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【例1】(2026长春月考)如图,为了测量旗杆BC的高度,在距离旗杆底部11 m的A处,用高1.50 m的测角仪DA测得旗杆顶端C的仰角α=49°.求旗杆BC的高(结果精确到0.1 m.参考数据:$\sin 49° \approx 0.75,\cos 49° \approx 0.66,\tan 49° \approx 1.15$).
答案
解:如图,过点 D 作 $DE ⊥ BC$ 于点 E，
则$∠ DEB=∠ DEC=∠ B=∠ A=90°$,
$\therefore$ 四边形 ABED 是矩形, $\therefore DE=AB=11\ \mathrm{m}$.
在 $\mathrm{Rt}△ CDE$ 中,$CE=DE · \tan 49° \approx 11 × 1.15 \approx 12.7(\mathrm{m})$,
故 $BC=BE+CE \approx 1.5+12.7=14.2(\mathrm{m})$.
答:旗杆 BC 的高约为 14.2 m.
解析
【分析】
这是一道利用仰角测量高度的实际应用题，解题思路如下：首先要将实际问题转化为几何问题，第一步构造包含仰角α的直角三角形，过点D作DE⊥BC于E，此时图形被分为矩形ABED和Rt△CDE；第二步利用矩形的性质可得DE=AB=11m，BE=AD=1.50m；第三步在Rt△CDE中，已知仰角α和邻边DE的长度，要求对边CE，选择正切三角函数即可求出CE的长度；最后将CE与BE相加即可得到旗杆BC的总高度。
【解析】
解：过点 D 作 $DE ⊥ BC$ 于点 E，
则$∠ DEB=∠ DEC=∠ B=∠ A=90°$，
∴ 四边形 ABED 是矩形，
∴ $DE=AB=11\ \mathrm{m}$，$BE=AD=1.50\ \mathrm{m}$。
在 $\mathrm{Rt}△ CDE$ 中，$\tanα=\frac{CE}{DE}$，
∴ $CE=DE · \tan 49° \approx 11 × 1.15 \approx 12.7(\mathrm{m})$，
故 $BC=BE+CE \approx 1.5+12.7=14.2(\mathrm{m})$。
【答案】
解:如图,过点 D 作 $DE ⊥ BC$ 于点 E，
则$∠ DEB=∠ DEC=∠ B=∠ A=90°$,
$\therefore$ 四边形 ABED 是矩形, $\therefore DE=AB=11\ \mathrm{m}$.
在 $\mathrm{Rt}△ CDE$ 中,$CE=DE · \tan 49° \approx 11 × 1.15 \approx 12.7(\mathrm{m})$,
故 $BC=BE+CE \approx 1.5+12.7=14.2(\mathrm{m})$.
答:旗杆 BC 的高约为 14.2 m.
【知识点】
仰角问题应用，矩形的性质，锐角三角函数应用
【点评】
本题是解直角三角形在实际测量中的典型基础题，解题的核心是通过作辅助线构造直角三角形与矩形，将实际测量的长度、角度对应到几何图形的边和角中，结合三角函数即可求解，解题时需注意不要遗漏测角仪的高度。
【难度系数】
0.8
这是一道利用仰角测量高度的实际应用题，解题思路如下：首先要将实际问题转化为几何问题，第一步构造包含仰角α的直角三角形，过点D作DE⊥BC于E，此时图形被分为矩形ABED和Rt△CDE；第二步利用矩形的性质可得DE=AB=11m，BE=AD=1.50m；第三步在Rt△CDE中，已知仰角α和邻边DE的长度，要求对边CE，选择正切三角函数即可求出CE的长度；最后将CE与BE相加即可得到旗杆BC的总高度。
【解析】
解：过点 D 作 $DE ⊥ BC$ 于点 E，
则$∠ DEB=∠ DEC=∠ B=∠ A=90°$，
∴ 四边形 ABED 是矩形，
∴ $DE=AB=11\ \mathrm{m}$，$BE=AD=1.50\ \mathrm{m}$。
在 $\mathrm{Rt}△ CDE$ 中，$\tanα=\frac{CE}{DE}$，
∴ $CE=DE · \tan 49° \approx 11 × 1.15 \approx 12.7(\mathrm{m})$，
故 $BC=BE+CE \approx 1.5+12.7=14.2(\mathrm{m})$。
【答案】
解:如图,过点 D 作 $DE ⊥ BC$ 于点 E，
则$∠ DEB=∠ DEC=∠ B=∠ A=90°$,
$\therefore$ 四边形 ABED 是矩形, $\therefore DE=AB=11\ \mathrm{m}$.
