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4. 请根据你学到的知识和生活经验，编写一道可化为一元一次方程的分式方程应用题，并做完整的解答. 编写要求如下：
(1)题意要清楚，题目要完整.
(2)联系日常生活，其解要符合实际.
(3)列出的分式方程要含有两个不同的分式.
(1)题意要清楚，题目要完整.
(2)联系日常生活，其解要符合实际.
(3)列出的分式方程要含有两个不同的分式.
答案
解：
编写的应用题：
张老师为学校采购课外读物，第一次用300元购进一批儿童绘本，第二次采购时，每本绘本的单价是第一次的1.2倍，张老师同样花费300元，购进的绘本数量比第一次少10本。求第一次购进的绘本每本的价格是多少元？
设第一次购进的绘本每本价格为$x$元，则第二次购进的绘本每本价格为$1.2x$元。
根据题意，列分式方程得：
$\frac{300}{x} - \frac{300}{1.2x} = 10$
方程两边同乘$1.2x$，去分母得：
$360 - 300 = 12x$
解得：
$x=5$
检验：当$x=5$时，$1.2x=6 ≠ 0$，所以$x=5$是原分式方程的解，且符合实际意义。
答：第一次购进的绘本每本的价格是5元。
编写的应用题：
张老师为学校采购课外读物，第一次用300元购进一批儿童绘本，第二次采购时，每本绘本的单价是第一次的1.2倍，张老师同样花费300元，购进的绘本数量比第一次少10本。求第一次购进的绘本每本的价格是多少元？
设第一次购进的绘本每本价格为$x$元，则第二次购进的绘本每本价格为$1.2x$元。
根据题意，列分式方程得：
$\frac{300}{x} - \frac{300}{1.2x} = 10$
方程两边同乘$1.2x$，去分母得：
$360 - 300 = 12x$
解得：
$x=5$
检验：当$x=5$时，$1.2x=6 ≠ 0$，所以$x=5$是原分式方程的解，且符合实际意义。
答：第一次购进的绘本每本的价格是5元。
解析
【分析】
要完成本题，首先可选取贴近日常生活的购物、行程、工程等常见场景编题，需保证题目中存在两个可表示为分式的关联量，同时有清晰的等量关系，且列出的方程能转化为一元一次方程。解题时先根据所求设未知数，用含未知数的代数式分别表示两个分式，再结合等量关系列方程；解分式方程时先去分母转化为一元一次方程求解，最后必须检验解是否为原方程的增根、是否符合实际意义。
【解析】
编写的应用题：
张老师为学校采购课外读物，第一次用300元购进一批儿童绘本，第二次采购时，每本绘本的单价是第一次的1.2倍，张老师同样花费300元，购进的绘本数量比第一次少10本。求第一次购进的绘本每本的价格是多少元？
解答过程：
设第一次购进的绘本每本价格为$x$元，则第二次购进的绘本每本价格为$1.2x$元。
根据“第一次购进数量 - 第二次购进数量 = 10本”的等量关系，列分式方程得：
$\frac{300}{x} - \frac{300}{1.2x} = 10$
方程两边同乘最简公分母$1.2x$去分母得：
$360 - 300 = 12x$
合并同类项得：$60=12x$
解得：$x=5$
检验：当$x=5$时，$1.2x=6 ≠ 0$，所以$x=5$是原分式方程的解，且5元的单价符合实际采购的价格情况，符合题意。
答：第一次购进的绘本每本的价格是5元。
【答案】
第一次购进的绘本每本的价格是5元。
【知识点】
分式方程应用，一元一次方程解法，分式方程检验
【点评】
本题属于开放性题目，既需要结合生活实际构建合理的问题场景，又要熟练掌握分式方程的列法与解法，能有效考查知识的灵活运用能力，求解分式方程时注意不要遗漏检验步骤，既要判断解是否为增根，也要判断是否符合实际意义。
【难度系数】
0.7
要完成本题，首先可选取贴近日常生活的购物、行程、工程等常见场景编题，需保证题目中存在两个可表示为分式的关联量，同时有清晰的等量关系，且列出的方程能转化为一元一次方程。解题时先根据所求设未知数，用含未知数的代数式分别表示两个分式，再结合等量关系列方程；解分式方程时先去分母转化为一元一次方程求解，最后必须检验解是否为原方程的增根、是否符合实际意义。
【解析】
编写的应用题：
张老师为学校采购课外读物，第一次用300元购进一批儿童绘本，第二次采购时，每本绘本的单价是第一次的1.2倍，张老师同样花费300元，购进的绘本数量比第一次少10本。求第一次购进的绘本每本的价格是多少元？
解答过程：
设第一次购进的绘本每本价格为$x$元，则第二次购进的绘本每本价格为$1.2x$元。
根据“第一次购进数量 - 第二次购进数量 = 10本”的等量关系，列分式方程得：
$\frac{300}{x} - \frac{300}{1.2x} = 10$
方程两边同乘最简公分母$1.2x$去分母得：
$360 - 300 = 12x$
合并同类项得：$60=12x$
解得：$x=5$
检验：当$x=5$时，$1.2x=6 ≠ 0$，所以$x=5$是原分式方程的解，且5元的单价符合实际采购的价格情况，符合题意。
答：第一次购进的绘本每本的价格是5元。
【答案】
第一次购进的绘本每本的价格是5元。
【知识点】
分式方程应用，一元一次方程解法，分式方程检验
【点评】
本题属于开放性题目，既需要结合生活实际构建合理的问题场景，又要熟练掌握分式方程的列法与解法，能有效考查知识的灵活运用能力，求解分式方程时注意不要遗漏检验步骤，既要判断解是否为增根，也要判断是否符合实际意义。
【难度系数】
0.7
5. 甲、乙两人采购同一种商品，购进单价相同，甲用2 400元采购的商品比乙用3 000元采购的商品少10件.
