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6. 如图7-3-6，已知AB，CD被直线EF所截，交点分别为M，N，若MP，NP分别平分∠AMF，∠CNE，且MP⊥NP，垂足为P，求证：AB//CD。
图7-3-6
图7-3-6
答案
6. 证明:因为 MP,NP 分别平分∠AMF,∠CNE，
所以∠PMN=$\frac{1}{2}$∠AMF,∠PNM=$\frac{1}{2}$∠CNE。
又因为 MP⊥NP，
所以∠MPN=90°。
所以∠PMN+∠PNM=90°。
所以$\frac{1}{2}$∠AMF+$\frac{1}{2}$∠CNE=90°。
所以∠AMF+∠CNE=180°。
所以AB//CD。
所以∠PMN=$\frac{1}{2}$∠AMF,∠PNM=$\frac{1}{2}$∠CNE。
又因为 MP⊥NP，
所以∠MPN=90°。
所以∠PMN+∠PNM=90°。
所以$\frac{1}{2}$∠AMF+$\frac{1}{2}$∠CNE=90°。
所以∠AMF+∠CNE=180°。
所以AB//CD。
解析
【分析】
要证明AB//CD，可通过证明AB、CD被EF所截形成的同旁内角互补推导。首先结合角平分线的性质，可将待证的∠AMF+∠CNE=180°转化为证明二者的一半之和为90°；再结合MP⊥NP的条件，根据直角三角形两锐角互余，可得△MPN中∠PMN+∠PNM=90°，恰好对应两个大角的一半之和，反过来即可推出两个大角的和为180°，进而证明两直线平行。
【解析】
证明：
∵ MP，NP分别平分∠AMF，∠CNE，
∴ 根据角平分线的定义，得∠PMN = $\frac{1}{2}$∠AMF，∠PNM = $\frac{1}{2}$∠CNE。
∵ MP⊥NP，
∴ 根据垂直的定义，得∠MPN = 90°。
在△MPN中，由三角形内角和为180°，可得：
∠PMN + ∠PNM = 180° - ∠MPN = 180° - 90° = 90°，
将角平分线的结论代入得：$\frac{1}{2}$∠AMF + $\frac{1}{2}$∠CNE = 90°，
等式两边同乘2得：∠AMF + ∠CNE = 180°。
根据“同旁内角互补，两直线平行”，即可证得AB//CD。
【答案】
证明:因为 MP,NP 分别平分∠AMF,∠CNE，
所以∠PMN=$\frac{1}{2}$∠AMF,∠PNM=$\frac{1}{2}$∠CNE。
又因为 MP⊥NP，
所以∠MPN=90°。
所以∠PMN+∠PNM=90°。
所以$\frac{1}{2}$∠AMF+$\frac{1}{2}$∠CNE=90°。
所以∠AMF+∠CNE=180°。
所以AB//CD。
【知识点】
角平分线的定义；直角三角形两锐角互余；平行线的判定
【点评】
本题是平行线判定的基础综合题，将角平分线性质、直角的性质与平行线判定定理结合考查，解题的关键是利用角平分线完成角的倍分转换，找到同旁内角的互补关系。
【难度系数】
0.7
要证明AB//CD，可通过证明AB、CD被EF所截形成的同旁内角互补推导。首先结合角平分线的性质，可将待证的∠AMF+∠CNE=180°转化为证明二者的一半之和为90°；再结合MP⊥NP的条件，根据直角三角形两锐角互余，可得△MPN中∠PMN+∠PNM=90°，恰好对应两个大角的一半之和，反过来即可推出两个大角的和为180°，进而证明两直线平行。
【解析】
证明：
∵ MP，NP分别平分∠AMF，∠CNE，
∴ 根据角平分线的定义，得∠PMN = $\frac{1}{2}$∠AMF，∠PNM = $\frac{1}{2}$∠CNE。
∵ MP⊥NP，
∴ 根据垂直的定义，得∠MPN = 90°。
在△MPN中，由三角形内角和为180°，可得：
∠PMN + ∠PNM = 180° - ∠MPN = 180° - 90° = 90°，
