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【变式1】如图，△ABC底边BC上的高为$h_1$，△PQR底边QR上的高为$h_2$，则有（
A.$h_1=h_2$
B.$h_1＜h_2$
C.$h_1＞h_2$
D.以上都有可能
A
）A.$h_1=h_2$
B.$h_1＜h_2$
C.$h_1＞h_2$
D.以上都有可能
答案
A
解析
【分析】
要比较$h_1$和$h_2$的大小，我们可以结合已知的边长和角度，通过解直角三角形分别求出两个高的表达式再对比。首先，$△ ABC$中已知$AC=5$，$∠ C=55°$，$BC$边上的高$h_1$是点$A$到$BC$的垂线段，可在高与$AC$构成的直角三角形中，用正弦函数表示$h_1$；$△ PQR$中已知$PR=5$，$∠ PRQ=125°$，$QR$边上的高$h_2$是点$P$到$QR$所在直线的垂线段，先求$125°$的补角，再用正弦函数表示$h_2$，最后比较两个表达式即可得出结论。
【解析】
1. 求$h_1$的长度：
过点$A$作$AD⊥ BC$于点$D$，即$AD = h_1$。
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，$∠ ADC=90°$，$AC=5$，$∠ C=55°$，根据正弦函数的定义：
$\sin C = \frac{AD}{AC}$
因此 $h_1 = AD = AC · \sin55° = 5\sin55°$。
2. 求$h_2$的长度：
过点$P$作$PE⊥ QR$，交$QR$的延长线于点$E$，即$PE = h_2$。
$\because∠ PRQ=125°$，$\therefore$邻补角$∠ PRE = 180° - 125° = 55°$。
在$\mathrm{Rt}△ PRE$中，$∠ PER=90°$，$PR=5$，根据正弦函数的定义：
$\sin∠ PRE = \frac{PE}{PR}$
因此 $h_2 = PE = PR · \sin55° = 5\sin55°$。
综上可得$h_1 = h_2$。
【答案】
A
【知识点】
三角形高的定义；锐角三角函数的定义；补角的性质
【点评】
本题重点考查解直角三角形的实际应用，解题的关键是正确作出三角形的高，将钝角三角形的高转化为其钝角补角的三角函数值进行计算，不要直接用钝角代入三角函数计算，避免出现概念错误。
【难度系数】
0.7
要比较$h_1$和$h_2$的大小，我们可以结合已知的边长和角度，通过解直角三角形分别求出两个高的表达式再对比。首先，$△ ABC$中已知$AC=5$，$∠ C=55°$，$BC$边上的高$h_1$是点$A$到$BC$的垂线段，可在高与$AC$构成的直角三角形中，用正弦函数表示$h_1$；$△ PQR$中已知$PR=5$，$∠ PRQ=125°$，$QR$边上的高$h_2$是点$P$到$QR$所在直线的垂线段，先求$125°$的补角，再用正弦函数表示$h_2$，最后比较两个表达式即可得出结论。
【解析】
1. 求$h_1$的长度：
过点$A$作$AD⊥ BC$于点$D$，即$AD = h_1$。
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，$∠ ADC=90°$，$AC=5$，$∠ C=55°$，根据正弦函数的定义：
$\sin C = \frac{AD}{AC}$
因此 $h_1 = AD = AC · \sin55° = 5\sin55°$。
2. 求$h_2$的长度：
过点$P$作$PE⊥ QR$，交$QR$的延长线于点$E$，即$PE = h_2$。
$\because∠ PRQ=125°$，$\therefore$邻补角$∠ PRE = 180° - 125° = 55°$。
在$\mathrm{Rt}△ PRE$中，$∠ PER=90°$，$PR=5$，根据正弦函数的定义：
$\sin∠ PRE = \frac{PE}{PR}$
因此 $h_2 = PE = PR · \sin55° = 5\sin55°$。
综上可得$h_1 = h_2$。
【答案】
A
【知识点】
三角形高的定义；锐角三角函数的定义；补角的性质
【点评】
本题重点考查解直角三角形的实际应用，解题的关键是正确作出三角形的高，将钝角三角形的高转化为其钝角补角的三角函数值进行计算，不要直接用钝角代入三角函数计算，避免出现概念错误。
【难度系数】
0.7
【变式2】在$△ ABC$中，$AB=12$，$AC=\sqrt{39}$，$∠ B=30°$，则$△ ABC$的面积是$\underline{\hspace{5cm}}$。
答案
$21\sqrt{3}$ 或 $15\sqrt{3}$
解析
【分析】
要求△ABC的面积，已知∠B=30°及AB、AC的长度，可通过过点A作BC边上的高AD，将斜三角形转化为两个直角三角形求解。首先利用含30°角的直角三角形的性质求出高AD和BD的长度，再用勾股定理求出DC的长度。注意“已知两边及其中一边的对角”的三角形存在两种情况（高在三角形内部、高在三角形外部），需分类讨论得到BC的两个长度，最终计算出两种情况下的三角形面积。
【解析】
过点A作AD⊥BC，交BC（或BC的延长线）于点D。
① 当高AD在△ABC内部时：
在Rt△ABD中，∠B=30°，AB=12，
