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二、填空题
5. 如图，AB是$\odot O$的直径，弦$CD ⊥ AB$于点$E$，$OC=5\ \mathrm{cm}$，$CD=8\ \mathrm{cm}$，则$AE=\_\_\_\_\_\_\mathrm{cm}$.
5. 如图，AB是$\odot O$的直径，弦$CD ⊥ AB$于点$E$，$OC=5\ \mathrm{cm}$，$CD=8\ \mathrm{cm}$，则$AE=\_\_\_\_\_\_\mathrm{cm}$.
答案
5. 8
解析
【分析】
解题时首先观察题干条件：直径AB垂直于弦CD，可优先运用垂径定理得到弦CD一半的长度；再结合半径OC的长度，在直角三角形OCE中运用勾股定理求出OE的长度；最后结合半径OA的长度，即可求出AE的长度。
【解析】
解：
∵AB是$\odot O$的直径，$CD⊥ AB$于E
∴根据垂径定理，$CE=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}×8=4\ \mathrm{cm}$
在$\mathrm{Rt}△ OCE$中，$OC=5\ \mathrm{cm}$，$CE=4\ \mathrm{cm}$
由勾股定理得：$OE=\sqrt{OC^2 - CE^2}=\sqrt{5^2 - 4^2}=\sqrt{9}=3\ \mathrm{cm}$
∵OA是$\odot O$的半径，
∴$OA=OC=5\ \mathrm{cm}$
∴$AE=OA + OE=5 + 3=8\ \mathrm{cm}$
【答案】
8
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆的基本性质
【点评】
本题属于圆的基础计算题型，核心考查垂径定理与勾股定理的结合运用，解题的关键是通过垂径定理将已知弦长转化为直角三角形的边长，难度较低。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察题干条件：直径AB垂直于弦CD，可优先运用垂径定理得到弦CD一半的长度；再结合半径OC的长度，在直角三角形OCE中运用勾股定理求出OE的长度；最后结合半径OA的长度，即可求出AE的长度。
【解析】
解：
∵AB是$\odot O$的直径，$CD⊥ AB$于E
∴根据垂径定理，$CE=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}×8=4\ \mathrm{cm}$
在$\mathrm{Rt}△ OCE$中，$OC=5\ \mathrm{cm}$，$CE=4\ \mathrm{cm}$
由勾股定理得：$OE=\sqrt{OC^2 - CE^2}=\sqrt{5^2 - 4^2}=\sqrt{9}=3\ \mathrm{cm}$
∵OA是$\odot O$的半径，
∴$OA=OC=5\ \mathrm{cm}$
∴$AE=OA + OE=5 + 3=8\ \mathrm{cm}$
【答案】
8
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆的基本性质
【点评】
本题属于圆的基础计算题型，核心考查垂径定理与勾股定理的结合运用，解题的关键是通过垂径定理将已知弦长转化为直角三角形的边长，难度较低。
【难度系数】
0.8
6. 已知圆锥的高是12,底面圆的半径为5,则这个圆锥的侧面展开图的周长为
26 + 10π
.答案
6. 26 + 10π
解析
【分析】
要计算圆锥侧面展开图的周长，首先明确圆锥侧面展开图是扇形，扇形的周长由2条半径（即圆锥的母线长）和扇形的弧长（即圆锥底面圆的周长）两部分组成。解题步骤如下：①先利用圆锥的高、底面半径、母线构成直角三角形的特点，用勾股定理求出母线长；②计算圆锥底面圆的周长，即侧面展开图的弧长；③将2倍母线长与弧长相加，即可得到侧面展开图的周长。
【解析】
解：已知圆锥的高$ h=12 $，底面圆半径$ r=5 $，
∵圆锥的母线、高、底面半径构成直角三角形，
∴母线长$ l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{169} = 13 $，
∵圆锥侧面展开图的弧长等于底面圆的周长，
∴弧长$ l_{弧} = 2π r = 2π × 5 = 10π $，
圆锥侧面展开图的周长 = 2×母线长 + 弧长 = $ 2×13 + 10π = 26 + 10π $。
【答案】
26 + 10π
【知识点】
圆锥的性质；勾股定理；圆锥侧面展开图
【点评】
本题是圆锥相关计算的基础题型，解题的核心是掌握圆锥与侧面展开扇形之间的对应等量关系，牢记母线、底面半径、高满足勾股定理，弧长等于底面周长这两个核心结论即可快速求解。
【难度系数】
0.8
要计算圆锥侧面展开图的周长，首先明确圆锥侧面展开图是扇形，扇形的周长由2条半径（即圆锥的母线长）和扇形的弧长（即圆锥底面圆的周长）两部分组成。解题步骤如下：①先利用圆锥的高、底面半径、母线构成直角三角形的特点，用勾股定理求出母线长；②计算圆锥底面圆的周长，即侧面展开图的弧长；③将2倍母线长与弧长相加，即可得到侧面展开图的周长。
【解析】
解：已知圆锥的高$ h=12 $，底面圆半径$ r=5 $，
∵圆锥的母线、高、底面半径构成直角三角形，
∴母线长$ l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{169} = 13 $，
