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8 计算：
(1) $2x^2 - 4x + 7 + 5x - 8 - 3x^2$；
(2) $2y^2 - 3(x - \frac{1}{3}y^2) - (6x - 5y^2)$。
(1) $2x^2 - 4x + 7 + 5x - 8 - 3x^2$；
(2) $2y^2 - 3(x - \frac{1}{3}y^2) - (6x - 5y^2)$。
答案
(1) $-x^2+x-1$ (2) $-9x+8y^2$
解析
【分析】
整式加减运算的核心是去括号和合并同类项。对于第(1)题，式子中没有括号，只需先找出所有同类项，再将同类项的系数相加减，字母和字母的指数保持不变即可；对于第(2)题，式子含有括号，需要先按照去括号法则去掉括号（注意括号前为负号时，括号内每一项都要变号），再合并同类项得到最终结果。
【解析】
(1) $2x^2 - 4x + 7 + 5x - 8 - 3x^2$
将同类项分组整理：
$=(2x^2 - 3x^2) + (-4x + 5x) + (7 - 8)$
分别合并各组同类项：
$=-x^2 + x - 1$
(2) $2y^2 - 3(x - \frac{1}{3}y^2) - (6x - 5y^2)$
第一步按照去括号法则去掉括号：
$=2y^2 - 3x + y^2 - 6x + 5y^2$
第二步将同类项分组整理：
$=(2y^2 + y^2 + 5y^2) + (-3x - 6x)$
分别合并各组同类项：
$=8y^2 - 9x = -9x + 8y^2$
【答案】
(1) $-x^2+x-1$ (2) $-9x+8y^2$
【知识点】
合并同类项；去括号法则；整式的加减
【点评】
本题是整式加减的基础运算题，重点考察去括号的符号规则与同类项合并方法，计算时需格外注意去括号后的符号变化，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.85
整式加减运算的核心是去括号和合并同类项。对于第(1)题，式子中没有括号，只需先找出所有同类项，再将同类项的系数相加减，字母和字母的指数保持不变即可；对于第(2)题，式子含有括号，需要先按照去括号法则去掉括号（注意括号前为负号时，括号内每一项都要变号），再合并同类项得到最终结果。
【解析】
(1) $2x^2 - 4x + 7 + 5x - 8 - 3x^2$
将同类项分组整理：
$=(2x^2 - 3x^2) + (-4x + 5x) + (7 - 8)$
分别合并各组同类项：
$=-x^2 + x - 1$
(2) $2y^2 - 3(x - \frac{1}{3}y^2) - (6x - 5y^2)$
第一步按照去括号法则去掉括号：
$=2y^2 - 3x + y^2 - 6x + 5y^2$
第二步将同类项分组整理：
$=(2y^2 + y^2 + 5y^2) + (-3x - 6x)$
分别合并各组同类项：
$=8y^2 - 9x = -9x + 8y^2$
【答案】
(1) $-x^2+x-1$ (2) $-9x+8y^2$
【知识点】
合并同类项；去括号法则；整式的加减
【点评】
本题是整式加减的基础运算题，重点考察去括号的符号规则与同类项合并方法，计算时需格外注意去括号后的符号变化，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.85
9 先化简，再求值：
(1) $3x^2 - [5x - 3(2x - 1) + 7x^2]$，其中 $x=-\dfrac{1}{2}$；
(2) $\dfrac{1}{2}a - 2(a - \dfrac{1}{3}b^2) + (-\dfrac{3}{2}a + \dfrac{1}{3}b^2)$，其中 $a=-1, b=-\dfrac{2}{3}$。
(1) $3x^2 - [5x - 3(2x - 1) + 7x^2]$，其中 $x=-\dfrac{1}{2}$；
(2) $\dfrac{1}{2}a - 2(a - \dfrac{1}{3}b^2) + (-\dfrac{3}{2}a + \dfrac{1}{3}b^2)$，其中 $a=-1, b=-\dfrac{2}{3}$。
答案
(1) 原式$=-4x^2+x-3$. 因为$x=-\frac{1}{2}$,所以原式$=-4×(-\frac{1}{2})^2-\frac{1}{2}-3=-4\frac{1}{2}$
(2) 原式$=-3a+b^2$. 因为$a=-1,b=-\frac{2}{3}$,所以原式$=-3×(-1)+(-\frac{2}{3})^2=3\frac{4}{9}$
(2) 原式$=-3a+b^2$. 因为$a=-1,b=-\frac{2}{3}$,所以原式$=-3×(-1)+(-\frac{2}{3})^2=3\frac{4}{9}$
解析
【分析】
这两道题均为整式化简求值题，解题思路清晰可分三步：第一步去括号，需注意若括号前是负号，括号内每一项都要改变符号，同时遇到括号前有系数的，要运用乘法分配律将系数乘到括号内每一项；第二步合并同类项，将同类项的系数相加，字母和字母的指数保持不变，得到最简整式；第三步把给定的未知数取值代入最简整式，按照有理数的运算法则计算出最终结果即可。
【解析】