∴ $AD = AB · \sin30° = 12 × \frac{1}{2} = 6$，
$BD = AB · \cos30° = 12 × \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$。
在Rt△ADC中，$AC=\sqrt{39}$，$AD=6$，由勾股定理得：
$DC = \sqrt{AC^2 - AD^2} = \sqrt{(\sqrt{39})^2 - 6^2} = \sqrt{39 - 36} = \sqrt{3}$，
此时$BC = BD + DC = 6\sqrt{3} + \sqrt{3} = 7\sqrt{3}$，
△ABC的面积$S = \frac{1}{2} × BC × AD = \frac{1}{2} × 7\sqrt{3} × 6 = 21\sqrt{3}$。
② 当高AD在△ABC外部时（即∠ACB为钝角）：
同理可得$AD=6$，$BD=6\sqrt{3}$，$DC=\sqrt{3}$，
此时$BC = BD - DC = 6\sqrt{3} - \sqrt{3} = 5\sqrt{3}$，
△ABC的面积$S = \frac{1}{2} × BC × AD = \frac{1}{2} × 5\sqrt{3} × 6 = 15\sqrt{3}$。
【答案】
$21\sqrt{3}$ 或 $15\sqrt{3}$
【知识点】
含30°角的直角三角形性质，勾股定理，三角形面积计算
【点评】
本题属于解直角三角形的常规题型，解题核心是通过作高将斜三角形转化为直角三角形处理，需要注意SSA型三角形存在双解的情况，分类讨论避免漏解是解题的关键。
【难度系数】
0.6
要求△ABC的面积，已知∠B=30°及AB、AC的长度，可通过过点A作BC边上的高AD，将斜三角形转化为两个直角三角形求解。首先利用含30°角的直角三角形的性质求出高AD和BD的长度，再用勾股定理求出DC的长度。注意“已知两边及其中一边的对角”的三角形存在两种情况（高在三角形内部、高在三角形外部），需分类讨论得到BC的两个长度，最终计算出两种情况下的三角形面积。
【解析】
过点A作AD⊥BC，交BC（或BC的延长线）于点D。
① 当高AD在△ABC内部时：
在Rt△ABD中，∠B=30°，AB=12，
∴ $AD = AB · \sin30° = 12 × \frac{1}{2} = 6$，
$BD = AB · \cos30° = 12 × \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$。
在Rt△ADC中，$AC=\sqrt{39}$，$AD=6$，由勾股定理得：
$DC = \sqrt{AC^2 - AD^2} = \sqrt{(\sqrt{39})^2 - 6^2} = \sqrt{39 - 36} = \sqrt{3}$，
此时$BC = BD + DC = 6\sqrt{3} + \sqrt{3} = 7\sqrt{3}$，
△ABC的面积$S = \frac{1}{2} × BC × AD = \frac{1}{2} × 7\sqrt{3} × 6 = 21\sqrt{3}$。
② 当高AD在△ABC外部时（即∠ACB为钝角）：
同理可得$AD=6$，$BD=6\sqrt{3}$，$DC=\sqrt{3}$，
此时$BC = BD - DC = 6\sqrt{3} - \sqrt{3} = 5\sqrt{3}$，
△ABC的面积$S = \frac{1}{2} × BC × AD = \frac{1}{2} × 5\sqrt{3} × 6 = 15\sqrt{3}$。
【答案】
$21\sqrt{3}$ 或 $15\sqrt{3}$
【知识点】
含30°角的直角三角形性质，勾股定理，三角形面积计算
【点评】
本题属于解直角三角形的常规题型，解题核心是通过作高将斜三角形转化为直角三角形处理，需要注意SSA型三角形存在双解的情况，分类讨论避免漏解是解题的关键。
【难度系数】
0.6
1. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=5$，$∠ A=α$，那么$BC$的长是（
A.$\dfrac{5}{\sinα}$
B.$\dfrac{5}{\cosα}$
C.$5\tanα$
D.$5\sinα$
C
）A.$\dfrac{5}{\sinα}$
B.$\dfrac{5}{\cosα}$
C.$5\tanα$
D.$5\sinα$
答案
C
解析
【分析】
解决本题需先明确直角三角形中锐角三角函数的定义，首先确定∠A的对边和邻边：在∠C=90°的直角三角形中，∠A=α，其对边为BC，邻边为已知长度的AC，再结合正切函数的定义列式变形，即可求出BC的长度。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据锐角正切的定义：锐角的正切值等于该角的对边与邻边的比值，即$\tan A=\frac{\mathrm{∠A的对边}}{\mathrm{∠A的邻边}}$。
已知$∠ A=α$，$∠ A$的对边是$BC$，邻边$AC=5$，代入公式得：
$\tanα=\frac{BC}{5}$
