一、填空题
1. [绥化中考]如图,某水库堤坝横断面迎水坡AB的斜面坡度$i=1:\sqrt{2}$(斜面坡度是指坡面的铅直高度BC与水平宽度AC的比),堤坝高$BC=15$ m,则迎水坡面AB的长度是m.

1. $15\sqrt{3}$

2. 某校组织一次定向越野拉练活动.如图,A为出发点,途中设置两个检查点,分别为点B,C,行进路线为A→B→C→A,点B在点A的南偏东25°方向$3\sqrt{2}$ km处,点C在点A的北偏东80°方向,$∠ABC=45°$.检查点B,C之间的距离是km.

2. $(3+\sqrt{3})$

3. [眉山中考]如图,斜坡CD的坡度$i=1:2$,在斜坡上有一棵垂直于水平面的大树AB,当太阳光与水平面的夹角为$60°$时,大树在斜坡上的影子BE的长为10米,则大树AB的高为米.

3. $(4\sqrt{15}-2\sqrt{5})$

二、解答题
4. [长沙中考]如图,某景区内两条互相垂直的道路$a,b$交于点$M$,景点$A,B$在道路$a$上,景点$C$在道路$b$上.为了进一步提升景区品质,景区管委会在道路$b$上又开发了风景优美的景点$D$.经测得景点$C$位于景点$B$的北偏东$60°$方向上,位于景点$A$的北偏东$30°$方向上,景点$B$位于景点$D$的南偏西$45°$方向上.已知$AB=800\ \mathrm{m}$.
(1) 求$∠ ACB$的度数;
(2) 一题多解 求景点$C$与景点$D$之间的距离(结果保留根号).

4. (1) 由题意,得 $∠ CBE = 60°$, $∠ CAF = 30°$,
$∠ BDM = 45°, BM ⊥ DM, BE // AF // DM. \therefore ∠ BCM =$
$∠ CBE = 60°, ∠ ACM = ∠ CAF = 30°. \therefore ∠ ACB =$
$∠ BCM - ∠ ACM = 60° - 30° = 30°$
(2) 解法一 $\because ∠ CBE = 60°, \therefore ∠ CBM = 90° -$
$∠ CBE = 30°$. 由 (1) 得 $∠ ACB = 30°, \therefore ∠ ABC =$
$∠ ACB = 30°. \therefore AB = AC = 800\ \mathrm{m}$. 在 $\mathrm{Rt}△ ACM$ 中,
$\sin ∠ ACM = \dfrac{AM}{AC}, \cos ∠ ACM = \dfrac{CM}{AC}, \therefore AM = AC ·$
$\sin ∠ ACM = 400\ \mathrm{m}, CM = AC · \cos ∠ ACM = 400\sqrt{3}\ \mathrm{m}.$
$\therefore BM = BA + AM = 1\ 200\ \mathrm{m}. \because ∠ BDM = 45°, BM ⊥$
$DM, \therefore DM = BM = 1\ 200\ \mathrm{m}. \therefore DC = DM - CM = (1\ 200 -$
$400\sqrt{3})\ \mathrm{m}. \therefore$ 景点 $C$ 与景点 $D$ 之间的距离为
$(1\ 200 - 400\sqrt{3})\ \mathrm{m}.$
解法二 由(1)得, $∠ BCM = ∠ CBE = 60°, ∠ ACM =$
$∠ CAF = 30°$. 设 $AM = x\ \mathrm{m}, \therefore$ 易得 $BM = (800 + x)\ \mathrm{m},$
$AC = 2x\ \mathrm{m}, CM = \sqrt{3}x\ \mathrm{m}$. 在 $\mathrm{Rt}△ BCM$ 中, $\tan ∠ BCM =$
$\dfrac{BM}{CM}, 即\sqrt{3} = \dfrac{800 + x}{\sqrt{3}x}, 解得 x = 400. 经检验, x = 400 是原$
方程的解. $\therefore BM = BA + AM = 800 + 400 = 1\ 200(\mathrm{m}).$
$\because ∠ BDM = 45°, BM ⊥ DM, \therefore BM = DM = 1\ 200\ \mathrm{m}.$
$\therefore DC = DM - CM = (1\ 200 - 400\sqrt{3})\ \mathrm{m}. \therefore$ 景点 $C$ 与景
点 $D$ 之间的距离为 $(1\ 200 - 400\sqrt{3})\ \mathrm{m}.$