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5.【例3】(人教九上$\mathrm{P}_{137}$例3改编)蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱组成,一个蒙古包的示意图如图所示.如果想用毛毡搭建20个底面积为$9π\ \mathrm{m}^2$,高为3.5 m,外围(圆柱)高1.5 m的蒙古包,至少要多少平方米的毛毡?(结果保留$π$)
当堂
当堂
答案
5. 解:
∵ 蒙古包底面积为$9π\ \mathrm{m}^2$,高为3.5 m,外围(圆柱)高1.5 m,
∴ 底面圆的半径为3 m,圆锥的高为$3.5 - 1.5 = 2( m )$.
∴ 圆锥的母线长为$\sqrt{3² + 2²} = \sqrt{13}( m )$.
∴ 圆锥的侧面积为$π×3×\sqrt{13} = 3\sqrt{13}π( m² )$,
圆锥底面圆的周长为$2π×3 = 6π( m )$,
圆柱的侧面积为$6π×1.5 = 9π( m² )$.
∴ 搭建20个这样的蒙古包至少需要的毛毡为
$20×(3\sqrt{13}π + 9π) = (60\sqrt{13} + 180)π( m² )$.
∵ 蒙古包底面积为$9π\ \mathrm{m}^2$,高为3.5 m,外围(圆柱)高1.5 m,
∴ 底面圆的半径为3 m,圆锥的高为$3.5 - 1.5 = 2( m )$.
∴ 圆锥的母线长为$\sqrt{3² + 2²} = \sqrt{13}( m )$.
∴ 圆锥的侧面积为$π×3×\sqrt{13} = 3\sqrt{13}π( m² )$,
圆锥底面圆的周长为$2π×3 = 6π( m )$,
圆柱的侧面积为$6π×1.5 = 9π( m² )$.
∴ 搭建20个这样的蒙古包至少需要的毛毡为
$20×(3\sqrt{13}π + 9π) = (60\sqrt{13} + 180)π( m² )$.
解析
【分析】
要计算搭建20个蒙古包所需的毛毡面积，首先明确蒙古包底部接触地面，不需要计算底面积，仅需计算单个蒙古包的圆锥侧面积与圆柱侧面积之和，再乘以20即可。解题步骤思路：①根据给出的底面积求出底面圆的半径；②用蒙古包总高减去圆柱的高得到圆锥的高；③利用勾股定理求出圆锥的母线长，结合圆锥侧面积公式计算圆锥侧面积；④计算圆柱的侧面积；⑤将两个侧面积求和得到单个蒙古包所需毛毡面积，乘以20得到总需求面积。
【解析】
解：已知蒙古包底面积为$9π\ \mathrm{m}^2$，设底面圆半径为$r$，由圆的面积公式$S=π r^2$可得：
$π r^2=9π$，解得$r=3\ \mathrm{m}$。
已知蒙古包总高为3.5 m，圆柱高$h_2=1.5\ \mathrm{m}$，则圆锥的高$h_1=3.5-1.5=2\ \mathrm{m}$。
由勾股定理可得圆锥的母线长$l=\sqrt{r^2+h_1^2}=\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{13}\ \mathrm{m}$。
圆锥侧面积：$S_{\mathrm{圆锥侧}}=π r l=π×3×\sqrt{13}=3\sqrt{13}π\ \mathrm{m}^2$。
底面圆周长：$C=2π r=2π×3=6π\ \mathrm{m}$。
圆柱侧面积：$S_{\mathrm{圆柱侧}}=C× h_2=6π×1.5=9π\ \mathrm{m}^2$。
单个蒙古包所需毛毡面积为$3\sqrt{13}π+9π$，则20个蒙古包所需毛毡总面积为：
$20×(3\sqrt{13}π+9π)=(60\sqrt{13}+180)π\ \mathrm{m}^2$。
【答案】
至少需要$\boldsymbol{(60\sqrt{13} + 180)π}$平方米的毛毡。
【知识点】
圆锥侧面积计算；圆柱侧面积计算；勾股定理应用
【点评】
本题是组合几何体表面积的实际应用问题，解题的关键是结合实际情况明确需要计算的面，避免多算底面面积，需熟练掌握圆锥、圆柱侧面积的计算公式，正确求解圆锥母线长即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