等式两边同时乘5变形可得：$BC=5\tanα$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 正切函数定义
2. 直角三角形边角关系
【点评】
本题属于基础考查题，核心是锐角正切函数定义的应用，只要准确区分直角三角形中锐角对应的对边、邻边，熟记三角函数公式就能快速解答。
【难度系数】
0.9
解决本题需先明确直角三角形中锐角三角函数的定义，首先确定∠A的对边和邻边：在∠C=90°的直角三角形中，∠A=α，其对边为BC，邻边为已知长度的AC，再结合正切函数的定义列式变形，即可求出BC的长度。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据锐角正切的定义：锐角的正切值等于该角的对边与邻边的比值，即$\tan A=\frac{\mathrm{∠A的对边}}{\mathrm{∠A的邻边}}$。
已知$∠ A=α$，$∠ A$的对边是$BC$，邻边$AC=5$，代入公式得：
$\tanα=\frac{BC}{5}$
等式两边同时乘5变形可得：$BC=5\tanα$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 正切函数定义
2. 直角三角形边角关系
【点评】
本题属于基础考查题，核心是锐角正切函数定义的应用，只要准确区分直角三角形中锐角对应的对边、邻边，熟记三角函数公式就能快速解答。
【难度系数】
0.9
2. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$BC=\sqrt{5}$，$AB=2\sqrt{5}$，则$∠ A$的度数为（
A.$90°$
B.$60°$
C.$45°$
D.$30°$
D
）A.$90°$
B.$60°$
C.$45°$
D.$30°$
答案
D
解析
【分析】
本题是直角三角形求内角度数的问题，解题思路如下：首先明确在直角三角形中，锐角的正弦值等于对边与斜边的比值，我们要求∠A的度数，可先求出∠A的正弦值，再结合特殊角的三角函数值对应得到角度。首先确定∠A的对边是BC，斜边是AB，将已知边长代入正弦公式计算即可。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据锐角三角函数的定义：
$\sin A = \frac{∠ A\mathrm{的对边}}{\mathrm{斜边}} = \frac{BC}{AB}$
代入已知$BC=\sqrt{5}$，$AB=2\sqrt{5}$，得：
$\sin A = \frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{5}} = \frac{1}{2}$
因为$∠ A$是锐角，且$\sin30°=\frac{1}{2}$，所以$∠ A=30°$。
【答案】
D
【知识点】
解直角三角形；特殊角的三角函数值
【点评】
本题属于基础题，主要考查利用锐角三角函数求解直角三角形内角，熟记特殊角的三角函数值、掌握锐角三角函数的定义是解题的核心。
【难度系数】
0.8
本题是直角三角形求内角度数的问题，解题思路如下：首先明确在直角三角形中，锐角的正弦值等于对边与斜边的比值，我们要求∠A的度数，可先求出∠A的正弦值，再结合特殊角的三角函数值对应得到角度。首先确定∠A的对边是BC，斜边是AB，将已知边长代入正弦公式计算即可。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据锐角三角函数的定义：
$\sin A = \frac{∠ A\mathrm{的对边}}{\mathrm{斜边}} = \frac{BC}{AB}$
代入已知$BC=\sqrt{5}$，$AB=2\sqrt{5}$，得：
$\sin A = \frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{5}} = \frac{1}{2}$
因为$∠ A$是锐角，且$\sin30°=\frac{1}{2}$，所以$∠ A=30°$。
【答案】
D
【知识点】
解直角三角形；特殊角的三角函数值
【点评】
本题属于基础题，主要考查利用锐角三角函数求解直角三角形内角，熟记特殊角的三角函数值、掌握锐角三角函数的定义是解题的核心。
【难度系数】
0.8
3. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AB=4$，$\tan A=\sqrt{3}$，则$BC$的长为（
A.$3$
B.$2$
C.$\sqrt{3}$
D.$2\sqrt{3}$
D
）A.$3$
B.$2$
C.$\sqrt{3}$
D.$2\sqrt{3}$
答案
D
解析
【分析】
要解这道题，我们可以先利用锐角三角函数的定义或特殊角的三角函数值梳理边、角的关系，再结合已知斜边长度求解BC。首先，根据$\tan A=\sqrt{3}$的条件，既可以先确定∠A的度数，再用正弦函数求对边BC；也可以先得到BC和AC的比例关系，结合勾股定理列方程求解BC。
【解析】
解法一：
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，
∵$\tan A=\sqrt{3}$，且∠A是锐角，
∴$∠ A=60°$，