(1) 化简原式：
$\begin{aligned}3x^2 - [5x - 3(2x - 1) + 7x^2]&=3x^2 - [5x - 6x + 3 + 7x^2]\\&=3x^2 - [-x + 3 + 7x^2]\\&=3x^2 + x - 3 - 7x^2\\&=-4x^2 + x - 3\end{aligned}$
将$x=-\dfrac{1}{2}$代入最简式：
$\begin{aligned}原式&=-4×(-\dfrac{1}{2})^2 + (-\dfrac{1}{2}) - 3\\&=-4×\dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{2} - 3\\&=-1 - \dfrac{1}{2} - 3\\&=-4\dfrac{1}{2}\end{aligned}$
(2) 化简原式：
$\begin{aligned}\dfrac{1}{2}a - 2(a - \dfrac{1}{3}b^2) + (-\dfrac{3}{2}a + \dfrac{1}{3}b^2)&=\dfrac{1}{2}a - 2a + \dfrac{2}{3}b^2 - \dfrac{3}{2}a + \dfrac{1}{3}b^2\\&=(\dfrac{1}{2} - 2 - \dfrac{3}{2})a + (\dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{3})b^2\\&=-3a + b^2\end{aligned}$
将$a=-1, b=-\dfrac{2}{3}$代入最简式：
$\begin{aligned}原式&=-3×(-1) + (-\dfrac{2}{3})^2\\&=3 + \dfrac{4}{9}\\&=3\dfrac{4}{9}\end{aligned}$
【答案】
(1) $-4\dfrac{1}{2}$
(2) $3\dfrac{4}{9}$
【知识点】
整式化简求值、去括号法则、合并同类项
【点评】
本题是整式运算的基础题型，重点考察去括号时的符号处理能力和合并同类项的运算熟练度，运算过程中容易因符号疏忽出错，掌握好基础运算规则即可顺利解题，该类题型是整式相关知识的核心基础，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.8
这两道题均为整式化简求值题，解题思路清晰可分三步：第一步去括号，需注意若括号前是负号，括号内每一项都要改变符号，同时遇到括号前有系数的，要运用乘法分配律将系数乘到括号内每一项；第二步合并同类项，将同类项的系数相加，字母和字母的指数保持不变，得到最简整式；第三步把给定的未知数取值代入最简整式，按照有理数的运算法则计算出最终结果即可。
【解析】
(1) 化简原式：
$\begin{aligned}3x^2 - [5x - 3(2x - 1) + 7x^2]&=3x^2 - [5x - 6x + 3 + 7x^2]\\&=3x^2 - [-x + 3 + 7x^2]\\&=3x^2 + x - 3 - 7x^2\\&=-4x^2 + x - 3\end{aligned}$
将$x=-\dfrac{1}{2}$代入最简式：
$\begin{aligned}原式&=-4×(-\dfrac{1}{2})^2 + (-\dfrac{1}{2}) - 3\\&=-4×\dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{2} - 3\\&=-1 - \dfrac{1}{2} - 3\\&=-4\dfrac{1}{2}\end{aligned}$
(2) 化简原式：
$\begin{aligned}\dfrac{1}{2}a - 2(a - \dfrac{1}{3}b^2) + (-\dfrac{3}{2}a + \dfrac{1}{3}b^2)&=\dfrac{1}{2}a - 2a + \dfrac{2}{3}b^2 - \dfrac{3}{2}a + \dfrac{1}{3}b^2\\&=(\dfrac{1}{2} - 2 - \dfrac{3}{2})a + (\dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{3})b^2\\&=-3a + b^2\end{aligned}$
将$a=-1, b=-\dfrac{2}{3}$代入最简式：
$\begin{aligned}原式&=-3×(-1) + (-\dfrac{2}{3})^2\\&=3 + \dfrac{4}{9}\\&=3\dfrac{4}{9}\end{aligned}$
【答案】
(1) $-4\dfrac{1}{2}$
(2) $3\dfrac{4}{9}$
【知识点】
整式化简求值、去括号法则、合并同类项
【点评】
本题是整式运算的基础题型，重点考察去括号时的符号处理能力和合并同类项的运算熟练度，运算过程中容易因符号疏忽出错，掌握好基础运算规则即可顺利解题，该类题型是整式相关知识的核心基础，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.8
10 如图所示为一所住宅的建筑平面图(图中长度单位:m).设这所住宅的建筑面积为 $ S \ \mathrm{m}^2 $.
