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2.已知线段$a,c,∠α$,求作:$△ ABC$,使$BC=a,AB=c,∠ABC=∠α$.
以下是排乱的作图步骤:
正确作图步骤的顺序是 （
A.①②③④
B.①③②④
C.①③④②
D.①②④③
以下是排乱的作图步骤:
正确作图步骤的顺序是 （
B
）A.①②③④
B.①③②④
C.①③④②
D.①②④③
答案
2. B
解析
【分析】
本题是已知两边及其夹角作三角形的尺规作图排序题，解题思路遵循SAS作三角形的逻辑：首先要先作出等于已知角∠α的角，确定夹角顶点B和两条边的方向；接下来在角的两条射线上分别截取长度等于已知的两条边长AB=c、BC=a，确定A、C两个顶点的位置；最后连接两个端点即可得到所求三角形，按照这个逻辑对应排序即可选出答案。
【解析】
作满足条件的△ABC的正确步骤如下：
1. 首先作∠MBN=∠α（对应题干步骤①），确定夹角的顶点B和两条边的方向；
2. 其次在其中一条射线上截取BA=c（对应题干步骤③），确定顶点A的位置；
3. 再在另一条射线上截取BC=a（对应题干步骤②），确定顶点C的位置；
4. 最后连接AC（对应题干步骤④），得到的△ABC即为所求。
因此正确作图步骤顺序为①③②④，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 两边及夹角作三角形
2. 作一个角等于已知角
3. 作线段等于已知线段
【点评】
本题考查尺规作图的步骤排序，核心是明确已知两边及夹角作三角形的操作逻辑，需先定夹角，再定两条边的长度，最后连接得到三角形，是对尺规作图基础操作的考查。
【难度系数】
0.8
本题是已知两边及其夹角作三角形的尺规作图排序题，解题思路遵循SAS作三角形的逻辑：首先要先作出等于已知角∠α的角，确定夹角顶点B和两条边的方向；接下来在角的两条射线上分别截取长度等于已知的两条边长AB=c、BC=a，确定A、C两个顶点的位置；最后连接两个端点即可得到所求三角形，按照这个逻辑对应排序即可选出答案。
【解析】
作满足条件的△ABC的正确步骤如下：
1. 首先作∠MBN=∠α（对应题干步骤①），确定夹角的顶点B和两条边的方向；
2. 其次在其中一条射线上截取BA=c（对应题干步骤③），确定顶点A的位置；
3. 再在另一条射线上截取BC=a（对应题干步骤②），确定顶点C的位置；
4. 最后连接AC（对应题干步骤④），得到的△ABC即为所求。
因此正确作图步骤顺序为①③②④，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 两边及夹角作三角形
2. 作一个角等于已知角
3. 作线段等于已知线段
【点评】
本题考查尺规作图的步骤排序，核心是明确已知两边及夹角作三角形的操作逻辑，需先定夹角，再定两条边的长度，最后连接得到三角形，是对尺规作图基础操作的考查。
【难度系数】
0.8
3. 如图是作$△ ABC$的作图痕迹，则此作图的已知条件是（
A.已知三角形的三边
B.已知三角形的两边及夹角
C.已知三角形的两角及夹边
D.已知三角形的两角及一角的对边
A
）A.已知三角形的三边
B.已知三角形的两边及夹角
C.已知三角形的两角及夹边
D.已知三角形的两角及一角的对边
答案
3. A
解析
【分析】
拿到这道题我们可以先回忆不同条件下作三角形的步骤：已知三边作三角形时，先作一条边等于已知边长，再分别以这条边的两个端点为圆心，另外两条已知边长为半径画弧，两弧交点即为第三个顶点；已知两边及夹角、两角相关的条件作三角形时，都需要先画出对应角度，会有作角的痕迹。观察本题的作图痕迹，没有作角的痕迹，先确定了边AB，再通过两个圆弧相交得到点C，由此就可以判断出作图的已知条件。