∴$\sin A=\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
又
∵$\sin A=\frac{BC}{AB}$，已知$AB=4$，
∴$BC=AB·\sin A=4×\frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}$。
解法二：
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，
$\tan A=\frac{BC}{AC}=\sqrt{3}$，可得$AC=\frac{BC}{\sqrt{3}}$，
由勾股定理得$AC^2+BC^2=AB^2$，代入$AB=4$得：
$(\frac{BC}{\sqrt{3}})^2+BC^2=16$，
整理得$\frac{4BC^2}{3}=16$，即$BC^2=12$，
∵边长为正数，
∴$BC=2\sqrt{3}$。
【答案】
D
【知识点】
解直角三角形，特殊角的三角函数值，勾股定理
【点评】
本题属于基础题，核心考查锐角三角函数的应用，只要熟练掌握特殊角的三角函数值、三角函数定义以及勾股定理，就能快速解答。
【难度系数】
0.8
要解这道题，我们可以先利用锐角三角函数的定义或特殊角的三角函数值梳理边、角的关系，再结合已知斜边长度求解BC。首先，根据$\tan A=\sqrt{3}$的条件，既可以先确定∠A的度数，再用正弦函数求对边BC；也可以先得到BC和AC的比例关系，结合勾股定理列方程求解BC。
【解析】
解法一：
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，
∵$\tan A=\sqrt{3}$，且∠A是锐角，
∴$∠ A=60°$，
∴$\sin A=\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
又
∵$\sin A=\frac{BC}{AB}$，已知$AB=4$，
∴$BC=AB·\sin A=4×\frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}$。
解法二：
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，
$\tan A=\frac{BC}{AC}=\sqrt{3}$，可得$AC=\frac{BC}{\sqrt{3}}$，
由勾股定理得$AC^2+BC^2=AB^2$，代入$AB=4$得：
$(\frac{BC}{\sqrt{3}})^2+BC^2=16$，
整理得$\frac{4BC^2}{3}=16$，即$BC^2=12$，
∵边长为正数，
∴$BC=2\sqrt{3}$。
【答案】
D
【知识点】
解直角三角形，特殊角的三角函数值，勾股定理
【点评】
本题属于基础题，核心考查锐角三角函数的应用，只要熟练掌握特殊角的三角函数值、三角函数定义以及勾股定理，就能快速解答。
【难度系数】
0.8
4. (2026 菏泽期中)在 Rt△ABC 中，∠C=90°，cos B=$\frac{2}{3}$，BC=6，则 AB 的长为
9
。答案
9
解析
【分析】
解题时首先梳理已知条件：题目给出Rt△ABC中∠C=90°，cosB=$\frac{2}{3}$，BC=6，目标是求AB的长度。首先回忆锐角余弦的定义：在直角三角形中，一个锐角的余弦值等于该角的邻边与斜边的比值。接下来确定∠B的邻边和斜边：∠B和直角顶点C共同连接的边BC是∠B的邻边，直角∠C所对的边AB是三角形的斜边，由此可以得到cosB和BC、AB的数量关系，代入已知数值即可求解AB。
【解析】
在Rt△ABC中，∠C=90°，根据锐角余弦的定义可得：
$\cos B = \frac{∠ B的邻边}{斜边} = \frac{BC}{AB}$
将$\cos B=\frac{2}{3}$，$BC=6$代入上式：
$\frac{2}{3} = \frac{6}{AB}$
解得：$AB = 6 ÷ \frac{2}{3} = 9$
【答案】
9
【知识点】
余弦的定义；解直角三角形
【点评】
本题是基础题型，重点考查锐角三角函数中余弦定义的应用，解题核心是准确对应直角三角形中锐角的邻边、斜边和三角函数的关系，代入数值计算即可。
【难度系数】
0.8
解题时首先梳理已知条件：题目给出Rt△ABC中∠C=90°，cosB=$\frac{2}{3}$，BC=6，目标是求AB的长度。首先回忆锐角余弦的定义：在直角三角形中，一个锐角的余弦值等于该角的邻边与斜边的比值。接下来确定∠B的邻边和斜边：∠B和直角顶点C共同连接的边BC是∠B的邻边，直角∠C所对的边AB是三角形的斜边，由此可以得到cosB和BC、AB的数量关系，代入已知数值即可求解AB。
【解析】
在Rt△ABC中，∠C=90°，根据锐角余弦的定义可得：
$\cos B = \frac{∠ B的邻边}{斜边} = \frac{BC}{AB}$
将$\cos B=\frac{2}{3}$，$BC=6$代入上式：
$\frac{2}{3} = \frac{6}{AB}$
解得：$AB = 6 ÷ \frac{2}{3} = 9$
【答案】
9
【知识点】
余弦的定义；解直角三角形
【点评】
本题是基础题型，重点考查锐角三角函数中余弦定义的应用，解题核心是准确对应直角三角形中锐角的邻边、斜边和三角函数的关系，代入数值计算即可。