在 $\mathrm{Rt}△ CDE$ 中,$CE=DE · \tan 49° \approx 11 × 1.15 \approx 12.7(\mathrm{m})$,
故 $BC=BE+CE \approx 1.5+12.7=14.2(\mathrm{m})$.
答:旗杆 BC 的高约为 14.2 m.
【知识点】
仰角问题应用，矩形的性质，锐角三角函数应用
【点评】
本题是解直角三角形在实际测量中的典型基础题，解题的核心是通过作辅助线构造直角三角形与矩形，将实际测量的长度、角度对应到几何图形的边和角中，结合三角函数即可求解，解题时需注意不要遗漏测角仪的高度。
【难度系数】
0.8
【变式】某校数学兴趣小组的同学在教学楼顶端B处测得实验楼顶部点A的仰角为$10°$，已知两楼的间距CE为50 m，教学楼高BC为16 m(图中所有点均在同一平面内)，求实验楼的高度AE(结果保留整数，参考数据：$\sin 10° \approx 0.17$，$\cos 10° \approx 0.98$，$\tan 10° \approx 0.18$)。
答案
解:根据题意得,四边形 BCED 是矩形，
$\therefore BD=CE=50\ \mathrm{m},DE=BC=16\ \mathrm{m}$.
$\because ∠ ABD=10°$,
$\therefore AD=BD · \tan 10°=50 × \tan 10° \approx 9(\mathrm{m})$,
$\therefore AE=DE+AD \approx 16+9=25(\mathrm{m})$.
答:实验楼的高度 AE 约为 25 m.
$\therefore BD=CE=50\ \mathrm{m},DE=BC=16\ \mathrm{m}$.
$\because ∠ ABD=10°$,
$\therefore AD=BD · \tan 10°=50 × \tan 10° \approx 9(\mathrm{m})$,
$\therefore AE=DE+AD \approx 16+9=25(\mathrm{m})$.
答:实验楼的高度 AE 约为 25 m.
解析
【分析】
解决这道题首先要把实际场景转化为几何模型：首先观察图形，可判断四边形BCED是矩形，利用矩形对边相等的性质就能得到水平距离BD和实验楼底部到D点的高度DE；接着在Rt△ABD中，已知仰角∠ABD为10°，且已知邻边BD的长度，要求对边AD，选择正切函数即可求出AD的长度；最后将AD与DE相加，就能得到实验楼的总高度AE。
【解析】
解：根据题意得，四边形 BCED 是矩形，
$\therefore BD=CE=50\ \mathrm{m},DE=BC=16\ \mathrm{m}$。
$\because ∠ ABD=10°$，在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$\tan∠ ABD=\frac{AD}{BD}$，
$\therefore AD=BD · \tan 10°=50 × \tan 10° \approx 50×0.18=9(\mathrm{m})$，
$\therefore AE=DE+AD \approx 16+9=25(\mathrm{m})$。
【答案】
实验楼的高度AE约为25 m。
【知识点】
1. 解直角三角形的应用（仰角问题）；2. 矩形的性质
【点评】
本题是仰角相关的实际应用基础题，解题核心是构造合适的直角三角形，将实际问题转化为解直角三角形的问题，结合矩形的性质找到对应边长后，选用合适的三角函数即可求解。
【难度系数】
0.7
解决这道题首先要把实际场景转化为几何模型：首先观察图形，可判断四边形BCED是矩形，利用矩形对边相等的性质就能得到水平距离BD和实验楼底部到D点的高度DE；接着在Rt△ABD中，已知仰角∠ABD为10°，且已知邻边BD的长度，要求对边AD，选择正切函数即可求出AD的长度；最后将AD与DE相加，就能得到实验楼的总高度AE。
【解析】
解：根据题意得，四边形 BCED 是矩形，
$\therefore BD=CE=50\ \mathrm{m},DE=BC=16\ \mathrm{m}$。
$\because ∠ ABD=10°$，在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$\tan∠ ABD=\frac{AD}{BD}$，
$\therefore AD=BD · \tan 10°=50 × \tan 10° \approx 50×0.18=9(\mathrm{m})$，
$\therefore AE=DE+AD \approx 16+9=25(\mathrm{m})$。
【答案】
实验楼的高度AE约为25 m。
【知识点】
1. 解直角三角形的应用（仰角问题）；2. 矩形的性质
【点评】
本题是仰角相关的实际应用基础题，解题核心是构造合适的直角三角形，将实际问题转化为解直角三角形的问题，结合矩形的性质找到对应边长后，选用合适的三角函数即可求解。
【难度系数】
0.7
【例2】(2026襄阳期末)如图，小聪在B处操作无人机，无人机于空中A处探测到目标C，此时飞行高度AC=100 m，从无人机上观测地平面B处的俯角α=23.6°.求此时无人机与小聪的距离AB(参考数据:sin 23.6°≈0.4).