(1)求这种商品的单价.
(2)甲、乙两人第二次去采购这种商品时，该商品的单价比上次降低了20元，甲采购这种商品的总价与上次相同，乙采购这种商品的数量与上次相同. 甲、乙两人两次采购这种商品的平均单价分别是多少？
(3)在生活中，无论汽油的价格如何变化，有人总是按相同金额加油，有人总是按相同油量加油. 结合(2)中的计算结果，建议按相同
(1)求这种商品的单价.
(2)甲、乙两人第二次去采购这种商品时，该商品的单价比上次降低了20元，甲采购这种商品的总价与上次相同，乙采购这种商品的数量与上次相同. 甲、乙两人两次采购这种商品的平均单价分别是多少？
(3)在生活中，无论汽油的价格如何变化，有人总是按相同金额加油，有人总是按相同油量加油. 结合(2)中的计算结果，建议按相同
金额
加油更合算. (填“金额”或“油量”)答案
(1)设这种商品的单价为x元.
根据题意，得$\frac{3\ 000}{x}-\frac{2\ 400}{x}=10$.
解得$x=60$.
经检验，$x=60$是原分式方程的解.
∴这种商品的单价为60元.
(2)第二次采购这种商品时的单价为$60-20=40$(元)，
甲第二次采购这种商品的数量为$2\ 400÷40=60$(件)，
乙第二次采购这种商品的总价为$(3\ 000÷60)×40=2\ 000$(元).
∴甲两次采购这种商品的平均单价为
$2\ 400×2÷(\frac{2\ 400}{60}+60)=48$(元)，
乙两次采购这种商品的平均单价为
$(3\ 000+2\ 000)÷(\frac{3\ 000}{60}×2)=50$(元).
(3) 金额
根据题意，得$\frac{3\ 000}{x}-\frac{2\ 400}{x}=10$.
解得$x=60$.
经检验，$x=60$是原分式方程的解.
∴这种商品的单价为60元.
(2)第二次采购这种商品时的单价为$60-20=40$(元)，
甲第二次采购这种商品的数量为$2\ 400÷40=60$(件)，
乙第二次采购这种商品的总价为$(3\ 000÷60)×40=2\ 000$(元).
∴甲两次采购这种商品的平均单价为
$2\ 400×2÷(\frac{2\ 400}{60}+60)=48$(元)，
乙两次采购这种商品的平均单价为
$(3\ 000+2\ 000)÷(\frac{3\ 000}{60}×2)=50$(元).
