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14 如图所示为某月的月历，任意选取“U”形框中的5个数(如涂色部分所示)，请你运用所学的数学知识来研究，在本月月历中这5个数的和可能是（
A.63
B.64
C.65
D.66
D
）A.63
B.64
C.65
D.66
答案
14.D
解析
【分析】
首先明确月历的数字规律：同一行中相邻两个数相差1，同一列中相邻两个数相差7。我们可以设U形框底部中间的数为x，用含x的代数式表示出其余4个数，进而得到5个数的和的表达式，再结合“x为正整数，且所有数都在月历范围内”的条件，逐一验证选项即可。
【解析】
设U形框中底部中间的数为$ x $，根据月历的数字规律可得：
U形框底部左侧的数为$ x-1 $，底部右侧的数为$ x+1 $；
底部左侧数的上一行对应数为$ (x-1)-7 = x-8 $；
底部右侧数的上一行对应数为$ (x+1)-7 = x-6 $。
则5个数的和为：
$ S=(x-8)+(x-6)+(x-1)+x+(x+1)=5x-14 $
逐一验证选项：
A. 若$ 5x-14=63 $，解得$ x=15.4 $，不是正整数，不符合要求；
B. 若$ 5x-14=64 $，解得$ x=15.6 $，不是正整数，不符合要求；
C. 若$ 5x-14=65 $，解得$ x=15.8 $，不是正整数，不符合要求；
D. 若$ 5x-14=66 $，解得$ x=16 $，是正整数，此时5个数分别为$ 8、10、15、16、17 $，均在月历范围内，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
数字规律探究，列代数式，一元一次方程应用
【点评】
本题属于规律探究类题目，解题的核心是抓住月历中数字的排列规律，用未知数表示出U形框内的所有数，推导得到和的代数式后结合整数特征筛选答案，最后要注意验证所得数字是否符合月历的范围要求。
【难度系数】
0.7
首先明确月历的数字规律：同一行中相邻两个数相差1，同一列中相邻两个数相差7。我们可以设U形框底部中间的数为x，用含x的代数式表示出其余4个数，进而得到5个数的和的表达式，再结合“x为正整数，且所有数都在月历范围内”的条件，逐一验证选项即可。
【解析】
设U形框中底部中间的数为$ x $，根据月历的数字规律可得：
U形框底部左侧的数为$ x-1 $，底部右侧的数为$ x+1 $；
底部左侧数的上一行对应数为$ (x-1)-7 = x-8 $；
底部右侧数的上一行对应数为$ (x+1)-7 = x-6 $。
则5个数的和为：
$ S=(x-8)+(x-6)+(x-1)+x+(x+1)=5x-14 $
逐一验证选项：
A. 若$ 5x-14=63 $，解得$ x=15.4 $，不是正整数，不符合要求；
B. 若$ 5x-14=64 $，解得$ x=15.6 $，不是正整数，不符合要求；
C. 若$ 5x-14=65 $，解得$ x=15.8 $，不是正整数，不符合要求；
D. 若$ 5x-14=66 $，解得$ x=16 $，是正整数，此时5个数分别为$ 8、10、15、16、17 $，均在月历范围内，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
数字规律探究，列代数式，一元一次方程应用
【点评】
本题属于规律探究类题目，解题的核心是抓住月历中数字的排列规律，用未知数表示出U形框内的所有数，推导得到和的代数式后结合整数特征筛选答案，最后要注意验证所得数字是否符合月历的范围要求。
【难度系数】
0.7
15 若多项式 $x^2 + mx + 3 - (3x + 1 - nx^2)$ 的值与 $x$ 的取值无关，则 $-2m + n$ 的值为
-7
。答案
15.-7
解析
【分析】
要解决这个问题，首先明确“多项式的值与x的取值无关”的含义：即无论x取何值，多项式的结果都不变，因此所有含x的项的系数都为0。解题步骤分为三步：第一步先对给定的多项式去括号、合并同类项，整理成按x的降幂排列的形式；第二步分别令x的二次项系数、一次项系数等于0，列方程求出m和n的值；第三步将m、n的值代入-2m+n计算即可得到结果。
【解析】
先化简给定的多项式：
$\begin{aligned}&x^2 + mx + 3 - (3x + 1 - nx^2)\\=&x^2 + mx + 3 - 3x - 1 + nx^2\\=&(1 + n)x^2 + (m - 3)x + 2\end{aligned}$
