+BE=2+1=3,
∴AE=$\sqrt{AH^2+EH^2}=\sqrt{12+9}=\sqrt{21}$,
∴AF=AE=$\sqrt{21}$.
综上所述,AF的长为$\sqrt{13}$或$\sqrt{21}$.

7.某学校活动小组探究了如下问题,请你帮助他们完成解答过程:
(1)操作发现:如图①,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$∠ BAC=90°$,$D$为边$BC$上一点,连接$AD$,作$∠ FAD=90°$,并截取$FA=AD$,连接$DF$,$CF$,求证:$BD^2+CD^2=DF^2$;
(2)灵活运用:如图②,在四边形$ABCD$中,$AC$,$BD$是对角线,$△ ABC$是等边三角形,$∠ ADC=30°$,$AD=3$,$BD=5$,求$CD$的长.

7.(1)证明:
∵∠BAC=90°,∠FAD=90°,
∴∠BAC-∠DAC=∠DAF-∠DAC,
即∠BAD=∠CAF.
∵AB=AC,DA=FA,
∴△ABD≌△ACF(SAS),
∴BD=CF,∠B=∠ACF.
∵∠BAC=90°,
∴∠B+∠ACB=90°,
∴∠ACF+∠ACD=90°,
∴∠DCF=90°.
在Rt△DCF中,由勾股定理得$CF^2+CD^2=DF^2$,
∴$BD^2+CD^2=DF^2$.
(2)解:以CD为边在CD的右侧作等边三角形CDE,连接AE,如答图,则CD=CE=DE,∠DCE=∠CDE=60°.
∵△ABC是等边三角形,
∴AC=BC,∠ACB=60°,
∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD,
即∠BCD=∠ACE,
∴△BCD≌△ACE(SAS),
∴AE=BD=5.
∵∠ADC=30°,
∴∠ADE=∠ADC+∠CDE=90°,
∴DE=$\sqrt{AE^2-AD^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$,
∴CD=DE=4.