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【例1】如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，已知$∠ C=90°$，$a=4$，$c=8$，解这个直角三角形。
答案
解:在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中，
$\because a^{2}+b^{2}=c^{2},a=4,c=8,$
$\therefore b=\sqrt{c^{2}-a^{2}}=\sqrt{8^{2}-4^{2}}=4\sqrt{3}.$
$\because \sin A=\frac{a}{c}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2},\therefore ∠ A=30°,$
$\therefore ∠ B=90°-30°=60°.$
$\because a^{2}+b^{2}=c^{2},a=4,c=8,$
$\therefore b=\sqrt{c^{2}-a^{2}}=\sqrt{8^{2}-4^{2}}=4\sqrt{3}.$
$\because \sin A=\frac{a}{c}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2},\therefore ∠ A=30°,$
$\therefore ∠ B=90°-30°=60°.$
解析
【分析】
解直角三角形需要求出所有未知的边和角，本题已知直角边$a=4$、斜边$c=8$，未知元素为直角边$b$、锐角$∠ A$和$∠ B$。解题思路如下：第一步，利用勾股定理计算未知直角边$b$；第二步，根据正弦函数的定义，结合$a$和$c$的比值求出$∠ A$的度数；第三步，利用直角三角形两锐角互余的性质计算$∠ B$的度数。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，
1. 求边$b$：
根据勾股定理$a^2+b^2=c^2$，代入$a=4$，$c=8$，得：
$b=\sqrt{c^2-a^2}=\sqrt{8^2-4^2}=\sqrt{64-16}=\sqrt{48}=4\sqrt{3}$
2. 求$∠ A$：
根据正弦函数的定义，$\sin A=\frac{∠ A\mathrm{的对边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{a}{c}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$，
结合特殊角的三角函数值，可得$∠ A=30°$
3. 求$∠ B$：
直角三角形两锐角互余，因此：
$∠ B=90°-∠ A=90°-30°=60°$
【答案】
$b=4\sqrt{3}$，$∠ A=30°$，$∠ B=60°$
【知识点】
勾股定理；锐角三角函数定义；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是解直角三角形的基础题型，解题核心是根据已知元素的特点，灵活选择勾股定理、锐角三角函数、直角三角形角的性质求解未知元素，需要熟练记忆特殊角的三角函数值，掌握二次根式的化简方法。
【难度系数】
0.8
解直角三角形需要求出所有未知的边和角，本题已知直角边$a=4$、斜边$c=8$，未知元素为直角边$b$、锐角$∠ A$和$∠ B$。解题思路如下：第一步，利用勾股定理计算未知直角边$b$；第二步，根据正弦函数的定义，结合$a$和$c$的比值求出$∠ A$的度数；第三步，利用直角三角形两锐角互余的性质计算$∠ B$的度数。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，
1. 求边$b$：
根据勾股定理$a^2+b^2=c^2$，代入$a=4$，$c=8$，得：
$b=\sqrt{c^2-a^2}=\sqrt{8^2-4^2}=\sqrt{64-16}=\sqrt{48}=4\sqrt{3}$
2. 求$∠ A$：
根据正弦函数的定义，$\sin A=\frac{∠ A\mathrm{的对边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{a}{c}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$，
结合特殊角的三角函数值，可得$∠ A=30°$
3. 求$∠ B$：
直角三角形两锐角互余，因此：
$∠ B=90°-∠ A=90°-30°=60°$
【答案】
$b=4\sqrt{3}$，$∠ A=30°$，$∠ B=60°$
【知识点】
勾股定理；锐角三角函数定义；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是解直角三角形的基础题型，解题核心是根据已知元素的特点，灵活选择勾股定理、锐角三角函数、直角三角形角的性质求解未知元素，需要熟练记忆特殊角的三角函数值，掌握二次根式的化简方法。
【难度系数】
0.8
【变式1】在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°,AC=16$，$\sin B=0.8$,则$BC$的长是 （
A.12
B.16
C.20
D.24
A
）A.12
B.16
C.20
D.24
答案
A
解析
【分析】
本题是解直角三角形的基础题，解题思路如下：首先回忆锐角正弦的定义：在直角三角形中，一个锐角的正弦值等于它的对边与斜边的比值，我们可以先利用∠B的正弦值和已知的直角边AC求出斜边AB的长度；再利用勾股定理，即可求出另一条直角边BC的长度。
【解析】
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，
根据锐角正弦的定义：$\sin B=\frac{∠ B的对边}{斜边}=\frac{AC}{AB}$，
已知$AC=16$，$\sin B=0.8$，代入得：
$0.8=\frac{16}{AB}$，解得$AB=\frac{16}{0.8}=20$。
再根据勾股定理：$AB^2=AC^2+BC^2$，变形得：
$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{20^2-16^2}=\sqrt{400-256}=\sqrt{144}=12$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
锐角三角函数的定义；勾股定理
【点评】
本题属于解直角三角形的基础常考题，核心是理清直角三角形中边角的对应关系，熟练掌握锐角三角函数定义和勾股定理即可快速求解，解题时要注意避免混淆三角函数的边角对应关系。
【难度系数】
0.8
本题是解直角三角形的基础题，解题思路如下：首先回忆锐角正弦的定义：在直角三角形中，一个锐角的正弦值等于它的对边与斜边的比值，我们可以先利用∠B的正弦值和已知的直角边AC求出斜边AB的长度；再利用勾股定理，即可求出另一条直角边BC的长度。
【解析】
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，
根据锐角正弦的定义：$\sin B=\frac{∠ B的对边}{斜边}=\frac{AC}{AB}$，
已知$AC=16$，$\sin B=0.8$，代入得：
$0.8=\frac{16}{AB}$，解得$AB=\frac{16}{0.8}=20$。
再根据勾股定理：$AB^2=AC^2+BC^2$，变形得：
$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{20^2-16^2}=\sqrt{400-256}=\sqrt{144}=12$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
锐角三角函数的定义；勾股定理
【点评】
本题属于解直角三角形的基础常考题，核心是理清直角三角形中边角的对应关系，熟练掌握锐角三角函数定义和勾股定理即可快速求解，解题时要注意避免混淆三角函数的边角对应关系。
【难度系数】
0.8
【变式2】(2025 邯郸月考)如图,在△ABC中,AB=AC=13,BD⊥AC于点D,sin A=$\frac{12}{13}$.
