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知识体系构建
圆
圆的相关概念
圆的定义
圆心、半径、直径、弦、半圆、等圆、优弧、劣弧、等弧
圆心角、圆周角、外接圆、外心
圆的有关性质
不在①
圆既是②
垂径定理：垂直于弦的直径④
垂径定理的推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于⑥
弧、弦、圆心角之间的关系：在同圆或等圆中，如果两条弧、两条弦、两个圆心角这三组量中有一组量相等，那么它们所对应的其余两组量也相等
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的⑧
圆周角定理的推论：同弧或等弧所对的圆周角相等.半圆(或直径)所对的圆周角是⑨
与圆有关的计算
弧长公式：⑪
扇形面积公式：⑫
圆内接四边形
对角互补
圆
圆的相关概念
圆的定义
圆心、半径、直径、弦、半圆、等圆、优弧、劣弧、等弧
圆心角、圆周角、外接圆、外心
圆的有关性质
不在①
同一条直线上
的三个点确定一个圆圆既是②
轴对称
图形，也是③中心对称
图形垂径定理：垂直于弦的直径④
平分弦
并且平分弦所对的⑤两条弧
垂径定理的推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于⑥
弦
，并且平分弦所对的⑦两条弧
弧、弦、圆心角之间的关系：在同圆或等圆中，如果两条弧、两条弦、两个圆心角这三组量中有一组量相等，那么它们所对应的其余两组量也相等
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的⑧
一半
圆周角定理的推论：同弧或等弧所对的圆周角相等.半圆(或直径)所对的圆周角是⑨
直角
，90°的圆周角所对的弦是⑩直径
与圆有关的计算
弧长公式：⑪
$l = \frac{nπ r}{180}$
扇形面积公式：⑫
$S = \frac{nπ r^2}{360} = \frac{1}{2}lr$
圆内接四边形
对角互补
答案
1. 同一条直线上
2. 轴对称
3. 中心对称
4. 平分弦
5. 两条弧
6. 弦
7. 两条弧
8. 一半
9. 直角
10. 直径
11. $l = \frac{nπ r}{180}$
12. $S = \frac{nπ r^2}{360} = \frac{1}{2}lr$
2. 轴对称
3. 中心对称
4. 平分弦
5. 两条弧
6. 弦
7. 两条弧
8. 一半
9. 直角
10. 直径
11. $l = \frac{nπ r}{180}$
12. $S = \frac{nπ r^2}{360} = \frac{1}{2}lr$
解析
【分析】
本题为圆章节的基础知识梳理填空题，考查对圆相关的概念、性质、定理及计算公式的识记掌握。解题时逐一对应每个空的考点，回忆课本中对应知识点的标准表述即可作答：①对应确定圆的条件；②③对应圆的对称性；④⑤对应垂径定理内容；⑥⑦对应垂径定理的推论；⑧对应圆周角定理；⑨⑩对应圆周角定理的推论；⑪对应弧长计算公式；⑫对应扇形面积计算公式。
【解析】
①根据确定圆的条件：不在同一条直线上的三个点确定一个圆，故填同一条直线上；
②③圆沿任意一条过圆心的直线对折都能完全重合，是轴对称图形；圆绕圆心旋转180°后能与自身重合，也是中心对称图形，故②填轴对称，③填中心对称；
④⑤根据垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧，故④填平分弦，⑤填两条弧；
⑥⑦根据垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，故⑥填弦，⑦填两条弧；
⑧根据圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，故填一半；
⑨⑩根据圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径，故⑨填直角，⑩填直径；
⑪弧长公式：若圆心角度数为n，圆的半径为r，则弧长$l = \frac{nπ r}{180}$；
⑫扇形面积公式：若圆心角度数为n，圆的半径为r，弧长为l，则扇形面积$S = \frac{nπ r^2}{360} = \frac{1}{2}lr$。
【答案】