(1) 用含 $ x $ 的式子表示 $ S $;
(2) 若 $ x=8 $,求 $ S $ 的值.
(1) 用含 $ x $ 的式子表示 $ S $;
(2) 若 $ x=8 $,求 $ S $ 的值.
答案
(1) 由题图,可得$S=x^2+2x+3x+2×3=x^2+5x+6$
(2) 当$x=8$时,$S=8^2+5×8+6=110$
(2) 当$x=8$时,$S=8^2+5×8+6=110$
解析
【分析】
求住宅的建筑面积本质是求组合图形的总面积，解题思路是先把不规则的平面图拆分为多个规则的矩形（正方形），分别计算每个规则图形的面积后相加，就能得到总面积S的表达式；第二问只需将x的取值代入第一问得到的表达式，按运算顺序计算即可。
【解析】
(1) 将平面图拆分为4个规则图形分别计算面积：
① 左上角长为x、宽为2的矩形，面积为$2× x=2x$；
② 左侧边长为x的正方形，面积为$x× x=x^2$；
③ 右侧上方长为x、宽为3的矩形，面积为$3× x=3x$；
④ 右下角长为3、宽为2的矩形，面积为$3×2=6$。
总面积为各部分面积之和，因此：
$S=x^2+2x+3x+6=x^2+5x+6$
(2) 当$x=8$时，将$x=8$代入$S=x^2+5x+6$中计算：
$S=8^2+5×8+6=64+40+6=110$
【答案】
(1) $S=x^2+5x+6$；(2) $110$
【知识点】
列代数式，代数式求值，组合图形面积计算
【点评】
本题核心是将组合图形转化为规则图形计算面积，拆分图形时要注意不要漏算、重算部分区域，代入求值时需严格遵循先乘方、再乘除、后加减的运算顺序。
【难度系数】
0.85
求住宅的建筑面积本质是求组合图形的总面积，解题思路是先把不规则的平面图拆分为多个规则的矩形（正方形），分别计算每个规则图形的面积后相加，就能得到总面积S的表达式；第二问只需将x的取值代入第一问得到的表达式，按运算顺序计算即可。
【解析】
(1) 将平面图拆分为4个规则图形分别计算面积：
① 左上角长为x、宽为2的矩形，面积为$2× x=2x$；
② 左侧边长为x的正方形，面积为$x× x=x^2$；
③ 右侧上方长为x、宽为3的矩形，面积为$3× x=3x$；
④ 右下角长为3、宽为2的矩形，面积为$3×2=6$。
总面积为各部分面积之和，因此：
$S=x^2+2x+3x+6=x^2+5x+6$
(2) 当$x=8$时，将$x=8$代入$S=x^2+5x+6$中计算：
$S=8^2+5×8+6=64+40+6=110$
【答案】
(1) $S=x^2+5x+6$；(2) $110$
【知识点】
列代数式，代数式求值，组合图形面积计算
【点评】
本题核心是将组合图形转化为规则图形计算面积，拆分图形时要注意不要漏算、重算部分区域，代入求值时需严格遵循先乘方、再乘除、后加减的运算顺序。
【难度系数】
0.85
11 有理数$a,b,c$在数轴上的对应点的位置如图所示，则化简$|a - b| - 2|a - c| - |b + c|$的结果为（
A.$a + c$
B.$a - c$
C.$2a - 2b$
D.$3a - c$
D
）A.$a + c$
B.$a - c$
C.$2a - 2b$
D.$3a - c$
答案
11.D
解析
【分析】
首先观察数轴得到有理数的大小关系为$b ＜ a ＜ 0 ＜ c$，且$|b| ＞ |c| ＞ |a|$。化简含绝对值的式子的核心是判断绝对值内代数式的正负：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数。我们依次判断$a-b$、$a-c$、$b+c$的正负，再代入原式去括号、合并同类项即可得到化简结果。
【解析】
由数轴可得：$b ＜ a ＜ 0 ＜ c$，且$|b| ＞ |c| ＞ |a|$，因此：
1. $a-b＞0$，故$|a-b|=a-b$；
2. $a-c＜0$，故$|a-c|=-(a-c)=c-a$；