因为多项式的值与x的取值无关，所以含x的各次项的系数均为0：
1. 二次项系数：$1 + n = 0$，解得$n = -1$
2. 一次项系数：$m - 3 = 0$，解得$m = 3$
将$m=3$、$n=-1$代入$-2m + n$计算：
$-2×3 + (-1) = -6 - 1 = -7$
【答案】
$-7$
【知识点】
合并同类项，整式的加减，代数式求值
【点评】
本题是整式加减部分的常考题型，核心是理解“多项式的值与某字母无关”等价于该字母的所有同次项的系数均为0，解题的关键是熟练掌握去括号、合并同类项的法则，准确计算对应项的系数。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先明确“多项式的值与x的取值无关”的含义：即无论x取何值，多项式的结果都不变，因此所有含x的项的系数都为0。解题步骤分为三步：第一步先对给定的多项式去括号、合并同类项，整理成按x的降幂排列的形式；第二步分别令x的二次项系数、一次项系数等于0，列方程求出m和n的值；第三步将m、n的值代入-2m+n计算即可得到结果。
【解析】
先化简给定的多项式：
$\begin{aligned}&x^2 + mx + 3 - (3x + 1 - nx^2)\\=&x^2 + mx + 3 - 3x - 1 + nx^2\\=&(1 + n)x^2 + (m - 3)x + 2\end{aligned}$
因为多项式的值与x的取值无关，所以含x的各次项的系数均为0：
1. 二次项系数：$1 + n = 0$，解得$n = -1$
2. 一次项系数：$m - 3 = 0$，解得$m = 3$
将$m=3$、$n=-1$代入$-2m + n$计算：
$-2×3 + (-1) = -6 - 1 = -7$
【答案】
$-7$
【知识点】
合并同类项，整式的加减，代数式求值
【点评】
本题是整式加减部分的常考题型，核心是理解“多项式的值与某字母无关”等价于该字母的所有同次项的系数均为0，解题的关键是熟练掌握去括号、合并同类项的法则，准确计算对应项的系数。
【难度系数】
0.7
16 现从A,B两个蔬菜市场向甲、乙两地运送蔬菜，A,B两个蔬菜市场各有蔬菜14吨，其中甲地需要蔬菜15吨，乙地需要蔬菜13吨。从A蔬菜市场到甲地的运费为50元/吨，到乙地的运费为30元/吨；从B蔬菜市场到甲地的运费为60元/吨，到乙地的运费为45元/吨。
（1）设A蔬菜市场向甲地运送蔬菜x吨，请填写下表：
（2）设总运费为W元，用含x的式子表示W.
（1）设A蔬菜市场向甲地运送蔬菜x吨，请填写下表：
（2）设总运费为W元，用含x的式子表示W.
答案
(1) 填表如下：
| 蔬菜市场 | 运往甲地的质量/吨 | 运往乙地的质量/吨 |
| ---- | ---- | ---- |
| A | $x$ | $14-x$ |
| B | $15-x$ | $x-1$ |
(2) 由题意,得$W=50x+30(14-x)+60(15-x)+45(x-1)=5x+1\ 275$
| 蔬菜市场 | 运往甲地的质量/吨 | 运往乙地的质量/吨 |
| ---- | ---- | ---- |
| A | $x$ | $14-x$ |
| B | $15-x$ | $x-1$ |
(2) 由题意,得$W=50x+30(14-x)+60(15-x)+45(x-1)=5x+1\ 275$
解析
【分析】
（1）解决填表问题需结合各蔬菜市场的总库存量和甲、乙两地的总需求量推导调运量：①A市场总共有14吨蔬菜，已知运往甲地x吨，剩余全部运往乙地，即可得到A运往乙地的量；②甲地共需要15吨蔬菜，减去A市场运到甲地的x吨，剩余缺口由B市场补充，即可得到B运往甲地的量；③B市场总共有14吨蔬菜，减去B运往甲地的量，剩余部分就是B运往乙地的量。
（2）总运费等于各条调运路线的运费之和，分别计算“A到甲、A到乙、B到甲、B到乙”四个路线的运费，相加后合并同类项，就能得到含x的W的表达式。
【解析】
（1）填表推导：
①A市场总储量为14吨，运往甲地x吨，因此A运往乙地的质量为$14-x$吨；
②甲地总需求量为15吨，A已运x吨，因此B运往甲地的质量为$15-x$吨；
③B市场总储量为14吨，已运往甲地$15-x$吨，因此B运往乙地的质量为$14-(15-x)=x-1$吨。