要计算搭建20个蒙古包所需的毛毡面积，首先明确蒙古包底部接触地面，不需要计算底面积，仅需计算单个蒙古包的圆锥侧面积与圆柱侧面积之和，再乘以20即可。解题步骤思路：①根据给出的底面积求出底面圆的半径；②用蒙古包总高减去圆柱的高得到圆锥的高；③利用勾股定理求出圆锥的母线长，结合圆锥侧面积公式计算圆锥侧面积；④计算圆柱的侧面积；⑤将两个侧面积求和得到单个蒙古包所需毛毡面积，乘以20得到总需求面积。
【解析】
解：已知蒙古包底面积为$9π\ \mathrm{m}^2$，设底面圆半径为$r$，由圆的面积公式$S=π r^2$可得：
$π r^2=9π$，解得$r=3\ \mathrm{m}$。
已知蒙古包总高为3.5 m，圆柱高$h_2=1.5\ \mathrm{m}$，则圆锥的高$h_1=3.5-1.5=2\ \mathrm{m}$。
由勾股定理可得圆锥的母线长$l=\sqrt{r^2+h_1^2}=\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{13}\ \mathrm{m}$。
圆锥侧面积：$S_{\mathrm{圆锥侧}}=π r l=π×3×\sqrt{13}=3\sqrt{13}π\ \mathrm{m}^2$。
底面圆周长：$C=2π r=2π×3=6π\ \mathrm{m}$。
圆柱侧面积：$S_{\mathrm{圆柱侧}}=C× h_2=6π×1.5=9π\ \mathrm{m}^2$。
单个蒙古包所需毛毡面积为$3\sqrt{13}π+9π$，则20个蒙古包所需毛毡总面积为：
$20×(3\sqrt{13}π+9π)=(60\sqrt{13}+180)π\ \mathrm{m}^2$。
【答案】
至少需要$\boldsymbol{(60\sqrt{13} + 180)π}$平方米的毛毡。
【知识点】
圆锥侧面积计算；圆柱侧面积计算；勾股定理应用
【点评】
本题是组合几何体表面积的实际应用问题，解题的关键是结合实际情况明确需要计算的面，避免多算底面面积，需熟练掌握圆锥、圆柱侧面积的计算公式，正确求解圆锥母线长即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
6. 如图，$△ ABC$为等腰直角三角形，其中$∠ ABC = 90°$，$AB = BC = 5\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$，求将等腰直角三角形绕直线AB旋转一周所得几何体的全面积.
反馈
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答案
6. 解:在$\mathrm{Rt}△ABC$中,$∠ABC = 90°,AB = BC = 5\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$,
∴ 由勾股定理,得$AC = \sqrt{AB² + BC²} = 10( cm )$.
∵ 把$\mathrm{Rt}△ABC$绕边AB所在直线旋转一周,
∴ 所得的几何体为底面半径为$5\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$、母线长10 cm的圆锥,其全面积为$π×5\sqrt{2}×10 + π×(5\sqrt{2})² = (50\sqrt{2} + 50)π( cm² )$.
∴ 由勾股定理,得$AC = \sqrt{AB² + BC²} = 10( cm )$.
∵ 把$\mathrm{Rt}△ABC$绕边AB所在直线旋转一周,
∴ 所得的几何体为底面半径为$5\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$、母线长10 cm的圆锥,其全面积为$π×5\sqrt{2}×10 + π×(5\sqrt{2})² = (50\sqrt{2} + 50)π( cm² )$.