【解析】
观察作图痕迹可得：
1. 首先在射线AM上截取得到了线段AB，说明AB的长度是已知的；
2. 点C是分别以A、B为圆心，以AC、BC的长度为半径画弧，两弧相交得到的，说明AC、BC的长度也为已知；
3. 最后连接AC、BC得到△ABC，因此该作图的已知条件是三角形的三边。
对应选项可知选A。
【答案】
A
【知识点】
尺规作图作三角形；已知三边作三角形
【点评】
本题考查尺规作图作三角形的相关知识，解题关键是熟练掌握不同已知条件下作三角形的具体步骤，结合作图痕迹就能快速准确判断出已知条件。
【难度系数】
0.8
拿到这道题我们可以先回忆不同条件下作三角形的步骤：已知三边作三角形时，先作一条边等于已知边长，再分别以这条边的两个端点为圆心，另外两条已知边长为半径画弧，两弧交点即为第三个顶点；已知两边及夹角、两角相关的条件作三角形时，都需要先画出对应角度，会有作角的痕迹。观察本题的作图痕迹，没有作角的痕迹，先确定了边AB，再通过两个圆弧相交得到点C，由此就可以判断出作图的已知条件。
【解析】
观察作图痕迹可得：
1. 首先在射线AM上截取得到了线段AB，说明AB的长度是已知的；
2. 点C是分别以A、B为圆心，以AC、BC的长度为半径画弧，两弧相交得到的，说明AC、BC的长度也为已知；
3. 最后连接AC、BC得到△ABC，因此该作图的已知条件是三角形的三边。
对应选项可知选A。
【答案】
A
【知识点】
尺规作图作三角形；已知三边作三角形
【点评】
本题考查尺规作图作三角形的相关知识，解题关键是熟练掌握不同已知条件下作三角形的具体步骤，结合作图痕迹就能快速准确判断出已知条件。
【难度系数】
0.8
4.如图，已知线段$a,b$，求作$△ ABC$，使$AB=AC=a$，$BC=b$（保留作图痕迹，不要求写作法）。
答案
4. 解:如图,△ABC即为所求作的三角形。
解析
【分析】要构造满足$AB=AC=a$、$BC=b$的$△ ABC$，属于已知三边作三角形的尺规作图问题。首先我们可以先确定长度为$b$的边$BC$的位置，接下来需要找到点$A$，使得点$A$到$B$、$C$的距离都等于$a$，根据圆的性质，到定点距离等于定长的点在以定点为圆心、定长为半径的圆上，因此分别以$B$、$C$为圆心，$a$为半径画弧，两弧的交点就是满足条件的点$A$，最后连接$AB$、$AC$即可得到所求三角形。
【解析】作图步骤如下：
1. 作线段$BC$，使$BC=b$；
2. 分别以点$B$、点$C$为圆心，以线段$a$的长度为半径画弧，两弧交于点$A$；
3. 连接$AB$、$AC$，保留作图痕迹，得到的$△ ABC$即为所求。
【答案】如图，$△ ABC$即为所求作的三角形。
【知识点】1. 尺规作图 2. 作线段等于已知线段 3. 已知三边作三角形
【点评】本题是基础的尺规作图题，解题的关键是掌握已知三边作三角形的作图逻辑，作图时需按要求保留画图痕迹，不需要写作法时也不能擦除作图辅助线。
【难度系数】
0.8
【解析】作图步骤如下：
1. 作线段$BC$，使$BC=b$；
2. 分别以点$B$、点$C$为圆心，以线段$a$的长度为半径画弧，两弧交于点$A$；
3. 连接$AB$、$AC$，保留作图痕迹，得到的$△ ABC$即为所求。
【答案】如图，$△ ABC$即为所求作的三角形。
【知识点】1. 尺规作图 2. 作线段等于已知线段 3. 已知三边作三角形
【点评】本题是基础的尺规作图题，解题的关键是掌握已知三边作三角形的作图逻辑，作图时需按要求保留画图痕迹，不需要写作法时也不能擦除作图辅助线。