【难度系数】
0.8
5. (2025无锡月考)如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ C=90°$,点D在线段AC上,且$∠ A=30°$,$∠ BDC=60°$,$AD=2$,则$BC=$
$\sqrt{3}$
.答案
$\sqrt{3}$
解析
【分析】
解题思路如下：第一步，利用三角形外角的性质求出∠ABD的度数，通过等角对等边得到BD与AD的等量关系，求出BD的长度；第二步，在Rt△BDC中，结合特殊角的三角函数值或直角三角形的性质计算BC的长度。首先观察到∠BDC是△ABD的外角，可推导角的关系得到等腰三角形，将已知AD的长度转化为BD的长度，再放在含60°角的直角三角形中求解边长即可。
【解析】
∵∠BDC是△ABD的外角，
∴∠BDC = ∠A + ∠ABD，
将∠A=30°，∠BDC=60°代入得：
∠ABD = 60° - 30° = 30°，
∴∠ABD = ∠A，
∴BD = AD = 2，
在Rt△BCD中，∠C=90°，∠BDC=60°，
由三角函数的定义得：$\sin∠ BDC=\frac{BC}{BD}$，
即$\sin60°=\frac{BC}{2}$，
∴$BC=2×\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$。
【答案】
$\sqrt{3}$
【知识点】
三角形外角性质；等腰三角形判定；特殊角的三角函数
【点评】
本题是解直角三角形的基础题型，解题的核心是通过角的关系推导出BD=AD，将已知线段长度转化为直角三角形的边长，再结合特殊角的性质计算待求线段，解题时要注意角的关系的挖掘，避免直接在大直角三角形中盲目设未知数列方程。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：第一步，利用三角形外角的性质求出∠ABD的度数，通过等角对等边得到BD与AD的等量关系，求出BD的长度；第二步，在Rt△BDC中，结合特殊角的三角函数值或直角三角形的性质计算BC的长度。首先观察到∠BDC是△ABD的外角，可推导角的关系得到等腰三角形，将已知AD的长度转化为BD的长度，再放在含60°角的直角三角形中求解边长即可。
【解析】
∵∠BDC是△ABD的外角，
∴∠BDC = ∠A + ∠ABD，
将∠A=30°，∠BDC=60°代入得：
∠ABD = 60° - 30° = 30°，
∴∠ABD = ∠A，
∴BD = AD = 2，
在Rt△BCD中，∠C=90°，∠BDC=60°，
由三角函数的定义得：$\sin∠ BDC=\frac{BC}{BD}$，
即$\sin60°=\frac{BC}{2}$，
∴$BC=2×\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$。
【答案】
$\sqrt{3}$
【知识点】
三角形外角性质；等腰三角形判定；特殊角的三角函数
【点评】
本题是解直角三角形的基础题型，解题的核心是通过角的关系推导出BD=AD，将已知线段长度转化为直角三角形的边长，再结合特殊角的性质计算待求线段，解题时要注意角的关系的挖掘，避免直接在大直角三角形中盲目设未知数列方程。
【难度系数】
0.7
6. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ A$，$∠ B$，$∠ C$的对边分别是$a$，$b$，$c$，根据下列条件解直角三角形。
(1)$∠ B=60°$，$c=8$；
(2)$a=2\sqrt{2}$，$c=4$。
(1)$∠ B=60°$，$c=8$；
(2)$a=2\sqrt{2}$，$c=4$。
答案
解:(1)$\because ∠ C=90°,∠ B=60°,$
$\therefore ∠ A=180°-∠ C-∠ B=180°-90°-60°=30°.$
$\because c=8,\therefore \sin A=\sin 30°=\frac{a}{c}=\frac{a}{8}=\frac{1}{2},$
$\therefore a=4,\therefore b=\sqrt{c^2-a^2}=\sqrt{8^2-4^2}=4\sqrt{3}.$
(2)$\because a=2\sqrt{2},c=4,$
$\therefore b=\sqrt{c^2-a^2}=\sqrt{4^2-(2\sqrt{2})^2}=2\sqrt{2},$
$\therefore \sin A=\frac{a}{c}=\frac{2\sqrt{2}}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2},\sin B=\frac{b}{c}=\frac{2\sqrt{2}}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2},$
$\therefore ∠ A=∠ B=45°.$
$\therefore ∠ A=180°-∠ C-∠ B=180°-90°-60°=30°.$
$\because c=8,\therefore \sin A=\sin 30°=\frac{a}{c}=\frac{a}{8}=\frac{1}{2},$