解析
【分析】
首先要确定等腰直角三角形绕AB旋转后得到的几何体：直角三角形绕直角边旋转一周会得到圆锥，几何体的全面积就是圆锥的侧面积加底面积。解题思路为：①先用勾股定理计算圆锥的母线长AC；②明确圆锥的底面半径等于BC的长度，母线长等于AC的长度；③分别计算圆锥侧面积和底面积，两者相加就是所求全面积。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ ABC = 90°$，$AB = BC = 5\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$，
由勾股定理得：$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{(5\sqrt{2})^2 + (5\sqrt{2})^2} = \sqrt{50 + 50} = 10\ \mathrm{cm}$。
将$\mathrm{Rt}△ABC$绕AB所在直线旋转一周，得到的几何体是圆锥，该圆锥底面半径$r = BC = 5\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$，母线长$l = AC = 10\ \mathrm{cm}$。
圆锥全面积=侧面积+底面积，其中侧面积公式为$π rl$，底面积公式为$π r^2$，代入数值计算：
侧面积=$π × 5\sqrt{2} × 10 = 50\sqrt{2}π\ \mathrm{cm^2}$，
底面积=$π × (5\sqrt{2})^2 = 50π\ \mathrm{cm^2}$，
因此全面积=$50\sqrt{2}π + 50π = (50\sqrt{2} + 50)π\ \mathrm{cm^2}$。
【答案】
$(50\sqrt{2} + 50)π\ \mathrm{cm^2}$
【知识点】
勾股定理，圆锥全面积计算，旋转的性质
【点评】
本题解题的关键是先识别出旋转后得到的几何体为圆锥，再结合勾股定理得到圆锥的母线长，代入对应公式计算即可，要注意全面积包含侧面积和底面积两部分，不要漏算底面积。
【难度系数】
0.7
首先要确定等腰直角三角形绕AB旋转后得到的几何体：直角三角形绕直角边旋转一周会得到圆锥，几何体的全面积就是圆锥的侧面积加底面积。解题思路为：①先用勾股定理计算圆锥的母线长AC；②明确圆锥的底面半径等于BC的长度，母线长等于AC的长度；③分别计算圆锥侧面积和底面积，两者相加就是所求全面积。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ ABC = 90°$，$AB = BC = 5\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$，
由勾股定理得：$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{(5\sqrt{2})^2 + (5\sqrt{2})^2} = \sqrt{50 + 50} = 10\ \mathrm{cm}$。
将$\mathrm{Rt}△ABC$绕AB所在直线旋转一周，得到的几何体是圆锥，该圆锥底面半径$r = BC = 5\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$，母线长$l = AC = 10\ \mathrm{cm}$。
圆锥全面积=侧面积+底面积，其中侧面积公式为$π rl$，底面积公式为$π r^2$，代入数值计算：
侧面积=$π × 5\sqrt{2} × 10 = 50\sqrt{2}π\ \mathrm{cm^2}$，
底面积=$π × (5\sqrt{2})^2 = 50π\ \mathrm{cm^2}$，
因此全面积=$50\sqrt{2}π + 50π = (50\sqrt{2} + 50)π\ \mathrm{cm^2}$。
【答案】
$(50\sqrt{2} + 50)π\ \mathrm{cm^2}$
【知识点】
勾股定理，圆锥全面积计算，旋转的性质
【点评】
本题解题的关键是先识别出旋转后得到的几何体为圆锥，再结合勾股定理得到圆锥的母线长，代入对应公式计算即可，要注意全面积包含侧面积和底面积两部分，不要漏算底面积。
【难度系数】
0.7
1. (2025 盐城)已知圆锥的侧面积为$15π$,母线长为5,则圆锥的底面半径是
3
.答案
1. 3
解析
【分析】