①同一条直线上；②轴对称；③中心对称；④平分弦；⑤两条弧；⑥弦；⑦两条弧；⑧一半；⑨直角；⑩直径；⑪$\boldsymbol{l = \frac{nπ r}{180}}$；⑫$\boldsymbol{S = \frac{nπ r^2}{360} = \frac{1}{2}lr}$
【知识点】
圆的基本性质，圆周角定理，弧长与扇形面积计算
【点评】
本题属于基础识记类题目，全面覆盖了圆章节核心的概念、定理和常用公式，是学习圆相关内容的基础，只有熟练掌握这些基础知识点，才能更好地解决圆的综合应用类题目。
【难度系数】
0.85
本题为圆章节的基础知识梳理填空题，考查对圆相关的概念、性质、定理及计算公式的识记掌握。解题时逐一对应每个空的考点，回忆课本中对应知识点的标准表述即可作答：①对应确定圆的条件；②③对应圆的对称性；④⑤对应垂径定理内容；⑥⑦对应垂径定理的推论；⑧对应圆周角定理；⑨⑩对应圆周角定理的推论；⑪对应弧长计算公式；⑫对应扇形面积计算公式。
【解析】
①根据确定圆的条件：不在同一条直线上的三个点确定一个圆，故填同一条直线上；
②③圆沿任意一条过圆心的直线对折都能完全重合，是轴对称图形；圆绕圆心旋转180°后能与自身重合，也是中心对称图形，故②填轴对称，③填中心对称；
④⑤根据垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧，故④填平分弦，⑤填两条弧；
⑥⑦根据垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，故⑥填弦，⑦填两条弧；
⑧根据圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，故填一半；
⑨⑩根据圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径，故⑨填直角，⑩填直径；
⑪弧长公式：若圆心角度数为n，圆的半径为r，则弧长$l = \frac{nπ r}{180}$；
⑫扇形面积公式：若圆心角度数为n，圆的半径为r，弧长为l，则扇形面积$S = \frac{nπ r^2}{360} = \frac{1}{2}lr$。
【答案】
①同一条直线上；②轴对称；③中心对称；④平分弦；⑤两条弧；⑥弦；⑦两条弧；⑧一半；⑨直角；⑩直径；⑪$\boldsymbol{l = \frac{nπ r}{180}}$；⑫$\boldsymbol{S = \frac{nπ r^2}{360} = \frac{1}{2}lr}$
【知识点】
圆的基本性质，圆周角定理，弧长与扇形面积计算
【点评】
本题属于基础识记类题目，全面覆盖了圆章节核心的概念、定理和常用公式，是学习圆相关内容的基础，只有熟练掌握这些基础知识点，才能更好地解决圆的综合应用类题目。
【难度系数】
0.85
1. 下列说法正确的是 （
A.长度相等的弧是等弧
B.圆既是轴对称图形，又是中心对称图形
C.弧是半圆
D.三点确定一个圆
B
）A.长度相等的弧是等弧
B.圆既是轴对称图形，又是中心对称图形
C.弧是半圆
D.三点确定一个圆
答案
1. B
解析
【分析】
本题考查圆的相关基础概念，解题时需逐一对应每个选项涉及的定义、性质判断正误：先回忆等弧、圆的对称性、弧的定义、确定圆的条件这几个核心知识点，逐个排查每个选项的表述是否符合概念要求。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 等弧的定义是同圆或等圆中能够完全重合的弧，仅长度相等的弧不一定能重合，因此A错误；
B. 圆沿任意一条直径对折都能完全重合，是轴对称图形；绕圆心旋转180°能与原图形完全重合，也是中心对称图形，因此B正确；
C. 弧是圆上任意两点间的部分，分为优弧、劣弧、半圆三类，半圆只是特殊的弧，弧不一定是半圆，因此C错误；
D. 只有不在同一直线上的三个点才能确定一个圆，三点共线时无法确定圆，因此D错误。
【答案】
B
【知识点】
圆的对称性；等弧的定义；确定圆的条件
【点评】
本题属于基础概念类考题，重点考查圆相关易混淆概念的限定条件，学习时要注意准确记忆概念的前提要求，避免因忽略限定条件出错。
【难度系数】
0.8
