登录
五、利用等角代换求值
8. 如图,在矩形$ABCD$中,$AB=10$,$BC=8$,$E$为$AD$边上一点,将$△ CDE$沿$CE$折叠,使点$D$正好落在$AB$边上的点$F$处,求$\tan∠AFE$的值.
8. 如图,在矩形$ABCD$中,$AB=10$,$BC=8$,$E$为$AD$边上一点,将$△ CDE$沿$CE$折叠,使点$D$正好落在$AB$边上的点$F$处,求$\tan∠AFE$的值.
答案
8. 解:根据题图可知,$∠AFE+∠EFC+∠BFC=180°.$
根据折叠的性质,知$∠EFC=∠D=90°,$
$\therefore ∠AFE+∠BFC=90°.$
在 $\mathrm{Rt}△BCF$ 中,$∠BCF+∠BFC=90°,$
$\therefore ∠AFE=∠BCF.$
根据折叠的性质,有 $CF=CD=10.$
在 $\mathrm{Rt}△BCF$ 中,$BC=8,CF=10,$
由勾股定理,得 $BF=\sqrt{CF^2-BC^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6,$
$\therefore \tan∠BCF=\frac{BF}{BC}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4},$
$\therefore \tan∠AFE=\tan∠BCF=\frac{3}{4}.$
根据折叠的性质,知$∠EFC=∠D=90°,$
$\therefore ∠AFE+∠BFC=90°.$
在 $\mathrm{Rt}△BCF$ 中,$∠BCF+∠BFC=90°,$
$\therefore ∠AFE=∠BCF.$
根据折叠的性质,有 $CF=CD=10.$
在 $\mathrm{Rt}△BCF$ 中,$BC=8,CF=10,$
由勾股定理,得 $BF=\sqrt{CF^2-BC^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6,$
$\therefore \tan∠BCF=\frac{BF}{BC}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4},$
$\therefore \tan∠AFE=\tan∠BCF=\frac{3}{4}.$
解析
【分析】
要求$\tan∠ AFE$的值，若直接求解$△ AFE$的边长计算较复杂，可通过等角代换转化求解：首先由折叠的性质可得对应角、对应边相等，结合平角和直角的性质可推导出$∠ AFE$与$∠ BCF$相等，接下来只需求出$\tan∠ BCF$的值即可；折叠后$CF$与$CD$相等，$CD$是矩形的边等于$AB=10$，在$\mathrm{Rt}△ BCF$中利用勾股定理求出$BF$的长度，再根据正切的定义计算$\tan∠ BCF$，即可得到所求值。
【解析】
解：由平角的定义可得，$∠ AFE + ∠ EFC + ∠ BFC = 180°$，
根据折叠的性质可知$△ EFC≌△ EDC$，因此$∠ EFC=∠ D=90°$，$CF=CD=AB=10$，
$\therefore ∠ AFE + ∠ BFC = 180° - 90° = 90°$，
在$\mathrm{Rt}△ BCF$中，$∠ BCF + ∠ BFC = 90°$，
根据同角的余角相等，可得$∠ AFE = ∠ BCF$，
在$\mathrm{Rt}△ BCF$中，$BC=8$，$CF=10$，由勾股定理得：
$BF = \sqrt{CF^2 - BC^2} = \sqrt{10^2 - 8^2} = \sqrt{36} = 6$，
$\therefore \tan∠ BCF = \frac{BF}{BC} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$，
$\therefore \tan∠ AFE = \tan∠ BCF = \frac{3}{4}$。
【答案】
$\dfrac{3}{4}$
【知识点】
矩形的性质，折叠的性质，锐角三角函数的定义
【点评】
本题通过等角代换将未知角的三角函数值转化为已知直角三角形中角的三角函数值，简化了计算过程，解题的关键是熟练掌握折叠前后对应边相等、对应角相等的性质，结合直角三角形的性质找到相等的角。
【难度系数】
0.7
要求$\tan∠ AFE$的值，若直接求解$△ AFE$的边长计算较复杂，可通过等角代换转化求解：首先由折叠的性质可得对应角、对应边相等，结合平角和直角的性质可推导出$∠ AFE$与$∠ BCF$相等，接下来只需求出$\tan∠ BCF$的值即可；折叠后$CF$与$CD$相等，$CD$是矩形的边等于$AB=10$，在$\mathrm{Rt}△ BCF$中利用勾股定理求出$BF$的长度，再根据正切的定义计算$\tan∠ BCF$，即可得到所求值。