本题需要求解圆锥的底面半径，解题思路如下：首先回忆圆锥侧面积的计算公式，圆锥侧面积与底面半径、母线长直接相关，公式为$S_{\mathrm{侧}}=π rl$（其中$r$是底面半径，$l$是母线长）。题目已经给出侧面积和母线长两个已知量，将已知数值代入公式，就可以得到关于底面半径$r$的一元一次方程，解方程即可求出$r$的值。
【解析】
设圆锥的底面半径为$r$，已知圆锥母线长$l=5$，侧面积$S_{\mathrm{侧}}=15π$。
根据圆锥侧面积公式：$S_{\mathrm{侧}}=π rl$，代入已知数值得：
$π × r × 5 = 15π$
两边同时除以$π$，得：$5r=15$
解得：$r=3$
【答案】
3
【知识点】
圆锥侧面积公式、一元一次方程求解
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对圆锥侧面积公式的记忆与应用，只要准确掌握公式，代入数值计算即可得到正确结果，计算过程简单，不易出错。
【难度系数】
0.9
本题需要求解圆锥的底面半径，解题思路如下：首先回忆圆锥侧面积的计算公式，圆锥侧面积与底面半径、母线长直接相关，公式为$S_{\mathrm{侧}}=π rl$（其中$r$是底面半径，$l$是母线长）。题目已经给出侧面积和母线长两个已知量，将已知数值代入公式，就可以得到关于底面半径$r$的一元一次方程，解方程即可求出$r$的值。
【解析】
设圆锥的底面半径为$r$，已知圆锥母线长$l=5$，侧面积$S_{\mathrm{侧}}=15π$。
根据圆锥侧面积公式：$S_{\mathrm{侧}}=π rl$，代入已知数值得：
$π × r × 5 = 15π$
两边同时除以$π$，得：$5r=15$
解得：$r=3$
【答案】
3
【知识点】
圆锥侧面积公式、一元一次方程求解
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对圆锥侧面积公式的记忆与应用，只要准确掌握公式，代入数值计算即可得到正确结果，计算过程简单，不易出错。
【难度系数】
0.9
2. (2025云南)若一个圆锥的侧面展开图的圆心角度数为$90°$,母线长为40 cm,则该圆锥的底面圆的半径为 (
A.9 cm
B.10 cm
C.11 cm
D.12 cm
B
)A.9 cm
B.10 cm
C.11 cm
D.12 cm
答案
2. B
解析
【分析】
解决本题的核心是明确圆锥侧面展开图的对应关系：圆锥侧面展开为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长。我们可以先利用弧长公式求出展开扇形的弧长，再结合圆的周长公式建立等式，即可求出底面圆的半径。
【解析】
设该圆锥的底面圆半径为$ r $ cm。
1. 计算侧面展开扇形的弧长：
已知扇形圆心角$ n=90° $，半径（即母线长）$ R=40\ \mathrm{cm} $，根据弧长公式$ l=\frac{nπ R}{180} $，可得弧长：
$ l=\frac{90π×40}{180}=20π\ \mathrm{cm} $
2. 建立等量关系求解半径：
因为扇形弧长等于圆锥底面圆的周长，底面圆周长公式为$ C=2π r $，因此：
$ 2π r=20π $
两边同时除以$ 2π $，解得$ r=10 $
【答案】
B
【知识点】
圆锥侧展性质、弧长计算公式、圆周长公式
【点评】
本题是圆锥计算类的基础常规题，重点考查圆锥和其展开扇形之间的等量对应关系，只要熟记相关公式、理清对应量的关系，就能快速得出结果。
【难度系数】
0.8
解决本题的核心是明确圆锥侧面展开图的对应关系：圆锥侧面展开为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长。我们可以先利用弧长公式求出展开扇形的弧长，再结合圆的周长公式建立等式，即可求出底面圆的半径。
【解析】
设该圆锥的底面圆半径为$ r $ cm。
1. 计算侧面展开扇形的弧长：
已知扇形圆心角$ n=90° $，半径（即母线长）$ R=40\ \mathrm{cm} $，根据弧长公式$ l=\frac{nπ R}{180} $，可得弧长：
$ l=\frac{90π×40}{180}=20π\ \mathrm{cm} $
2. 建立等量关系求解半径：
因为扇形弧长等于圆锥底面圆的周长，底面圆周长公式为$ C=2π r $，因此：
$ 2π r=20π $
两边同时除以$ 2π $，解得$ r=10 $
【答案】
B
【知识点】
圆锥侧展性质、弧长计算公式、圆周长公式
