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一、利用定义求值
1. (2026 成都月考)如图,在 $Rt△ ABC$ 中, $∠ C=90°,AB=13,BC=12,AC=5$,则下列表示正确的是 (
A.$\cos A=\dfrac{12}{13}$
B.$\sin A=\dfrac{12}{13}$
C.$\tan A=\dfrac{5}{12}$
D.$\tan B=\dfrac{5}{13}$
1. (2026 成都月考)如图,在 $Rt△ ABC$ 中, $∠ C=90°,AB=13,BC=12,AC=5$,则下列表示正确的是 (
B
)A.$\cos A=\dfrac{12}{13}$
B.$\sin A=\dfrac{12}{13}$
C.$\tan A=\dfrac{5}{12}$
D.$\tan B=\dfrac{5}{13}$
答案
1. B
解析
【分析】
解决本题首先要明确锐角三角函数的定义，在直角三角形中，锐角的正弦=对边/斜边，余弦=邻边/斜边，正切=对边/邻边。首先确定Rt△ABC的斜边为AB，再分别找到∠A、∠B对应的对边和邻边，依次计算四个选项中的三角函数值，和选项内容对比即可选出正确答案。
【解析】
已知在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，斜边$AB=13$，$BC=12$，$AC=5$。
选项A：$\cos A$是$∠ A$的邻边与斜边的比，$∠ A$的邻边为$AC=5$，因此$\cos A=\frac{AC}{AB}=\frac{5}{13}$，A错误；
选项B：$\sin A$是$∠ A$的对边与斜边的比，$∠ A$的对边为$BC=12$，因此$\sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{12}{13}$，B正确；
选项C：$\tan A$是$∠ A$的对边与邻边的比，因此$\tan A=\frac{BC}{AC}=\frac{12}{5}$，C错误；
选项D：$\tan B$是$∠ B$的对边与邻边的比，$∠ B$的对边为$AC=5$，邻边为$BC=12$，因此$\tan B=\frac{AC}{BC}=\frac{5}{12}$，D错误。
综上，选B。
【答案】
B
【知识点】
锐角三角函数的定义，直角三角形边角计算
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对锐角三角函数定义的理解和应用，解题的核心是准确区分锐角对应的对边、邻边和斜边，牢记三类三角函数的计算规则即可快速得分。
【难度系数】
0.85
解决本题首先要明确锐角三角函数的定义，在直角三角形中，锐角的正弦=对边/斜边，余弦=邻边/斜边，正切=对边/邻边。首先确定Rt△ABC的斜边为AB，再分别找到∠A、∠B对应的对边和邻边，依次计算四个选项中的三角函数值，和选项内容对比即可选出正确答案。
【解析】
已知在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，斜边$AB=13$，$BC=12$，$AC=5$。
选项A：$\cos A$是$∠ A$的邻边与斜边的比，$∠ A$的邻边为$AC=5$，因此$\cos A=\frac{AC}{AB}=\frac{5}{13}$，A错误；
选项B：$\sin A$是$∠ A$的对边与斜边的比，$∠ A$的对边为$BC=12$，因此$\sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{12}{13}$，B正确；
选项C：$\tan A$是$∠ A$的对边与邻边的比，因此$\tan A=\frac{BC}{AC}=\frac{12}{5}$，C错误；
选项D：$\tan B$是$∠ B$的对边与邻边的比，$∠ B$的对边为$AC=5$，邻边为$BC=12$，因此$\tan B=\frac{AC}{BC}=\frac{5}{12}$，D错误。
综上，选B。
【答案】
B
【知识点】
锐角三角函数的定义，直角三角形边角计算
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对锐角三角函数定义的理解和应用，解题的核心是准确区分锐角对应的对边、邻边和斜边，牢记三类三角函数的计算规则即可快速得分。
【难度系数】
0.85
二、巧设参数求值
2. 在 $Rt△ ABC$ 中，$∠ C=90°$，$BC=\frac{1}{2}AC$，则 $\sin B$ 的值为 （
A.$\frac{2\sqrt{5}}{5}$
B.$\frac{1}{2}$
C.$\frac{\sqrt{5}}{5}$
D.$2$
2. 在 $Rt△ ABC$ 中，$∠ C=90°$，$BC=\frac{1}{2}AC$，则 $\sin B$ 的值为 （
A
