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二、拓展性作业
10. 求证:等腰三角形的两底角相等(简称“等边对等角”)。我们在证明文字命题时,通常应遵循这样的步骤:(按要求填空,写出证明过程)
(1)要弄清命题的条件和结论；
(2)结合命题的条件和结论,画出符合题意的图形,如图7-2-4所示；
(3)结合所画图形和这个命题的条件和结论写出已知和求证,并进行证明。
已知:如图7-2-4,在△ABC中,
求证:
证明:
10. 求证:等腰三角形的两底角相等(简称“等边对等角”)。我们在证明文字命题时,通常应遵循这样的步骤:(按要求填空,写出证明过程)
(1)要弄清命题的条件和结论；
(2)结合命题的条件和结论,画出符合题意的图形,如图7-2-4所示；
(3)结合所画图形和这个命题的条件和结论写出已知和求证,并进行证明。
已知:如图7-2-4,在△ABC中,
$AB=AC$
。求证:
$∠ B=∠ C$
。证明:
答案
10. (3)解:$AB=AC$ $∠ B=∠ C$
证明:如
,过点A作$AD⊥ BC$于点D,在$\mathrm{Rt}△ ADB$和$\mathrm{Rt}△ ADC$中,$AB=AC$,$AD=AD$,所以$\mathrm{Rt}△ ADB≌\mathrm{Rt}△ ADC(\mathrm{HL})$,所以$∠ B=∠ C$。解析
【分析】
首先证明文字命题需要先将命题的条件和结论转化为几何语言：命题的条件是“一个三角形是等腰三角形”，对应到图形中就是△ABC的两条腰AB=AC；命题的结论是“两底角相等”，对应就是∠B=∠C。要证明两个角相等，常用方法是证明两个角所在的三角形全等，因此我们可以通过作底边BC上的高AD，构造两个直角三角形，再利用直角三角形全等的判定定理证明两个三角形全等，即可得到对应角相等的结论。
【解析】
已知：如图7-2-4，在△ABC中，$\boldsymbol{AB=AC}$。
求证：$\boldsymbol{∠B=∠C}$。
证明：如，过点A作$AD⊥BC$于点D，
∴$∠ADB=∠ADC=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ADB$和$\mathrm{Rt}△ADC$中：
$\{\begin{array}{l}AB=AC\\AD=AD\end{array} $
∴$\mathrm{Rt}△ADB≌\mathrm{Rt}△ADC(\mathrm{HL})$，
根据全等三角形对应角相等，可得$∠B=∠C$。
【答案】
$AB=AC$；$∠B=∠C$
证明：如，过点A作$AD⊥ BC$于点D，在$\mathrm{Rt}△ ADB$和$\mathrm{Rt}△ ADC$中,$AB=AC$,$AD=AD$,所以$\mathrm{Rt}△ ADB≌\mathrm{Rt}△ ADC(\mathrm{HL})$,所以$∠ B=∠ C$。
【知识点】
全等三角形的判定与性质；直角三角形全等判定（HL）；文字命题的证明
【点评】
本题是等腰三角形核心性质的基础证明题，重点考察了将文字命题转化为几何证明题的能力，通过作高构造全等三角形是解题的关键，掌握全等三角形的判定方法是解决这类问题的基础，也为后续等腰三角形其他性质的推导奠定了基础。
【难度系数】
0.8
首先证明文字命题需要先将命题的条件和结论转化为几何语言：命题的条件是“一个三角形是等腰三角形”，对应到图形中就是△ABC的两条腰AB=AC；命题的结论是“两底角相等”，对应就是∠B=∠C。要证明两个角相等，常用方法是证明两个角所在的三角形全等，因此我们可以通过作底边BC上的高AD，构造两个直角三角形，再利用直角三角形全等的判定定理证明两个三角形全等，即可得到对应角相等的结论。
【解析】
已知：如图7-2-4，在△ABC中，$\boldsymbol{AB=AC}$。
求证：$\boldsymbol{∠B=∠C}$。
证明：如
，过点A作$AD⊥BC$于点D，∴$∠ADB=∠ADC=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ADB$和$\mathrm{Rt}△ADC$中：
$\{\begin{array}{l}AB=AC\\AD=AD\end{array} $
∴$\mathrm{Rt}△ADB≌\mathrm{Rt}△ADC(\mathrm{HL})$，
根据全等三角形对应角相等，可得$∠B=∠C$。
【答案】
$AB=AC$；$∠B=∠C$
证明：如
