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3. (2025杭州期末)如图,点P是锐角∠BAC的边AB上任意一点,过点P作PQ⊥AC于点Q.若$\frac{AQ}{PQ}=\frac{1}{2}$,则$\tan A=$（
A.$\frac{1}{2}$
B.$2$
C.$\frac{\sqrt{5}}{5}$
D.$\frac{2\sqrt{5}}{5}$
B
）A.$\frac{1}{2}$
B.$2$
C.$\frac{\sqrt{5}}{5}$
D.$\frac{2\sqrt{5}}{5}$
答案
3. B
解析
【分析】
解题时首先根据PQ⊥AC确定△AQP为直角三角形，再回忆锐角正切的定义：直角三角形中一个锐角的正切值等于该角的对边与邻边的比值。接下来找到∠A的对边是PQ、邻边是AQ，结合已知的$\frac{AQ}{PQ}=\frac{1}{2}$，对比例式变形即可求出$\tan A$的值。
【解析】
解：
∵$PQ⊥ AC$，
∴$∠ AQP=90°$，即$△ AQP$是直角三角形。
根据锐角正切的定义，在$Rt△ AQP$中：
$\tan A=\frac{∠ A的对边}{∠ A的邻边}=\frac{PQ}{AQ}$
已知$\frac{AQ}{PQ}=\frac{1}{2}$，变形可得$\frac{PQ}{AQ}=2$，
∴$\tan A=2$，故选B。
【答案】
B
【知识点】
正切的定义，垂直的性质
【点评】
本题是基础题型，重点考查对锐角正切定义的理解和应用，解题的核心是准确区分直角三角形中锐角对应的对边和邻边，结合已知比值即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
解题时首先根据PQ⊥AC确定△AQP为直角三角形，再回忆锐角正切的定义：直角三角形中一个锐角的正切值等于该角的对边与邻边的比值。接下来找到∠A的对边是PQ、邻边是AQ，结合已知的$\frac{AQ}{PQ}=\frac{1}{2}$，对比例式变形即可求出$\tan A$的值。
【解析】
解：
∵$PQ⊥ AC$，
∴$∠ AQP=90°$，即$△ AQP$是直角三角形。
根据锐角正切的定义，在$Rt△ AQP$中：
$\tan A=\frac{∠ A的对边}{∠ A的邻边}=\frac{PQ}{AQ}$
已知$\frac{AQ}{PQ}=\frac{1}{2}$，变形可得$\frac{PQ}{AQ}=2$，
∴$\tan A=2$，故选B。
【答案】
B
【知识点】
正切的定义，垂直的性质
【点评】
本题是基础题型，重点考查对锐角正切定义的理解和应用，解题的核心是准确区分直角三角形中锐角对应的对边和邻边，结合已知比值即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
4. (2025贵阳月考)在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，若$\mathrm{Rt}△ ABC$的边长都扩大为原来的2倍，则$\tan A$的值 （
A.不变
B.变大
C.变小
D.无法判断
A
）A.不变
B.变大
C.变小
D.无法判断
答案
4. A
解析
【分析】
解题时首先要明确锐角正切的定义：在直角三角形中，一个锐角的正切值等于它的对边与邻边的比值，本质是两条线段的比值。接下来分析边长扩大2倍后，∠A的对边和邻边的变化情况：边长同时扩大相同倍数时，对边和邻边的比值不会发生改变，因此tanA的值不变。
【解析】
设原$\mathrm{Rt}△ABC$中，∠A的对边为$BC=a$，邻边为$AC=b$，
根据正切的定义，得$\tan A=\frac{BC}{AC}=\frac{a}{b}$。
若各边长都扩大为原来的2倍，则新三角形中∠A的对边变为$2a$，邻边变为$2b$，
此时$\tan A=\frac{2a}{2b}=\frac{a}{b}$，和原$\tan A$的值相等。
因此$\tan A$的值不变，故选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 正切的定义