【难度系数】
0.8
5. 如图，已知线段$a$，$∠α$，求作$△ ABC$，使$BC=a$，$AB=AC$，$∠ ABC=∠α$（保留作图痕迹，不要求写作法）。
答案
5. 解:如图,△ABC即为所求作的三角形。
解析
【分析】
要作出符合要求的等腰△ABC，可结合已知条件梳理作图逻辑：首先确定已知底边，先利用尺规作线段等于已知线段a，得到边BC；再由AB=AC可知△ABC的两个底角∠ABC、∠ACB都等于∠α，因此只需要在BC的同侧，分别以B、C为顶点作大小等于∠α的角，两个角的另一边的交点就是顶点A，连接对应边即可得到所求三角形，作图时需保留全部作图痕迹。
【解析】
作图逻辑（无需写作法时仅保留痕迹即可）：
1. 先用尺规作线段BC，使BC的长度等于已知线段a；
2. 在BC的同一侧，分别以B、C为顶点，作∠MBC=∠α，∠NCB=∠α；
3. 射线BM和CN的交点即为点A，此时得到的△ABC就是满足所有条件的三角形。
【答案】
如图,△ABC即为所求作的三角形。
【知识点】
作相等线段；作相等的角；等腰三角形判定
【点评】
本题是基础的尺规作图综合题，考察了基本作图方法的实际应用，作图时要注意两个等角需作在已知边BC的同侧，要按要求保留完整的作图痕迹，标注好对应顶点字母。
【难度系数】
0.8
要作出符合要求的等腰△ABC，可结合已知条件梳理作图逻辑：首先确定已知底边，先利用尺规作线段等于已知线段a，得到边BC；再由AB=AC可知△ABC的两个底角∠ABC、∠ACB都等于∠α，因此只需要在BC的同侧，分别以B、C为顶点作大小等于∠α的角，两个角的另一边的交点就是顶点A，连接对应边即可得到所求三角形，作图时需保留全部作图痕迹。
【解析】
作图逻辑（无需写作法时仅保留痕迹即可）：
1. 先用尺规作线段BC，使BC的长度等于已知线段a；
2. 在BC的同一侧，分别以B、C为顶点，作∠MBC=∠α，∠NCB=∠α；
3. 射线BM和CN的交点即为点A，此时得到的△ABC就是满足所有条件的三角形。
【答案】
如图,△ABC即为所求作的三角形。
【知识点】
作相等线段；作相等的角；等腰三角形判定
【点评】
本题是基础的尺规作图综合题，考察了基本作图方法的实际应用，作图时要注意两个等角需作在已知边BC的同侧，要按要求保留完整的作图痕迹，标注好对应顶点字母。
【难度系数】
0.8
6. 如图，在$△ ABC$中，利用尺规作等腰三角形$DBC$，使点$D$，$A$在直线$BC$的同侧，且$DB=BC$，$∠ DBC=∠ ACB$（保留作图痕迹，不要求写作法）。
答案
6. 解:如图,△DBC即为所求作的三角形。
解析
【分析】
解题时先明确作图需要满足的条件：①点D与A在直线BC同侧；②∠DBC=∠ACB；③DB=BC。我们可以分步完成作图：首先利用“作一个角等于已知角”的尺规作图方法，确定点D所在的射线BD的位置，保证∠DBC=∠ACB且BD与A在BC同侧；再利用“作一条线段等于已知线段”的方法，在射线BD上截取DB=BC，得到点D；最后连接DC即可得到所求三角形。
【解析】
1. 用尺规作∠DBC=∠ACB，使射线BD与点A在直线BC的同侧；
2. 在射线BD上截取线段DB，使得DB=BC；
3. 连接DC，所得△DBC即为符合要求的等腰三角形。
【答案】
如图,△DBC即为所求作的三角形。
【知识点】
作一个角等于已知角；作一条线段等于已知线段；等腰三角形定义
【点评】
本题是基础的尺规作图综合题，考查对基本尺规作图方法的掌握和运用能力，解题的关键是准确理解题目给出的角、边以及点的位置约束，按顺序完成作图，避免出现点D位置画反的错误。