(3) 金额
解析
【分析】
(1) 求解商品单价时，可直接设单价为未知数，根据“数量=总价÷单价”分别表示出甲、乙的采购量，再结合“甲采购的商品比乙少10件”的等量关系列分式方程，求解后需检验根是否符合实际意义。
(2) 先算出第二次采购的单价，再分别统计甲、乙两次采购的总花费和总采购量，根据“平均单价=总花费÷总采购量”分别计算两人的平均单价即可。
(3) 对比两人的平均单价，甲为固定采购金额、乙为固定采购数量，平均单价更低的采购方式更合算，对应得出结论即可。
【解析】
(1) 设这种商品的单价为$x$元。
根据题意，得$\frac{3\ 000}{x}-\frac{2\ 400}{x}=10$。
解得$x=60$。
经检验，$x=60$是原分式方程的解，且符合实际意义。
∴这种商品的单价为60元。
(2) 第二次采购这种商品时的单价为$60-20=40$(元)，
甲第二次采购的数量为$2\ 400÷40=60$(件)，甲第一次采购数量为$2400÷60=40$(件)，
甲两次总花费为$2400×2=4800$元，总数量为$40+60=100$件，
甲的平均单价为$4800÷100=48$(元)；
乙第一次采购的数量为$3\ 000÷60=50$(件)，乙第二次采购数量与第一次相同，第二次总花费为$50×40=2000$(元)，
乙两次总花费为$3000+2000=5000$元，总数量为$50×2=100$件，
乙的平均单价为$5000÷100=50$(元)。
(3) 对比可得48＜50，固定采购金额的平均单价更低，因此按相同金额加油更合算。
【答案】
(1) 60元
(2) 甲的平均单价为48元，乙的平均单价为50元
(3) 金额
【知识点】
分式方程的应用；平均数计算；方案决策
【点评】
本题结合生活采购场景设计题目，既考查了分式方程的列解步骤（注意根的检验），又考查了平均量的计算逻辑，还能引导学生将数学知识运用到日常消费决策中，实用性较强。解题核心是找准数量关系，明确平均单价的计算方法。
【难度系数】
0.7
(1) 求解商品单价时，可直接设单价为未知数，根据“数量=总价÷单价”分别表示出甲、乙的采购量，再结合“甲采购的商品比乙少10件”的等量关系列分式方程，求解后需检验根是否符合实际意义。
(2) 先算出第二次采购的单价，再分别统计甲、乙两次采购的总花费和总采购量，根据“平均单价=总花费÷总采购量”分别计算两人的平均单价即可。
(3) 对比两人的平均单价，甲为固定采购金额、乙为固定采购数量，平均单价更低的采购方式更合算，对应得出结论即可。
【解析】
(1) 设这种商品的单价为$x$元。
根据题意，得$\frac{3\ 000}{x}-\frac{2\ 400}{x}=10$。
解得$x=60$。
经检验，$x=60$是原分式方程的解，且符合实际意义。
∴这种商品的单价为60元。
(2) 第二次采购这种商品时的单价为$60-20=40$(元)，
甲第二次采购的数量为$2\ 400÷40=60$(件)，甲第一次采购数量为$2400÷60=40$(件)，
甲两次总花费为$2400×2=4800$元，总数量为$40+60=100$件，
甲的平均单价为$4800÷100=48$(元)；
乙第一次采购的数量为$3\ 000÷60=50$(件)，乙第二次采购数量与第一次相同，第二次总花费为$50×40=2000$(元)，
乙两次总花费为$3000+2000=5000$元，总数量为$50×2=100$件，
乙的平均单价为$5000÷100=50$(元)。
(3) 对比可得48＜50，固定采购金额的平均单价更低，因此按相同金额加油更合算。
【答案】
(1) 60元
(2) 甲的平均单价为48元，乙的平均单价为50元
(3) 金额
【知识点】
分式方程的应用；平均数计算；方案决策
【点评】
本题结合生活采购场景设计题目，既考查了分式方程的列解步骤（注意根的检验），又考查了平均量的计算逻辑，还能引导学生将数学知识运用到日常消费决策中，实用性较强。解题核心是找准数量关系，明确平均单价的计算方法。
【难度系数】
0.7
6. 佳佳水果店在批发市场购买某种水果，第一次用1200元购买了若干千克，并以8元/千克的价格出售，很快售完. 由于畅销，第二次购买该水果时，每千克的进价比第一次提高了10%，用1452元所购买的水果比第一次购买的多20 kg，以9元/千克的价格售出100 kg后，因出现高温天气，水果不易保鲜，为减少损失，便降价50%售完剩余水果.
(1)求第一次购买水果的进价.
(2)该水果店在这两次销售中，总体上是盈利还是亏损？盈利或亏损了多少元？
(1)求第一次购买水果的进价.
(2)该水果店在这两次销售中，总体上是盈利还是亏损？盈利或亏损了多少元？
答案
(1)设第一次购买水果的进价为x元/千克.
根据题意，得$\frac{1\ 452}{(1+10\%)x}-\frac{1\ 200}{x}=20$.
解得$x=6$.
经检验，$x=6$是原分式方程的解.
∴第一次购买水果的进价为6元/千克.
(2)第一次购买水果$1\ 200÷6=200(\mathrm{kg})$.
第二次购买水果$200+20=220(\mathrm{kg})$.
第一次盈利$200×(8-6)=400(\mathrm{元})$.
第二次盈利$100×(9-6×1.1)+120×(9×50\%-6×1.1)=-12(\mathrm{元})$.
两次共盈利$400-12=388(\mathrm{元})$.
根据题意，得$\frac{1\ 452}{(1+10\%)x}-\frac{1\ 200}{x}=20$.
解得$x=6$.
经检验，$x=6$是原分式方程的解.
∴第一次购买水果的进价为6元/千克.