2. 相似三角形的性质
【点评】
本题考查锐角三角函数的基本概念，要明确三角函数值仅和对应角的大小有关，和直角三角形的边长无关，属于基础概念考查题，理解定义即可快速得分。
【难度系数】
0.9
解题时首先要明确锐角正切的定义：在直角三角形中，一个锐角的正切值等于它的对边与邻边的比值，本质是两条线段的比值。接下来分析边长扩大2倍后，∠A的对边和邻边的变化情况：边长同时扩大相同倍数时，对边和邻边的比值不会发生改变，因此tanA的值不变。
【解析】
设原$\mathrm{Rt}△ABC$中，∠A的对边为$BC=a$，邻边为$AC=b$，
根据正切的定义，得$\tan A=\frac{BC}{AC}=\frac{a}{b}$。
若各边长都扩大为原来的2倍，则新三角形中∠A的对边变为$2a$，邻边变为$2b$，
此时$\tan A=\frac{2a}{2b}=\frac{a}{b}$，和原$\tan A$的值相等。
因此$\tan A$的值不变，故选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 正切的定义
2. 相似三角形的性质
【点评】
本题考查锐角三角函数的基本概念，要明确三角函数值仅和对应角的大小有关，和直角三角形的边长无关，属于基础概念考查题，理解定义即可快速得分。
【难度系数】
0.9
5. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$. 如果$\frac{AC}{BC}=\sqrt{3}$，那么$∠ B=$
$60°$
.答案
5. $60°$
解析
【分析】
本题是直角三角形中已知直角边比值求锐角的问题，解题思路如下：首先回忆锐角三角函数的定义，在直角三角形中，一个锐角的正切值等于它的对边与邻边的比值；观察可得∠B的对边是AC，邻边是BC，因此$\tan B=\frac{AC}{BC}$，代入题中给出的比值可得到$\tan B$的值，最后结合特殊角的三角函数值即可求出∠B的度数。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据锐角正切的定义可得：
$\tan B = \frac{∠B\mathrm{的对边}}{∠B\mathrm{的邻边}} = \frac{AC}{BC}$
已知$\frac{AC}{BC}=\sqrt{3}$，因此$\tan B = \sqrt{3}$
又因为∠B是直角三角形的锐角，结合特殊角的三角函数值可知：
$∠B=60°$
【答案】
$60°$
【知识点】
锐角三角函数的定义；特殊角的三角函数值
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对锐角三角函数的理解和特殊角三角函数值的记忆，熟练掌握特殊角的三角函数值是快速解题的核心。
【难度系数】
0.8
本题是直角三角形中已知直角边比值求锐角的问题，解题思路如下：首先回忆锐角三角函数的定义，在直角三角形中，一个锐角的正切值等于它的对边与邻边的比值；观察可得∠B的对边是AC，邻边是BC，因此$\tan B=\frac{AC}{BC}$，代入题中给出的比值可得到$\tan B$的值，最后结合特殊角的三角函数值即可求出∠B的度数。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据锐角正切的定义可得：
$\tan B = \frac{∠B\mathrm{的对边}}{∠B\mathrm{的邻边}} = \frac{AC}{BC}$
已知$\frac{AC}{BC}=\sqrt{3}$，因此$\tan B = \sqrt{3}$
又因为∠B是直角三角形的锐角，结合特殊角的三角函数值可知：
$∠B=60°$
【答案】
$60°$
【知识点】
锐角三角函数的定义；特殊角的三角函数值
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对锐角三角函数的理解和特殊角三角函数值的记忆，熟练掌握特殊角的三角函数值是快速解题的核心。
【难度系数】
0.8
6.求出图中∠A，∠B的正切值. 
