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10. (★★)小虎解方程$\frac{2x-1}{3}=\frac{x+a}{2}-1$，去分母时，若方程右边的“-1”未乘6，则求得的解为$x=16$. 试求$a$的值，并正确解方程.
答案
解：小虎去分母时，因右边的$-1$未乘6，得到的错误方程为：
$2(2x - 1) = 3(x + a) - 1$
将$x=16$代入上述错误方程：
$2×(2×16 - 1) = 3×(16 + a) - 1$
$62 = 47 + 3a$
解得：$a=5$
将$a=5$代入原方程，得：
$\frac{2x-1}{3}=\frac{x+5}{2}-1$
去分母，得：
$2(2x - 1) = 3(x + 5) - 6$
去括号，得：
$4x - 2 = 3x + 15 - 6$
移项，得：
$4x - 3x = 15 - 6 + 2$
合并同类项，得：
$x=11$
综上，$a$的值为$5$，原方程的解为$x=11$。
$2(2x - 1) = 3(x + a) - 1$
将$x=16$代入上述错误方程：
$2×(2×16 - 1) = 3×(16 + a) - 1$
$62 = 47 + 3a$
解得：$a=5$
将$a=5$代入原方程，得：
$\frac{2x-1}{3}=\frac{x+5}{2}-1$
去分母，得：
$2(2x - 1) = 3(x + 5) - 6$
去括号，得：
$4x - 2 = 3x + 15 - 6$
移项，得：
$4x - 3x = 15 - 6 + 2$
合并同类项，得：
$x=11$
综上，$a$的值为$5$，原方程的解为$x=11$。
解析
【分析】
解题分两步进行：第一步，先根据小虎去分母时的错误操作（仅方程右边的“-1”未乘6），还原出他计算时使用的错误方程；因为$x=16$是错误方程的解，将其代入错误方程即可求出参数$a$的值。第二步，把求得的$a$代入原方程，按照解一元一次方程的规范步骤（去分母、去括号、移项、合并同类项）正确求解即可。
【解析】
解：根据小虎的错误去分母操作，先写出错误方程：
原方程去分母时两边应同乘6，由于仅右边的“-1”未乘6，因此错误方程为：
$2(2x - 1) = 3(x + a) - 1$
已知错误方程的解为$x=16$，将$x=16$代入上述错误方程：
$2×(2×16 - 1) = 3×(16 + a) - 1$
计算得：$62 = 47 + 3a$
解得：$a=5$
将$a=5$代入原方程，得：
$\frac{2x-1}{3}=\frac{x+5}{2}-1$
正确去分母（两边同乘6，所有项都乘6）：
$2(2x - 1) = 3(x + 5) - 6$
去括号：
$4x - 2 = 3x + 15 - 6$
移项：
$4x - 3x = 15 - 6 + 2$
合并同类项得：
$x=11$
【答案】
$a$的值为$5$，原方程的解为$x=11$
【知识点】
1. 一元一次方程的解
2. 解一元一次方程
3. 去分母运算规则
【点评】
本题是一元一次方程的典型错解类题目，核心解题逻辑是利用错解对应的错误方程求出未知参数，再回归原方程规范求解。解题时要注意去分母时需给方程所有项乘以公分母，避免漏乘常数项的常见错误。
【难度系数】
0.7
解题分两步进行：第一步，先根据小虎去分母时的错误操作（仅方程右边的“-1”未乘6），还原出他计算时使用的错误方程；因为$x=16$是错误方程的解，将其代入错误方程即可求出参数$a$的值。第二步，把求得的$a$代入原方程，按照解一元一次方程的规范步骤（去分母、去括号、移项、合并同类项）正确求解即可。
【解析】
解：根据小虎的错误去分母操作，先写出错误方程：
原方程去分母时两边应同乘6，由于仅右边的“-1”未乘6，因此错误方程为：
$2(2x - 1) = 3(x + a) - 1$
已知错误方程的解为$x=16$，将$x=16$代入上述错误方程：
$2×(2×16 - 1) = 3×(16 + a) - 1$
计算得：$62 = 47 + 3a$
解得：$a=5$
将$a=5$代入原方程，得：
$\frac{2x-1}{3}=\frac{x+5}{2}-1$
正确去分母（两边同乘6，所有项都乘6）：
$2(2x - 1) = 3(x + 5) - 6$
去括号：
$4x - 2 = 3x + 15 - 6$
移项：
$4x - 3x = 15 - 6 + 2$
合并同类项得：
$x=11$
【答案】
$a$的值为$5$，原方程的解为$x=11$
【知识点】
1. 一元一次方程的解
2. 解一元一次方程
3. 去分母运算规则
【点评】
本题是一元一次方程的典型错解类题目，核心解题逻辑是利用错解对应的错误方程求出未知参数，再回归原方程规范求解。解题时要注意去分母时需给方程所有项乘以公分母，避免漏乘常数项的常见错误。
【难度系数】
0.7
11. (★★)某自行车队在一次全程 50 km的训练中,要经过一段平路和一段山路.已知平路上自行车的速度为 600 m/min,山路上自行车的速度为 200 m/min,全程共用时150 min,求平路和山路路程各多少米.