）A.$\frac{2\sqrt{5}}{5}$
B.$\frac{1}{2}$
C.$\frac{\sqrt{5}}{5}$
D.$2$
答案
2. A
解析
【分析】
要求$\sin B$的值，首先回忆锐角正弦的定义：在直角三角形中，一个锐角的正弦等于它的对边与斜边的比值。已知$Rt△ ABC$中两条直角边的比例关系，我们可以通过设参数的方法表示出两条直角边的长度，再用勾股定理求出斜边长度，最后代入正弦定义计算即可。
【解析】
设$BC=k$，
$\because BC=\frac{1}{2}AC$，
$\therefore AC=2k$，
$\because ∠ C=90°$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{(2k)^2+k^2}=\sqrt{5k^2}=\sqrt{5}k$，
根据正弦的定义，$\sin B$是$∠ B$的对边与斜边的比值，$∠ B$的对边为$AC$，
$\therefore \sin B=\frac{AC}{AB}=\frac{2k}{\sqrt{5}k}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$。
故选：A。
【答案】
A
【知识点】
正弦函数定义、勾股定理、参数设值法
【点评】
本题考查锐角三角函数的基础计算，解题关键是明确锐角正弦的定义，不要混淆角的对边和邻边，通过设参数计算比值的方法可以简化计算过程，最后要注意将二次根式化简为最简形式。
【难度系数】
0.7
要求$\sin B$的值，首先回忆锐角正弦的定义：在直角三角形中，一个锐角的正弦等于它的对边与斜边的比值。已知$Rt△ ABC$中两条直角边的比例关系，我们可以通过设参数的方法表示出两条直角边的长度，再用勾股定理求出斜边长度，最后代入正弦定义计算即可。
【解析】
设$BC=k$，
$\because BC=\frac{1}{2}AC$，
$\therefore AC=2k$，
$\because ∠ C=90°$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{(2k)^2+k^2}=\sqrt{5k^2}=\sqrt{5}k$，
根据正弦的定义，$\sin B$是$∠ B$的对边与斜边的比值，$∠ B$的对边为$AC$，
$\therefore \sin B=\frac{AC}{AB}=\frac{2k}{\sqrt{5}k}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$。
故选：A。
【答案】
A
【知识点】
正弦函数定义、勾股定理、参数设值法
【点评】
本题考查锐角三角函数的基础计算，解题关键是明确锐角正弦的定义，不要混淆角的对边和邻边，通过设参数计算比值的方法可以简化计算过程，最后要注意将二次根式化简为最简形式。
【难度系数】
0.7
3. (2026衡阳期末)在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，若$\cos A=\frac{3}{5}$，则$\tan A$等于（
A.$\frac{3}{4}$
B.$\frac{4}{3}$
C.$\frac{3}{5}$
D.$\frac{4}{5}$
B
）A.$\frac{3}{4}$
B.$\frac{4}{3}$
C.$\frac{3}{5}$
D.$\frac{4}{5}$
答案
3. B
解析
【分析】
本题是直角三角形中已知锐角的余弦值求正切值的基础题，解题思路如下：首先明确锐角三角函数的定义，cosA是角A的邻边与斜边的比值，我们可以通过设参数的方式表示出邻边和斜边的长度，再结合直角三角形的勾股定理求出角A的对边长度，最后根据tanA是角A的对边与邻边的比值，代入计算即可得到结果。
【解析】
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据锐角余弦的定义：
$\cos A=\frac{∠ A的邻边}{\斜边}=\frac{AC}{AB}=\frac{3}{5}$
设$AC=3k$（$k＞0$），则$AB=5k$，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2 - AC^2}=\sqrt{(5k)^2 - (3k)^2}=\sqrt{25k^2 - 9k^2}=\sqrt{16k^2}=4k$
再根据锐角正切的定义：
$\tan A=\frac{∠ A的对边}{∠ A的邻边}=\frac{BC}{AC}=\frac{4k}{3k}=\frac{4}{3}$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 锐角三角函数定义
2. 勾股定理
【点评】
本题属于锐角三角函数部分的基础题型，主要考查对锐角三角函数定义的理解和勾股定理的应用，掌握各三角函数对应的边的比值关系是解题的核心。