【点评】
本题是圆锥计算类的基础常规题，重点考查圆锥和其展开扇形之间的等量对应关系，只要熟记相关公式、理清对应量的关系，就能快速得出结果。
【难度系数】
0.8
3. 已知圆锥的底面半径为 3,母线长为 12,则其侧面展开扇形的圆心角的度数为
90°
.答案
3. 90°
解析
【分析】
要解决这个问题，首先要明确圆锥和其侧面展开扇形的对应关系：①圆锥的底面周长等于侧面展开扇形的弧长；②侧面展开扇形的半径等于圆锥的母线长。我们可以先计算出圆锥的底面周长，再将其作为扇形的弧长，结合弧长公式列方程即可求出圆心角的度数。
【解析】
设侧面展开扇形的圆心角的度数为$n°$。
1. 计算圆锥底面周长：根据圆的周长公式$C=2π r$，已知底面半径$r=3$，可得底面周长$C=2π×3=6π$。
2. 代入弧长公式列方程：圆锥侧面展开扇形的弧长等于底面周长，且扇形半径等于母线长$R=12$，根据扇形弧长公式$l=\frac{nπ R}{180}$，代入得：
$6π=\frac{nπ×12}{180}$
3. 解方程：两边同时约去$π$，整理得$12n=6×180$，解得$n=90$。
【答案】
$90°$
【知识点】
1. 圆锥侧面展开图性质
2. 弧长计算公式
3. 圆的周长计算
【点评】
本题属于圆锥相关计算的基础常考题，解题核心是掌握圆锥底面周长与侧面展开扇形弧长相等的等量关系，结合对应公式代入计算即可，难度较低。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，首先要明确圆锥和其侧面展开扇形的对应关系：①圆锥的底面周长等于侧面展开扇形的弧长；②侧面展开扇形的半径等于圆锥的母线长。我们可以先计算出圆锥的底面周长，再将其作为扇形的弧长，结合弧长公式列方程即可求出圆心角的度数。
【解析】
设侧面展开扇形的圆心角的度数为$n°$。
1. 计算圆锥底面周长：根据圆的周长公式$C=2π r$，已知底面半径$r=3$，可得底面周长$C=2π×3=6π$。
2. 代入弧长公式列方程：圆锥侧面展开扇形的弧长等于底面周长，且扇形半径等于母线长$R=12$，根据扇形弧长公式$l=\frac{nπ R}{180}$，代入得：
$6π=\frac{nπ×12}{180}$
3. 解方程：两边同时约去$π$，整理得$12n=6×180$，解得$n=90$。
【答案】
$90°$
【知识点】
1. 圆锥侧面展开图性质
2. 弧长计算公式
3. 圆的周长计算
【点评】
本题属于圆锥相关计算的基础常考题，解题核心是掌握圆锥底面周长与侧面展开扇形弧长相等的等量关系，结合对应公式代入计算即可，难度较低。
【难度系数】
0.8
4.如图，已知圆锥的母线长为2，高所在直线与母线的夹角为$30°$，则圆锥的全面积为
3π
。答案
4. 3π
解析
【分析】
要计算圆锥的全面积，需明确圆锥全面积=侧面积+底面积，因此需要先求出圆锥的底面半径，结合已知的母线长代入公式计算。已知母线长为2，高、底面半径、母线构成直角三角形，且高与母线的夹角为30°，可利用直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，先求出底面半径，再分别计算侧面积和底面积求和即可。
【解析】
由题意可知，圆锥的母线长$ l=2 $，
在$ \mathrm{Rt}△ AOB $中，$ ∠ OAB=30° $，斜边$ AB $为圆锥母线，长度为2，
根据直角三角形的性质可得底面半径$ r=OB=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×2=1 $。
分别计算底面积和侧面积：
底面积：$ S_{\mathrm{底}}=π r^2=π×1^2=π $
侧面积：$ S_{\mathrm{侧}}=π rl=π×1×2=2π $
因此圆锥的全面积为：$ S_{\mathrm{全}}=S_{\mathrm{侧}}+S_{\mathrm{底}}=2π+π=3π $
【答案】
$ 3π $
【知识点】
圆锥的面积计算，含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础的几何体计算类题目，核心是通过给定的角度条件求出圆锥底面半径，再代入对应面积公式求解，熟记相关公式和直角三角形的性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