答案
解：50 km = 50000 m
设平路的路程为x m，则山路的路程为$(50000 - x)$ m。
根据题意，得
$\frac{x}{600} + \frac{50000 - x}{200} = 150$
去分母，得
$x + 3(50000 - x) = 90000$
去括号，得
$x + 150000 - 3x = 90000$
移项，合并同类项，得
$-2x = -60000$
系数化为1，得
$x = 30000$
山路路程为$50000 - 30000 = 20000$（m）
答：平路路程为30000米，山路路程为20000米。
设平路的路程为x m，则山路的路程为$(50000 - x)$ m。
根据题意，得
$\frac{x}{600} + \frac{50000 - x}{200} = 150$
去分母，得
$x + 3(50000 - x) = 90000$
去括号，得
$x + 150000 - 3x = 90000$
移项，合并同类项，得
$-2x = -60000$
系数化为1，得
$x = 30000$
山路路程为$50000 - 30000 = 20000$（m）
答：平路路程为30000米，山路路程为20000米。
解析
【分析】
这是一道行程类的一元一次方程应用题，解题首先要明确行程问题的基本关系：时间=路程÷速度。本题的核心等量关系是：平路行驶时间+山路行驶时间=全程总用时。解题第一步要先统一单位，将全程的千米换算为米，避免单位不统一导致计算错误；接着设平路路程为未知数，用总路程减去平路路程表示出山路路程；再根据上述等量关系列出一元一次方程，按照解一元一次方程的步骤求解即可，最后验证结果是否符合实际。
【解析】
先换算单位：$\boldsymbol{50\ \mathrm{km} = 50000\ \mathrm{m}}$
设平路的路程为$x\ \mathrm{m}$，则山路的路程为$(50000 - x)\ \mathrm{m}$。
根据平路时间加山路时间等于总用时，可列方程：
$\frac{x}{600} + \frac{50000 - x}{200} = 150$
去分母（两边同乘600），得：
$x + 3(50000 - x) = 90000$
去括号，得：
$x + 150000 - 3x = 90000$
移项、合并同类项，得：
$-2x = -60000$
系数化为1，得：
$x = 30000$
则山路路程为$50000 - 30000 = 20000\ (\mathrm{m})$
【答案】
平路路程为30000米，山路路程为20000米。
【知识点】
一元一次方程应用，行程问题计算，解一元一次方程
【点评】
本题属于一元一次方程应用的常规基础题型，解题关键是准确抓住分段时间之和等于总时间的等量关系，计算前注意统一单位，避免因单位不匹配出现错误，熟练掌握一元一次方程的求解步骤即可轻松得分。
【难度系数】
0.7
这是一道行程类的一元一次方程应用题，解题首先要明确行程问题的基本关系：时间=路程÷速度。本题的核心等量关系是：平路行驶时间+山路行驶时间=全程总用时。解题第一步要先统一单位，将全程的千米换算为米，避免单位不统一导致计算错误；接着设平路路程为未知数，用总路程减去平路路程表示出山路路程；再根据上述等量关系列出一元一次方程，按照解一元一次方程的步骤求解即可，最后验证结果是否符合实际。
【解析】
先换算单位：$\boldsymbol{50\ \mathrm{km} = 50000\ \mathrm{m}}$
设平路的路程为$x\ \mathrm{m}$，则山路的路程为$(50000 - x)\ \mathrm{m}$。
根据平路时间加山路时间等于总用时，可列方程：
$\frac{x}{600} + \frac{50000 - x}{200} = 150$
去分母（两边同乘600），得：
$x + 3(50000 - x) = 90000$
去括号，得：
$x + 150000 - 3x = 90000$
移项、合并同类项，得：
$-2x = -60000$
系数化为1，得：
$x = 30000$
则山路路程为$50000 - 30000 = 20000\ (\mathrm{m})$
【答案】
平路路程为30000米，山路路程为20000米。
【知识点】
一元一次方程应用，行程问题计算，解一元一次方程
【点评】
本题属于一元一次方程应用的常规基础题型，解题关键是准确抓住分段时间之和等于总时间的等量关系，计算前注意统一单位，避免因单位不匹配出现错误，熟练掌握一元一次方程的求解步骤即可轻松得分。
【难度系数】
0.7
12. (★★★)当$m$取什么整数时,关于$x$的方程$\frac{1}{2}mx - \frac{5}{3} = \frac{1}{2}(x - \frac{4}{3})$的解是正整数?