将角平分线的结论代入得：$\frac{1}{2}$∠AMF + $\frac{1}{2}$∠CNE = 90°，
等式两边同乘2得：∠AMF + ∠CNE = 180°。
根据“同旁内角互补，两直线平行”，即可证得AB//CD。
【答案】
证明:因为 MP,NP 分别平分∠AMF,∠CNE，
所以∠PMN=$\frac{1}{2}$∠AMF,∠PNM=$\frac{1}{2}$∠CNE。
又因为 MP⊥NP，
所以∠MPN=90°。
所以∠PMN+∠PNM=90°。
所以$\frac{1}{2}$∠AMF+$\frac{1}{2}$∠CNE=90°。
所以∠AMF+∠CNE=180°。
所以AB//CD。
【知识点】
角平分线的定义；直角三角形两锐角互余；平行线的判定
【点评】
本题是平行线判定的基础综合题，将角平分线性质、直角的性质与平行线判定定理结合考查，解题的关键是利用角平分线完成角的倍分转换，找到同旁内角的互补关系。
【难度系数】
0.7
7. 如图7-3-7，AD//BC，E为AB上任一点，过E点作EF//AD交DC于F。EF与BC的位置关系是什么？为什么？
答案
7. 解:EF//BC。理由:因为 AD//BC,EF//AD，
所以 EF//BC(平行于同一直线的两条直线相互平行)。
所以 EF//BC(平行于同一直线的两条直线相互平行)。
解析
【分析】
要判断EF与BC的位置关系，先梳理题中给出的平行条件：已知AD//BC，又有EF//AD，可联想到平行公理的推论：平行于同一条直线的两条直线互相平行。此处EF和BC都平行于AD，因此可直接借助该推论得出二者的位置关系。
【解析】
解：EF与BC的位置关系为平行，理由如下：
∵ AD//BC（已知），EF//AD（已知）
∴ EF//BC（平行于同一直线的两条直线互相平行）
【答案】
EF//BC。理由:因为 AD//BC,EF//AD，所以 EF//BC(平行于同一直线的两条直线相互平行)。
【知识点】
平行公理的推论、平行线的传递性
【点评】
本题是平行线相关性质的基础考察题，核心是对平行公理推论的理解与运用，掌握该结论能为后续复杂几何证明提供便利。
【难度系数】
0.9
要判断EF与BC的位置关系，先梳理题中给出的平行条件：已知AD//BC，又有EF//AD，可联想到平行公理的推论：平行于同一条直线的两条直线互相平行。此处EF和BC都平行于AD，因此可直接借助该推论得出二者的位置关系。
【解析】
解：EF与BC的位置关系为平行，理由如下：
∵ AD//BC（已知），EF//AD（已知）
∴ EF//BC（平行于同一直线的两条直线互相平行）
【答案】
EF//BC。理由:因为 AD//BC,EF//AD，所以 EF//BC(平行于同一直线的两条直线相互平行)。
【知识点】
平行公理的推论、平行线的传递性
【点评】
本题是平行线相关性质的基础考察题，核心是对平行公理推论的理解与运用，掌握该结论能为后续复杂几何证明提供便利。
【难度系数】
0.9
8. 如图 7-3-8,已知 F,E 分别是射线 AB,CD上的点。连接 AC,AE 平分∠BAC,∠2=∠3,试说明 AB//CD。
答案
8. 解:因为 AE 平分∠BAC，
所以∠1=∠2。
因为∠2=∠3，
所以∠1=∠3，
所以 AB//CD。
所以∠1=∠2。
因为∠2=∠3，
所以∠1=∠3，
所以 AB//CD。
解析
【分析】
要说明AB//CD，可通过证明内错角相等推导两直线平行。首先结合已知的AE平分∠BAC，利用角平分线的定义可推出∠1=∠2，再结合题目给出的∠2=∠3，通过等量代换得到∠1=∠3，而∠1和∠3是直线AB、CD被AE所截形成的内错角，最后根据平行线的判定定理即可得出结论。
【解析】
证明：
∵ AE平分∠BAC（已知），
∴ ∠1=∠2（角平分线的定义）。
又