∵圆锥侧面展开图的弧长等于底面圆的周长，
∴弧长$ l_{弧} = 2π r = 2π × 5 = 10π $，
圆锥侧面展开图的周长 = 2×母线长 + 弧长 = $ 2×13 + 10π = 26 + 10π $。
【答案】
26 + 10π
【知识点】
圆锥的性质；勾股定理；圆锥侧面展开图
【点评】
本题是圆锥相关计算的基础题型，解题的核心是掌握圆锥与侧面展开扇形之间的对应等量关系，牢记母线、底面半径、高满足勾股定理，弧长等于底面周长这两个核心结论即可快速求解。
【难度系数】
0.8
7. 如图,正方形$ABCD$的边长为$2\sqrt{2}$,以点$A$为圆心,$AB$长为半径画弧,连接$AC$,以点$A$为圆心,$AC$长为半径画弧,交$AD$的延长线于点$E$,则图中阴影部分的面积是
π
.答案
解：
在正方形$ABCD$中，边长$AB=AD=2\sqrt{2}$，$∠ BAD=90°$，$AC$是正方形的对角线，因此：
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{(2\sqrt{2})^2+(2\sqrt{2})^2}=4$
且$∠ CAD=45°$。
阴影部分的面积为大扇形$AE C$的面积减去小扇形对应部分的面积：
$\begin{aligned}S_{\mathrm{阴影}}&=\frac{45°}{360°}×π× AC^2 - \frac{45°}{360°}×π× AB^2\\&=\frac{1}{8}×π× 4^2 - \frac{1}{8}×π× (2\sqrt{2})^2\\&=2π - π\\&=π\end{aligned}$
答案：$\boldsymbol{π}$
在正方形$ABCD$中，边长$AB=AD=2\sqrt{2}$，$∠ BAD=90°$，$AC$是正方形的对角线，因此：
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{(2\sqrt{2})^2+(2\sqrt{2})^2}=4$
且$∠ CAD=45°$。
阴影部分的面积为大扇形$AE C$的面积减去小扇形对应部分的面积：
$\begin{aligned}S_{\mathrm{阴影}}&=\frac{45°}{360°}×π× AC^2 - \frac{45°}{360°}×π× AB^2\\&=\frac{1}{8}×π× 4^2 - \frac{1}{8}×π× (2\sqrt{2})^2\\&=2π - π\\&=π\end{aligned}$
答案：$\boldsymbol{π}$
解析
【分析】
解题时首先观察阴影部分的构成，可将其转化为两个同圆心角的扇形面积之差。第一步先利用正方形的性质求出对角线AC的长度以及两个扇形的圆心角度数：正方形边长已知，用勾股定理可求出对角线AC的长，正方形对角线平分内角，因此两个扇形的圆心角均为45°；第二步分别计算半径为AC、圆心角45°的扇形面积和半径为AB、圆心角45°的扇形面积，两者相减即可得到阴影部分的面积。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是正方形，边长为$2\sqrt{2}$
∴$AB=BC=2\sqrt{2}$，$∠ BAD=90°$，AC平分$∠ BAD$
∴$∠ CAD=\frac{1}{2}∠ BAD=45°$
由勾股定理得：$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{(2\sqrt{2})^2+(2\sqrt{2})^2}=4$
阴影部分面积等于圆心角为45°、半径为AC的扇形面积减去圆心角为45°、半径为AB的扇形面积：
$\begin{aligned}S_{\mathrm{阴影}}&=\frac{45°}{360°}×π× AC^2 - \frac{45°}{360°}×π× AB^2\\&=\frac{1}{8}×π×4^2 - \frac{1}{8}×π×(2\sqrt{2})^2\\&=2π - π\\&=π\end{aligned}$
【答案】
$\boldsymbol{π}$
【知识点】
正方形的性质；勾股定理；扇形面积计算
【点评】
本题属于基础的组合图形面积计算题，解题核心是将不规则的阴影部分面积转化为规则扇形的面积差，需要熟练掌握正方形的相关性质和扇形面积的计算公式。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察阴影部分的构成，可将其转化为两个同圆心角的扇形面积之差。第一步先利用正方形的性质求出对角线AC的长度以及两个扇形的圆心角度数：正方形边长已知，用勾股定理可求出对角线AC的长，正方形对角线平分内角，因此两个扇形的圆心角均为45°；第二步分别计算半径为AC、圆心角45°的扇形面积和半径为AB、圆心角45°的扇形面积，两者相减即可得到阴影部分的面积。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是正方形，边长为$2\sqrt{2}$
∴$AB=BC=2\sqrt{2}$，$∠ BAD=90°$，AC平分$∠ BAD$
∴$∠ CAD=\frac{1}{2}∠ BAD=45°$
由勾股定理得：$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{(2\sqrt{2})^2+(2\sqrt{2})^2}=4$
