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1 有下列各式:① $3+(-3)-1=8-6+(-3)$；② $12x-6=x$；③ $\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}=5$；④ $\frac{1}{3}x-2x=1$；⑤ $a+b=b+a$（$a,b$为常数）。其中，属于方程的为
②③④
（填序号）。答案
1. ②③④
解析
【分析】
解本题的核心是明确方程的定义：含有未知数的等式叫做方程，判断一个式子是否为方程需同时满足两个条件：一是式子为等式（含有等号），二是式子中含有未知数，我们只需逐一验证每个式子是否满足这两个条件即可得到答案。
【解析】
我们逐个分析各式：
① 式子$3+(-3)-1=8-6+(-3)$是等式，但式子中全是常数，没有未知数，因此不是方程；
② 式子$12x-6=x$是等式，且含有未知数$x$，满足方程的条件，是方程；
③ 式子$\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}=5$是等式，且含有未知数$x$，满足方程的条件，是方程；
④ 式子$\frac{1}{3}x-2x=1$是等式，且含有未知数$x$，满足方程的条件，是方程；
⑤ 式子$a+b=b+a$（$a,b$为常数）是等式，但题干明确说明$a,b$是常数，式子中没有未知数，因此不是方程。
综上，属于方程的是②③④。
【答案】
②③④
【知识点】
方程的定义
【点评】
本题是方程定义的基础应用题，解题时要注意同时满足“等式”和“含未知数”两个要求，尤其要关注题干给出的附加限定条件，避免忽略细节出错。
【难度系数】
0.8
解本题的核心是明确方程的定义：含有未知数的等式叫做方程，判断一个式子是否为方程需同时满足两个条件：一是式子为等式（含有等号），二是式子中含有未知数，我们只需逐一验证每个式子是否满足这两个条件即可得到答案。
【解析】
我们逐个分析各式：
① 式子$3+(-3)-1=8-6+(-3)$是等式，但式子中全是常数，没有未知数，因此不是方程；
② 式子$12x-6=x$是等式，且含有未知数$x$，满足方程的条件，是方程；
③ 式子$\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}=5$是等式，且含有未知数$x$，满足方程的条件，是方程；
④ 式子$\frac{1}{3}x-2x=1$是等式，且含有未知数$x$，满足方程的条件，是方程；
⑤ 式子$a+b=b+a$（$a,b$为常数）是等式，但题干明确说明$a,b$是常数，式子中没有未知数，因此不是方程。
综上，属于方程的是②③④。
【答案】
②③④
【知识点】
方程的定义
【点评】
本题是方程定义的基础应用题，解题时要注意同时满足“等式”和“含未知数”两个要求，尤其要关注题干给出的附加限定条件，避免忽略细节出错。
【难度系数】
0.8
2 教材P118习题T1变式 根据条件列出方程(设某数为x).
(1) 某数的3倍比它的2倍多10：
；
(2) 某数的4倍与8的差比它的$\frac{1}{2}$少2：
.
(1) 某数的3倍比它的2倍多10：
$3x=2x+10$
；；
(2) 某数的4倍与8的差比它的$\frac{1}{2}$少2：
$4x-\displaystyle 8=\frac{1}{2}x-2$
；.