要计算圆锥的全面积，需明确圆锥全面积=侧面积+底面积，因此需要先求出圆锥的底面半径，结合已知的母线长代入公式计算。已知母线长为2，高、底面半径、母线构成直角三角形，且高与母线的夹角为30°，可利用直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，先求出底面半径，再分别计算侧面积和底面积求和即可。
【解析】
由题意可知，圆锥的母线长$ l=2 $，
在$ \mathrm{Rt}△ AOB $中，$ ∠ OAB=30° $，斜边$ AB $为圆锥母线，长度为2，
根据直角三角形的性质可得底面半径$ r=OB=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×2=1 $。
分别计算底面积和侧面积：
底面积：$ S_{\mathrm{底}}=π r^2=π×1^2=π $
侧面积：$ S_{\mathrm{侧}}=π rl=π×1×2=2π $
因此圆锥的全面积为：$ S_{\mathrm{全}}=S_{\mathrm{侧}}+S_{\mathrm{底}}=2π+π=3π $
【答案】
$ 3π $
【知识点】
圆锥的面积计算，含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础的几何体计算类题目，核心是通过给定的角度条件求出圆锥底面半径，再代入对应面积公式求解，熟记相关公式和直角三角形的性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
5.（人教九上$\mathrm{P}_{139}$习题$\mathrm{T}_{8}$改编）如图,从一块直径是2的圆形铁片上剪下一个圆心角为$90°$的扇形,如果将剪下来的扇形围成一个圆锥,那么这个圆锥的底面圆的半径是（
A.$\frac{π}{4}$
B.$\frac{\sqrt{2}}{4}$
C.$\frac{1}{2}$
D.1
B
）A.$\frac{π}{4}$
B.$\frac{\sqrt{2}}{4}$
C.$\frac{1}{2}$
D.1
答案
5. B
解析
【分析】
解决本题可按以下思路思考：第一步，先求剪下的扇形的半径（即扇形的母线长）：已知圆形铁片直径为2，结合扇形的圆心角为90°，根据圆周角定理可得90°圆周角对的弦是直径，可得到△ABC是等腰直角三角形，进而求出扇形半径AB的长度；第二步，牢记圆锥侧面展开图的核心等量关系：扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长；第三步，先计算扇形的弧长，再结合圆的周长公式列方程求解底面半径即可。
【解析】
连接BC，
∵∠BAC=90°，且点A、B、C都在⊙O上，
∴BC是⊙O的直径，即BC=2，
又
∵AB=AC，在Rt△ABC中，由勾股定理得：
$AB^2+AC^2=BC^2$，即$2AB^2=2^2$，
解得$AB=\sqrt{2}$，即扇形的半径$R=\sqrt{2}$。
根据弧长公式$l=\frac{nπ R}{180}$（$n$为圆心角度数）计算扇形的弧长：
$l=\frac{90π×\sqrt{2}}{180}=\frac{\sqrt{2}π}{2}$。
设圆锥底面圆的半径为$r$，
∵扇形弧长等于圆锥底面圆的周长，
∴$2π r=\frac{\sqrt{2}π}{2}$，
两边同时除以$π$得$2r=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
解得$r=\frac{\sqrt{2}}{4}$。
【答案】
B
【知识点】
圆周角定理，弧长计算，圆锥侧面展开图性质
【点评】
本题是圆与圆锥结合的基础题，解题的关键是明确圆锥侧面展开后扇形的弧长与底面圆周长相等的对应关系，计算过程中注意不要混淆圆形铁片的半径和扇形的半径，避免代入数据出错。
【难度系数】
0.7
解决本题可按以下思路思考：第一步，先求剪下的扇形的半径（即扇形的母线长）：已知圆形铁片直径为2，结合扇形的圆心角为90°，根据圆周角定理可得90°圆周角对的弦是直径，可得到△ABC是等腰直角三角形，进而求出扇形半径AB的长度；第二步，牢记圆锥侧面展开图的核心等量关系：扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长；第三步，先计算扇形的弧长，再结合圆的周长公式列方程求解底面半径即可。
【解析】
连接BC，
∵∠BAC=90°，且点A、B、C都在⊙O上，
∴BC是⊙O的直径，即BC=2，
又
∵AB=AC，在Rt△ABC中，由勾股定理得：