答案
解:$\because BC=2,BA=6,∠C=90°,\therefore AC=\sqrt{6^2-2^2}=4\sqrt{2}$,
$\therefore \tan A=\frac{BC}{AC}=\frac{2}{4\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{4},\tan B=\frac{AC}{BC}=\frac{4\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}.$
$\therefore \tan A=\frac{BC}{AC}=\frac{2}{4\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{4},\tan B=\frac{AC}{BC}=\frac{4\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}.$
解析
【分析】
要计算直角三角形中两个锐角的正切值，首先需明确正切的定义：直角三角形中一个锐角的正切等于它的对边长度与邻边长度的比值。本题已知直角边BC和斜边AB的长度，首先用勾股定理求出另一条直角边AC的长度，再分别确定∠A、∠B的对边和邻边，代入正切定义计算，最后将结果化简为最简二次根式即可。
【解析】
解：已知在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$BC=2$，$AB=6$。
1. 由勾股定理计算AC的长度：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{6^2-2^2}=\sqrt{36-4}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$
2. 根据正切的定义计算$\tan A$：
$∠ A$的对边是$BC$，邻边是$AC$，因此$\tan A=\frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{邻边}}=\frac{BC}{AC}=\frac{2}{4\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{4}$
3. 根据正切的定义计算$\tan B$：
$∠ B$的对边是$AC$，邻边是$BC$，因此$\tan B=\frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{邻边}}=\frac{AC}{BC}=\frac{4\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}$
【答案】
$\tan A=\frac{\sqrt{2}}{4}$，$\tan B=2\sqrt{2}$
【知识点】
勾股定理；正切的定义；二次根式化简
【点评】
本题属于锐角三角函数的基础应用题，解题核心是熟练掌握勾股定理和正切的定义，计算时注意最终结果要化为最简二次根式，掌握基础知识点即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
要计算直角三角形中两个锐角的正切值，首先需明确正切的定义：直角三角形中一个锐角的正切等于它的对边长度与邻边长度的比值。本题已知直角边BC和斜边AB的长度，首先用勾股定理求出另一条直角边AC的长度，再分别确定∠A、∠B的对边和邻边，代入正切定义计算，最后将结果化简为最简二次根式即可。
【解析】
解：已知在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$BC=2$，$AB=6$。
1. 由勾股定理计算AC的长度：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{6^2-2^2}=\sqrt{36-4}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$
2. 根据正切的定义计算$\tan A$：
$∠ A$的对边是$BC$，邻边是$AC$，因此$\tan A=\frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{邻边}}=\frac{BC}{AC}=\frac{2}{4\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{4}$
3. 根据正切的定义计算$\tan B$：
$∠ B$的对边是$AC$，邻边是$BC$，因此$\tan B=\frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{邻边}}=\frac{AC}{BC}=\frac{4\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}$
【答案】
$\tan A=\frac{\sqrt{2}}{4}$，$\tan B=2\sqrt{2}$
【知识点】
勾股定理；正切的定义；二次根式化简
【点评】
本题属于锐角三角函数的基础应用题，解题核心是熟练掌握勾股定理和正切的定义，计算时注意最终结果要化为最简二次根式，掌握基础知识点即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
7. 计算:
(1)$(π - 1)^0 - \sqrt{12} + 2\tan 60° - |1 - \sqrt{2}|$;
(2)$\sin 60° · \cos 30° + \sqrt{2}\sin 45° - 3\tan^2 30°$.
(1)$(π - 1)^0 - \sqrt{12} + 2\tan 60° - |1 - \sqrt{2}|$;
(2)$\sin 60° · \cos 30° + \sqrt{2}\sin 45° - 3\tan^2 30°$.
答案
解:(1)原式$=1-2\sqrt{3}+2\sqrt{3}-\sqrt{2}+1=2-\sqrt{2}.$
(2)原式$=\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}+\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}-3×(\frac{\sqrt{3}}{3})^2$
$=\frac{3}{4}+1-1=\frac{3}{4}.$