∵ ∠2=∠3（已知），
∴ ∠1=∠3（等量代换）。
∵ ∠1和∠3是直线AB、CD被直线AE所截形成的内错角，
∴ AB//CD（内错角相等，两直线平行）。
【答案】
因为 AE 平分∠BAC，
所以∠1=∠2。
因为∠2=∠3，
所以∠1=∠3，
所以 AB//CD。
【知识点】
角平分线的定义、等量代换、平行线的判定
【点评】
本题是平行线证明的基础题型，核心是结合角平分线的性质找到相等的内错角，进而判定两直线平行，掌握相关基础定理即可快速解答。
【难度系数】
0.85
要说明AB//CD，可通过证明内错角相等推导两直线平行。首先结合已知的AE平分∠BAC，利用角平分线的定义可推出∠1=∠2，再结合题目给出的∠2=∠3，通过等量代换得到∠1=∠3，而∠1和∠3是直线AB、CD被AE所截形成的内错角，最后根据平行线的判定定理即可得出结论。
【解析】
证明：
∵ AE平分∠BAC（已知），
∴ ∠1=∠2（角平分线的定义）。
又
∵ ∠2=∠3（已知），
∴ ∠1=∠3（等量代换）。
∵ ∠1和∠3是直线AB、CD被直线AE所截形成的内错角，
∴ AB//CD（内错角相等，两直线平行）。
【答案】
因为 AE 平分∠BAC，
所以∠1=∠2。
因为∠2=∠3，
所以∠1=∠3，
所以 AB//CD。
【知识点】
角平分线的定义、等量代换、平行线的判定
【点评】
本题是平行线证明的基础题型，核心是结合角平分线的性质找到相等的内错角，进而判定两直线平行，掌握相关基础定理即可快速解答。
【难度系数】
0.85
二、拓展性作业
9. 如图7-3-9，在$△ ABC$中，点D在边BC上，连接AD，点E是边AB上的一个定点。
（1）用尺规完成基本作图：过点E作$∠ BEF=∠ BAD$，交BC于点F；（保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，在边AC上取一点G，连接DG，若$∠ ADG + ∠ AEF = 180°$，求证：$AB// DG$；
（3）在（2）的基础上，若DG是$∠ ADC$的平分线，$∠ AEF=130°$，求$∠ B$的度数。
9. 如图7-3-9，在$△ ABC$中，点D在边BC上，连接AD，点E是边AB上的一个定点。
（1）用尺规完成基本作图：过点E作$∠ BEF=∠ BAD$，交BC于点F；（保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，在边AC上取一点G，连接DG，若$∠ ADG + ∠ AEF = 180°$，求证：$AB// DG$；
（3）在（2）的基础上，若DG是$∠ ADC$的平分线，$∠ AEF=130°$，求$∠ B$的度数。
答案
9. (1)解:如答图7-3-1
。具体作法如下：
第一步:以点 A 为圆心,以任意长为半径作弧,交 AB 于点 N,交 AD 于点 M；
第二步:以点 E 为圆心,以同样长度为半径作弧,交 AB 于点 P；
第三步:以点 P 为圆心,以 MN 长度为半径作弧,与第二步的弧相交于点 Q；
第四步:连接 EQ 并延长,交 BC 于点 F,则∠BEF 即为所求。
(2) 证明: 因为 ∠ADG + ∠AEF = 180°, ∠BEF + ∠AEF = 180°，
所以∠ADG=∠BEF。
又因为∠BEF=∠BAD，
所以∠BAD=∠ADG，
所以 AB//DG。
(3)解:因为∠ADG+∠AEF=180°,∠AEF=130°，
所以∠ADG=50°。
因为 DG 平分∠ADC，
所以∠CDG=∠ADG=50°。
因为 AB//DG，
所以∠B=∠CDG=50°。
解析
【分析】
（1）第一问考查基本尺规作图“作一个角等于已知角”，按照作等角的标准步骤操作即可，需注意保留作图痕迹。