答案
(1) $3x=2x+10$
(2) $4x-8=\frac{1}{2}x-2$
(2) $4x-8=\frac{1}{2}x-2$
解析
【分析】
列方程的核心是先找准等量关系，本题已设某数为x，我们只需将文字描述转化为数学代数式，再根据等量关系列出等式即可：
(1) 先翻译对应量：“某数的3倍”对应代数式3x，“它的2倍”对应代数式2x，“3倍比2倍多10”即3x的大小等于2x加10，据此可列方程；
(2) 同样先翻译对应量：“某数的4倍与8的差”对应代数式4x-8，“它的$\frac{1}{2}$”对应代数式$\frac{1}{2}x$，“前者比后者少2”即4x-8的大小等于$\frac{1}{2}x$减2，据此列方程即可。
【解析】
设某数为$x$：
(1) 某数的3倍为$3x$，它的2倍为$2x$，根据“3倍比2倍多10”的等量关系，可得方程：
$3x=2x+10$
(2) 某数的4倍与8的差为$4x-8$，它的$\frac{1}{2}$为$\frac{1}{2}x$，根据“前者比后者少2”的等量关系，可得方程：
$4x-8=\frac{1}{2}x-2$
【答案】
(1) $3x=2x+10$
(2) $4x-8=\frac{1}{2}x-2$
【知识点】
列一元一次方程；文字语言转数学语言；等量关系识别
【点评】
本题是列方程的基础题型，重点考查对“倍、差、多、少”等关键词的理解，只要能准确把文字描述转化为代数式、找准等量关系就能轻松解答，是后续学习方程应用的必备基础。
【难度系数】
0.9
列方程的核心是先找准等量关系，本题已设某数为x，我们只需将文字描述转化为数学代数式，再根据等量关系列出等式即可：
(1) 先翻译对应量：“某数的3倍”对应代数式3x，“它的2倍”对应代数式2x，“3倍比2倍多10”即3x的大小等于2x加10，据此可列方程；
(2) 同样先翻译对应量：“某数的4倍与8的差”对应代数式4x-8，“它的$\frac{1}{2}$”对应代数式$\frac{1}{2}x$，“前者比后者少2”即4x-8的大小等于$\frac{1}{2}x$减2，据此列方程即可。
【解析】
设某数为$x$：
(1) 某数的3倍为$3x$，它的2倍为$2x$，根据“3倍比2倍多10”的等量关系，可得方程：
$3x=2x+10$
(2) 某数的4倍与8的差为$4x-8$，它的$\frac{1}{2}$为$\frac{1}{2}x$，根据“前者比后者少2”的等量关系，可得方程：
$4x-8=\frac{1}{2}x-2$
【答案】
(1) $3x=2x+10$
(2) $4x-8=\frac{1}{2}x-2$
【知识点】
列一元一次方程；文字语言转数学语言；等量关系识别
【点评】
本题是列方程的基础题型，重点考查对“倍、差、多、少”等关键词的理解，只要能准确把文字描述转化为代数式、找准等量关系就能轻松解答，是后续学习方程应用的必备基础。
【难度系数】
0.9
3 根据下列问题，设未知数并列出方程：
（1）甲种圆珠笔每支3元，乙种圆珠笔每支5元，用40元买了两种圆珠笔共10支，还剩2元，则两种圆珠笔各买了多少支？
（2）某校的学生中，女生占49%，男生有1020名，则该校共有多少名学生？
（3）从正方形铁皮上截去一个2 cm宽的长方形条，余下的面积是80 cm²，那么原来的正方形铁皮的边长是多少？
（1）甲种圆珠笔每支3元，乙种圆珠笔每支5元，用40元买了两种圆珠笔共10支，还剩2元，则两种圆珠笔各买了多少支？
（2）某校的学生中，女生占49%，男生有1020名，则该校共有多少名学生？
（3）从正方形铁皮上截去一个2 cm宽的长方形条，余下的面积是80 cm²，那么原来的正方形铁皮的边长是多少？
答案
(1) 设甲种圆珠笔买了$x$支，则乙种圆珠笔买了$(10-x)$支.由题意,可得 $3x+5(10-x)=40-2$
(2) 设该校共有 $x$ 名学生.根据题意,得$(1-49\%)x=1020$
(3) 设原来的正方形铁皮的边长是$a$ cm.根据题意,得 $a(a-2)=80$
(2) 设该校共有 $x$ 名学生.根据题意,得$(1-49\%)x=1020$
(3) 设原来的正方形铁皮的边长是$a$ cm.根据题意,得 $a(a-2)=80$
解析
【分析】