【难度系数】
0.8
本题是直角三角形中已知锐角的余弦值求正切值的基础题，解题思路如下：首先明确锐角三角函数的定义，cosA是角A的邻边与斜边的比值，我们可以通过设参数的方式表示出邻边和斜边的长度，再结合直角三角形的勾股定理求出角A的对边长度，最后根据tanA是角A的对边与邻边的比值，代入计算即可得到结果。
【解析】
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据锐角余弦的定义：
$\cos A=\frac{∠ A的邻边}{\斜边}=\frac{AC}{AB}=\frac{3}{5}$
设$AC=3k$（$k＞0$），则$AB=5k$，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2 - AC^2}=\sqrt{(5k)^2 - (3k)^2}=\sqrt{25k^2 - 9k^2}=\sqrt{16k^2}=4k$
再根据锐角正切的定义：
$\tan A=\frac{∠ A的对边}{∠ A的邻边}=\frac{BC}{AC}=\frac{4k}{3k}=\frac{4}{3}$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 锐角三角函数定义
2. 勾股定理
【点评】
本题属于锐角三角函数部分的基础题型，主要考查对锐角三角函数定义的理解和勾股定理的应用，掌握各三角函数对应的边的比值关系是解题的核心。
【难度系数】
0.8
三、构造直角三角形求值
4. 如图, 在 $Rt△ ABC$ 中, $∠ B=90°$, $\sin A=\frac{5}{13}$, 点 $D$ 在 $AB$ 边上, 且 $∠ BDC=45°$, $BC=5$. 求:
(1) $AD$ 的长;
(2) $∠ ACD$ 的正弦值.
4. 如图, 在 $Rt△ ABC$ 中, $∠ B=90°$, $\sin A=\frac{5}{13}$, 点 $D$ 在 $AB$ 边上, 且 $∠ BDC=45°$, $BC=5$. 求:
(1) $AD$ 的长;
(2) $∠ ACD$ 的正弦值.
答案
4. 解:(1)$\because ∠B=90°,∠BDC=45°,\therefore BC=BD=5.$
$\because \sin A=\frac{BC}{AC}=\frac{5}{13},\therefore AC=13,$
$\therefore AB=\sqrt{AC^2-BC^2}=\sqrt{13^2-5^2}=12,$
$\therefore AD=AB-BD=12-5=7.$
(2)如图,过点 A 作 $AE⊥CD$,交 CD 的延长线于点 E.
$\because ∠ADE=∠CDB=45°,\therefore △ADE$ 是等腰直角三角形,
$\therefore AE=DE=AD· \cos∠ADE=\frac{7\sqrt{2}}{2},$
$\therefore \sin∠ACD=\frac{AE}{AC}=\frac{\frac{7\sqrt{2}}{2}}{13}=\frac{7\sqrt{2}}{26}.$
解析
【分析】
本题分为两小问，解题思路如下：
(1) 求AD的长：观察图形可知$AD=AB-BD$，因此只需分别求出AB和BD的长度即可。首先由$∠ B=90°$、$∠ BDC=45°$，可得$△ BCD$是等腰直角三角形，直接得到$BD=BC=5$；再根据$\sin A$的定义求出AC的长度，利用勾股定理计算AB的长度，最后作差得到AD。
(2) 求$∠ ACD$的正弦值：锐角三角函数值需要在直角三角形中求解，因此过点A作$AE⊥ CD$交CD的延长线于E，构造含$∠ ACD$的直角三角形$△ ACE$。首先根据对顶角相等得$∠ ADE=∠ BDC=45°$，可知$△ ADE$是等腰直角三角形，利用三角函数求出AE的长度，最后根据正弦的定义，用AE除以AC即可得到$∠ ACD$的正弦值。
【解析】
(1) 在$Rt△ BCD$中，$∠ B=90°$，$∠ BDC=45°$，
$\therefore △ BCD$是等腰直角三角形，$\therefore BC=BD=5$。
在$Rt△ ABC$中，$\sin A=\frac{BC}{AC}=\frac{5}{13}$，已知$BC=5$，
$\therefore AC=13$，
由勾股定理得：$AB=\sqrt{AC^2-BC^2}=\sqrt{13^2-5^2}=12$，
$\therefore AD=AB-BD=12-5=7$。
(2) 如图，过点$A$作$AE⊥ CD$，交$CD$的延长线于点$E$，
$\because ∠ ADE=∠ CDB=45°$，$∠ E=90°$，
$\therefore △ ADE$是等腰直角三角形，