$AB^2+AC^2=BC^2$，即$2AB^2=2^2$，
解得$AB=\sqrt{2}$，即扇形的半径$R=\sqrt{2}$。
根据弧长公式$l=\frac{nπ R}{180}$（$n$为圆心角度数）计算扇形的弧长：
$l=\frac{90π×\sqrt{2}}{180}=\frac{\sqrt{2}π}{2}$。
设圆锥底面圆的半径为$r$，
∵扇形弧长等于圆锥底面圆的周长，
∴$2π r=\frac{\sqrt{2}π}{2}$，
两边同时除以$π$得$2r=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
解得$r=\frac{\sqrt{2}}{4}$。
【答案】
B
【知识点】
圆周角定理，弧长计算，圆锥侧面展开图性质
【点评】
本题是圆与圆锥结合的基础题，解题的关键是明确圆锥侧面展开后扇形的弧长与底面圆周长相等的对应关系，计算过程中注意不要混淆圆形铁片的半径和扇形的半径，避免代入数据出错。
【难度系数】
0.7
6. (拓展题)圆锥的底面周长为$\frac{2π}{3}$,母线长为2,
点P是母线OA的中点,一根细绳(无弹性)
从点P绕圆锥侧面一周回到点P,则细绳的
最短长度为
点P是母线OA的中点,一根细绳(无弹性)
从点P绕圆锥侧面一周回到点P,则细绳的
最短长度为
1
.答案
6. 1
解析
【分析】
要解决圆锥侧面上细绳绕一周的最短长度问题，需用“化曲为直”的思路：①首先将圆锥侧面沿母线OA展开为平面扇形，把立体的侧面路径转化为平面内两点间的线段距离（两点之间线段最短）；②再根据圆锥底面周长等于展开扇形的弧长，计算出扇形的圆心角；③最后结合展开图中对应点的位置，利用几何性质计算线段长度即可。
【解析】
第一步：求圆锥侧面展开图的圆心角
设侧面展开图（扇形）的圆心角为$n°$，已知圆锥底面周长等于扇形的弧长，母线长（即扇形半径）为2，底面周长为$\frac{2π}{3}$。
根据弧长公式$l_{弧}=\frac{nπ R}{180}$（$R$为扇形半径），代入数据得：
$\frac{nπ × 2}{180}=\frac{2π}{3}$
两边约去$π$，化简得：$\frac{n}{90}=\frac{2}{3}$，解得$n=60$，即扇形圆心角为$60°$。
第二步：计算最短细绳长度
将圆锥侧面沿OA展开后，得到扇形$AOA'$，点$P'$是母线$OA'$的中点，对应圆锥侧面上绕一周后的点P。
已知P是OA中点，故$OP=OP'=\frac{1}{2}×2=1$，且$∠ POP'=60°$，因此$△ POP'$是等边三角形，可得$PP'=OP=1$。
即细绳的最短长度为1。
【答案】
1
【知识点】
圆锥侧面展开图、弧长计算公式、平面最短路径
【点评】
本题是立体图形最短路径的典型题型，核心是掌握“化曲为直”的转化思想，需注意展开前后各量的对应关系，计算圆心角时不要混淆底面周长和扇形弧长的对应关系，避免计算出错。
【难度系数】
0.6
要解决圆锥侧面上细绳绕一周的最短长度问题，需用“化曲为直”的思路：①首先将圆锥侧面沿母线OA展开为平面扇形，把立体的侧面路径转化为平面内两点间的线段距离（两点之间线段最短）；②再根据圆锥底面周长等于展开扇形的弧长，计算出扇形的圆心角；③最后结合展开图中对应点的位置，利用几何性质计算线段长度即可。
【解析】
第一步：求圆锥侧面展开图的圆心角
设侧面展开图（扇形）的圆心角为$n°$，已知圆锥底面周长等于扇形的弧长，母线长（即扇形半径）为2，底面周长为$\frac{2π}{3}$。
根据弧长公式$l_{弧}=\frac{nπ R}{180}$（$R$为扇形半径），代入数据得：
$\frac{nπ × 2}{180}=\frac{2π}{3}$
两边约去$π$，化简得：$\frac{n}{90}=\frac{2}{3}$，解得$n=60$，即扇形圆心角为$60°$。
第二步：计算最短细绳长度
将圆锥侧面沿OA展开后，得到扇形$AOA'$，点$P'$是母线$OA'$的中点，对应圆锥侧面上绕一周后的点P。
已知P是OA中点，故$OP=OP'=\frac{1}{2}×2=1$，且$∠ POP'=60°$，因此$△ POP'$是等边三角形，可得$PP'=OP=1$。
即细绳的最短长度为1。
【答案】
1
【知识点】
圆锥侧面展开图、弧长计算公式、平面最短路径
【点评】
本题是立体图形最短路径的典型题型，核心是掌握“化曲为直”的转化思想，需注意展开前后各量的对应关系，计算圆心角时不要混淆底面周长和扇形弧长的对应关系，避免计算出错。
【难度系数】
0.6