【解析】
解：由平角的定义可得，$∠ AFE + ∠ EFC + ∠ BFC = 180°$，
根据折叠的性质可知$△ EFC≌△ EDC$，因此$∠ EFC=∠ D=90°$，$CF=CD=AB=10$，
$\therefore ∠ AFE + ∠ BFC = 180° - 90° = 90°$，
在$\mathrm{Rt}△ BCF$中，$∠ BCF + ∠ BFC = 90°$，
根据同角的余角相等，可得$∠ AFE = ∠ BCF$，
在$\mathrm{Rt}△ BCF$中，$BC=8$，$CF=10$，由勾股定理得：
$BF = \sqrt{CF^2 - BC^2} = \sqrt{10^2 - 8^2} = \sqrt{36} = 6$，
$\therefore \tan∠ BCF = \frac{BF}{BC} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$，
$\therefore \tan∠ AFE = \tan∠ BCF = \frac{3}{4}$。
【答案】
$\dfrac{3}{4}$
【知识点】
矩形的性质，折叠的性质，锐角三角函数的定义
【点评】
本题通过等角代换将未知角的三角函数值转化为已知直角三角形中角的三角函数值，简化了计算过程，解题的关键是熟练掌握折叠前后对应边相等、对应角相等的性质，结合直角三角形的性质找到相等的角。
【难度系数】
0.7
9. 如图，在$△ ABC$中，$AD$是$BC$边上的高，$E$为$AC$边的中点，已知$BC=14$，$AD=12$，$\sin B=\frac{4}{5}$. 求：
(1)线段$DC$的长；
(2)$\tan∠ EDC$的值.
(1)线段$DC$的长；
(2)$\tan∠ EDC$的值.
答案
9. 解:(1)$\because$ 在 $\mathrm{Rt}△ABD$ 中,$AD=12,$
$\sin B=\frac{AD}{AB}=\frac{4}{5},\therefore AB=15,$
$\therefore BD=\sqrt{AB^2-AD^2}=\sqrt{15^2-12^2}=9,$
$\therefore DC=BC-BD=14-9=5.$
(2)在 $\mathrm{Rt}△ADC$ 中,$\because E$ 为 $AC$ 的中点,
$\therefore ED=EC,\therefore ∠EDC=∠C,$
$\therefore \tan∠EDC=\tan C=\frac{AD}{DC}=\frac{12}{5}.$
$\sin B=\frac{AD}{AB}=\frac{4}{5},\therefore AB=15,$
$\therefore BD=\sqrt{AB^2-AD^2}=\sqrt{15^2-12^2}=9,$
$\therefore DC=BC-BD=14-9=5.$
(2)在 $\mathrm{Rt}△ADC$ 中,$\because E$ 为 $AC$ 的中点,
$\therefore ED=EC,\therefore ∠EDC=∠C,$
$\therefore \tan∠EDC=\tan C=\frac{AD}{DC}=\frac{12}{5}.$
解析
【分析】
(1) 要求DC的长，已知BC的总长度，只需先求出BD的长度。AD是BC边上的高，可得△ABD是直角三角形，结合已知的sinB和AD的长度，先根据正弦的定义求出AB的长，再用勾股定理计算BD，最后用BC减去BD即可得到DC的长。
(2) 要求$\tan∠ EDC$的值，观察到E是$Rt△ ADC$斜边AC的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得$ED=EC$，进而推出$∠ EDC=∠ C$，因此只需在$Rt△ ADC$中计算$\tan C$的值即可，$\tan C$等于对边AD比邻边DC，代入数值就能得到结果。
【解析】
(1) $\because$ AD是BC边上的高，$\therefore ∠ ADB=90°$，即$△ ABD$是直角三角形。
在$Rt△ ABD$中，$AD=12$，$\sin B=\frac{AD}{AB}=\frac{4}{5}$，
$\therefore AB=\frac{AD}{\frac{4}{5}}=\frac{12×5}{4}=15$，
由勾股定理得：$BD=\sqrt{AB^2-AD^2}=\sqrt{15^2-12^2}=\sqrt{81}=9$，
又$\because BC=14$，
$\therefore DC=BC-BD=14-9=5$。