$\therefore AE=DE=AD· \cos∠ ADE=7×\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{7\sqrt{2}}{2}$，
在$Rt△ ACE$中，$\sin∠ ACD=\frac{AE}{AC}=\frac{\frac{7\sqrt{2}}{2}}{13}=\frac{7\sqrt{2}}{26}$。
【答案】
(1)$AD$的长为$7$；
(2)$∠ ACD$的正弦值为$\frac{7\sqrt{2}}{26}$。
【知识点】
锐角三角函数的定义、勾股定理、等腰直角三角形的性质
【点评】
本题考查解直角三角形的相关应用，解题的核心是熟练掌握锐角三角函数的定义和特殊直角三角形的性质，第二问通过构造辅助线将所求角放入直角三角形中是解题的关键，整体难度适中，注重对基础方法的考查。
【难度系数】
0.7
本题分为两小问，解题思路如下：
(1) 求AD的长：观察图形可知$AD=AB-BD$，因此只需分别求出AB和BD的长度即可。首先由$∠ B=90°$、$∠ BDC=45°$，可得$△ BCD$是等腰直角三角形，直接得到$BD=BC=5$；再根据$\sin A$的定义求出AC的长度，利用勾股定理计算AB的长度，最后作差得到AD。
(2) 求$∠ ACD$的正弦值：锐角三角函数值需要在直角三角形中求解，因此过点A作$AE⊥ CD$交CD的延长线于E，构造含$∠ ACD$的直角三角形$△ ACE$。首先根据对顶角相等得$∠ ADE=∠ BDC=45°$，可知$△ ADE$是等腰直角三角形，利用三角函数求出AE的长度，最后根据正弦的定义，用AE除以AC即可得到$∠ ACD$的正弦值。
【解析】
(1) 在$Rt△ BCD$中，$∠ B=90°$，$∠ BDC=45°$，
$\therefore △ BCD$是等腰直角三角形，$\therefore BC=BD=5$。
在$Rt△ ABC$中，$\sin A=\frac{BC}{AC}=\frac{5}{13}$，已知$BC=5$，
$\therefore AC=13$，
由勾股定理得：$AB=\sqrt{AC^2-BC^2}=\sqrt{13^2-5^2}=12$，
$\therefore AD=AB-BD=12-5=7$。
(2) 如图，过点$A$作$AE⊥ CD$，交$CD$的延长线于点$E$，
$\because ∠ ADE=∠ CDB=45°$，$∠ E=90°$，
$\therefore △ ADE$是等腰直角三角形，
$\therefore AE=DE=AD· \cos∠ ADE=7×\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{7\sqrt{2}}{2}$，
在$Rt△ ACE$中，$\sin∠ ACD=\frac{AE}{AC}=\frac{\frac{7\sqrt{2}}{2}}{13}=\frac{7\sqrt{2}}{26}$。
【答案】
(1)$AD$的长为$7$；
(2)$∠ ACD$的正弦值为$\frac{7\sqrt{2}}{26}$。
【知识点】
锐角三角函数的定义、勾股定理、等腰直角三角形的性质
【点评】
本题考查解直角三角形的相关应用，解题的核心是熟练掌握锐角三角函数的定义和特殊直角三角形的性质，第二问通过构造辅助线将所求角放入直角三角形中是解题的关键，整体难度适中，注重对基础方法的考查。
【难度系数】
0.7
四、利用网格特征求值
5. (2026大连期中)如图，$△ ABC$的顶点在正方形网格的交点处，则$\cos A$的值为（
A.2
B.$\frac{1}{2}$
C.$\frac{\sqrt{5}}{5}$
D.$\frac{2\sqrt{5}}{5}$
5. (2026大连期中)如图，$△ ABC$的顶点在正方形网格的交点处，则$\cos A$的值为（
D
）A.2
B.$\frac{1}{2}$
C.$\frac{\sqrt{5}}{5}$
D.$\frac{2\sqrt{5}}{5}$
答案
5. D
解析
【分析】
要求$\cos A$的值，首先回忆锐角余弦的定义：在直角三角形中，一个锐角的余弦等于它的邻边与斜边的比值。因此我们需要先构造以$∠ A$为内角的直角三角形，再结合网格特征计算直角三角形中$∠ A$的邻边和斜边的长度，最后代入比值计算即可得到结果。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，过点$C$作$CD⊥ AB$，交$AB$的延长线于点$D$。
由网格可得：$AD=6$，$CD=3$。
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，根据勾股定理得：
$AC=\sqrt{AD^2+CD^2}=\sqrt{6^2+3^2}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}$