(2)原式$=\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}+\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}-3×(\frac{\sqrt{3}}{3})^2$
$=\frac{3}{4}+1-1=\frac{3}{4}.$
解析
【分析】
这两道题均属于实数混合运算类题目，解题思路如下：①先明确运算顺序：先计算乘方、开方、特殊角的三角函数值、零指数幂、绝对值，再计算乘除，最后计算加减，有括号先算括号内的；②逐个化简每个运算项：对于(1)，需牢记非零数的0次幂为1、最简二次根式的化简方法、tan60°的数值、负数的绝对值是它的相反数；对于(2)，要准确记忆30°、45°、60°的正弦、余弦、正切值，代入后先算乘方、乘法，再合并计算即可。
【解析】
(1) 分别化简各项：
非零数的0次幂为1，故$(π-1)^0=1$；
二次根式化简得$\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=2\sqrt{3}$；
特殊角三角函数值$\tan60°=\sqrt{3}$，故$2\tan60°=2\sqrt{3}$；
$\sqrt{2}＞1$，故$|1-\sqrt{2}|=\sqrt{2}-1$，去括号得$-|1-\sqrt{2}|=-\sqrt{2}+1$。
代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=1-2\sqrt{3}+2\sqrt{3}-\sqrt{2}+1\\&=2-\sqrt{2}\end{aligned}$
(2) 代入特殊角三角函数值：$\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$，按先乘方、再乘除、后加减的顺序计算：
$\begin{aligned}原式&=\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}+\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}-3×(\frac{\sqrt{3}}{3})^2\\&=\frac{3}{4}+1-3×\frac{1}{3}\\&=\frac{3}{4}+1-1\\&=\frac{3}{4}\end{aligned}$
【答案】
(1)$2-\sqrt{2}$；(2)$\frac{3}{4}$
【知识点】
1. 特殊角的三角函数值
2. 实数混合运算
3. 零指数幂与绝对值化简
【点评】
本题是基础运算题，核心考查对相关运算法则和特殊角三角函数值的掌握程度，解题时要注意运算顺序，去绝对值时要先判断绝对值内式子的正负，代入三角函数值时不要混淆数值，计算仔细即可得到正确结果。
【难度系数】
0.8
这两道题均属于实数混合运算类题目，解题思路如下：①先明确运算顺序：先计算乘方、开方、特殊角的三角函数值、零指数幂、绝对值，再计算乘除，最后计算加减，有括号先算括号内的；②逐个化简每个运算项：对于(1)，需牢记非零数的0次幂为1、最简二次根式的化简方法、tan60°的数值、负数的绝对值是它的相反数；对于(2)，要准确记忆30°、45°、60°的正弦、余弦、正切值，代入后先算乘方、乘法，再合并计算即可。
【解析】
(1) 分别化简各项：
非零数的0次幂为1，故$(π-1)^0=1$；
二次根式化简得$\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=2\sqrt{3}$；
特殊角三角函数值$\tan60°=\sqrt{3}$，故$2\tan60°=2\sqrt{3}$；
$\sqrt{2}＞1$，故$|1-\sqrt{2}|=\sqrt{2}-1$，去括号得$-|1-\sqrt{2}|=-\sqrt{2}+1$。
代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=1-2\sqrt{3}+2\sqrt{3}-\sqrt{2}+1\\&=2-\sqrt{2}\end{aligned}$
(2) 代入特殊角三角函数值：$\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$，按先乘方、再乘除、后加减的顺序计算：
$\begin{aligned}原式&=\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}+\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}-3×(\frac{\sqrt{3}}{3})^2\\&=\frac{3}{4}+1-3×\frac{1}{3}\\&=\frac{3}{4}+1-1\\&=\frac{3}{4}\end{aligned}$
【答案】
(1)$2-\sqrt{2}$；(2)$\frac{3}{4}$
【知识点】
1. 特殊角的三角函数值
2. 实数混合运算
3. 零指数幂与绝对值化简
【点评】
本题是基础运算题，核心考查对相关运算法则和特殊角三角函数值的掌握程度，解题时要注意运算顺序，去绝对值时要先判断绝对值内式子的正负，代入三角函数值时不要混淆数值，计算仔细即可得到正确结果。
【难度系数】
0.8
8. 如图，AD是$△ ABC$的高.若$BD=2CD=4$，$\tan C=3$，则$△ ABC$的面积为 （$\quad$）
A.12
B.18
C.24
D.36
A.12
B.18
C.24
D.36
答案
B
解析
【分析】
解题时先从已知线段关系入手，首先由BD=2CD=4求出CD的长度；再结合AD是高，可知△ADC为直角三角形，利用锐角三角函数中正切的定义，即tanC是直角三角形中∠C的对边与邻边的比值，结合已知tanC=3即可求出高AD的长度；接下来求出底边BC的总长度，最后代入三角形面积公式计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵BD=2CD=4，
∴CD=2，BD=4，
∴底边BC=BD+CD=4+2=6，
∵AD是△ABC的高，
∴∠ADC=90°，
在Rt△ADC中，$\tan C=\frac{AD}{CD}=3$，
将CD=2代入得：AD=3×CD=3×2=6，
∴$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × BC × AD=\frac{1}{2} × 6 × 6=18$。
【答案】
B
【知识点】