(2)第一次购买水果$1\ 200÷6=200(\mathrm{kg})$.
第二次购买水果$200+20=220(\mathrm{kg})$.
第一次盈利$200×(8-6)=400(\mathrm{元})$.
第二次盈利$100×(9-6×1.1)+120×(9×50\%-6×1.1)=-12(\mathrm{元})$.
两次共盈利$400-12=388(\mathrm{元})$.
解析
【分析】
(1) 求第一次购买水果的进价，可设进价为x元/千克，先表示出第二次进价为(1+10%)x元/千克，再根据“第二次购买的重量 - 第一次购买的重量=20kg”的等量关系列分式方程求解，注意分式方程求解后要检验根是否符合实际意义。
(2) 判断总体盈亏，需先算出两次购买水果的重量，再分别计算两次销售的利润，最后将两次利润相加，结果为正则盈利，为负则亏损。计算第二次利润时要注意分两段核算：按9元/千克售出的100kg、降价50%后售出的剩余部分，分别计算每部分利润后再求和。
【解析】
(1) 设第一次购买水果的进价为x元/千克，则第二次的进价为(1+10%)x元/千克。
根据题意列方程：
$\frac{1452}{(1+10\%)x}-\frac{1200}{x}=20$
解方程：化简得$\frac{1452}{1.1x}-\frac{1200}{x}=20$，去分母得$1452-1320=22x$，解得$x=6$。
检验：当$x=6$时，$1.1x=6.6≠0$，$x≠0$，所以$x=6$是原分式方程的解，且符合实际意义。
(2) 第一次购买水果的重量：$1200÷6=200(\mathrm{kg})$
第二次购买水果的重量：$200+20=220(\mathrm{kg})$
第一次盈利：$200×(8-6)=400(\mathrm{元})$
第二次进价为$6×1.1=6.6$元/千克，前100kg利润为$100×(9-6.6)=240$元，剩余$220-100=120$kg的售价为$9×50\%=4.5$元/千克，这部分利润为$120×(4.5-6.6)=-252$元，第二次总盈利为$240-252=-12(\mathrm{元})$
两次总盈利：$400-12=388(\mathrm{元})$
【答案】
(1) 第一次购买水果的进价为6元/千克；
(2) 总体上盈利，盈利了388元。
【知识点】
分式方程的应用、销售利润计算、分式方程的检验
【点评】
本题是分式方程结合销售盈亏的典型应用题，解题关键是找准等量关系列方程，同时要注意分式方程必须验根，分段核算利润时要明确每段的售价和成本，避免粗心计算出错。
【难度系数】
0.7
(1) 求第一次购买水果的进价，可设进价为x元/千克，先表示出第二次进价为(1+10%)x元/千克，再根据“第二次购买的重量 - 第一次购买的重量=20kg”的等量关系列分式方程求解，注意分式方程求解后要检验根是否符合实际意义。
(2) 判断总体盈亏，需先算出两次购买水果的重量，再分别计算两次销售的利润，最后将两次利润相加，结果为正则盈利，为负则亏损。计算第二次利润时要注意分两段核算：按9元/千克售出的100kg、降价50%后售出的剩余部分，分别计算每部分利润后再求和。
【解析】
(1) 设第一次购买水果的进价为x元/千克，则第二次的进价为(1+10%)x元/千克。
根据题意列方程：
$\frac{1452}{(1+10\%)x}-\frac{1200}{x}=20$
解方程：化简得$\frac{1452}{1.1x}-\frac{1200}{x}=20$，去分母得$1452-1320=22x$，解得$x=6$。
检验：当$x=6$时，$1.1x=6.6≠0$，$x≠0$，所以$x=6$是原分式方程的解，且符合实际意义。
(2) 第一次购买水果的重量：$1200÷6=200(\mathrm{kg})$
第二次购买水果的重量：$200+20=220(\mathrm{kg})$
第一次盈利：$200×(8-6)=400(\mathrm{元})$
第二次进价为$6×1.1=6.6$元/千克，前100kg利润为$100×(9-6.6)=240$元，剩余$220-100=120$kg的售价为$9×50\%=4.5$元/千克，这部分利润为$120×(4.5-6.6)=-252$元，第二次总盈利为$240-252=-12(\mathrm{元})$
两次总盈利：$400-12=388(\mathrm{元})$
【答案】
(1) 第一次购买水果的进价为6元/千克；
(2) 总体上盈利，盈利了388元。
【知识点】
分式方程的应用、销售利润计算、分式方程的检验
【点评】
本题是分式方程结合销售盈亏的典型应用题，解题关键是找准等量关系列方程，同时要注意分式方程必须验根，分段核算利润时要明确每段的售价和成本，避免粗心计算出错。
【难度系数】
0.7