$\therefore a=4,\therefore b=\sqrt{c^2-a^2}=\sqrt{8^2-4^2}=4\sqrt{3}.$
(2)$\because a=2\sqrt{2},c=4,$
$\therefore b=\sqrt{c^2-a^2}=\sqrt{4^2-(2\sqrt{2})^2}=2\sqrt{2},$
$\therefore \sin A=\frac{a}{c}=\frac{2\sqrt{2}}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2},\sin B=\frac{b}{c}=\frac{2\sqrt{2}}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2},$
$\therefore ∠ A=∠ B=45°.$
解析
【分析】
解直角三角形的核心是求出所有未知的边和角：
(1) 已知直角三角形的一个锐角和斜边，首先利用三角形内角和求出剩余锐角，再结合锐角三角函数定义求出其中一条直角边，最后用勾股定理求出另一条直角边即可。
(2) 已知直角三角形的一条直角边和斜边，首先利用勾股定理求出剩余直角边，再结合锐角三角函数的特殊值求出两个锐角的度数即可。
【解析】
(1) $\because ∠C=90°,∠B=60°,$
$\therefore ∠A=180°-∠C-∠B=180°-90°-60°=30°.$
$\because c=8,\therefore \sin A=\sin 30°=\frac{a}{c}=\frac{a}{8}=\frac{1}{2},$
$\therefore a=4,\therefore b=\sqrt{c^2-a^2}=\sqrt{8^2-4^2}=4\sqrt{3}.$
(2) $\because a=2\sqrt{2},c=4,$
$\therefore b=\sqrt{c^2-a^2}=\sqrt{4^2-(2\sqrt{2})^2}=2\sqrt{2},$
$\therefore \sin A=\frac{a}{c}=\frac{2\sqrt{2}}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2},\sin B=\frac{b}{c}=\frac{2\sqrt{2}}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2},$
$\therefore ∠A=∠B=45°.$
【答案】
(1) $∠A=30°,a=4,b=4\sqrt{3}$
(2) $b=2\sqrt{2},∠A=45°,∠B=45°$
【知识点】
直角三角形性质，勾股定理，锐角三角函数
【点评】
本题是解直角三角形的基础题型，覆盖了两类常见考法：已知一边一锐角解直角三角形、已知两边解直角三角形，熟练掌握相关定理和特殊角的三角函数值即可快速解答。
【难度系数】
0.8
解直角三角形的核心是求出所有未知的边和角：
(1) 已知直角三角形的一个锐角和斜边，首先利用三角形内角和求出剩余锐角，再结合锐角三角函数定义求出其中一条直角边，最后用勾股定理求出另一条直角边即可。
(2) 已知直角三角形的一条直角边和斜边，首先利用勾股定理求出剩余直角边，再结合锐角三角函数的特殊值求出两个锐角的度数即可。
【解析】
(1) $\because ∠C=90°,∠B=60°,$
$\therefore ∠A=180°-∠C-∠B=180°-90°-60°=30°.$
$\because c=8,\therefore \sin A=\sin 30°=\frac{a}{c}=\frac{a}{8}=\frac{1}{2},$
$\therefore a=4,\therefore b=\sqrt{c^2-a^2}=\sqrt{8^2-4^2}=4\sqrt{3}.$
(2) $\because a=2\sqrt{2},c=4,$
$\therefore b=\sqrt{c^2-a^2}=\sqrt{4^2-(2\sqrt{2})^2}=2\sqrt{2},$
$\therefore \sin A=\frac{a}{c}=\frac{2\sqrt{2}}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2},\sin B=\frac{b}{c}=\frac{2\sqrt{2}}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2},$
$\therefore ∠A=∠B=45°.$
【答案】
(1) $∠A=30°,a=4,b=4\sqrt{3}$
(2) $b=2\sqrt{2},∠A=45°,∠B=45°$
【知识点】
直角三角形性质，勾股定理，锐角三角函数
【点评】
本题是解直角三角形的基础题型，覆盖了两类常见考法：已知一边一锐角解直角三角形、已知两边解直角三角形，熟练掌握相关定理和特殊角的三角函数值即可快速解答。
【难度系数】
0.8
7. (2025浙江二模)如图,在$△ ABC$中,$\tan B=1$,$BC=2$,中线$CD$垂直$BC$.
(1)求$AB$的长;
(2)求$\sin A$的值.
(1)求$AB$的长;
(2)求$\sin A$的值.