正切的定义，三角形面积公式
【点评】
本题属于基础题，主要考查直角三角形中锐角三角函数的应用，解题的关键是正确理解正切的定义求出高AD的长度，计算时注意线段和差的运算不要出错。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知线段关系入手，首先由BD=2CD=4求出CD的长度；再结合AD是高，可知△ADC为直角三角形，利用锐角三角函数中正切的定义，即tanC是直角三角形中∠C的对边与邻边的比值，结合已知tanC=3即可求出高AD的长度；接下来求出底边BC的总长度，最后代入三角形面积公式计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵BD=2CD=4，
∴CD=2，BD=4，
∴底边BC=BD+CD=4+2=6，
∵AD是△ABC的高，
∴∠ADC=90°，
在Rt△ADC中，$\tan C=\frac{AD}{CD}=3$，
将CD=2代入得：AD=3×CD=3×2=6，
∴$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × BC × AD=\frac{1}{2} × 6 × 6=18$。
【答案】
B
【知识点】
正切的定义，三角形面积公式
【点评】
本题属于基础题，主要考查直角三角形中锐角三角函数的应用，解题的关键是正确理解正切的定义求出高AD的长度，计算时注意线段和差的运算不要出错。
【难度系数】
0.7
9. (2026临汾期末)如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则tan∠BAC的值为
$\frac{1}{2}$
.答案
9. $\frac{1}{2}$
解析
【分析】
要求tan∠BAC的值，首先要明确正切的定义是直角三角形中锐角的对边与邻边的比值，因此需要将∠BAC放到直角三角形中求解。我们可以先设每个小正方形的边长为1，先利用勾股定理算出△ABC各边的长度，再通过面积法求出AC边上的高，得到∠BAC所在直角三角形的对边和邻边长度，最后代入正切定义计算即可。
【解析】
设每个小正方形的边长为1。
1. 计算△ABC的面积和各边长度：
BC在水平线上，长度为2，点A到BC的垂直距离为3，因此：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × BC × 3=\frac{1}{2} × 2 × 3=3$
由勾股定理可得：
$AB=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$，$AC=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}$
2. 过点B作$BD ⊥ AC$于点D，根据三角形面积公式：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × AC × BD$，代入已知数值：
$3=\frac{1}{2} × 3\sqrt{2} × BD$，解得$BD=\sqrt{2}$
在$Rt△ ABD$中，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{(\sqrt{10})^2-(\sqrt{2})^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$
3. 根据正切的定义：
$\tan∠ BAC=\frac{BD}{AD}=\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}=\frac{1}{2}$
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
正切的定义，勾股定理，三角形面积计算
【点评】
本题结合网格考查锐角三角函数的计算，核心是通过构造直角三角形，结合勾股定理和面积法得到对应边的长度，再代入三角函数定义求解，是网格类三角函数题的典型考法。
【难度系数】
0.7
要求tan∠BAC的值，首先要明确正切的定义是直角三角形中锐角的对边与邻边的比值，因此需要将∠BAC放到直角三角形中求解。我们可以先设每个小正方形的边长为1，先利用勾股定理算出△ABC各边的长度，再通过面积法求出AC边上的高，得到∠BAC所在直角三角形的对边和邻边长度，最后代入正切定义计算即可。
【解析】
设每个小正方形的边长为1。
1. 计算△ABC的面积和各边长度：
BC在水平线上，长度为2，点A到BC的垂直距离为3，因此：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × BC × 3=\frac{1}{2} × 2 × 3=3$
由勾股定理可得：
$AB=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$，$AC=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}$
2. 过点B作$BD ⊥ AC$于点D，根据三角形面积公式：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × AC × BD$，代入已知数值：
$3=\frac{1}{2} × 3\sqrt{2} × BD$，解得$BD=\sqrt{2}$
在$Rt△ ABD$中，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{(\sqrt{10})^2-(\sqrt{2})^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$
3. 根据正切的定义：
$\tan∠ BAC=\frac{BD}{AD}=\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}=\frac{1}{2}$
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
正切的定义，勾股定理，三角形面积计算
【点评】
本题结合网格考查锐角三角函数的计算，核心是通过构造直角三角形，结合勾股定理和面积法得到对应边的长度，再代入三角函数定义求解，是网格类三角函数题的典型考法。
【难度系数】
0.7
10.如图,将矩形ABCD沿CE折叠,点B恰好落在边AD的点F处,已知$\frac{AB}{BC}=\frac{2}{3}$,求$\tan∠DCF$的值. 