（2）要证明$AB// DG$，需找到相等的同位角或内错角：已知$∠ ADG$与$∠ AEF$互补，$∠ BEF$和$∠ AEF$是邻补角也互补，根据同角的补角相等可得$∠ ADG=∠ BEF$，再结合第一问所作的$∠ BEF=∠ BAD$，可推出内错角$∠ BAD=∠ ADG$，即可证两直线平行。
（3）先根据$∠ AEF$的度数和互补关系求出$∠ ADG$的度数，再结合角平分线的定义得到$∠ CDG$的度数，最后利用平行线的同位角相等的性质，即可求出$∠ B$的度数。
【解析】
（1）作图步骤：
①以点$A$为圆心，任意长为半径画弧，分别交$AB$于点$N$，交$AD$于点$M$；
②以点$E$为圆心，和步骤①相同的长度为半径画弧，交$AB$于点$P$；
③以点$P$为圆心，$MN$的长为半径画弧，交步骤②中所作的弧于点$Q$；
④连接$EQ$并延长，交$BC$于点$F$，$∠ BEF$即为所求。
（2）证明：
$\because ∠ ADG + ∠ AEF = 180°$，$∠ BEF + ∠ AEF = 180°$（邻补角的定义）
$\therefore ∠ ADG=∠ BEF$（同角的补角相等）
又$\because ∠ BEF=∠ BAD$（作图所得）
$\therefore ∠ BAD=∠ ADG$（等量代换）
$\therefore AB// DG$（内错角相等，两直线平行）
（3）解：
$\because ∠ ADG + ∠ AEF = 180°$，$∠ AEF=130°$
$\therefore ∠ ADG=180°-130°=50°$
$\because DG$平分$∠ ADC$
$\therefore ∠ CDG=∠ ADG=50°$（角平分线的定义）
又$\because AB// DG$
$\therefore ∠ B=∠ CDG=50°$（两直线平行，同位角相等）
【答案】
9. (1)解:如答图7-3-1。
具体作法如下：
第一步:以点 A 为圆心,以任意长为半径作弧,交 AB 于点 N,交 AD 于点 M；
第二步:以点 E 为圆心,以同样长度为半径作弧,交 AB 于点 P；
第三步:以点 P 为圆心,以 MN 长度为半径作弧,与第二步的弧相交于点 Q；
第四步:连接 EQ 并延长,交 BC 于点 F,则∠BEF 即为所求。
(2) 证明: 因为 ∠ADG + ∠AEF = 180°, ∠BEF + ∠AEF = 180°，
所以∠ADG=∠BEF。
又因为∠BEF=∠BAD，
所以∠BAD=∠ADG，
所以 AB//DG。
(3)解:因为∠ADG+∠AEF=180°,∠AEF=130°，
所以∠ADG=50°。
因为 DG 平分∠ADC，
所以∠CDG=∠ADG=50°。
因为 AB//DG，
所以∠B=∠CDG=50°。
【知识点】
尺规作等角，平行线的判定与性质，角平分线的定义
【点评】
本题综合考查了基本尺规作图、平行线的判定和性质以及角平分线的定义，属于基础题型，既考查了动手操作能力，也考查了几何逻辑推理能力，熟练掌握基础概念和基本作图方法是解题关键。
【难度系数】
0.7
（1）第一问考查基本尺规作图“作一个角等于已知角”，按照作等角的标准步骤操作即可，需注意保留作图痕迹。
（2）要证明$AB// DG$，需找到相等的同位角或内错角：已知$∠ ADG$与$∠ AEF$互补，$∠ BEF$和$∠ AEF$是邻补角也互补，根据同角的补角相等可得$∠ ADG=∠ BEF$，再结合第一问所作的$∠ BEF=∠ BAD$，可推出内错角$∠ BAD=∠ ADG$，即可证两直线平行。
（3）先根据$∠ AEF$的度数和互补关系求出$∠ ADG$的度数，再结合角平分线的定义得到$∠ CDG$的度数，最后利用平行线的同位角相等的性质，即可求出$∠ B$的度数。
【解析】
（1）作图步骤：
①以点$A$为圆心，任意长为半径画弧，分别交$AB$于点$N$，交$AD$于点$M$；
②以点$E$为圆心，和步骤①相同的长度为半径画弧，交$AB$于点$P$；
