1. (人教九上$\mathrm{P}_{140}$数学活动2改编)【回顾】(1)经过任意1个点能作个圆.
(2)经过任意2个点能作个圆.
(3)经过3个点,若3个点在同一直线上,则作圆;若3个点不在同一直线上,则确定一个圆,即任意一个三角形都有一个外接圆.(均填“能”或“不能”)
【探究】过任意4个点能作一个圆吗?
①若4个点在同一直线上,则作圆;②若3个点在同一条直线上,另1个点不在这条直线上,则作圆;③若4个点中任意3个点都不在同一直线上,则无法确定,此时以这4个点为顶点正好能构成一个四边形.(均填“能”或“不能”)
【回顾性质】圆内接四边形的对角.
【猜想】对角的四边形的四个顶点共圆.
【论证】已知:在四边形$ABCD$中,$∠ B + ∠ D = 180°$.求证:$A,B,C,D$四点共圆.

1. 【回顾】(1)无数 (2)无数 (3)不能 能
【探究】①不能 ②不能
【回顾性质】互补 【猜想】互补
【论证】证明:假设 A,B,C,D 四点不共圆.
过 A,B,C 三点作圆,若点 D 在圆外,如图 1.
设 AD 与圆交于点 E,连接 CE,则∠B + ∠AEC = 180°.
∵ ∠AEC ＞ ∠D,
∴ ∠B + ∠D ＜ 180°.
与∠B + ∠D = 180°矛盾,故假设不成立.

若点 D 在圆内,如图 2. 同理,可得∠B + ∠ADC ＞ 180°.
与∠B + ∠D = 180°矛盾,故假设不成立.
∴ 点 D 在圆上,即 A,B,C,D 四点共圆.

【分析】
本题围绕确定圆的条件、四点共圆的判定展开，解题思路如下：1. 确定圆的核心要素是圆心和半径：过1个点时，圆心、半径都无限制，因此可作无数个圆；过2个点时，圆心需在两点连线的垂直平分线上，半径可选，因此也可作无数个圆；过3个点时，若三点共线，不存在到三个点距离都相等的点，因此不能作圆，若三点不共线，三条垂直平分线交于唯一一点作为圆心，因此能确定唯一的圆。2. 探究4个点作圆的情况：若4点共线或3点共线，均无法找到到所有点距离相等的圆心，因此都不能作圆。3. 回忆圆内接四边形的性质为对角互补，反向猜想对角互补的四边形四点共圆，论证采用反证法，先假设四点不共圆，分点在圆外、圆内两种情况推导，得出与已知条件矛盾的结论，即可证明假设不成立，原命题正确。
【解析】
【回顾】
(1) 经过1个点时，圆心和半径均没有限制，因此可以作无数个圆。
(2) 经过2个点时，圆心在两点连线的垂直平分线上，半径可自由选择，因此可以作无数个圆。
(3) 若3个点在同一直线上，不存在到三个点距离都相等的点，故不能作圆；若3个点不在同一直线上，三点连线的垂直平分线交于唯一一点，即唯一的圆心，半径等于圆心到三点的距离，因此能确定一个圆。
【探究】
①若4个点在同一直线上，不存在到4个点距离都相等的点，故不能作圆；
②若3个点在同一直线上，另1个点不在这条线上，也不存在到4个点距离都相等的点，故不能作圆。
【回顾性质】圆内接四边形的对角互补，和为180°。
【猜想】根据圆内接四边形的性质反向推导，猜想对角互补的四边形的四个顶点共圆。
【论证】采用反证法证明：
假设A,B,C,D四点不共圆，过A,B,C三点作圆，分两种情况讨论：
情况1：点D在圆外，如图1，设AD与圆交于点E，连接CE。
∵ 四边形ABCE是圆内接四边形，
∴ ∠B + ∠AEC = 180°。
又
∵ ∠AEC是△CDE的外角，
∴ ∠AEC ＞ ∠D，
∴ ∠B + ∠D ＜ 180°，与已知∠B + ∠D = 180°矛盾，故该情况假设不成立。

情况2：点D在圆内，如图2，延长AD交圆于点E，连接CE。
∵ 四边形ABCE是圆内接四边形，
∴ ∠B + ∠AEC = 180°。
又
∵ ∠ADC是△CDE的外角，
∴ ∠ADC ＞ ∠AEC，
∴ ∠B + ∠ADC ＞ 180°，与已知∠B + ∠D = 180°矛盾，故该情况假设也不成立。
综上，点D只能在过A,B,C三点的圆上，即A,B,C,D四点共圆。

【答案】
【回顾】(1)无数 (2)无数 (3)不能 能
【探究】①不能 ②不能
【回顾性质】互补 【猜想】互补
【论证】证明:假设 A,B,C,D 四点不共圆.
过 A,B,C 三点作圆,若点 D 在圆外,如图 1.
设 AD 与圆交于点 E,连接 CE,则∠B + ∠AEC = 180°.
∵ ∠AEC ＞ ∠D,
∴ ∠B + ∠D ＜ 180°.
与∠B + ∠D = 180°矛盾,故假设不成立.