阴影部分面积等于圆心角为45°、半径为AC的扇形面积减去圆心角为45°、半径为AB的扇形面积：
$\begin{aligned}S_{\mathrm{阴影}}&=\frac{45°}{360°}×π× AC^2 - \frac{45°}{360°}×π× AB^2\\&=\frac{1}{8}×π×4^2 - \frac{1}{8}×π×(2\sqrt{2})^2\\&=2π - π\\&=π\end{aligned}$
【答案】
$\boldsymbol{π}$
【知识点】
正方形的性质；勾股定理；扇形面积计算
【点评】
本题属于基础的组合图形面积计算题，解题核心是将不规则的阴影部分面积转化为规则扇形的面积差，需要熟练掌握正方形的相关性质和扇形面积的计算公式。
【难度系数】
0.7
三、解答题
8. 如图, 四边形 ABCD 内接于$\odot O$, $∠ ADB = 60°$, $\overset{\frown}{AB} = \overset{\frown}{BC}$. 请判断$△ ABC$的形状,并说明理由.
8. 如图, 四边形 ABCD 内接于$\odot O$, $∠ ADB = 60°$, $\overset{\frown}{AB} = \overset{\frown}{BC}$. 请判断$△ ABC$的形状,并说明理由.
答案
8. 解:△ABC是等边三角形.理由如下：
在⊙O中,$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}$,
∴AB=BC.
∴△ABC是等腰三角形.
∵$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AB}$,
∴∠ACB=∠ADB=60°.
∴△ABC是等边三角形.
在⊙O中,$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}$,
∴AB=BC.
∴△ABC是等腰三角形.
∵$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AB}$,
∴∠ACB=∠ADB=60°.
∴△ABC是等边三角形.
解析
【分析】
要判断$△ ABC$的形状，可按以下思路推导：首先根据已知$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}$，结合同圆中等弧对等弦的性质，可得出$AB=BC$，先确定$△ ABC$是等腰三角形；再找等腰三角形的内角是否有$60°$，观察发现$∠ ADB$和$∠ ACB$都是$\overset{\frown}{AB}$所对的圆周角，根据同弧所对圆周角相等，可得$∠ ACB=∠ ADB=60°$，最后根据“有一个角是$60°$的等腰三角形是等边三角形”即可得出结论。
【解析】
$△ ABC$是等边三角形，理由如下：
在$\odot O$中，$\because \overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}$，
$\therefore AB=BC$，$△ ABC$是等腰三角形。
$\because \overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AB}$，
$\therefore ∠ ACB=∠ ADB=60°$，
$\therefore △ ABC$是等边三角形。
【答案】
$△ ABC$是等边三角形
【知识点】
弧弦的关系，圆周角定理，等边三角形判定
【点评】
本题属于圆与三角形结合的基础题型，解题核心是灵活运用圆的基本性质得到边相等和角的度数，再结合等边三角形的判定定理求解。
【难度系数】
0.8
要判断$△ ABC$的形状，可按以下思路推导：首先根据已知$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}$，结合同圆中等弧对等弦的性质，可得出$AB=BC$，先确定$△ ABC$是等腰三角形；再找等腰三角形的内角是否有$60°$，观察发现$∠ ADB$和$∠ ACB$都是$\overset{\frown}{AB}$所对的圆周角，根据同弧所对圆周角相等，可得$∠ ACB=∠ ADB=60°$，最后根据“有一个角是$60°$的等腰三角形是等边三角形”即可得出结论。
【解析】
$△ ABC$是等边三角形，理由如下：
在$\odot O$中，$\because \overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}$，
$\therefore AB=BC$，$△ ABC$是等腰三角形。
$\because \overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AB}$，
$\therefore ∠ ACB=∠ ADB=60°$，
$\therefore △ ABC$是等边三角形。
【答案】
$△ ABC$是等边三角形
【知识点】
弧弦的关系，圆周角定理，等边三角形判定
【点评】
本题属于圆与三角形结合的基础题型，解题核心是灵活运用圆的基本性质得到边相等和角的度数，再结合等边三角形的判定定理求解。
【难度系数】
0.8
9. 如图,四边形ABCD内接于$\odot O$,AB是$\odot O$的直径,点C为$\overset{\frown}{BD}$的中点,连接OC.已知AD=2,AB=6.