答案
解:如图，
$\because AD // BC$,
$\therefore ∠ B=α=23.6°$,
在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中, $\because \sin B=\frac{AC}{AB}$,
$\therefore AB=\frac{AC}{\sin B} \approx \frac{100}{0.4}=250(\mathrm{m})$.
$\therefore$ 此时无人机与小聪的距离 AB 约为 250 m.
解析
【分析】
解题时首先明确俯角的定义：俯角是观测点处的水平线与向下观测目标的视线的夹角。本题中过A的水平线AD与地面BC平行，根据平行线内错角相等的性质，可将俯角α转化为Rt△ABC的内角∠B。已知Rt△ABC中∠C=90°，AC是∠B的对边，AB是待求的斜边，结合正弦函数的定义即可建立边角关系，代入数据计算就能得到AB的长度。
【解析】
解：由题意可知AD//BC，
∴∠B=α=23.6°，
在Rt△ABC中，∠C=90°，根据三角函数定义可得：
$\sin B=\frac{AC}{AB}$，
变形得$AB=\frac{AC}{\sin B}$，
将AC=100m，$\sin 23.6°\approx0.4$代入得：
$AB\approx\frac{100}{0.4}=250(\mathrm{m})$。
【答案】
如图，
$\because AD // BC$,
$\therefore ∠ B=α=23.6°$,
在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中, $\because \sin B=\frac{AC}{AB}$,
$\therefore AB=\frac{AC}{\sin B} \approx \frac{100}{0.4}=250(\mathrm{m})$.
$\therefore$ 此时无人机与小聪的距离 AB 约为 250 m.
【知识点】
俯角的概念、平行线的性质、解直角三角形
【点评】
本题是解直角三角形的基础应用类题型，核心是将实际场景中的俯角转化为直角三角形的内角，再结合三角函数的定义列式计算，重点考查对几何概念的理解和基础计算能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确俯角的定义：俯角是观测点处的水平线与向下观测目标的视线的夹角。本题中过A的水平线AD与地面BC平行，根据平行线内错角相等的性质，可将俯角α转化为Rt△ABC的内角∠B。已知Rt△ABC中∠C=90°，AC是∠B的对边，AB是待求的斜边，结合正弦函数的定义即可建立边角关系，代入数据计算就能得到AB的长度。
【解析】
解：由题意可知AD//BC，
∴∠B=α=23.6°，
在Rt△ABC中，∠C=90°，根据三角函数定义可得：
$\sin B=\frac{AC}{AB}$，
变形得$AB=\frac{AC}{\sin B}$，
将AC=100m，$\sin 23.6°\approx0.4$代入得：
$AB\approx\frac{100}{0.4}=250(\mathrm{m})$。
【答案】
如图，
$\because AD // BC$,
$\therefore ∠ B=α=23.6°$,
在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中, $\because \sin B=\frac{AC}{AB}$,
$\therefore AB=\frac{AC}{\sin B} \approx \frac{100}{0.4}=250(\mathrm{m})$.
$\therefore$ 此时无人机与小聪的距离 AB 约为 250 m.
【知识点】
俯角的概念、平行线的性质、解直角三角形
【点评】
本题是解直角三角形的基础应用类题型，核心是将实际场景中的俯角转化为直角三角形的内角，再结合三角函数的定义列式计算，重点考查对几何概念的理解和基础计算能力。
【难度系数】
0.7