答案
解:(1)$\because \tan B=1,\therefore ∠ B=45°.$
又$\because CD⊥ BC,$
$BC=2,\therefore DB=\sqrt{2}BC=2\sqrt{2}.$
$\because CD$ 为中线,$\therefore AB=2BD=4\sqrt{2}.$
(2)如图,过点 $C$ 作 $CE⊥ DB$ 于点 $E$,
$\because CE⊥ DB,DB=2\sqrt{2},∠ B=∠ CDB=45°,$
$\therefore DE=CE=BE=\sqrt{2},\therefore AE=AB-BE=3\sqrt{2},$
$\therefore$ 在 $\mathrm{Rt}△ ACE$ 中,$AC=\sqrt{AE^2+CE^2}=2\sqrt{5},$
$\therefore \sin A=\frac{CE}{AC}=\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{10}}{10}.$
解析
【分析】
(1) 首先由$\tan B=1$可推出$∠ B=45°$，结合$CD⊥ BC$可判断$△ BCD$是等腰直角三角形，已知$BC=2$即可求出$BD$的长度；再根据$CD$是$△ ABC$的中线，可得$D$是$AB$中点，因此$AB=2BD$，即可求出$AB$的长。
(2) 要求$\sin A$的值，需要构造含$∠ A$的直角三角形，因此过$C$作$CE⊥ AB$于点$E$；先利用等腰直角三角形的性质求出$CE$、$BE$的长度，再计算$AE$的长度，通过勾股定理求出$AC$的长，最后根据正弦函数的定义，用$∠ A$的对边$CE$除以斜边$AC$即可得到$\sin A$的值。
【解析】
(1) $\because \tan B=1$，$\therefore ∠ B=45°$。
又$\because CD⊥ BC$，$∠ BCD=90°$，
$\therefore △ BCD$为等腰直角三角形，
$\because BC=2$，$\therefore DB=\sqrt{2}BC=2\sqrt{2}$。
$\because CD$为$△ ABC$的中线，即$D$是$AB$中点，
$\therefore AB=2BD=2×2\sqrt{2}=4\sqrt{2}$。
(2) 如图，过点$C$作$CE⊥ DB$于点$E$，
$\because CE⊥ DB$，$△ BCD$是等腰直角三角形，$DB=2\sqrt{2}$，$∠ B=∠ CDB=45°$，
$\therefore DE=CE=BE=\frac{1}{2}BD=\sqrt{2}$，
$\therefore AE=AB-BE=4\sqrt{2}-\sqrt{2}=3\sqrt{2}$，
在$\mathrm{Rt}△ ACE$中，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AE^2+CE^2}=\sqrt{(3\sqrt{2})^2+(\sqrt{2})^2}=2\sqrt{5}$，
$\therefore \sin A=\frac{CE}{AC}=\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{10}}{10}$。
【答案】
(1) $AB=4\sqrt{2}$；
(2) $\sin A=\frac{\sqrt{10}}{10}$。
【知识点】
锐角三角函数定义，等腰直角三角形性质，勾股定理
【点评】
本题是解直角三角形的常规题型，解题的关键是结合已知条件判断等腰直角三角形，通过作高构造直角三角形，结合中线性质和勾股定理完成计算，能够有效考查解直角三角形相关知识的运用能力。
【难度系数】
0.7
(1) 首先由$\tan B=1$可推出$∠ B=45°$，结合$CD⊥ BC$可判断$△ BCD$是等腰直角三角形，已知$BC=2$即可求出$BD$的长度；再根据$CD$是$△ ABC$的中线，可得$D$是$AB$中点，因此$AB=2BD$，即可求出$AB$的长。
(2) 要求$\sin A$的值，需要构造含$∠ A$的直角三角形，因此过$C$作$CE⊥ AB$于点$E$；先利用等腰直角三角形的性质求出$CE$、$BE$的长度，再计算$AE$的长度，通过勾股定理求出$AC$的长，最后根据正弦函数的定义，用$∠ A$的对边$CE$除以斜边$AC$即可得到$\sin A$的值。
【解析】
(1) $\because \tan B=1$，$\therefore ∠ B=45°$。
又$\because CD⊥ BC$，$∠ BCD=90°$，
$\therefore △ BCD$为等腰直角三角形，
$\because BC=2$，$\therefore DB=\sqrt{2}BC=2\sqrt{2}$。
$\because CD$为$△ ABC$的中线，即$D$是$AB$中点，
$\therefore AB=2BD=2×2\sqrt{2}=4\sqrt{2}$。
(2) 如图，过点$C$作$CE⊥ DB$于点$E$，
$\because CE⊥ DB$，$△ BCD$是等腰直角三角形，$DB=2\sqrt{2}$，$∠ B=∠ CDB=45°$，
$\therefore DE=CE=BE=\frac{1}{2}BD=\sqrt{2}$，
$\therefore AE=AB-BE=4\sqrt{2}-\sqrt{2}=3\sqrt{2}$，
在$\mathrm{Rt}△ ACE$中，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AE^2+CE^2}=\sqrt{(3\sqrt{2})^2+(\sqrt{2})^2}=2\sqrt{5}$，