(1)求证:$AD// OC$.
(2)求弦BC的长.
(1)求证:$AD// OC$.
(2)求弦BC的长.
答案
9. (1)证明:如图,连接BD交OC于点J.
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ADB=90°.
∵点C是$\overset{\frown}{DB}$的中点,
∴OC⊥DB.
∴∠OJB=∠ADB=90°.
∴AD//OC.
(2)解:
∵∠ADB=90°,AB=6,AD=2,
∴BD=$\sqrt{AB^2-AD^2}=\sqrt{6^2-2^2}=4\sqrt{2}$.
∵点C是$\overset{\frown}{DB}$的中点,
∴OC⊥DB,DJ=JB=$\frac{1}{2}DB=2\sqrt{2}$.
∵AO=OB,DJ=JB,
∴OJ=$\frac{1}{2}AD=1$.
∵OC=$\frac{1}{2}AB=3$,
∴CJ=3-1=2.
∴BC=$\sqrt{CJ^2+BJ^2}=\sqrt{2^2+(2\sqrt{2})^2}=2\sqrt{3}$.
解析
【分析】
(1) 要证明$AD// OC$，可通过“垂直于同一直线的两条直线平行”推导：首先连接辅助线$BD$，根据直径所对圆周角为直角，可得$AD⊥ BD$；再结合点$C$是$\overset{\frown}{BD}$的中点，由垂径定理可知$OC⊥ BD$，此时$AD$和$OC$均垂直于$BD$，即可推出平行关系。
(2) 求$BC$的长度，可放在直角三角形中用勾股定理计算：先在$\mathrm{Rt}△ ADB$中用勾股定理算出$BD$的长，再由垂径定理得到$BJ$的长度；接着根据$O$是$AB$中点、$J$是$BD$中点，可知$OJ$是$△ ABD$的中位线，算出$OJ$长度后可得$CJ$的长度，最后在$\mathrm{Rt}△ BJC$中用勾股定理即可求出$BC$。
【解析】
(1) 证明：如图，连接$BD$交$OC$于点$J$。
∵$AB$是$\odot O$的直径，
∴$∠ ADB=90°$，即$AD⊥ BD$。
∵点$C$是$\overset{\frown}{DB}$的中点，$OC$是$\odot O$的半径，
∴$OC⊥ DB$（垂径定理）。
∴$∠ OJB=∠ ADB=90°$，
∴$AD// OC$（同位角相等，两直线平行）。
(2) 解：
在$\mathrm{Rt}△ ADB$中，$∠ ADB=90°$，$AB=6$，$AD=2$，
由勾股定理得：$BD=\sqrt{AB^2-AD^2}=\sqrt{6^2-2^2}=4\sqrt{2}$。
∵点$C$是$\overset{\frown}{DB}$的中点，$OC⊥ DB$，
∴$DJ=JB=\frac{1}{2}DB=2\sqrt{2}$。
∵$O$是$AB$中点，$J$是$BD$中点，
∴$OJ$是$△ ABD$的中位线，
∴$OJ=\frac{1}{2}AD=1$。
∵$OC$是$\odot O$的半径，$AB=6$，
∴$OC=\frac{1}{2}AB=3$，
∴$CJ=OC-OJ=3-1=2$。
在$\mathrm{Rt}△ BJC$中，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{CJ^2+BJ^2}=\sqrt{2^2+(2\sqrt{2})^2}=2\sqrt{3}$。
【答案】
9. (1)证明:如图,连接BD交OC于点J.