3. $b+c＜0$，故$|b+c|=-(b+c)=-b-c$。
将上述结果代入原式：
$\begin{aligned}|a - b| - 2|a - c| - |b + c|&=(a-b)-2(c-a)-(-b-c)\\&=a - b - 2c + 2a + b + c\\&=3a - c\end{aligned}$
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
数轴的应用，绝对值的性质，整式的加减
【点评】
本题是数轴与绝对值化简结合的典型题，解题关键是通过数轴准确判断各数的大小关系以及对应绝对值的大小，进而判断绝对值内代数式的正负，去括号时要注意符号变化，避免运算错误。
【难度系数】
0.6
首先观察数轴得到有理数的大小关系为$b ＜ a ＜ 0 ＜ c$，且$|b| ＞ |c| ＞ |a|$。化简含绝对值的式子的核心是判断绝对值内代数式的正负：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数。我们依次判断$a-b$、$a-c$、$b+c$的正负，再代入原式去括号、合并同类项即可得到化简结果。
【解析】
由数轴可得：$b ＜ a ＜ 0 ＜ c$，且$|b| ＞ |c| ＞ |a|$，因此：
1. $a-b＞0$，故$|a-b|=a-b$；
2. $a-c＜0$，故$|a-c|=-(a-c)=c-a$；
3. $b+c＜0$，故$|b+c|=-(b+c)=-b-c$。
将上述结果代入原式：
$\begin{aligned}|a - b| - 2|a - c| - |b + c|&=(a-b)-2(c-a)-(-b-c)\\&=a - b - 2c + 2a + b + c\\&=3a - c\end{aligned}$
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
数轴的应用，绝对值的性质，整式的加减
【点评】
本题是数轴与绝对值化简结合的典型题，解题关键是通过数轴准确判断各数的大小关系以及对应绝对值的大小，进而判断绝对值内代数式的正负，去括号时要注意符号变化，避免运算错误。
【难度系数】
0.6
12 [2025重庆]按如图所示的规律拼图案，其中，图①中有4个圆点，图②中有8个圆点，图③中有12个圆点，图④中有16个圆点，…，按照这一规律，则图⑥中的圆点的
个数是
（
A.32
B.28
C.24
D.20
个数是
（
C
）A.32
B.28
C.24
D.20
答案
12.C
解析
【分析】
这是一道图形类规律探究题，解题时先将已知图形的序号与对应的圆点个数一一对应罗列，观察两者的数量关系，推导得出第n个图形的圆点个数的通用表达式，再将n=6代入表达式计算即可得到结果。
【解析】
解：观察已知图形的圆点个数可得：
图①（序号为1）：圆点个数为$4 = 4×1$；
图②（序号为2）：圆点个数为$8 = 4×2$；
图③（序号为3）：圆点个数为$12 = 4×3$；
图④（序号为4）：圆点个数为$16 = 4×4$；
根据上述规律可归纳：第$n$个图形的圆点个数为$4n$。
当求图⑥的圆点个数时，即$n=6$，代入得：$4×6=24$。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
图形规律探究，代数式表示规律
【点评】
本题属于规律探究类基础题，重点考查观察、归纳总结的能力，解题的核心是找到圆点数量和图形序号之间的倍数关系，是规律探究类的常见题型。
【难度系数】
0.8
这是一道图形类规律探究题，解题时先将已知图形的序号与对应的圆点个数一一对应罗列，观察两者的数量关系，推导得出第n个图形的圆点个数的通用表达式，再将n=6代入表达式计算即可得到结果。
【解析】
解：观察已知图形的圆点个数可得：
图①（序号为1）：圆点个数为$4 = 4×1$；
图②（序号为2）：圆点个数为$8 = 4×2$；
图③（序号为3）：圆点个数为$12 = 4×3$；