(2) $\because$ AD是BC边上的高，$\therefore ∠ ADC=90°$，即$△ ADC$是直角三角形。
$\because$ E为AC边的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得$ED=EC=\frac{1}{2}AC$，
$\therefore ∠ EDC=∠ C$（等边对等角），
在$Rt△ ADC$中，$AD=12$，$DC=5$，
$\therefore \tan∠ EDC=\tan C=\frac{AD}{DC}=\frac{12}{5}$。
【答案】
(1) $DC=5$；
(2) $\tan∠ EDC=\frac{12}{5}$
【知识点】
锐角三角函数定义，直角三角形斜边中线性质，勾股定理
【点评】
本题是锐角三角函数与直角三角形性质的综合应用题，解题的关键是通过直角三角形斜边中线的性质将所求角转化为直角三角形的内角，简化计算，解题时需熟练运用锐角三角函数的定义和直角三角形的相关性质。
【难度系数】
0.7
(1) 要求DC的长，已知BC的总长度，只需先求出BD的长度。AD是BC边上的高，可得△ABD是直角三角形，结合已知的sinB和AD的长度，先根据正弦的定义求出AB的长，再用勾股定理计算BD，最后用BC减去BD即可得到DC的长。
(2) 要求$\tan∠ EDC$的值，观察到E是$Rt△ ADC$斜边AC的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得$ED=EC$，进而推出$∠ EDC=∠ C$，因此只需在$Rt△ ADC$中计算$\tan C$的值即可，$\tan C$等于对边AD比邻边DC，代入数值就能得到结果。
【解析】
(1) $\because$ AD是BC边上的高，$\therefore ∠ ADB=90°$，即$△ ABD$是直角三角形。
在$Rt△ ABD$中，$AD=12$，$\sin B=\frac{AD}{AB}=\frac{4}{5}$，
$\therefore AB=\frac{AD}{\frac{4}{5}}=\frac{12×5}{4}=15$，
由勾股定理得：$BD=\sqrt{AB^2-AD^2}=\sqrt{15^2-12^2}=\sqrt{81}=9$，
又$\because BC=14$，
$\therefore DC=BC-BD=14-9=5$。
(2) $\because$ AD是BC边上的高，$\therefore ∠ ADC=90°$，即$△ ADC$是直角三角形。
$\because$ E为AC边的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得$ED=EC=\frac{1}{2}AC$，
$\therefore ∠ EDC=∠ C$（等边对等角），
在$Rt△ ADC$中，$AD=12$，$DC=5$，
$\therefore \tan∠ EDC=\tan C=\frac{AD}{DC}=\frac{12}{5}$。
【答案】
(1) $DC=5$；
(2) $\tan∠ EDC=\frac{12}{5}$
【知识点】
锐角三角函数定义，直角三角形斜边中线性质，勾股定理
【点评】
本题是锐角三角函数与直角三角形性质的综合应用题，解题的关键是通过直角三角形斜边中线的性质将所求角转化为直角三角形的内角，简化计算，解题时需熟练运用锐角三角函数的定义和直角三角形的相关性质。
【难度系数】
0.7
六、巧构图形求值
10. 阅读理解:为计算$\tan 15°$的值,我们可以构建$\mathrm{Rt}△ ACB$,如图所示,使得$∠ C=90°$,$∠ ABC=30°$,延长$CB$至点$D$,使$BD=AB$,连接$AD$,可得$∠ D=15°$,所以
$\tan 15°=\frac{AC}{CD}=\frac{1}{2+\sqrt{3}}=\frac{2-\sqrt{3}}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}=2-\sqrt{3}.$
类比这种方法,请你计算$\tan 22.5°$的值.
10. 阅读理解:为计算$\tan 15°$的值,我们可以构建$\mathrm{Rt}△ ACB$,如图所示,使得$∠ C=90°$,$∠ ABC=30°$,延长$CB$至点$D$,使$BD=AB$,连接$AD$,可得$∠ D=15°$,所以
$\tan 15°=\frac{AC}{CD}=\frac{1}{2+\sqrt{3}}=\frac{2-\sqrt{3}}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}=2-\sqrt{3}.$
类比这种方法,请你计算$\tan 22.5°$的值.
答案
10. 解:构造图形如图.