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ADB=90°.
∵点C是$\overset{\frown}{DB}$的中点,
∴OC⊥DB.
∴∠OJB=∠ADB=90°.
∴AD//OC.
(2)解:
∵∠ADB=90°,AB=6,AD=2,
∴BD=$\sqrt{AB^2-AD^2}=\sqrt{6^2-2^2}=4\sqrt{2}$.
∵点C是$\overset{\frown}{DB}$的中点,
∴OC⊥DB,DJ=JB=$\frac{1}{2}DB=2\sqrt{2}$.
∵AO=OB,DJ=JB,
∴OJ=$\frac{1}{2}AD=1$.
∵OC=$\frac{1}{2}AB=3$,
∴CJ=3-1=2.
∴BC=$\sqrt{CJ^2+BJ^2}=\sqrt{2^2+(2\sqrt{2})^2}=2\sqrt{3}$.
【知识点】
圆周角定理，垂径定理，勾股定理
【点评】
本题是圆的基础综合题，解题核心是合理构造辅助线$BD$，结合圆的基本性质推导垂直、平行关系，再借助三角形中位线、勾股定理计算线段长度，是圆章节的典型题型，能有效考查学生对基础性质的掌握和应用能力。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明$AD// OC$，可通过“垂直于同一直线的两条直线平行”推导：首先连接辅助线$BD$，根据直径所对圆周角为直角，可得$AD⊥ BD$；再结合点$C$是$\overset{\frown}{BD}$的中点，由垂径定理可知$OC⊥ BD$，此时$AD$和$OC$均垂直于$BD$，即可推出平行关系。
(2) 求$BC$的长度，可放在直角三角形中用勾股定理计算：先在$\mathrm{Rt}△ ADB$中用勾股定理算出$BD$的长，再由垂径定理得到$BJ$的长度；接着根据$O$是$AB$中点、$J$是$BD$中点，可知$OJ$是$△ ABD$的中位线，算出$OJ$长度后可得$CJ$的长度，最后在$\mathrm{Rt}△ BJC$中用勾股定理即可求出$BC$。
【解析】
(1) 证明：如图，连接$BD$交$OC$于点$J$。
∵$AB$是$\odot O$的直径，
∴$∠ ADB=90°$，即$AD⊥ BD$。
∵点$C$是$\overset{\frown}{DB}$的中点，$OC$是$\odot O$的半径，
∴$OC⊥ DB$（垂径定理）。
∴$∠ OJB=∠ ADB=90°$，
∴$AD// OC$（同位角相等，两直线平行）。
(2) 解：
在$\mathrm{Rt}△ ADB$中，$∠ ADB=90°$，$AB=6$，$AD=2$，
由勾股定理得：$BD=\sqrt{AB^2-AD^2}=\sqrt{6^2-2^2}=4\sqrt{2}$。
∵点$C$是$\overset{\frown}{DB}$的中点，$OC⊥ DB$，
∴$DJ=JB=\frac{1}{2}DB=2\sqrt{2}$。
∵$O$是$AB$中点，$J$是$BD$中点，
∴$OJ$是$△ ABD$的中位线，
∴$OJ=\frac{1}{2}AD=1$。
∵$OC$是$\odot O$的半径，$AB=6$，
∴$OC=\frac{1}{2}AB=3$，
∴$CJ=OC-OJ=3-1=2$。
在$\mathrm{Rt}△ BJC$中，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{CJ^2+BJ^2}=\sqrt{2^2+(2\sqrt{2})^2}=2\sqrt{3}$。
【答案】
9. (1)证明:如图,连接BD交OC于点J.
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ADB=90°.
∵点C是$\overset{\frown}{DB}$的中点,
∴OC⊥DB.
∴∠OJB=∠ADB=90°.
∴AD//OC.
(2)解:
∵∠ADB=90°,AB=6,AD=2,
∴BD=$\sqrt{AB^2-AD^2}=\sqrt{6^2-2^2}=4\sqrt{2}$.
∵点C是$\overset{\frown}{DB}$的中点,
∴OC⊥DB,DJ=JB=$\frac{1}{2}DB=2\sqrt{2}$.
∵AO=OB,DJ=JB,
∴OJ=$\frac{1}{2}AD=1$.