列方程解实际问题的核心思路为：先合理设定未知数，再找准题目中的等量关系，最后将等量关系转化为含未知数的等式即可，各小问具体思考方向如下：
（1）已知两种圆珠笔总数量为10支，可设其中一种的购买数量为x，另一种用含x的式子表示；等量关系为：买甲种笔的总费用+买乙种笔的总费用=实际花掉的总金额（总钱数减去剩余的钱数）。
（2）可直接设学校总人数为x，等量关系为：总人数×男生人数占比=男生总人数，其中男生占比为1减去女生占比。
（3）直接设原正方形边长为a cm，截去2cm宽的长方形条后，余下图形是长为a cm、宽为(a-2)cm的长方形，等量关系为：余下长方形的面积=80 cm²，结合面积公式即可列方程。
【解析】
（1）设甲种圆珠笔买了$x$支，则乙种圆珠笔买了$(10-x)$支。
实际花费金额为$40-2=38$元，甲的总费用为$3x$元，乙的总费用为$5(10-x)$元，根据总费用相等列方程：$3x+5(10-x)=40-2$。
（2）设该校共有$x$名学生。
男生人数占总人数的比例为$1-49\%$，男生人数为1020名，根据“总人数×男生占比=男生人数”列方程：$(1-49\%)x=1020$。
（3）设原来的正方形铁皮的边长是$a$ cm。
余下长方形的宽为$(a-2)$cm、长为$a$ cm，根据“长方形面积=长×宽”且余下面积为80 cm²列方程：$a(a-2)=80$。
【答案】
(1) 设甲种圆珠笔买了$x$支，则乙种圆珠笔买了$(10-x)$支.由题意,可得 $3x+5(10-x)=40-2$
(2) 设该校共有 $x$ 名学生.根据题意,得$(1-49\%)x=1020$
(3) 设原来的正方形铁皮的边长是$a$ cm.根据题意,得 $a(a-2)=80$
【知识点】
1. 列方程
2. 找等量关系
3. 设未知数
【点评】
本题是列方程的基础题型，贴合生活实际，主要考查学生从实际问题中提取相等关系、合理设未知数的能力，是后续运用方程解决实际问题的重要基础，解题的关键是准确找到题目中隐藏的等量关系。
【难度系数】
0.85
列方程解实际问题的核心思路为：先合理设定未知数，再找准题目中的等量关系，最后将等量关系转化为含未知数的等式即可，各小问具体思考方向如下：
（1）已知两种圆珠笔总数量为10支，可设其中一种的购买数量为x，另一种用含x的式子表示；等量关系为：买甲种笔的总费用+买乙种笔的总费用=实际花掉的总金额（总钱数减去剩余的钱数）。
（2）可直接设学校总人数为x，等量关系为：总人数×男生人数占比=男生总人数，其中男生占比为1减去女生占比。
（3）直接设原正方形边长为a cm，截去2cm宽的长方形条后，余下图形是长为a cm、宽为(a-2)cm的长方形，等量关系为：余下长方形的面积=80 cm²，结合面积公式即可列方程。
【解析】
（1）设甲种圆珠笔买了$x$支，则乙种圆珠笔买了$(10-x)$支。
实际花费金额为$40-2=38$元，甲的总费用为$3x$元，乙的总费用为$5(10-x)$元，根据总费用相等列方程：$3x+5(10-x)=40-2$。
（2）设该校共有$x$名学生。
男生人数占总人数的比例为$1-49\%$，男生人数为1020名，根据“总人数×男生占比=男生人数”列方程：$(1-49\%)x=1020$。
（3）设原来的正方形铁皮的边长是$a$ cm。
余下长方形的宽为$(a-2)$cm、长为$a$ cm，根据“长方形面积=长×宽”且余下面积为80 cm²列方程：$a(a-2)=80$。
【答案】
(1) 设甲种圆珠笔买了$x$支，则乙种圆珠笔买了$(10-x)$支.由题意,可得 $3x+5(10-x)=40-2$
(2) 设该校共有 $x$ 名学生.根据题意,得$(1-49\%)x=1020$
(3) 设原来的正方形铁皮的边长是$a$ cm.根据题意,得 $a(a-2)=80$
【知识点】
1. 列方程
2. 找等量关系
3. 设未知数
【点评】
本题是列方程的基础题型，贴合生活实际，主要考查学生从实际问题中提取相等关系、合理设未知数的能力，是后续运用方程解决实际问题的重要基础，解题的关键是准确找到题目中隐藏的等量关系。
【难度系数】
0.85
4 教材 P118 习题 T2 变式 根据下列图形中标出的量及其满足的关系，列出方程.
