一、基础性作业
1. 如图7-3-1，四种沿AB折叠的方法中，不一定能判定纸带两条边线a，b互相平行的是（）。


A.图7-3-1①，展开后测得$∠1=∠2$
B.图7-3-1②，展开后测得$∠1=∠2$
C.图7-3-1③，展开后测得$∠1+∠2=180°$
D.图7-3-1④，测得$∠1=∠2$

1. B

【分析】
要判定纸带边线a、b互相平行，需依据平行线的判定定理，分析a、b被折痕AB所截形成的角是否满足同位角相等、内错角相等或同旁内角互补的条件，逐一分析各选项：
1. 选项A：图①中∠1和∠2是a、b被AB截得的内错角，内错角相等即可判定两直线平行；
2. 选项B：图②中∠1和∠2是同旁内角，仅同旁内角相等无法直接推出平行，只有当两角均为90°时才互补，该条件不一定能判定平行；
3. 选项C：图③中∠1和∠2是a、b被AB截得的同旁内角，同旁内角互补即可判定两直线平行；
4. 选项D：图④中结合折叠性质，∠1=∠2可推出内错角相等，即可判定两直线平行。
【解析】
我们根据平行线的判定定理逐一判断：
A. 图①中，∠1与∠2是直线a、b被AB所截形成的内错角，若∠1=∠2，由“内错角相等，两直线平行”可判定a//b，不符合题意；
B. 图②中，∠1与∠2是直线a、b被AB所截形成的同旁内角，仅∠1=∠2无法直接推出同旁内角互补，只有当两角均为90°时才满足平行条件，因此不一定能判定a//b，符合题意；
C. 图③中，∠1与∠2是直线a、b被AB所截形成的同旁内角，若∠1+∠2=180°，由“同旁内角互补，两直线平行”可判定a//b，不符合题意；
D. 图④中，由折叠性质可知，∠1与AB和原a边形成的内错角相等，若∠1=∠2，可得该内错角与∠2相等，由“内错角相等，两直线平行”可判定a//b，不符合题意。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
平行线的判定；折叠的性质
【点评】
本题结合折叠操作考查平行线的判定，需要准确识别截线与被截线形成的角的位置关系，牢记平行线的判定定理是解题的关键，注意不要混淆同旁内角相等和互补的判定要求。
【难度系数】
0.7

2. 如图 7-3-2，三根木条 a，b，c，将 a，c 用钉子 M 钉在一起，将 b，c 用钉子 N 钉在一起，且∠1=75°，∠2=60°，要使木条 a 与 b 平行，则下列描述错误的是（）。


A.木条 a，c 固定不动，木条 b 绕点 N 逆时针旋转 15°
B.木条 a，c 固定不动，木条 b 绕点 N 顺时针旋转 120°
C.木条 b，c 固定不动，木条 a 绕点 M 逆时针旋转 165°
D.木条 b，c 固定不动，木条 a 绕点 M 顺时针旋转 15°

2. B

【分析】
要使木条a与b平行，根据平行线的判定定理，只需二者被直线c所截得的同位角∠1和∠2相等即可。已知∠1=75°，∠2=60°，我们只需逐一分析每个选项中木条旋转后∠1和∠2是否相等，即可判断a、b是否平行，进而找出错误描述。
【解析】
根据平行线判定规则：同位角相等，两直线平行，因此当∠1=∠2时，木条a//b。
A选项：a、c固定不动，∠1保持75°，木条b绕点N逆时针旋转15°，则∠2变为60°+15°=75°，此时∠1=∠2，a//b，描述正确，不符合题意。
B选项：a、c固定不动，∠1保持75°，木条b绕点N顺时针旋转120°，此时原∠2对应位置的角度为180°-(120°-60°)=120°≠75°，a与b不平行，描述错误，符合题意。
C选项：b、c固定不动，∠2保持60°，木条a绕点M逆时针旋转165°，此时原∠1对应位置的角度为75°+165°-180°=60°，与∠2相等，a//b，描述正确，不符合题意。
D选项：b、c固定不动，∠2保持60°，木条a绕点M顺时针旋转15°，则∠1变为75°-15°=60°，与∠2相等，a//b，描述正确，不符合题意。
【答案】
B
【知识点】
平行线的判定；旋转的性质
【点评】
本题结合旋转场景考查平行线的判定，解题核心是明确两直线平行需满足同位角相等，分析时要注意旋转方向对同位角大小的影响，避免因方向判断错误失分。
【难度系数】
0.7