(1)求BD的长;
(2)求tan C的值.
(1)求BD的长;
(2)求tan C的值.
答案
解:(1)$\because$ 在 $△ ABC$ 中,$AB=AC=13,BD⊥ AC$ 于点 $D$,$\sin A=\frac{12}{13}$,
$\therefore \frac{BD}{AB}=\frac{12}{13}$,即$\frac{BD}{13}=\frac{12}{13}$,解得 $BD=12.$
(2)$\because AC=AB=13,BD=12,BD⊥ AC$,
由勾股定理可得 $AD=5$,$\therefore DC=8$,$\therefore \tan C=\frac{BD}{DC}=\frac{12}{8}=\frac{3}{2}.$
$\therefore \frac{BD}{AB}=\frac{12}{13}$,即$\frac{BD}{13}=\frac{12}{13}$,解得 $BD=12.$
(2)$\because AC=AB=13,BD=12,BD⊥ AC$,
由勾股定理可得 $AD=5$,$\therefore DC=8$,$\therefore \tan C=\frac{BD}{DC}=\frac{12}{8}=\frac{3}{2}.$
解析
【分析】
(1) 求BD的长时，首先由BD⊥AC可知△ABD是直角三角形，根据正弦的定义，∠A的正弦值等于它的对边BD与斜边AB的比值，已知AB长度和sinA的数值，直接代入即可求出BD。
(2) 求tanC的值时，tanC是Rt△BDC中∠C的对边与邻边的比值，已知BD的长，只需先求出DC的长：先在Rt△ABD中用勾股定理算出AD的长度，再用AC的长度减去AD得到DC的长度，最后代入正切的定义计算即可。
【解析】
(1)
∵ BD⊥AC，
∴ △ABD是直角三角形，
根据锐角正弦的定义可得：$\sin A=\frac{BD}{AB}$，
将$AB=13$，$\sin A=\frac{12}{13}$代入得：$\frac{BD}{13}=\frac{12}{13}$，
解得$BD=12$。
(2) 在Rt△ABD中，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{13^2-12^2}=5$，
∵ $AC=13$，
∴ $DC=AC-AD=13-5=8$，
在Rt△BDC中，根据锐角正切的定义可得：
$\tan C=\frac{BD}{DC}=\frac{12}{8}=\frac{3}{2}$。
【答案】
(1) $BD=12$；(2) $\tan C=\frac{3}{2}$
【知识点】
锐角三角函数的定义，勾股定理，等腰三角形的性质
【点评】
本题属于解直角三角形的基础题，解题核心是找准直角三角形中对应锐角的边角关系，结合勾股定理计算未知边长，侧重考查基础知识的应用能力。
【难度系数】
0.75
(1) 求BD的长时，首先由BD⊥AC可知△ABD是直角三角形，根据正弦的定义，∠A的正弦值等于它的对边BD与斜边AB的比值，已知AB长度和sinA的数值，直接代入即可求出BD。
(2) 求tanC的值时，tanC是Rt△BDC中∠C的对边与邻边的比值，已知BD的长，只需先求出DC的长：先在Rt△ABD中用勾股定理算出AD的长度，再用AC的长度减去AD得到DC的长度，最后代入正切的定义计算即可。
【解析】
(1)
∵ BD⊥AC，
∴ △ABD是直角三角形，
根据锐角正弦的定义可得：$\sin A=\frac{BD}{AB}$，
将$AB=13$，$\sin A=\frac{12}{13}$代入得：$\frac{BD}{13}=\frac{12}{13}$，
解得$BD=12$。
(2) 在Rt△ABD中，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{13^2-12^2}=5$，
∵ $AC=13$，
∴ $DC=AC-AD=13-5=8$，
在Rt△BDC中，根据锐角正切的定义可得：
$\tan C=\frac{BD}{DC}=\frac{12}{8}=\frac{3}{2}$。
【答案】
(1) $BD=12$；(2) $\tan C=\frac{3}{2}$
【知识点】
锐角三角函数的定义，勾股定理，等腰三角形的性质
【点评】
本题属于解直角三角形的基础题，解题核心是找准直角三角形中对应锐角的边角关系，结合勾股定理计算未知边长，侧重考查基础知识的应用能力。
【难度系数】
0.75