③以点$P$为圆心，$MN$的长为半径画弧，交步骤②中所作的弧于点$Q$；
④连接$EQ$并延长，交$BC$于点$F$，$∠ BEF$即为所求。
（2）证明：
$\because ∠ ADG + ∠ AEF = 180°$，$∠ BEF + ∠ AEF = 180°$（邻补角的定义）
$\therefore ∠ ADG=∠ BEF$（同角的补角相等）
又$\because ∠ BEF=∠ BAD$（作图所得）
$\therefore ∠ BAD=∠ ADG$（等量代换）
$\therefore AB// DG$（内错角相等，两直线平行）
（3）解：
$\because ∠ ADG + ∠ AEF = 180°$，$∠ AEF=130°$
$\therefore ∠ ADG=180°-130°=50°$
$\because DG$平分$∠ ADC$
$\therefore ∠ CDG=∠ ADG=50°$（角平分线的定义）
又$\because AB// DG$
$\therefore ∠ B=∠ CDG=50°$（两直线平行，同位角相等）
【答案】
9. (1)解:如答图7-3-1
。具体作法如下：
第一步:以点 A 为圆心,以任意长为半径作弧,交 AB 于点 N,交 AD 于点 M；
第二步:以点 E 为圆心,以同样长度为半径作弧,交 AB 于点 P；
第三步:以点 P 为圆心,以 MN 长度为半径作弧,与第二步的弧相交于点 Q；
第四步:连接 EQ 并延长,交 BC 于点 F,则∠BEF 即为所求。
(2) 证明: 因为 ∠ADG + ∠AEF = 180°, ∠BEF + ∠AEF = 180°，
所以∠ADG=∠BEF。
又因为∠BEF=∠BAD，
所以∠BAD=∠ADG，
所以 AB//DG。
(3)解:因为∠ADG+∠AEF=180°,∠AEF=130°，
所以∠ADG=50°。
因为 DG 平分∠ADC，
所以∠CDG=∠ADG=50°。
因为 AB//DG，
所以∠B=∠CDG=50°。
【知识点】
尺规作等角，平行线的判定与性质，角平分线的定义
【点评】
本题综合考查了基本尺规作图、平行线的判定和性质以及角平分线的定义，属于基础题型，既考查了动手操作能力，也考查了几何逻辑推理能力，熟练掌握基础概念和基本作图方法是解题关键。
【难度系数】
0.7
10.【问题情境】
如图7-3-10，AB和CD被直线EF所截，EF分别交AB于点M，交CD于点N，$∠ BMN + ∠ MND = 180°$。
【探究发现】
(1)如图7-3-10①，由已知条件发现直线AB和CD平行，请写出判断依据；
【拓展探究】
(2)如图7-3-10②，过线段MN上点O作线段GH，使得$∠ BMG = ∠ MOG$，$∠ CNH = ∠ NOH$，试猜想MG和NH的位置关系，并证明你的结论。
图7-3-10
如图7-3-10，AB和CD被直线EF所截，EF分别交AB于点M，交CD于点N，$∠ BMN + ∠ MND = 180°$。
【探究发现】
(1)如图7-3-10①，由已知条件发现直线AB和CD平行，请写出判断依据；
【拓展探究】
(2)如图7-3-10②，过线段MN上点O作线段GH，使得$∠ BMG = ∠ MOG$，$∠ CNH = ∠ NOH$，试猜想MG和NH的位置关系，并证明你的结论。
图7-3-10
答案
10. 解:(1)同旁内角互补,两直线平行。
(2)MG//HN。
证明: 因为 ∠BMN + ∠MND = 180°, ∠MNC + ∠MND = 180°，
所以∠BMN=∠MNC。
又 因 为 ∠BMG = ∠MOG, ∠CNH = ∠NOH, ∠MOG=∠NOH，
所以∠BMG=∠CNH。
所以∠BMN-∠BMG=∠MNC-∠CNH，
所以∠GMO=∠HNO，
所以 MG//NH。
(2)MG//HN。