（2）根据“总运费=各路线运费总和”，结合各路线运费单价列式化简：
$\begin{aligned}W&=50x + 30(14 - x) + 60(15 - x) + 45(x - 1)\\&=50x + 420 - 30x + 900 - 60x + 45x - 45\\&=5x + 1275\end{aligned}$
【答案】
(1)
| 蔬菜市场 | 运往甲地的质量/吨 | 运往乙地的质量/吨 |
| ---- | ---- | ---- |
| A | $x$ | $14-x$ |
| B | $15-x$ | $x-1$ |
(2) $W=5x+1275$
【知识点】
列代数式；整式的加减运算；实际问题建模
【点评】
本题是典型的物资调运类应用题，解题核心是理清各主体的供需数量关系，再结合费用公式列式化简，能有效锻炼逻辑梳理能力和代数式运算能力，解题时要注意调运数量不能为负数，题目隐含了未知数的取值范围。
【难度系数】
0.7
（1）解决填表问题需结合各蔬菜市场的总库存量和甲、乙两地的总需求量推导调运量：①A市场总共有14吨蔬菜，已知运往甲地x吨，剩余全部运往乙地，即可得到A运往乙地的量；②甲地共需要15吨蔬菜，减去A市场运到甲地的x吨，剩余缺口由B市场补充，即可得到B运往甲地的量；③B市场总共有14吨蔬菜，减去B运往甲地的量，剩余部分就是B运往乙地的量。
（2）总运费等于各条调运路线的运费之和，分别计算“A到甲、A到乙、B到甲、B到乙”四个路线的运费，相加后合并同类项，就能得到含x的W的表达式。
【解析】
（1）填表推导：
①A市场总储量为14吨，运往甲地x吨，因此A运往乙地的质量为$14-x$吨；
②甲地总需求量为15吨，A已运x吨，因此B运往甲地的质量为$15-x$吨；
③B市场总储量为14吨，已运往甲地$15-x$吨，因此B运往乙地的质量为$14-(15-x)=x-1$吨。
（2）根据“总运费=各路线运费总和”，结合各路线运费单价列式化简：
$\begin{aligned}W&=50x + 30(14 - x) + 60(15 - x) + 45(x - 1)\\&=50x + 420 - 30x + 900 - 60x + 45x - 45\\&=5x + 1275\end{aligned}$
【答案】
(1)
| 蔬菜市场 | 运往甲地的质量/吨 | 运往乙地的质量/吨 |
| ---- | ---- | ---- |
| A | $x$ | $14-x$ |
| B | $15-x$ | $x-1$ |
(2) $W=5x+1275$
【知识点】
列代数式；整式的加减运算；实际问题建模
【点评】
本题是典型的物资调运类应用题，解题核心是理清各主体的供需数量关系，再结合费用公式列式化简，能有效锻炼逻辑梳理能力和代数式运算能力，解题时要注意调运数量不能为负数，题目隐含了未知数的取值范围。
【难度系数】
0.7
17 新考向 探究题 在数学活动课中，某兴趣小组的成员观察能被11整除的数时，发现以下规律：
（1）根据以上规律，补全表格中的空白部分；
（2）请利用上述规律判断2026是否能被11整除，请说明理由；
（3）将千位、百位、十位、个位上的数字分别是$a,b,c,d$的四位数用$\overline{abcd}$表示，请表述能被11整除的四位数$\overline{abcd}$的特征，并证明。
（1）根据以上规律，补全表格中的空白部分；
（2）请利用上述规律判断2026是否能被11整除，请说明理由；
（3）将千位、百位、十位、个位上的数字分别是$a,b,c,d$的四位数用$\overline{abcd}$表示，请表述能被11整除的四位数$\overline{abcd}$的特征，并证明。
答案
(1) 8 041 1
(2) 不能 理由:因为$6+0-2-2=2$,2不是11的整数倍,所以2026不能被11整除.
(3) 当$(-a+b-c+d)$能被11整除时,原数就能被11整除
$\overline{abcd}=1\ 000a+100b+10c+d=(1\ 001-1)a+(99+1)b+(11-1)c+d=(1\ 001a+99b+11c)+(-a+b-c+d)=11×91a+11×9b+11c+(-a+b-c+d)$. 因为$11×91a+11×9b+11c$能被11整除,所以当$(-a+b-c+d)$能被11整除时,原数就能被11整除
(2) 不能 理由:因为$6+0-2-2=2$,2不是11的整数倍,所以2026不能被11整除.