在 $\mathrm{Rt}△ACB$ 中,$∠C=90°,∠ABC=45°$,延长 $CB$ 至点 $D$,
使 $BD=AB$,连接 $AD$,
$\therefore ∠BAD=∠D=22.5°.$
设 $AC=BC=1,$
则 $AB=BD=\sqrt{2}AC=\sqrt{2},$
$\therefore CD=BC+BD=1+\sqrt{2}.$
在 $\mathrm{Rt}△ADC$ 中,
$\tan 22.5°=\frac{AC}{CD}=\frac{1}{1+\sqrt{2}}=\sqrt{2}-1.$
解析
【分析】
题干中求$\tan15°$的思路是利用15°是30°的一半，构造含30°角的直角三角形，再通过延长边构造等腰三角形得到15°角，再计算正切值。类比该思路，22.5°是45°的一半，我们可以先构造含45°角的直角三角形，延长直角边构造等腰三角形，利用三角形外角性质和等腰三角形等边对等角的性质得到22.5°的角，最后设合适的边长，根据正切的定义计算，再对结果分母有理化即可。
【解析】
1. 构造图形：作$\mathrm{Rt}△ACB$，令$∠C=90°,∠ABC=45°$，延长$CB$至点$D$，使$BD=AB$，连接$AD$。
2. 推导所求角：因为$BD=AB$，所以$∠BAD=∠D$，又$∠ABC$是$△ ABD$的外角，因此$∠ABC=∠BAD+∠D=2∠D=45°$，可得$∠D=22.5°$。
3. 设边长计算：设$AC=BC=1$，在$\mathrm{Rt}△ACB$中由勾股定理得$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，因此$BD=AB=\sqrt{2}$，则$CD=BC+BD=1+\sqrt{2}$。
4. 计算正切值：在$\mathrm{Rt}△ADC$中，$\tan22.5°=\tan D=\frac{AC}{CD}=\frac{1}{1+\sqrt{2}}$，分母有理化后得$\frac{1×(\sqrt{2}-1)}{(1+\sqrt{2})(\sqrt{2}-1)}=\sqrt{2}-1$。
【答案】
10. 解:构造图形如图.
在 $\mathrm{Rt}△ACB$ 中,$∠C=90°,∠ABC=45°$,延长 $CB$ 至点 $D$,
使 $BD=AB$,连接 $AD$,
$\therefore ∠BAD=∠D=22.5°.$
设 $AC=BC=1,$
则 $AB=BD=\sqrt{2}AC=\sqrt{2},$
$\therefore CD=BC+BD=1+\sqrt{2}.$
在 $\mathrm{Rt}△ADC$ 中,
$\tan 22.5°=\frac{AC}{CD}=\frac{1}{1+\sqrt{2}}=\sqrt{2}-1.$
【知识点】
锐角三角函数定义，等腰三角形性质，二次根式化简
【点评】
本题是类比迁移类的构造题，核心是利用倍角和半角的关系构造对应几何图形，将特殊锐角的三角函数值转化为直角三角形的边长比值，既考察了基础几何和三角函数知识点的掌握程度，也锻炼了方法迁移的应用能力。
【难度系数】
0.7
题干中求$\tan15°$的思路是利用15°是30°的一半，构造含30°角的直角三角形，再通过延长边构造等腰三角形得到15°角，再计算正切值。类比该思路，22.5°是45°的一半，我们可以先构造含45°角的直角三角形，延长直角边构造等腰三角形，利用三角形外角性质和等腰三角形等边对等角的性质得到22.5°的角，最后设合适的边长，根据正切的定义计算，再对结果分母有理化即可。
【解析】
1. 构造图形：作$\mathrm{Rt}△ACB$，令$∠C=90°,∠ABC=45°$，延长$CB$至点$D$，使$BD=AB$，连接$AD$。
2. 推导所求角：因为$BD=AB$，所以$∠BAD=∠D$，又$∠ABC$是$△ ABD$的外角，因此$∠ABC=∠BAD+∠D=2∠D=45°$，可得$∠D=22.5°$。
3. 设边长计算：设$AC=BC=1$，在$\mathrm{Rt}△ACB$中由勾股定理得$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，因此$BD=AB=\sqrt{2}$，则$CD=BC+BD=1+\sqrt{2}$。
4. 计算正切值：在$\mathrm{Rt}△ADC$中，$\tan22.5°=\tan D=\frac{AC}{CD}=\frac{1}{1+\sqrt{2}}$，分母有理化后得$\frac{1×(\sqrt{2}-1)}{(1+\sqrt{2})(\sqrt{2}-1)}=\sqrt{2}-1$。
【答案】
10. 解:构造图形如图.
在 $\mathrm{Rt}△ACB$ 中,$∠C=90°,∠ABC=45°$,延长 $CB$ 至点 $D$,
使 $BD=AB$,连接 $AD$,
$\therefore ∠BAD=∠D=22.5°.$
设 $AC=BC=1,$
则 $AB=BD=\sqrt{2}AC=\sqrt{2},$
$\therefore CD=BC+BD=1+\sqrt{2}.$
在 $\mathrm{Rt}△ADC$ 中,
$\tan 22.5°=\frac{AC}{CD}=\frac{1}{1+\sqrt{2}}=\sqrt{2}-1.$
【知识点】
锐角三角函数定义，等腰三角形性质，二次根式化简
【点评】
本题是类比迁移类的构造题，核心是利用倍角和半角的关系构造对应几何图形，将特殊锐角的三角函数值转化为直角三角形的边长比值，既考察了基础几何和三角函数知识点的掌握程度，也锻炼了方法迁移的应用能力。
【难度系数】
0.7