∵OC=$\frac{1}{2}AB=3$,
∴CJ=3-1=2.
∴BC=$\sqrt{CJ^2+BJ^2}=\sqrt{2^2+(2\sqrt{2})^2}=2\sqrt{3}$.
【知识点】
圆周角定理，垂径定理，勾股定理
【点评】
本题是圆的基础综合题，解题核心是合理构造辅助线$BD$，结合圆的基本性质推导垂直、平行关系，再借助三角形中位线、勾股定理计算线段长度，是圆章节的典型题型，能有效考查学生对基础性质的掌握和应用能力。
【难度系数】
0.7
10. 某地有一座圆弧形拱桥，如图，桥下水面宽度AB为24 m，拱顶高出水面8 m(即$CD=8\ \mathrm{m}$)。
(1)求出该圆弧形拱桥所在圆的半径；
(2)现有一艘宽10 m，船舱高出水面7.5 m的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座桥吗？
(1)求出该圆弧形拱桥所在圆的半径；
(2)现有一艘宽10 m，船舱高出水面7.5 m的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座桥吗？
答案
10. 解:(1)如图,连接OA.
由题意,得AB=24 m,OC⊥AB.
∴AD=$\frac{1}{2}$AB=12(m).
设OA=OC=r.
∵CD=8 m,
∴OD=(r-8)m.
在Rt△AOD中,根据勾股定理,得AD²+OD²=OA²,即12²+(r-8)²=r².解得r=13.
答:该圆弧形拱桥所在圆的半径为13 m.
(2)由(1),得OD=OC-CD=5(m).
构造如图所示的矩形MEFN,连接OM.
当EF=MN=10 m时,
∵OC⊥AB,
∴OC⊥MN.
∴MH=$\frac{1}{2}MN=5$(m).
根据勾股定理,得OH=$\sqrt{OM^2-MH^2}=12$(m).
∴DH=OH-OD=12-5=7(m).
∵7＜7.5,
∴此货船不能顺利通过这座桥.
解析
【分析】
（1）求圆弧所在圆的半径，可借助垂径定理求解：已知水面宽度AB=24m，OC垂直AB，因此可得AD是AB的一半，即12m。设圆半径为r，结合CD=8m，可得OD的长度为r-8，此时△AOD是直角三角形，三条边满足勾股定理，列方程即可求出半径。
（2）判断货船能否通过，需计算桥内在宽度为10m的位置，桥洞高出水面的高度是否大于等于货船的高度7.5m：构造与AB平行、长度为10m的弦MN，利用垂径定理得MN的一半为5m，结合半径长度，用勾股定理求出圆心到MN的距离OH，再减去圆心到AB的距离OD，即可得到MN高出水面的高度，和7.5m比较大小即可判断是否能通行。
【解析】
(1) 连接OA，由题意可知AB=24m，OC⊥AB，根据垂径定理：
$AD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×24=12\ \mathrm{m}$
设圆弧所在圆的半径$OA=OC=r$，已知拱高CD=8m，因此$OD=OC-CD=(r-8)\ \mathrm{m}$
在$\mathrm{Rt}△ AOD$中，由勾股定理可得$AD^2+OD^2=OA^2$，代入数值：
$12^2+(r-8)^2=r^2$
展开计算：$144 + r^2 -16r +64 = r^2$
移项化简得：$16r=208$，解得$r=13$。
(2) 由(1)的结果可得圆心到水面的距离$OD=13-8=5\ \mathrm{m}$
取弦MN平行于AB，且MN=10m（对应货船宽度），连接OM，因为OC⊥AB，MN//AB，所以OC⊥MN，由垂径定理得：
$MH=\frac{1}{2}MN=5\ \mathrm{m}$
在$\mathrm{Rt}△ OMH$中，OM为半径长度13m，由勾股定理：
$OH=\sqrt{OM^2-MH^2}=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{144}=12\ \mathrm{m}$
因此弦MN距离水面AB的高度为$DH=OH-OD=12-5=7\ \mathrm{m}$
因为$7\mathrm{m}＜7.5\mathrm{m}$，即该位置桥洞高度小于货船高出水面的高度，因此货船不能通过。
【答案】
10. 解:(1)如图,连接OA.
由题意,得AB=24 m,OC⊥AB.
∴AD=$\frac{1}{2}$AB=12(m).
设OA=OC=r.
∵CD=8 m,
∴OD=(r-8)m.