【例2】如图，在$△ ABC$中，已知$∠ B＝30°$，$\sin C＝\frac{3}{5}$，$AC＝10$，求$AB$的长。
规律总结 构造直角三角形时，一般作高，但不要把特殊角$(30°,45°,60°)$分成两个角，通常从不是特殊角的顶点向对边作垂线，构造两个直角三角形。
规律总结 构造直角三角形时，一般作高，但不要把特殊角$(30°,45°,60°)$分成两个角，通常从不是特殊角的顶点向对边作垂线，构造两个直角三角形。
答案
解:如图,过点 $A$ 作 $AD⊥ BC$ 于点 $D$。
在 $\mathrm{Rt}△ ACD$ 中，
$\because \sin C=\frac{AD}{AC}=\frac{3}{5},AC=10,$
$\therefore AD=6.$
$\because$ 在 $\mathrm{Rt}△ ABD$ 中,$∠ B=30°,\therefore AB=2AD=12.$
解析
【分析】
本题给出的是斜三角形，已知一角的正弦值、一个30°特殊角和一边长，无法直接在原三角形中求解，需要构造直角三角形转化问题。按照构造直角三角形的原则，不能破坏已知的30°特殊角，因此选择过点A作BC边上的高AD，将△ABC分为两个直角三角形：首先在Rt△ACD中利用正弦的定义求出AD的长度，再在Rt△ABD中利用30°角所对直角边等于斜边一半的性质，即可求出AB的长。
【解析】
过点$A$作$AD⊥BC$于点$D$，构造直角三角形：
1. 在$\mathrm{Rt}△ACD$中，根据正弦的定义$\sin C=\frac{AD}{AC}$，将$\sin C=\frac{3}{5}$，$AC=10$代入得：
$AD=AC·\sin C=10×\frac{3}{5}=6$
2. 在$\mathrm{Rt}△ABD$中，$∠ B=30°$，30°角所对的直角边等于斜边的一半，AD为$∠ B$所对的直角边，因此：
$AB=2AD=2×6=12$
【答案】
解:如图,过点 $A$ 作 $AD⊥ BC$ 于点 $D$。
在 $\mathrm{Rt}△ ACD$ 中，
$\because \sin C=\frac{AD}{AC}=\frac{3}{5},AC=10,$
$\therefore AD=6.$
$\because$ 在 $\mathrm{Rt}△ ABD$ 中,$∠ B=30°,\therefore AB=2AD=12.$
【知识点】
1. 正弦的定义
2. 含30°角的直角三角形性质
3. 解直角三角形
【点评】
本题是解斜三角形的基础题型，核心解题思路是通过作高将斜三角形转化为直角三角形求解，解题时注意不要拆分已知的特殊角，灵活运用锐角三角函数和直角三角形的性质即可快速得出结果。
【难度系数】
0.7
本题给出的是斜三角形，已知一角的正弦值、一个30°特殊角和一边长，无法直接在原三角形中求解，需要构造直角三角形转化问题。按照构造直角三角形的原则，不能破坏已知的30°特殊角，因此选择过点A作BC边上的高AD，将△ABC分为两个直角三角形：首先在Rt△ACD中利用正弦的定义求出AD的长度，再在Rt△ABD中利用30°角所对直角边等于斜边一半的性质，即可求出AB的长。
【解析】
过点$A$作$AD⊥BC$于点$D$，构造直角三角形：
1. 在$\mathrm{Rt}△ACD$中，根据正弦的定义$\sin C=\frac{AD}{AC}$，将$\sin C=\frac{3}{5}$，$AC=10$代入得：
$AD=AC·\sin C=10×\frac{3}{5}=6$
2. 在$\mathrm{Rt}△ABD$中，$∠ B=30°$，30°角所对的直角边等于斜边的一半，AD为$∠ B$所对的直角边，因此：
$AB=2AD=2×6=12$
【答案】
解:如图,过点 $A$ 作 $AD⊥ BC$ 于点 $D$。
在 $\mathrm{Rt}△ ACD$ 中，
$\because \sin C=\frac{AD}{AC}=\frac{3}{5},AC=10,$
$\therefore AD=6.$
$\because$ 在 $\mathrm{Rt}△ ABD$ 中,$∠ B=30°,\therefore AB=2AD=12.$
【知识点】
1. 正弦的定义
2. 含30°角的直角三角形性质
3. 解直角三角形
【点评】
本题是解斜三角形的基础题型，核心解题思路是通过作高将斜三角形转化为直角三角形求解，解题时注意不要拆分已知的特殊角，灵活运用锐角三角函数和直角三角形的性质即可快速得出结果。
【难度系数】
0.7