答案
① $x-1+x+4+x+2=20$
② $2x+2x+x=180$
③ $\displaystyle \frac{x· 2x}{2}=8$
② $2x+2x+x=180$
③ $\displaystyle \frac{x· 2x}{2}=8$
解析
【分析】
解决这类列方程问题的核心是先找准对应场景下的等量关系，再将含未知数的量代入等量关系即可：
1. 图①的等量关系是“三角形的周长等于三条边长度之和”，把三条边的表达式相加等于已知周长20即可列方程；
2. 图②的等量关系是“三角形内角和为180°”，将三个内角的度数表达式相加等于180°即可列方程；
3. 图③的等量关系是“直角三角形的面积等于两条直角边乘积的一半”，把两条直角边长度和已知面积代入公式即可列方程。
【解析】
① 已知三角形三边长分别为$x-1$、$x+4$、$x+2$，周长为20，根据周长的定义：三边长度之和=周长，可得方程：$x-1+x+4+x+2=20$
② 已知三角形三个内角分别为$x°$、$2x°$、$2x°$，根据三角形内角和为$180°$：三个内角度数之和=$180°$，可得方程：$2x+2x+x=180$
③ 已知直角三角形两条直角边长为$x$和$2x$，面积为8，根据直角三角形面积公式：$\mathrm{面积}=\frac{1}{2}×\mathrm{一条直角边}×\mathrm{另一条直角边}$，代入得：$\displaystyle \frac{x· 2x}{2}=8$
【答案】
① $x-1+x+4+x+2=20$
② $2x+2x+x=180$
③ $\displaystyle \frac{x· 2x}{2}=8$
【知识点】
三角形周长计算；三角形内角和定理；直角三角形面积计算
【点评】
本题考查结合几何等量关系列方程的能力，解题的关键是熟练掌握基础几何公式，准确提取题目中的等量条件代入列式，是列方程解应用题的基础题型。
【难度系数】
0.8
解决这类列方程问题的核心是先找准对应场景下的等量关系，再将含未知数的量代入等量关系即可：
1. 图①的等量关系是“三角形的周长等于三条边长度之和”，把三条边的表达式相加等于已知周长20即可列方程；
2. 图②的等量关系是“三角形内角和为180°”，将三个内角的度数表达式相加等于180°即可列方程；
3. 图③的等量关系是“直角三角形的面积等于两条直角边乘积的一半”，把两条直角边长度和已知面积代入公式即可列方程。
【解析】
① 已知三角形三边长分别为$x-1$、$x+4$、$x+2$，周长为20，根据周长的定义：三边长度之和=周长，可得方程：$x-1+x+4+x+2=20$
② 已知三角形三个内角分别为$x°$、$2x°$、$2x°$，根据三角形内角和为$180°$：三个内角度数之和=$180°$，可得方程：$2x+2x+x=180$
③ 已知直角三角形两条直角边长为$x$和$2x$，面积为8，根据直角三角形面积公式：$\mathrm{面积}=\frac{1}{2}×\mathrm{一条直角边}×\mathrm{另一条直角边}$，代入得：$\displaystyle \frac{x· 2x}{2}=8$
【答案】
① $x-1+x+4+x+2=20$
② $2x+2x+x=180$
③ $\displaystyle \frac{x· 2x}{2}=8$
【知识点】
三角形周长计算；三角形内角和定理；直角三角形面积计算
【点评】
本题考查结合几何等量关系列方程的能力，解题的关键是熟练掌握基础几何公式，准确提取题目中的等量条件代入列式，是列方程解应用题的基础题型。
【难度系数】
0.8
5 设未知数列方程：
（1） 教材P119习题T17变式 今年某小区居民人均水电费的支出为2560元，比去年降低了8%，去年这个小区居民人均水电费的支出为多少元？
（2） 教材P119习题T9变式 一个圆柱形包装盒(厚度忽略不计)的高是10 cm，表面积是$90π \ \mathrm{cm}^2$. 这个包装盒的底面半径是多少厘米？
（3）学校中心大草坪上准备建两个同样大小的圆形花坛，要求使花坛的面积是余下草坪面积的一半. 已知草坪是长和宽分别为80米和60米的长方形，求花坛的半径.
（1） 教材P119习题T17变式 今年某小区居民人均水电费的支出为2560元，比去年降低了8%，去年这个小区居民人均水电费的支出为多少元？
（2） 教材P119习题T9变式 一个圆柱形包装盒(厚度忽略不计)的高是10 cm，表面积是$90π \ \mathrm{cm}^2$. 这个包装盒的底面半径是多少厘米？
（3）学校中心大草坪上准备建两个同样大小的圆形花坛，要求使花坛的面积是余下草坪面积的一半. 已知草坪是长和宽分别为80米和60米的长方形，求花坛的半径.