根据锐角余弦的定义，$\cos A=\frac{∠ A的邻边}{斜边}=\frac{AD}{AC}=\frac{6}{3\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$。
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
余弦的定义，勾股定理，二次根式化简
【点评】
本题是网格中求锐角三角函数值的典型题，解题核心是通过作高构造包含所求角的直角三角形，结合网格和勾股定理求边长，再代入三角函数定义计算，难度不大，是三角函数章节的常考题型。
【难度系数】
0.7
要求$\cos A$的值，首先回忆锐角余弦的定义：在直角三角形中，一个锐角的余弦等于它的邻边与斜边的比值。因此我们需要先构造以$∠ A$为内角的直角三角形，再结合网格特征计算直角三角形中$∠ A$的邻边和斜边的长度，最后代入比值计算即可得到结果。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，过点$C$作$CD⊥ AB$，交$AB$的延长线于点$D$。
由网格可得：$AD=6$，$CD=3$。
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，根据勾股定理得：
$AC=\sqrt{AD^2+CD^2}=\sqrt{6^2+3^2}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}$
根据锐角余弦的定义，$\cos A=\frac{∠ A的邻边}{斜边}=\frac{AD}{AC}=\frac{6}{3\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$。
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
余弦的定义，勾股定理，二次根式化简
【点评】
本题是网格中求锐角三角函数值的典型题，解题核心是通过作高构造包含所求角的直角三角形，结合网格和勾股定理求边长，再代入三角函数定义计算，难度不大，是三角函数章节的常考题型。
【难度系数】
0.7
6. (2025株洲开学考)如图，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sin A的值为（
A.$\frac{\sqrt{5}}{5}$
B.$\frac{2\sqrt{5}}{5}$
C.$\frac{1}{5}$
D.$\frac{1}{2}$
A
）A.$\frac{\sqrt{5}}{5}$
B.$\frac{2\sqrt{5}}{5}$
C.$\frac{1}{5}$
D.$\frac{1}{2}$
答案
6. A
解析
【分析】
要求sinA的值，需先将∠A置于直角三角形中计算。我们可以先设每个小方格边长为1，先利用勾股定理求出△ABC各边的长度，再通过面积法求出AB边上的高，最后根据锐角正弦的定义（直角中锐角的对边与斜边的比值）计算sinA即可。
【解析】
设每个小正方形网格的边长为1：
1. 计算△ABC各边长度：
BC横向占2个单位长度，故$BC=2$；
由勾股定理得：$AB=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}$，$AC=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$。
2. 计算△ABC的面积：
以BC为底，BC边上的高为点A到BC的垂直距离3，因此$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× BC × 3=\frac{1}{2}×2×3=3$。
3. 求AB边上的高：
过点C作$CD⊥ AB$于点D，三角形面积也可表示为$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AB × CD$，代入数值：
$3=\frac{1}{2}×3\sqrt{2}× CD$，解得$CD=\sqrt{2}$。
4. 计算$\sin A$：
在$Rt△ ACD$中，$\sin A=\frac{CD}{AC}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理，锐角三角函数定义，三角形面积计算
【点评】
本题是网格中求锐角三角函数值的典型题，解题关键是通过面积法构造出包含目标角的直角三角形，再结合相关公式计算，考查学生对基础公式的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
要求sinA的值，需先将∠A置于直角三角形中计算。我们可以先设每个小方格边长为1，先利用勾股定理求出△ABC各边的长度，再通过面积法求出AB边上的高，最后根据锐角正弦的定义（直角中锐角的对边与斜边的比值）计算sinA即可。
【解析】
设每个小正方形网格的边长为1：
1. 计算△ABC各边长度：