$\therefore \sin A=\frac{CE}{AC}=\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{10}}{10}$。
【答案】
(1) $AB=4\sqrt{2}$；
(2) $\sin A=\frac{\sqrt{10}}{10}$。
【知识点】
锐角三角函数定义，等腰直角三角形性质，勾股定理
【点评】
本题是解直角三角形的常规题型，解题的关键是结合已知条件判断等腰直角三角形，通过作高构造直角三角形，结合中线性质和勾股定理完成计算，能够有效考查解直角三角形相关知识的运用能力。
【难度系数】
0.7
8. (2026西安月考)如图,在矩形ABCD中,点E是边BC上一点,连接DE,过A作AF⊥DE于点F,连接BF,若AB=BF,DF=3,$\sin∠ DAF=\frac{3}{5}$,则矩形ABCD的面积是
(
A.$\frac{50}{3}$
B.$\frac{75}{4}$
C.$\frac{65}{4}$
D.$\frac{40}{3}$
(
A
)A.$\frac{50}{3}$
B.$\frac{75}{4}$
C.$\frac{65}{4}$
D.$\frac{40}{3}$
答案
A
解析
【分析】
首先在Rt△AFD中，利用∠DAF的正弦值和已知DF的长度，先求出AD和AF的长；再结合AB=BF的条件，作BG⊥AF构造等腰三角形，利用三线合一得到AG的长度；最后通过角的互余关系证明△ABG与△DAF相似，利用相似比求出AB的长度，即可计算矩形的面积。
【解析】
1. 在$Rt△ AFD$中，$∠ AFD=90°$，故$∠ DAF + ∠ ADF = 90°$。
由$\sin∠ DAF=\frac{DF}{AD}=\frac{3}{5}$，已知$DF=3$，代入得$\frac{3}{AD}=\frac{3}{5}$，解得$AD=5$。
由勾股定理得$AF=\sqrt{AD^2-DF^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$。
2. 过点B作$BG⊥ AF$于点G，因为$AB=BF$，$△ ABF$为等腰三角形，由三线合一得G为AF中点，故$AG=\frac{1}{2}AF=2$。
3. 矩形ABCD中$∠ BAD=90°$，故$∠ BAF + ∠ DAF = 90°$，结合$∠ ADF + ∠ DAF=90°$，可得$∠ BAF=∠ ADF$。
又$∠ AGB=∠ DFA=90°$，故$△ ABG ∽ △ DAF$（AA相似判定）。
4. 由相似三角形对应边成比例：$\frac{AG}{DF}=\frac{AB}{AD}$，代入$AG=2,DF=3,AD=5$，得$\frac{2}{3}=\frac{AB}{5}$，解得$AB=\frac{10}{3}$。
5. 矩形ABCD的面积$S=AB· AD=\frac{10}{3}×5=\frac{50}{3}$。
【答案】
A
【知识点】
矩形的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形
【点评】
本题综合考查多个几何知识点的应用，解题的突破口是作辅助线构造相似三角形，将已知条件和未知线段通过相似比例关联起来，对学生的几何综合分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
首先在Rt△AFD中，利用∠DAF的正弦值和已知DF的长度，先求出AD和AF的长；再结合AB=BF的条件，作BG⊥AF构造等腰三角形，利用三线合一得到AG的长度；最后通过角的互余关系证明△ABG与△DAF相似，利用相似比求出AB的长度，即可计算矩形的面积。
【解析】
1. 在$Rt△ AFD$中，$∠ AFD=90°$，故$∠ DAF + ∠ ADF = 90°$。
由$\sin∠ DAF=\frac{DF}{AD}=\frac{3}{5}$，已知$DF=3$，代入得$\frac{3}{AD}=\frac{3}{5}$，解得$AD=5$。
由勾股定理得$AF=\sqrt{AD^2-DF^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$。
2. 过点B作$BG⊥ AF$于点G，因为$AB=BF$，$△ ABF$为等腰三角形，由三线合一得G为AF中点，故$AG=\frac{1}{2}AF=2$。
3. 矩形ABCD中$∠ BAD=90°$，故$∠ BAF + ∠ DAF = 90°$，结合$∠ ADF + ∠ DAF=90°$，可得$∠ BAF=∠ ADF$。
又$∠ AGB=∠ DFA=90°$，故$△ ABG ∽ △ DAF$（AA相似判定）。
4. 由相似三角形对应边成比例：$\frac{AG}{DF}=\frac{AB}{AD}$，代入$AG=2,DF=3,AD=5$，得$\frac{2}{3}=\frac{AB}{5}$，解得$AB=\frac{10}{3}$。
5. 矩形ABCD的面积$S=AB· AD=\frac{10}{3}×5=\frac{50}{3}$。
【答案】
A
【知识点】
矩形的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形
【点评】
本题综合考查多个几何知识点的应用，解题的突破口是作辅助线构造相似三角形，将已知条件和未知线段通过相似比例关联起来，对学生的几何综合分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
