【例1】如图，已知线段a和∠α，求作一个△ABC，使AB＝a，AC＝2a，∠BAC＝∠α.（不要求写作法，保留作图痕迹）

解:如图,△ABC即为所求作。

【分析】
本题是已知两边及其夹角作三角形的尺规作图题，解题思路清晰有序：首先要先确定三角形的夹角，即先作出与∠α相等的角，确定顶点A和两条边的方向；接着在所作角的两条边上，分别截取对应长度的线段，得到另外两个顶点B和C，其中一条边长度为a，另一条为2a；最后连接两个端点即可得到符合要求的三角形。
【解析】
作图逻辑符合尺规作图基本规则：
1. 先利用尺规作∠MAN=∠α，确定三角形的夹角顶点与两条边的方向；
2. 在角的两条射线上分别截取指定长度的线段：在射线AM上截取AC=2a，在射线AN上截取AB=a，确定B、C两个顶点；
3. 连接BC，即可得到满足所有条件的△ABC。
【答案】
如图,△ABC即为所求作。
【知识点】
作一个角等于已知角；作一条线段等于已知线段；尺规作三角形
【点评】
本题是尺规作图的基础题型，重点考查对作等角、作等线段两个基本作图方法的掌握，是复杂尺规作图的基础，熟练掌握基本作图操作即可轻松完成。
【难度系数】
0.8

【变式】(2025厦门模拟)如图,已知∠AOB,求作∠A'O'B',使∠A'O'B'=∠AOB.(不要求写作法,保留作图痕迹)

解:如图,∠A'O'B'即为所求作。

【分析】
我们要作∠A'O'B'=∠AOB，可借助全等三角形的性质作图：全等三角形的对应角相等，因此只要构造出三边分别对应相等的两个三角形，就能得到相等的对应角。思考步骤如下：1. 先画射线O'B'，作为新作角的其中一条边；2. 以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于两点，得到固定的半径长度和两点间的弦长；3. 以点O'为圆心，刚才相同的半径长度画弧，交O'B'于一点；4. 以该交点为圆心，已知角中两交点的弦长为半径画弧，两弧的交点记为A'；5. 过点O'、A'作射线O'A'，即可得到与∠AOB相等的∠A'O'B'。
【解析】
本题是基本尺规作图题型，作图原理为：通过构造三边对应相等的两个三角形，依据SSS判定定理可证两三角形全等，再由全等三角形对应角相等，即可得到∠A'O'B'=∠AOB，作图时保留对应弧痕即可。
【答案】
如图,∠A'O'B'即为所求作。
【知识点】
尺规作图；作一个角等于已知角；全等三角形的性质
【点评】
本题是基础类作图题，核心考查作一个角等于已知角的操作方法，理解作图对应的全等原理能帮助我们更熟练掌握该操作，同时该作图也是后续复杂尺规作图的重要基础。
【难度系数】
0.8

探究2 尺规作图的应用
【例2】综合与实践
【问题情境】如图，工人师傅要检查模型中的$∠ A$和$∠ B$是否相等，但他手边没有量角器，只有一把刻度尺.

【方案设计】请你设计一个方案来说明$∠ A$和$∠ B$是否相等，并说明理由.

设计方案如下：
①分别在AC和BD上取点E,G,使得AE=BG；
②在AB上取点W,F,使得AW=BF；
③连接WE,FG,量出WE的长为a m,FG的长为b m。
若a=b,则说明∠A和∠B是相等的。
理由如下：
在△AEW和△BGF中,$\begin{cases} AE=BG, \\ AW=BF, \\ WE=FG, \end{cases}$
所以△AEW≌△BGF(SSS).所以∠A=∠B。

【分析】
要判断∠A和∠B是否相等，在仅能使用刻度尺测量长度的前提下，可借助全等三角形对应角相等的性质推导。我们选择SSS全等判定定理，构造分别包含∠A、∠B的两个三角形：先通过刻度尺截取两个三角形的两组对应边相等，再测量第三边的长度是否相等，即可判断两个三角形是否全等，进而验证∠A和∠B是否相等。
【解析】
设计方案如下：
①分别在AC和BD上取点E,G，使得AE=BG；
②在AB上取点W,F，使得AW=BF；
③连接WE,FG，量出WE的长为a m，FG的长为b m。
若a=b，则说明∠A和∠B是相等的。
理由如下：
在△AEW和△BGF中，
$\begin{cases} AE=BG, \\ AW=BF, \\ WE=FG, \end{cases}$
所以△AEW≌△BGF(SSS)，所以∠A=∠B。
【答案】
设计方案如下：
①分别在AC和BD上取点E,G,使得AE=BG；
②在AB上取点W,F,使得AW=BF；
③连接WE,FG,量出WE的长为a m,FG的长为b m。
若a=b,则说明∠A和∠B是相等的。
理由如下：
在△AEW和△BGF中,$\begin{cases} AE=BG, \\ AW=BF, \\ WE=FG, \end{cases}$
所以△AEW≌△BGF(SSS).所以∠A=∠B。
【知识点】
1. SSS全等判定
2. 全等三角形的性质
3. 刻度尺作图应用
【点评】
本题结合生活实际场景，考查了全等三角形判定与性质的灵活运用，引导学生将实际问题转化为数学问题，利用已学几何知识解决实践问题，能有效提升知识迁移与应用能力。
【难度系数】
0.7

1.如图，过直线$l_1$外一点P作它的平行线$l_2$，其作图依据是 （）


A.两直线平行，同位角相等
B.两直线平行，内错角相等
C.同位角相等，两直线平行
D.内错角相等，两直线平行

1. D

【分析】
要解决这道题，首先分两步思考：第一步，先区分平行线的性质和判定：性质是已知两直线平行，推导角的数量关系；判定是已知角的数量关系，推导两直线平行，本题是作平行线的依据，也就是由角的关系得到平行，所以要选判定定理，先排除属于性质的A、B选项。第二步，识别作图时构造的相等角的类型：观察作图痕迹，构造的两个相等的角在截线两侧，且位于两条被截直线之间，属于内错角，因此对应的判定定理就是内错角相等，两直线平行。
【解析】
观察尺规作图的痕迹可知，作图时首先作了过点P且与$l_1$相交的截线，随后构造了两个相等的内错角。
① 选项A、B是平行线的性质，适用场景为已知两直线平行推导角的关系，不是作平行线的依据，故排除A、B；
② 作图得到的相等角为内错角，根据平行线的判定定理“内错角相等，两直线平行”，即可判定作出的$l_2$与$l_1$平行，因此作图依据为D选项。
【答案】
D
【知识点】
平行线的判定；尺规作图；内错角识别
【点评】
本题考查尺规作平行线的原理，易错点是混淆平行线的性质和判定的适用场景，同时需要准确判断作图中构造的角的类型，属于基础概念考查题，掌握平行线判定定理是解题的关键。
【难度系数】
0.8