答案
解：
去分母，方程两边同时乘6，得
$3mx - 10 = 3(x - \frac{4}{3})$
去括号，得
$3mx - 10 = 3x - 4$
移项，得
$3mx - 3x = 10 - 4$
合并同类项，得
$3(m-1)x = 6$
系数化为1，得
$x = \frac{2}{m-1} \quad (m ≠ 1)$
因为x是正整数，且m是整数，所以$m-1$是2的正整数因数。
2的正整数因数为1和2，因此：
当$m-1=1$时，$m=2$；
当$m-1=2$时，$m=3$。
所以当m取整数2或3时，方程的解是正整数。
去分母，方程两边同时乘6，得
$3mx - 10 = 3(x - \frac{4}{3})$
去括号，得
$3mx - 10 = 3x - 4$
移项，得
$3mx - 3x = 10 - 4$
合并同类项，得
$3(m-1)x = 6$
系数化为1，得
$x = \frac{2}{m-1} \quad (m ≠ 1)$
因为x是正整数，且m是整数，所以$m-1$是2的正整数因数。
2的正整数因数为1和2，因此：
当$m-1=1$时，$m=2$；
当$m-1=2$时，$m=3$。
所以当m取整数2或3时，方程的解是正整数。
解析
【分析】
我们可以分两步思考解题：第一步，先把m当作已知数，按照解一元一次方程的标准步骤（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1），推导出用含m的代数式表示x的形式，注意要保证x的系数不为0；第二步，结合“解是正整数、m是整数”的条件，可知x的表达式中分母是分子的正整数因数，由此列举符合要求的因数，就能求出对应的m的取值。
【解析】
解：去分母，方程两边同时乘6，得
$3mx - 10 = 3(x - \frac{4}{3})$
去括号，得
$3mx - 10 = 3x - 4$
移项，得
$3mx - 3x = 10 - 4$
合并同类项，得
$3(m-1)x = 6$
当$m≠1$时，系数化为1，得
$x = \frac{2}{m-1}$
因为方程的解x是正整数，且m是整数，所以$m-1$是2的正整数因数。
2的正整数因数为1和2，因此：
当$m-1=1$时，$m=2$，此时$x=2$，符合要求；
当$m-1=2$时，$m=3$，此时$x=1$，符合要求。
【答案】
当m取整数2或3时，方程的解是正整数。
【知识点】
解一元一次方程；一元一次方程的解；因数的应用
【点评】
本题是含参数的一元一次方程整数解类问题，解题关键是先求出用参数表示的方程的解，再结合解的限制条件分析参数的取值，解题时要注意系数不为0的隐含前提，避免出现无意义的情况。
【难度系数】
0.6
我们可以分两步思考解题：第一步，先把m当作已知数，按照解一元一次方程的标准步骤（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1），推导出用含m的代数式表示x的形式，注意要保证x的系数不为0；第二步，结合“解是正整数、m是整数”的条件，可知x的表达式中分母是分子的正整数因数，由此列举符合要求的因数，就能求出对应的m的取值。
【解析】
解：去分母，方程两边同时乘6，得
$3mx - 10 = 3(x - \frac{4}{3})$
去括号，得
$3mx - 10 = 3x - 4$
移项，得
$3mx - 3x = 10 - 4$
合并同类项，得
$3(m-1)x = 6$
当$m≠1$时，系数化为1，得
$x = \frac{2}{m-1}$
因为方程的解x是正整数，且m是整数，所以$m-1$是2的正整数因数。
2的正整数因数为1和2，因此：
当$m-1=1$时，$m=2$，此时$x=2$，符合要求；
当$m-1=2$时，$m=3$，此时$x=1$，符合要求。
【答案】
当m取整数2或3时，方程的解是正整数。
【知识点】
解一元一次方程；一元一次方程的解；因数的应用
【点评】
本题是含参数的一元一次方程整数解类问题，解题关键是先求出用参数表示的方程的解，再结合解的限制条件分析参数的取值，解题时要注意系数不为0的隐含前提，避免出现无意义的情况。
【难度系数】
0.6