图④（序号为4）：圆点个数为$16 = 4×4$；
根据上述规律可归纳：第$n$个图形的圆点个数为$4n$。
当求图⑥的圆点个数时，即$n=6$，代入得：$4×6=24$。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
图形规律探究，代数式表示规律
【点评】
本题属于规律探究类基础题，重点考查观察、归纳总结的能力，解题的核心是找到圆点数量和图形序号之间的倍数关系，是规律探究类的常见题型。
【难度系数】
0.8
13 有一根铁丝正好可以围成一个长是$(2a + 3b)\mathrm{m}$，宽是$(a + b)\mathrm{m}$的长方形框。现用去一段长为$(2a + 2b)\mathrm{m}$的铁丝，则剩下的铁丝的长度是（
A.$(a + 2b)\mathrm{m}$
B.$(b + 2a)\mathrm{m}$
C.$(4a + 6b)\mathrm{m}$
D.$(6a + 4b)\mathrm{m}$
C
）A.$(a + 2b)\mathrm{m}$
B.$(b + 2a)\mathrm{m}$
C.$(4a + 6b)\mathrm{m}$
D.$(6a + 4b)\mathrm{m}$
答案
13.C
解析
【分析】
要得到剩下的铁丝长度，需先算出铁丝的总长度，再减去用去的长度即可。铁丝总长度就是长方形的周长，根据长方形周长公式“周长=2×(长+宽)”，先代入长和宽的代数式算出总长度，再通过整式加减运算，合并同类项就能求出剩余长度。
【解析】
1. 计算铁丝总长度（即长方形周长）：
根据长方形周长公式可得：
$\begin{aligned}\mathrm{总长度}&=2×(\mathrm{长}+\mathrm{宽})\\&=2[(2a+3b)+(a+b)]\\&=2×(3a+4b)\\&=6a+8b\ (\mathrm{m})\end{aligned}$
2. 计算剩余铁丝长度：
$\begin{aligned}\mathrm{剩余长度}&=\mathrm{总长度}-\mathrm{用去的长度}\\&=(6a+8b)-(2a+2b)\\&=6a+8b-2a-2b\\&=4a+6b\ (\mathrm{m})\end{aligned}$
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
长方形周长计算、整式加减运算、合并同类项
【点评】
本题属于整式运算的基础应用类题目，解题的关键是明确剩余长度的计算逻辑，运算过程中要注意去括号的符号规则，合并同类项时要确保系数计算准确。
【难度系数】
0.8
要得到剩下的铁丝长度，需先算出铁丝的总长度，再减去用去的长度即可。铁丝总长度就是长方形的周长，根据长方形周长公式“周长=2×(长+宽)”，先代入长和宽的代数式算出总长度，再通过整式加减运算，合并同类项就能求出剩余长度。
【解析】
1. 计算铁丝总长度（即长方形周长）：
根据长方形周长公式可得：
$\begin{aligned}\mathrm{总长度}&=2×(\mathrm{长}+\mathrm{宽})\\&=2[(2a+3b)+(a+b)]\\&=2×(3a+4b)\\&=6a+8b\ (\mathrm{m})\end{aligned}$
2. 计算剩余铁丝长度：
$\begin{aligned}\mathrm{剩余长度}&=\mathrm{总长度}-\mathrm{用去的长度}\\&=(6a+8b)-(2a+2b)\\&=6a+8b-2a-2b\\&=4a+6b\ (\mathrm{m})\end{aligned}$
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
长方形周长计算、整式加减运算、合并同类项
【点评】
本题属于整式运算的基础应用类题目，解题的关键是明确剩余长度的计算逻辑，运算过程中要注意去括号的符号规则，合并同类项时要确保系数计算准确。
【难度系数】
0.8