本题考查圆的相关基础概念，解题时需逐一对应每个选项涉及的定义、性质判断正误：先回忆等弧、圆的对称性、弧的定义、确定圆的条件这几个核心知识点，逐个排查每个选项的表述是否符合概念要求。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 等弧的定义是同圆或等圆中能够完全重合的弧，仅长度相等的弧不一定能重合，因此A错误；
B. 圆沿任意一条直径对折都能完全重合，是轴对称图形；绕圆心旋转180°能与原图形完全重合，也是中心对称图形，因此B正确；
C. 弧是圆上任意两点间的部分，分为优弧、劣弧、半圆三类，半圆只是特殊的弧，弧不一定是半圆，因此C错误；
D. 只有不在同一直线上的三个点才能确定一个圆，三点共线时无法确定圆，因此D错误。
【答案】
B
【知识点】
圆的对称性；等弧的定义；确定圆的条件
【点评】
本题属于基础概念类考题，重点考查圆相关易混淆概念的限定条件，学习时要注意准确记忆概念的前提要求，避免因忽略限定条件出错。
【难度系数】
0.8
2. 如图，AB是$\odot O$的直径，点C，D为圆上两点，$∠ BOC = 130°$，则$∠ D =$（
A.$25°$
B.$30°$
C.$35°$
D.$50°$
A
）A.$25°$
B.$30°$
C.$35°$
D.$50°$
答案
2. A
解析
【分析】
解题思路如下：首先观察图形，∠BOC与∠AOC是邻补角，二者之和为180°，已知∠BOC的度数，可先求出弧AC对应的圆心角∠AOC的度数；再根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，即可求出∠D的度数。
【解析】
∵AB是$\odot O$的直径，
∴$∠ AOB=180°$，
∵$∠ BOC=130°$，
∴$∠ AOC=180°-∠ BOC=180°-130°=50°$，
又
∵$∠ D$是弧AC所对的圆周角，$∠ AOC$是弧AC所对的圆心角，
根据圆周角定理，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
∴$∠ D=\frac{1}{2}∠ AOC=\frac{1}{2}×50°=25°$。
【答案】
A
【知识点】
邻补角计算；圆周角定理
【点评】
本题是圆相关的基础题型，核心是熟练运用圆周角定理，解题的关键是先找到所求圆周角对应的圆心角，通过邻补角性质求出圆心角度数后即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：首先观察图形，∠BOC与∠AOC是邻补角，二者之和为180°，已知∠BOC的度数，可先求出弧AC对应的圆心角∠AOC的度数；再根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，即可求出∠D的度数。
【解析】
∵AB是$\odot O$的直径，
∴$∠ AOB=180°$，
∵$∠ BOC=130°$，
∴$∠ AOC=180°-∠ BOC=180°-130°=50°$，
又
∵$∠ D$是弧AC所对的圆周角，$∠ AOC$是弧AC所对的圆心角，
根据圆周角定理，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
∴$∠ D=\frac{1}{2}∠ AOC=\frac{1}{2}×50°=25°$。
【答案】
A
【知识点】
邻补角计算；圆周角定理
【点评】
本题是圆相关的基础题型，核心是熟练运用圆周角定理，解题的关键是先找到所求圆周角对应的圆心角，通过邻补角性质求出圆心角度数后即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8
3. 用反证法证明“在$△ ABC$中，若$∠ C ＞ ∠ B ＞ ∠ A$，则$∠ A ＜ 60°$”时，应先假设（
A.$∠ A = 60°$
B.$∠ A ≠ 60°$
C.$∠ A ＞ 60°$
D.$∠ A ≥ 60°$
D
）A.$∠ A = 60°$
B.$∠ A ≠ 60°$
C.$∠ A ＞ 60°$
D.$∠ A ≥ 60°$
答案
3. D
解析
【分析】
首先回忆反证法的解题逻辑：反证法的第一步是假设原命题的结论不成立，即原结论的反面成立。本题原结论是“∠A＜60°”，需要明确“小于”的反面是“大于或等于”，找到该结论的否定形式即可确定假设内容。
【解析】
根据反证法的步骤，证明命题时首先要假设待证结论的反面成立。