若点 D 在圆内,如图 2. 同理,可得∠B + ∠ADC ＞ 180°.
与∠B + ∠D = 180°矛盾,故假设不成立.
∴ 点 D 在圆上,即 A,B,C,D 四点共圆.

【知识点】
确定圆的条件、圆内接四边形的性质、反证法
【点评】
本题从基础的确定圆的条件入手，逐步延伸到四点共圆的判定，既考查了对基础概念的掌握，又锻炼了用反证法进行逻辑推理的能力，贴合核心知识点，有助于加深对圆相关性质的理解。
【难度系数】
0.7

2. 综合与实践:“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动,得出结论:对角互补的四边形四个顶点共圆.该小组继续利用上述结论进行探究.
提出问题:,在线段AC同侧有两点B,D,连接AD,AB,BC,CD,如果∠B=∠D,那么A,B,C,D四点在同一个圆上.
探究展示:,作经过点A,C,D的⊙O,在劣弧AC上取一点E(不与A,C重合),连接AE,CE,则∠AEC + ∠D = 180°(依据1). ∵ ∠B = ∠D,∴ ∠AEC + ∠B = 180°.
∴ A,B,C,E四点在同一个圆上(对角互补的四边形四个顶点共圆).
∴ 点B,D在点A,C,E所确定的⊙O上(依据2). ∴ A,B,C,D四点在同一个圆上.
反思归纳:(1)上述探究过程中的“依据1”“依据2”分别是指什么?
依据1: ;依据2: .
(2),在四边形ABCD中,∠1 = ∠2,∠3 = 45°,则∠4的度数为.
拓展探究:(3),已知△ABC是等腰三角形,AB = AC,点D在BC上(不与BC的中点重合),连接AD.作点C关于AD的对称点E,连接EB并延长交AD的延长线于点F,连接AE,DE.求证:A,D,B,E四点共圆.

2. (1)圆内接四边形对角互补 过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆
(2)45°
(3)证明:
∵ AB = AC,
∴ ∠ABC = ∠ACB.
∵ 点 E 与点 C 关于 AD 对称,
∴ AE = AC,DE = DC.
∴ ∠AEC = ∠ACE,∠DEC = ∠DCE.
∴ ∠AED = ∠ACB.
∴ ∠AED = ∠ABC.
∴ A,D,B,E 四点共圆.

【分析】
(1) 问题(1)考查圆相关基础定理的识记：依据1对应圆内接四边形的性质，因此圆内接四边形AECD中∠AEC与∠D互补；依据2对应确定圆的定理，不在同一直线上的三个点能确定唯一的圆，A、C、E三点确定的圆同时经过点B、D，因此两点都在该圆上。
(2) 问题(2)可直接应用探究得出的四点共圆结论：已知∠1=∠2，说明点B、D在线段AC同侧且对AC的张角相等，因此A、B、C、D四点共圆，再根据同弧所对的圆周角相等，可得∠4与∠3度数相等。
(3) 问题(3)需利用题中给出的四点共圆判定条件证明：要证A、D、B、E四点共圆，只需证明两点对同一条线段的张角相等即可。先由等腰三角形性质得∠ABC=∠ACB，再根据对称性质推导∠AED=∠ACB，等量代换得到∠AED=∠ABC，即可满足四点共圆的判定条件。
【解析】
(1) 依据1是圆内接四边形的性质：圆内接四边形对角互补；依据2是确定圆的基本定理：过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆。
(2) 由∠1=∠2，根据探究结论可得A、B、C、D四点共圆，同弧BC所对的圆周角相等，因此∠4=∠3=45°。
(3) 先利用等腰三角形等边对等角得到∠ABC=∠ACB，再根据对称的性质得AE=AC、DE=DC，进而推导角的等量关系得到∠AED=∠ACB，代换后得∠AED=∠ABC，满足线段同侧张角相等的四点共圆判定条件，即可得证。
【答案】
(1)圆内接四边形对角互补 过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆
(2)45°
(3)证明:
∵ AB = AC,
∴ ∠ABC = ∠ACB.
∵ 点 E 与点 C 关于 AD 对称,
∴ AE = AC,DE = DC.
∴ ∠AEC = ∠ACE,∠DEC = ∠DCE.
∴ ∠AED = ∠ACB.
∴ ∠AED = ∠ABC.
∴ A,D,B,E 四点共圆.
【知识点】
圆内接四边形性质；三点确定圆；四点共圆判定
【点评】
本题以四点共圆的探究为背景，层层递进设置问题，既考查基础定理的识记，又考查对新探究结论的迁移应用能力，解题的关键是灵活运用题目给出的判定方法，结合等腰三角形、对称的性质推导角的等量关系。
【难度系数】
0.7