在Rt△AOD中,根据勾股定理,得AD²+OD²=OA²,即12²+(r-8)²=r².解得r=13.
答:该圆弧形拱桥所在圆的半径为13 m.
(2)由(1),得OD=OC-CD=5(m).
构造如图所示的矩形MEFN,连接OM.
当EF=MN=10 m时,
∵OC⊥AB,
∴OC⊥MN.
∴MH=$\frac{1}{2}MN=5$(m).
根据勾股定理,得OH=$\sqrt{OM^2-MH^2}=12$(m).
∴DH=OH-OD=12-5=7(m).
∵7＜7.5,
∴此货船不能顺利通过这座桥.
【知识点】
垂径定理、勾股定理、圆的实际应用
【点评】
本题是圆的实际应用类问题，解题核心是利用垂径定理把实际场景中的长度对应到几何图形的线段，转化为直角三角形的计算问题，通过方程思想求半径，再通过高度比较判断通行情况，考查了数形结合的能力和知识应用能力。
【难度系数】
0.7
（1）求圆弧所在圆的半径，可借助垂径定理求解：已知水面宽度AB=24m，OC垂直AB，因此可得AD是AB的一半，即12m。设圆半径为r，结合CD=8m，可得OD的长度为r-8，此时△AOD是直角三角形，三条边满足勾股定理，列方程即可求出半径。
（2）判断货船能否通过，需计算桥内在宽度为10m的位置，桥洞高出水面的高度是否大于等于货船的高度7.5m：构造与AB平行、长度为10m的弦MN，利用垂径定理得MN的一半为5m，结合半径长度，用勾股定理求出圆心到MN的距离OH，再减去圆心到AB的距离OD，即可得到MN高出水面的高度，和7.5m比较大小即可判断是否能通行。
【解析】
(1) 连接OA，由题意可知AB=24m，OC⊥AB，根据垂径定理：
$AD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×24=12\ \mathrm{m}$
设圆弧所在圆的半径$OA=OC=r$，已知拱高CD=8m，因此$OD=OC-CD=(r-8)\ \mathrm{m}$
在$\mathrm{Rt}△ AOD$中，由勾股定理可得$AD^2+OD^2=OA^2$，代入数值：
$12^2+(r-8)^2=r^2$
展开计算：$144 + r^2 -16r +64 = r^2$
移项化简得：$16r=208$，解得$r=13$。
(2) 由(1)的结果可得圆心到水面的距离$OD=13-8=5\ \mathrm{m}$
取弦MN平行于AB，且MN=10m（对应货船宽度），连接OM，因为OC⊥AB，MN//AB，所以OC⊥MN，由垂径定理得：
$MH=\frac{1}{2}MN=5\ \mathrm{m}$
在$\mathrm{Rt}△ OMH$中，OM为半径长度13m，由勾股定理：
$OH=\sqrt{OM^2-MH^2}=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{144}=12\ \mathrm{m}$
因此弦MN距离水面AB的高度为$DH=OH-OD=12-5=7\ \mathrm{m}$
因为$7\mathrm{m}＜7.5\mathrm{m}$，即该位置桥洞高度小于货船高出水面的高度，因此货船不能通过。
【答案】
10. 解:(1)如图,连接OA.
由题意,得AB=24 m,OC⊥AB.
∴AD=$\frac{1}{2}$AB=12(m).
设OA=OC=r.
∵CD=8 m,
∴OD=(r-8)m.
在Rt△AOD中,根据勾股定理,得AD²+OD²=OA²,即12²+(r-8)²=r².解得r=13.
答:该圆弧形拱桥所在圆的半径为13 m.
(2)由(1),得OD=OC-CD=5(m).
构造如图所示的矩形MEFN,连接OM.
当EF=MN=10 m时,
∵OC⊥AB,
∴OC⊥MN.
∴MH=$\frac{1}{2}MN=5$(m).
根据勾股定理,得OH=$\sqrt{OM^2-MH^2}=12$(m).
∴DH=OH-OD=12-5=7(m).
∵7＜7.5,
∴此货船不能顺利通过这座桥.
【知识点】
垂径定理、勾股定理、圆的实际应用
【点评】
本题是圆的实际应用类问题，解题核心是利用垂径定理把实际场景中的长度对应到几何图形的线段，转化为直角三角形的计算问题，通过方程思想求半径，再通过高度比较判断通行情况，考查了数形结合的能力和知识应用能力。
【难度系数】
0.7