3. 数学实验课上，老师让学生过直线外一点画已知直线的平行线。可利用的工具有：一把直尺，一把量角器。小明的操作步骤如下：
第一步：利用直尺，过点M画一条直线EF，与直线CD相交于点N；
第二步：利用量角器，测量$∠ CNE$的度数$α$；
第三步：利用量角器，画$∠ AME = ∠ CNE = α$；
第四步：利用直尺，过M，A两点画直线，则直线AM即为所求直线。
如图7-3-3，小明这样画图的依据是。

图7-3-3

3. 同位角相等,两直线平行

【分析】
解题时首先要确定截线和被截直线：本题中直线EF是截线，待判断平行的两条直线是AM所在直线、CD。观察∠AME和∠CNE，二者都在截线EF的同侧，同时分别在两条被截直线的同一方，属于同位角。小明通过操作让这组同位角相等，结合平行线的判定定理即可推出画图依据。
【解析】
由题意可知，∠AME和∠CNE是直线AM、CD被直线EF所截形成的同位角，且小明操作后满足∠AME=∠CNE=α。根据平行线的判定规则：同位角相等，两直线平行，可得到AM//CD，因此该画图方法的依据是同位角相等，两直线平行。
【答案】
同位角相等，两直线平行
【知识点】
1.平行线的判定
2.同位角的识别
【点评】
本题结合实际画图操作考查平行线的判定定理，解题关键是准确识别两个相等角的位置类型，牢记平行线判定定理的适用条件，是对基础概念应用能力的考查。
【难度系数】
0.9

4. 如图7-3-4，直线m，n被直线l所截，下列条件中：①∠1＝∠6；②∠2＋∠6＝180°；③∠2＝∠4；④∠1＝∠4；⑤∠3＝∠6，不能判定a//b的是。（填序号）

4. ①②④

【分析】
解题时先回忆平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行。接下来逐一分析每个给出的角的关系，判断该关系是否符合上述判定定理，若不符合则无法判定两直线平行，最终筛选出不能判定平行的序号即可。
【解析】
根据平行线的判定定理逐一分析各条件：
1. 条件①$∠ 1=∠ 6$：$∠ 1$和$∠ 6$不属于可判定平行的同位角、内错角关系，二者相等无法推出$m// n$，故①不能判定；
2. 条件②$∠ 2+∠ 6=180{}^{\circ }$：$∠ 2$和$∠ 6$不是同旁内角，二者互补不满足平行线判定条件，无法推出$m// n$，故②不能判定；
3. 条件③$∠ 2=∠ 4$：$∠ 2$和$∠ 4$是同位角，同位角相等可判定$m// n$；
4. 条件④$∠ 1=∠ 4$：$∠ 1$和$∠ 4$不属于可判定平行的角的对应关系，二者相等无法推出$m// n$，故④不能判定；
5. 条件⑤$∠ 3=∠ 6$：$∠ 3$和$∠ 6$是内错角，内错角相等可判定$m// n$。
综上，不能判定$m// n$的是①②④。
【答案】
①②④
【知识点】
平行线的判定；三线八角的识别
【点评】
本题属于平行线判定的基础题型，易错点是对三线八角中同位角、内错角、同旁内角的位置识别不清，导致误判角的关系是否符合平行判定条件，解题时可先标记各角位置再逐一验证。
【难度系数】
0.7

5. 如图 7-3-5,一块弯成了一个拐角$∠ ABC$是$45°$的锐角钢架,如果工人师傅准备在 C 处进行加工拐弯,要保证弯过来的部分与 AB 保持平行,则加工后拐角角度是。

5. 45°或135°

【分析】
解题时首先回忆平行线的判定定理，其次注意弯过来的部分有两种不同的朝向，需要分情况讨论：第一种是弯后的边与∠ABC形成内错角关系，第二种是弯后的边与∠ABC形成同旁内角关系，分别结合平行线的判定规则计算对应角度即可，注意不要漏解。
【解析】
分两种情况讨论：
① 当弯过来的部分与AB同向平行时，加工后的拐角与∠ABC为内错角，根据“内错角相等，两直线平行”，可得加工后拐角角度=∠ABC=45°；
② 当弯过来的部分与AB反向平行时，加工后的拐角与∠ABC为同旁内角，根据“同旁内角互补，两直线平行”，可得加工后拐角角度=180°-∠ABC=180°-45°=135°。
综上，加工后拐角角度为45°或135°。
【答案】
45°或135°
【知识点】
平行线的判定；分类讨论思想
【点评】
本题易出现忽略拐弯方向导致漏解的错误，熟练掌握平行线的判定定理、全面考虑所有可能情况是解题的关键。
【难度系数】
0.6