答案
解:$\because$ 四边形 $ABCD$ 是矩形,$\therefore AB=CD,∠D=90°.$
$\because \frac{AB}{BC}=\frac{2}{3}$,且由折叠知 $CF=BC,\therefore \frac{CD}{CF}=\frac{AB}{BC}=\frac{2}{3}.$
设 $CD=2x,CF=3x(x＞0),\therefore DF=\sqrt{CF^2-CD^2}=\sqrt{5}x.$
$\therefore \tan∠ DCF=\frac{DF}{CD}=\frac{\sqrt{5}x}{2x}=\frac{\sqrt{5}}{2}.$
$\because \frac{AB}{BC}=\frac{2}{3}$,且由折叠知 $CF=BC,\therefore \frac{CD}{CF}=\frac{AB}{BC}=\frac{2}{3}.$
设 $CD=2x,CF=3x(x＞0),\therefore DF=\sqrt{CF^2-CD^2}=\sqrt{5}x.$
$\therefore \tan∠ DCF=\frac{DF}{CD}=\frac{\sqrt{5}x}{2x}=\frac{\sqrt{5}}{2}.$
解析
【分析】
要解这道题可按以下思路思考：第一步，利用矩形的性质得到AB=CD、∠D为直角，将待求的∠DCF放在直角三角形DCF中研究；第二步，根据折叠前后对应边相等的性质，可得CF=BC，结合已知的AB与BC的比值，就能得到CD与CF的比值；第三步，根据正切的定义，tan∠DCF等于∠DCF的对边DF比邻边CD，我们可以设参数表示CD和CF的长度，用勾股定理求出DF的长度，最后代入正切公式计算比值即可。
【解析】
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AB=CD，∠D=90°。
∵ $\frac{AB}{BC}=\frac{2}{3}$，且由折叠的性质可知CF=BC，
∴ $\frac{CD}{CF}=\frac{AB}{BC}=\frac{2}{3}$。
设$CD=2x$，$CF=3x$（$x＞0$），
由勾股定理得：$DF=\sqrt{CF^2-CD^2}=\sqrt{(3x)^2-(2x)^2}=\sqrt{5}x$，
∴ $\tan∠DCF=\frac{DF}{CD}=\frac{\sqrt{5}x}{2x}=\frac{\sqrt{5}}{2}$。
【答案】
$\frac{\sqrt{5}}{2}$
【知识点】
矩形的性质，折叠的性质，锐角三角函数的定义
【点评】
本题属于基础综合题，解题核心是利用折叠的性质得到相等的边，将已知的边长比转化到直角三角形中，再结合勾股定理和锐角三角函数的定义求解，计算量小，解题思路清晰。
【难度系数】
0.7
要解这道题可按以下思路思考：第一步，利用矩形的性质得到AB=CD、∠D为直角，将待求的∠DCF放在直角三角形DCF中研究；第二步，根据折叠前后对应边相等的性质，可得CF=BC，结合已知的AB与BC的比值，就能得到CD与CF的比值；第三步，根据正切的定义，tan∠DCF等于∠DCF的对边DF比邻边CD，我们可以设参数表示CD和CF的长度，用勾股定理求出DF的长度，最后代入正切公式计算比值即可。
【解析】
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AB=CD，∠D=90°。
∵ $\frac{AB}{BC}=\frac{2}{3}$，且由折叠的性质可知CF=BC，
∴ $\frac{CD}{CF}=\frac{AB}{BC}=\frac{2}{3}$。
设$CD=2x$，$CF=3x$（$x＞0$），
由勾股定理得：$DF=\sqrt{CF^2-CD^2}=\sqrt{(3x)^2-(2x)^2}=\sqrt{5}x$，
∴ $\tan∠DCF=\frac{DF}{CD}=\frac{\sqrt{5}x}{2x}=\frac{\sqrt{5}}{2}$。
【答案】
$\frac{\sqrt{5}}{2}$
【知识点】
矩形的性质，折叠的性质，锐角三角函数的定义
【点评】
本题属于基础综合题，解题核心是利用折叠的性质得到相等的边，将已知的边长比转化到直角三角形中，再结合勾股定理和锐角三角函数的定义求解，计算量小，解题思路清晰。
【难度系数】
0.7