BC横向占2个单位长度，故$BC=2$；
由勾股定理得：$AB=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}$，$AC=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$。
2. 计算△ABC的面积：
以BC为底，BC边上的高为点A到BC的垂直距离3，因此$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× BC × 3=\frac{1}{2}×2×3=3$。
3. 求AB边上的高：
过点C作$CD⊥ AB$于点D，三角形面积也可表示为$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AB × CD$，代入数值：
$3=\frac{1}{2}×3\sqrt{2}× CD$，解得$CD=\sqrt{2}$。
4. 计算$\sin A$：
在$Rt△ ACD$中，$\sin A=\frac{CD}{AC}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理，锐角三角函数定义，三角形面积计算
【点评】
本题是网格中求锐角三角函数值的典型题，解题关键是通过面积法构造出包含目标角的直角三角形，再结合相关公式计算，考查学生对基础公式的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
7.在如图所示的8×8正方形网格中，小正方形的边长均为1，点A,B,C,D都在格点上，AB与CD相交于点E，则∠AED的正切值是（
A.2
B.$\frac{1}{2}$
C.$\frac{2}{3}$
D.$\frac{\sqrt{5}}{5}$
B
）A.2
B.$\frac{1}{2}$
C.$\frac{2}{3}$
D.$\frac{\sqrt{5}}{5}$
答案
7. B
解析
【分析】
要求∠AED的正切值，直接在原图中构造包含∠AED的直角三角形难度较大，因此考虑用转化思想：利用平行线的性质，将∠AED转移到一个便于计算的直角三角形中。具体思路为：先在网格中找到合适的格点，平移其中一条线段，使∠AED转化为直角三角形的内角，再结合勾股定理计算直角边长度，最后根据正切的定义求出比值即可。
【解析】
解：设每个小正方形的边长为1。
取格点F，连接BF、AF，使AF//CD，则∠BAF=∠AED（两直线平行，同位角相等）。
通过网格计算各边长度：
$AF=2\sqrt{2}$，$BF=\sqrt{2}$，$AB=\sqrt{10}$，
∵$AF^2 + BF^2=(2\sqrt{2})^2+(\sqrt{2})^2=8+2=10=AB^2$，
∴$△ AFB$是直角三角形，且$∠ AFB=90°$，
根据正切的定义可得：$\tan∠ BAF=\frac{BF}{AF}=\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}=\frac{1}{2}$，
即$\tan∠ AED=\frac{1}{2}$。
【答案】
B
【知识点】
正切的定义，平行线的性质，勾股定理
【点评】
本题是网格中的锐角三角函数求解问题，核心是利用平移转化待求角，将其放入直角三角形中计算，考查了转化思想的应用，解题时要注意先验证构造的三角形是否为直角三角形，再计算三角函数值。
【难度系数】
0.6
要求∠AED的正切值，直接在原图中构造包含∠AED的直角三角形难度较大，因此考虑用转化思想：利用平行线的性质，将∠AED转移到一个便于计算的直角三角形中。具体思路为：先在网格中找到合适的格点，平移其中一条线段，使∠AED转化为直角三角形的内角，再结合勾股定理计算直角边长度，最后根据正切的定义求出比值即可。
【解析】
解：设每个小正方形的边长为1。
取格点F，连接BF、AF，使AF//CD，则∠BAF=∠AED（两直线平行，同位角相等）。
通过网格计算各边长度：
$AF=2\sqrt{2}$，$BF=\sqrt{2}$，$AB=\sqrt{10}$，
∵$AF^2 + BF^2=(2\sqrt{2})^2+(\sqrt{2})^2=8+2=10=AB^2$，
∴$△ AFB$是直角三角形，且$∠ AFB=90°$，
根据正切的定义可得：$\tan∠ BAF=\frac{BF}{AF}=\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}=\frac{1}{2}$，
即$\tan∠ AED=\frac{1}{2}$。
【答案】
B
【知识点】
正切的定义，平行线的性质，勾股定理
【点评】
本题是网格中的锐角三角函数求解问题，核心是利用平移转化待求角，将其放入直角三角形中计算，考查了转化思想的应用，解题时要注意先验证构造的三角形是否为直角三角形，再计算三角函数值。
【难度系数】
0.6