本题待证结论为“∠A＜60°”，其反面为“∠A≥60°”，因此应先假设∠A≥60°，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
反证法，不等关系的否定
【点评】
本题考查反证法的基础步骤，解题关键是准确写出原结论的否定形式，要注意不等号否定时不要遗漏等于的情况，属于基础概念考查题。
【难度系数】
0.9
首先回忆反证法的解题逻辑：反证法的第一步是假设原命题的结论不成立，即原结论的反面成立。本题原结论是“∠A＜60°”，需要明确“小于”的反面是“大于或等于”，找到该结论的否定形式即可确定假设内容。
【解析】
根据反证法的步骤，证明命题时首先要假设待证结论的反面成立。
本题待证结论为“∠A＜60°”，其反面为“∠A≥60°”，因此应先假设∠A≥60°，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
反证法，不等关系的否定
【点评】
本题考查反证法的基础步骤，解题关键是准确写出原结论的否定形式，要注意不等号否定时不要遗漏等于的情况，属于基础概念考查题。
【难度系数】
0.9
4. 如图，AB是半圆O的直径，点C，D是半圆上两点，且∠ADC=120°，AB=12，则$\overset{\frown}{BC}$的长为（
A.π
B.2π
C.4π
D.6π
B
）A.π
B.2π
C.4π
D.6π
答案
4. B
解析
【分析】
解题时首先观察图形特征，AB为半圆直径，可得四边形ABCD是圆的内接四边形，结合已知∠ADC=120°，利用圆内接四边形对角互补可求出∠ABC的度数；再结合半径相等推导△OBC的形状，得到弧BC对应的圆心角度数，最后代入弧长公式即可求出弧长。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是半圆O的内接四边形
∴∠ADC + ∠ABC = 180°（圆内接四边形对角互补）
已知∠ADC=120°，代入得：
∠ABC = 180° - 120° = 60°
∵OC、OB均为半圆O的半径，AB=12
∴OB=OC = $\frac{1}{2}$AB = 6
在△OBC中，OB=OC，∠OBC=60°
∴△OBC是等边三角形，即∠BOC=60°
根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$（n为圆心角度数，r为半径），代入n=60°，r=6得：
$\overset{\frown}{BC}$的长 = $\frac{60×π×6}{180}=2π$
【答案】
B
【知识点】
圆内接四边形的性质；等边三角形的判定与性质；弧长计算
【点评】
本题是圆相关性质的基础应用考题，解题核心是通过角度推导得到目标弧对应的圆心角，再结合弧长公式计算，解题时要注意弧长公式中圆心角的单位为角度，不要混淆。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察图形特征，AB为半圆直径，可得四边形ABCD是圆的内接四边形，结合已知∠ADC=120°，利用圆内接四边形对角互补可求出∠ABC的度数；再结合半径相等推导△OBC的形状，得到弧BC对应的圆心角度数，最后代入弧长公式即可求出弧长。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是半圆O的内接四边形
∴∠ADC + ∠ABC = 180°（圆内接四边形对角互补）
已知∠ADC=120°，代入得：
∠ABC = 180° - 120° = 60°
∵OC、OB均为半圆O的半径，AB=12
∴OB=OC = $\frac{1}{2}$AB = 6
在△OBC中，OB=OC，∠OBC=60°
∴△OBC是等边三角形，即∠BOC=60°
根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$（n为圆心角度数，r为半径），代入n=60°，r=6得：
$\overset{\frown}{BC}$的长 = $\frac{60×π×6}{180}=2π$
【答案】
B
【知识点】
圆内接四边形的性质；等边三角形的判定与性质；弧长计算
【点评】
本题是圆相关性质的基础应用考题，解题核心是通过角度推导得到目标弧对应的圆心角，再结合弧长公式计算，解题时要注意弧长公式中圆心角的单位为角度，不要混淆。
【难度系数】
0.7