答案
(1) 设去年这个小区居民人均水电费的支出为 $x$ 元.根据题意,可得$(1-8\%)x=2\ 560$
(2) 设这个包装盒的底面半径是 $x$ cm.根据题意,得 $2πx^2+2πx×10 = 90π$
(3) 设花坛的半径为 $x$ 米.根据题意,得 $2πx^2=\displaystyle \frac{1}{2}(80×60-2πx^2)$
(2) 设这个包装盒的底面半径是 $x$ cm.根据题意,得 $2πx^2+2πx×10 = 90π$
(3) 设花坛的半径为 $x$ 米.根据题意,得 $2πx^2=\displaystyle \frac{1}{2}(80×60-2πx^2)$
解析
【分析】
解这类列方程应用题的核心思路为“设未知量→找等量关系→代入等量关系列方程”，分题梳理思路如下：
（1）本题为百分数降低率问题，等量关系为：去年人均水电费支出×(1-降低的百分率)=今年人均水电费支出，将去年支出设为未知数后代入等量关系即可列方程。
（2）本题为圆柱表面积的应用，首先明确圆柱表面积=2个底面积+侧面积，其中底面积=π×半径²，侧面积=底面周长×高=2π×半径×高，将底面半径设为未知数，结合已知表面积代入公式即可列方程。
（3）本题为面积类等量关系应用，题干明确“花坛的面积是余下草坪面积的一半”，先计算长方形草坪的总面积，再分别表示出2个圆形花坛总面积、余下草坪的面积，将半径设为未知数后代入题干面积关系即可列方程。
【解析】
（1）设去年这个小区居民人均水电费的支出为$x$元，今年比去年降低8%，即今年支出为去年的$(1-8\%)$，已知今年支出为2560元，据此列方程：
$(1-8\%)x=2560$
（2）设这个包装盒的底面半径是$x$ cm，圆柱的2个底面积和为$2πx^2$，侧面积为$2πx×10$，已知表面积为$90π \ \mathrm{cm}^2$，据此列方程：
$2πx^2+2πx×10 = 90π$
（3）设花坛的半径为$x$米，2个圆形花坛的总面积为$2πx^2$，长方形草坪总面积为$80×60$，余下草坪面积为$80×60-2πx^2$，根据花坛面积是余下草坪面积的一半，据此列方程：
$2πx^2=\frac{1}{2}(80×60-2πx^2)$
【答案】
(1) 设去年这个小区居民人均水电费的支出为 $x$ 元，列方程为$(1-8\%)x=2\ 560$
(2) 设这个包装盒的底面半径是 $x$ cm，列方程为 $2πx^2+2πx×10 = 90π$
(3) 设花坛的半径为 $x$ 米，列方程为 $2πx^2=\displaystyle \frac{1}{2}(80×60-2πx^2)$
【知识点】
① 百分数实际应用 ② 圆柱表面积计算 ③ 列方程解应用题
【点评】
本题是列方程解应用题的基础题型，重点考查学生提取题干等量关系、结合所学公式列方程的能力，解题核心是准确抓住不同应用场景下的数量关系，为后续求解实际问题奠定基础。
【难度系数】
0.7
解这类列方程应用题的核心思路为“设未知量→找等量关系→代入等量关系列方程”，分题梳理思路如下：
（1）本题为百分数降低率问题，等量关系为：去年人均水电费支出×(1-降低的百分率)=今年人均水电费支出，将去年支出设为未知数后代入等量关系即可列方程。
（2）本题为圆柱表面积的应用，首先明确圆柱表面积=2个底面积+侧面积，其中底面积=π×半径²，侧面积=底面周长×高=2π×半径×高，将底面半径设为未知数，结合已知表面积代入公式即可列方程。
（3）本题为面积类等量关系应用，题干明确“花坛的面积是余下草坪面积的一半”，先计算长方形草坪的总面积，再分别表示出2个圆形花坛总面积、余下草坪的面积，将半径设为未知数后代入题干面积关系即可列方程。
【解析】
（1）设去年这个小区居民人均水电费的支出为$x$元，今年比去年降低8%，即今年支出为去年的$(1-8\%)$，已知今年支出为2560元，据此列方程：
$(1-8\%)x=2560$
（2）设这个包装盒的底面半径是$x$ cm，圆柱的2个底面积和为$2πx^2$，侧面积为$2πx×10$，已知表面积为$90π \ \mathrm{cm}^2$，据此列方程：
$2πx^2+2πx×10 = 90π$
（3）设花坛的半径为$x$米，2个圆形花坛的总面积为$2πx^2$，长方形草坪总面积为$80×60$，余下草坪面积为$80×60-2πx^2$，根据花坛面积是余下草坪面积的一半，据此列方程：
$2πx^2=\frac{1}{2}(80×60-2πx^2)$
【答案】
(1) 设去年这个小区居民人均水电费的支出为 $x$ 元，列方程为$(1-8\%)x=2\ 560$
(2) 设这个包装盒的底面半径是 $x$ cm，列方程为 $2πx^2+2πx×10 = 90π$
(3) 设花坛的半径为 $x$ 米，列方程为 $2πx^2=\displaystyle \frac{1}{2}(80×60-2πx^2)$
【知识点】
① 百分数实际应用 ② 圆柱表面积计算 ③ 列方程解应用题
【点评】
本题是列方程解应用题的基础题型，重点考查学生提取题干等量关系、结合所学公式列方程的能力，解题核心是准确抓住不同应用场景下的数量关系，为后续求解实际问题奠定基础。
【难度系数】
0.7