(3) 当$(-a+b-c+d)$能被11整除时,原数就能被11整除
$\overline{abcd}=1\ 000a+100b+10c+d=(1\ 001-1)a+(99+1)b+(11-1)c+d=(1\ 001a+99b+11c)+(-a+b-c+d)=11×91a+11×9b+11c+(-a+b-c+d)$. 因为$11×91a+11×9b+11c$能被11整除,所以当$(-a+b-c+d)$能被11整除时,原数就能被11整除
解析
【分析】
本题围绕能被11整除的数的特征展开探究，解题思路如下：第一步先观察给出的两组示例，总结出计算规则：四位数的个位数字加百位数字，再减去十位数字、千位数字，所得差若为11的整数倍，则该数能被11整除；第二步用该规则解决第一问，通过解方程求出空缺的数位数字，再写出对应原数；第三步运用规则计算2026对应的差，判断是否为11的倍数即可解决第二问；第四步将四位数用数位展开式表示，拆分出11的倍数部分，剩余部分即为特征对应的表达式，完成第三问的证明。
【解析】
（1）设各位和差中的空缺数为$x$，根据等式可列：$x+0-4-8=-11$，解得$x=1$。结合计算规则可知，该四位数的千位为8、百位为0、十位为4、个位为1，因此原数为8041。
（2）2026的千位数字为2，百位数字为0，十位数字为2，个位数字为6，按照规则计算：$6+0-2-2=2$。由于2不是11的整数倍，因此2026不能被11整除。
（3）特征：若四位数$\overline{abcd}$的$(-a+b-c+d)$能被11整除，则该数能被11整除。
证明如下：
$\overline{abcd}=1000a+100b+10c+d$
将式子变形拆分：
$1000a=1001a-a$，$100b=99b+b$，$10c=11c-c$，代入得：
$\begin{aligned}\overline{abcd}&=(1001a-a)+(99b+b)+(11c-c)+d\\&=(1001a+99b+11c)+(-a+b-c+d)\\&=11×(91a+9b+c)+(-a+b-c+d)\end{aligned}$
其中$11×(91a+9b+c)$是11的整数倍，能被11整除，因此当$(-a+b-c+d)$能被11整除时，整个四位数就能被11整除。
【答案】
(1) 8041；1
(2) 不能，理由：因为$6+0-2-2=2$，2不是11的整数倍，所以2026不能被11整除。
(3) 当$(-a+b-c+d)$能被11整除时，原数就能被11整除，证明过程如上。
【知识点】
数的整除特征，整式的加减，代数式变形
【点评】
本题属于规律探究类题目，既考查了从示例中观察归纳规律的能力，又考查了运用代数方法验证规律的推理能力，需要学生将数字规律和整式运算结合起来解决问题。
【难度系数】
0.6
本题围绕能被11整除的数的特征展开探究，解题思路如下：第一步先观察给出的两组示例，总结出计算规则：四位数的个位数字加百位数字，再减去十位数字、千位数字，所得差若为11的整数倍，则该数能被11整除；第二步用该规则解决第一问，通过解方程求出空缺的数位数字，再写出对应原数；第三步运用规则计算2026对应的差，判断是否为11的倍数即可解决第二问；第四步将四位数用数位展开式表示，拆分出11的倍数部分，剩余部分即为特征对应的表达式，完成第三问的证明。
【解析】
（1）设各位和差中的空缺数为$x$，根据等式可列：$x+0-4-8=-11$，解得$x=1$。结合计算规则可知，该四位数的千位为8、百位为0、十位为4、个位为1，因此原数为8041。
（2）2026的千位数字为2，百位数字为0，十位数字为2，个位数字为6，按照规则计算：$6+0-2-2=2$。由于2不是11的整数倍，因此2026不能被11整除。
（3）特征：若四位数$\overline{abcd}$的$(-a+b-c+d)$能被11整除，则该数能被11整除。
证明如下：
$\overline{abcd}=1000a+100b+10c+d$
将式子变形拆分：
$1000a=1001a-a$，$100b=99b+b$，$10c=11c-c$，代入得：
$\begin{aligned}\overline{abcd}&=(1001a-a)+(99b+b)+(11c-c)+d\\&=(1001a+99b+11c)+(-a+b-c+d)\\&=11×(91a+9b+c)+(-a+b-c+d)\end{aligned}$
其中$11×(91a+9b+c)$是11的整数倍，能被11整除，因此当$(-a+b-c+d)$能被11整除时，整个四位数就能被11整除。
【答案】
(1) 8041；1
(2) 不能，理由：因为$6+0-2-2=2$，2不是11的整数倍，所以2026不能被11整除。
(3) 当$(-a+b-c+d)$能被11整除时，原数就能被11整除，证明过程如上。
【知识点】
数的整除特征，整式的加减，代数式变形
【点评】
本题属于规律探究类题目，既考查了从示例中观察归纳规律的能力，又考查了运用代数方法验证规律的推理能力，需要学生将数字规律和整式运算结合起来解决问题。
【难度系数】
0.6