证明: 因为 ∠BMN + ∠MND = 180°, ∠MNC + ∠MND = 180°，
所以∠BMN=∠MNC。
又 因 为 ∠BMG = ∠MOG, ∠CNH = ∠NOH, ∠MOG=∠NOH，
所以∠BMG=∠CNH。
所以∠BMN-∠BMG=∠MNC-∠CNH，
所以∠GMO=∠HNO，
所以 MG//NH。
解析
【分析】
(1) 第一问中，∠BMN和∠MND是直线AB、CD被直线EF所截形成的同旁内角，已知两角之和为180°，直接对应平行线的判定定理即可得到结论。
(2) 第二问要判断MG和NH的位置关系，可猜想为平行，证明两直线平行可通过证内错角相等推导：首先利用同角的补角相等推出∠BMN=∠MNC，再结合已知角相等和对顶角相等，通过等量代换得到∠BMG=∠CNH，最后通过角的差运算得到内错角∠GMO=∠HNO，即可证明两直线平行。
【解析】
(1) 已知∠BMN与∠MND是AB、CD被EF所截的同旁内角，且∠BMN + ∠MND = 180°，因此判断AB//CD的依据是同旁内角互补，两直线平行。
(2) 猜想MG$\mathbin{/\!/}$HN，证明过程如下：
∵ $∠ BMN + ∠ MND = 180°$，$∠ MNC + ∠ MND = 180°$（邻补角的定义），
∴ $∠ BMN = ∠ MNC$（同角的补角相等）。
又
∵ $∠ BMG = ∠ MOG$，$∠ CNH = ∠ NOH$，$∠ MOG=∠ NOH$（对顶角相等），
∴ $∠ BMG = ∠ CNH$（等量代换）。
∴ $∠ BMN - ∠ BMG = ∠ MNC - ∠ CNH$，即$∠ GMO = ∠ HNO$，
∴ MG$\mathbin{/\!/}$HN（内错角相等，两直线平行）。
【答案】
(1) 同旁内角互补，两直线平行
(2) MG$\mathbin{/\!/}$HN
【知识点】
平行线的判定；对顶角相等；补角的性质
【点评】
本题聚焦平行线的判定相关知识，解题核心是通过角的等量代换推导得到判定两直线平行所需的角相等关系，属于基础类题型，能有效巩固平行线判定相关定理的应用。
【难度系数】
0.8
(1) 第一问中，∠BMN和∠MND是直线AB、CD被直线EF所截形成的同旁内角，已知两角之和为180°，直接对应平行线的判定定理即可得到结论。
(2) 第二问要判断MG和NH的位置关系，可猜想为平行，证明两直线平行可通过证内错角相等推导：首先利用同角的补角相等推出∠BMN=∠MNC，再结合已知角相等和对顶角相等，通过等量代换得到∠BMG=∠CNH，最后通过角的差运算得到内错角∠GMO=∠HNO，即可证明两直线平行。
【解析】
(1) 已知∠BMN与∠MND是AB、CD被EF所截的同旁内角，且∠BMN + ∠MND = 180°，因此判断AB//CD的依据是同旁内角互补，两直线平行。
(2) 猜想MG$\mathbin{/\!/}$HN，证明过程如下：
∵ $∠ BMN + ∠ MND = 180°$，$∠ MNC + ∠ MND = 180°$（邻补角的定义），
∴ $∠ BMN = ∠ MNC$（同角的补角相等）。
又
∵ $∠ BMG = ∠ MOG$，$∠ CNH = ∠ NOH$，$∠ MOG=∠ NOH$（对顶角相等），
∴ $∠ BMG = ∠ CNH$（等量代换）。
∴ $∠ BMN - ∠ BMG = ∠ MNC - ∠ CNH$，即$∠ GMO = ∠ HNO$，
∴ MG$\mathbin{/\!/}$HN（内错角相等，两直线平行）。
【答案】
(1) 同旁内角互补，两直线平行
(2) MG$\mathbin{/\!/}$HN
【知识点】
平行线的判定；对顶角相等；补角的性质
【点评】
本题聚焦平行线的判定相关知识，解题核心是通过角的等量代换推导得到判定两直线平行所需的角相等关系，属于基础类题型，能有效巩固平行线判定相关定理的应用。
【难度系数】
0.8