，过点A作$AD⊥ BC$于点D，在$\mathrm{Rt}△ ADB$和$\mathrm{Rt}△ ADC$中,$AB=AC$,$AD=AD$,所以$\mathrm{Rt}△ ADB≌\mathrm{Rt}△ ADC(\mathrm{HL})$,所以$∠ B=∠ C$。【知识点】
全等三角形的判定与性质；直角三角形全等判定（HL）；文字命题的证明
【点评】
本题是等腰三角形核心性质的基础证明题，重点考察了将文字命题转化为几何证明题的能力，通过作高构造全等三角形是解题的关键，掌握全等三角形的判定方法是解决这类问题的基础，也为后续等腰三角形其他性质的推导奠定了基础。
【难度系数】
0.8
11. 如图7-2-5，已知直线$EF // GH$，给出下列信息：
①$AC ⊥ BC$；
②$BC$平分$∠ DCH$；
③$∠ ACD = ∠ DAC$。
请在上述三条信息中选择其中两条作为条件，其余的一条信息作为结论组成一个真命题，你选择的条件是
图7-2-5
①$AC ⊥ BC$；
②$BC$平分$∠ DCH$；
③$∠ ACD = ∠ DAC$。
请在上述三条信息中选择其中两条作为条件，其余的一条信息作为结论组成一个真命题，你选择的条件是
①②
，结论是③
，(只需填写序号)并进行证明。图7-2-5
答案
11. (答案不唯一)①② ③
证明:因为$BC$平分$∠ DCH$,所以$∠ BCD=∠ BCH$。
因为$AC⊥ BC$,所以$∠ ACB=90°$,即$∠ ACD+∠ BCD=90°$。
因为$∠ ACG+∠ ACD+∠ BCD+∠ BCH=180°$,所以$∠ ACG+∠ BCH=90°$,所以$∠ ACD=∠ ACG$。
因为$EF// GH$,所以$∠ ACG=∠ DAC$,所以$∠ ACD=∠ DAC$。
证明:因为$BC$平分$∠ DCH$,所以$∠ BCD=∠ BCH$。
因为$AC⊥ BC$,所以$∠ ACB=90°$,即$∠ ACD+∠ BCD=90°$。
因为$∠ ACG+∠ ACD+∠ BCD+∠ BCH=180°$,所以$∠ ACG+∠ BCH=90°$,所以$∠ ACD=∠ ACG$。
因为$EF// GH$,所以$∠ ACG=∠ DAC$,所以$∠ ACD=∠ DAC$。
解析
【分析】
这是一道开放性几何命题类题目，可任选两条作为条件推导剩余一条结论，我们以选择①②为条件、③为结论为例梳理思路：首先利用角平分线定义得到一组等角，再结合垂直的定义得到直角，结合平角为180°的性质推导得到∠ACD和∠ACG相等，最后根据平行线的内错角相等的性质，即可推出∠ACD=∠DAC。
【解析】
选择条件为①②，结论为③，证明过程如下：
∵ BC平分∠DCH，
∴ ∠BCD=∠BCH（角平分线的定义）。
∵ AC⊥BC，
∴ ∠ACB=90°（垂直的定义），即∠ACD+∠BCD=90°。
∵ 点C在直线GH上，∠ACG+∠ACD+∠BCD+∠BCH=180°（平角的定义），
将∠BCD=∠BCH、∠ACD+∠BCD=90°代入上式可得：∠ACG+∠BCH=90°，
∴ ∠ACD=∠ACG。
又
∵ EF//GH，
∴ ∠ACG=∠DAC（两直线平行，内错角相等），
∴ ∠ACD=∠DAC。
【答案】
①②；③（答案不唯一）
【知识点】
平行线的性质，角平分线的定义，垂直的定义
【点评】
本题为开放性命题证明题，考查几何基础性质的综合应用，需要学生熟练掌握平行线、角平分线、垂直的相关性质，理清角之间的和差关系即可完成推导，对逻辑推理能力有一定的训练价值。
【难度系数】
0.7
这是一道开放性几何命题类题目，可任选两条作为条件推导剩余一条结论，我们以选择①②为条件、③为结论为例梳理思路：首先利用角平分线定义得到一组等角，再结合垂直的定义得到直角，结合平角为180°的性质推导得到∠ACD和∠ACG相等，最后根据平行线的内错角相等的性质，即可推出∠ACD=∠DAC。
【解析】
选择条件为①②，结论为③，证明过程如下：
∵ BC平分∠DCH，
∴ ∠BCD=∠BCH（角平分线的定义）。
∵ AC⊥BC，
∴ ∠ACB=90°（垂直的定义），即∠ACD+∠BCD=90°。
∵ 点C在直线GH上，∠ACG+∠ACD+∠BCD+∠BCH=180°（平角的定义），
将∠BCD=∠BCH、∠ACD+∠BCD=90°代入上式可得：∠ACG+∠BCH=90°，
∴ ∠ACD=∠ACG。
又
∵ EF//GH，
∴ ∠ACG=∠DAC（两直线平行，内错角相等），
∴ ∠ACD=∠DAC。
【答案】
①②；③（答案不唯一）
【知识点】
平行线的性质，角平分线的定义，垂直的定义
【点评】
本题为开放性命题证明题，考查几何基础性质的综合应用，需要学生熟练掌握平行线、角平分线、垂直的相关性质，理清角之间的和差关系即可完成推导，对逻辑推理能力有一定的训练价值。
【难度系数】
0.7