【难度系数】
0.8
解题时先明确作图需要满足的条件：①点D与A在直线BC同侧；②∠DBC=∠ACB；③DB=BC。我们可以分步完成作图：首先利用“作一个角等于已知角”的尺规作图方法，确定点D所在的射线BD的位置，保证∠DBC=∠ACB且BD与A在BC同侧；再利用“作一条线段等于已知线段”的方法，在射线BD上截取DB=BC，得到点D；最后连接DC即可得到所求三角形。
【解析】
1. 用尺规作∠DBC=∠ACB，使射线BD与点A在直线BC的同侧；
2. 在射线BD上截取线段DB，使得DB=BC；
3. 连接DC，所得△DBC即为符合要求的等腰三角形。
【答案】
如图,△DBC即为所求作的三角形。
【知识点】
作一个角等于已知角；作一条线段等于已知线段；等腰三角形定义
【点评】
本题是基础的尺规作图综合题，考查对基本尺规作图方法的掌握和运用能力，解题的关键是准确理解题目给出的角、边以及点的位置约束，按顺序完成作图，避免出现点D位置画反的错误。
【难度系数】
0.8
7. (厦门模拟)如图所示,已知∠ABC.
(1)尺规作图:过点A作BC的平行线AD,使得D,C在直线AB的异侧.
(2)设点E在BC边上,在(1)的射线AD上取点F,使得BE=AF,点E,F到直线AB的距离是否相等?说出你的理由.
(1)尺规作图:过点A作BC的平行线AD,使得D,C在直线AB的异侧.
(2)设点E在BC边上,在(1)的射线AD上取点F,使得BE=AF,点E,F到直线AB的距离是否相等?说出你的理由.
答案
7. (1)所求作的平行线AD如图所示：
(2)相等.理由如下：
根据题意,如图,连接BF，
由(1)得AD//BE，
所以∠DAB=∠CBA。
因为BE=AF,AB=AB，
所以△AFB≌△BEA(SAS)，
则点F到直线AB的距离是△AFB的AB边上的高,点E到直线AB的距离是△AEB的AB边上的高，
因为△AFB≌△BEA,AB=AB，
所以点E,F到直线AB的距离相等(全等三角形的对应边上的高相等)。
解析
【分析】
本题分为作图和证明两小问：
(1) 要过点A作BC的平行线，可根据“内错角相等，两直线平行”的原理，用尺规作∠DAB=∠ABC，且保证点D和点C在直线AB的异侧，即可得到平行于BC的直线AD。
(2) 要判断点E、F到直线AB的距离是否相等，首先明确点到直线的距离是该点到直线的垂线段长度，可转化为证明分别以这两个点为顶点、AB为公共边的两个三角形全等，全等三角形对应边上的高相等，即可得到距离相等。结合已知条件，由AD//BC可得内错角相等，再加AF=BE、公共边AB，可通过SAS证明三角形全等，进而推导结论。
【解析】
(1) 作图步骤：
① 以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交BA、BC于点M、G；
② 以点A为圆心，BM长为半径画弧，交AB于点N，再以N为圆心，MG的长为半径画弧，两弧交于点K，且点K与点C在直线AB的异侧；
③ 过A、K作直线AD，即为所求作的平行线。
(2) 推理过程：
连接BF，由(1)可知AD//BC，所以∠FAB=∠EBA（两直线平行，内错角相等）。
在△AFB和△BEA中：
$\{\begin{array}{l} AF=BE\\ ∠ FAB=∠ EBA\\ AB=BA\end{array} $
所以△AFB≌△BEA（SAS）。
点F到直线AB的距离是△AFB中AB边上的高，点E到直线AB的距离是△BEA中AB边上的高，根据全等三角形对应边上的高相等，可得两点到直线AB的距离相等。
【答案】
(1) 所求作的平行线AD如图所示：
(2) 相等。理由如下：
根据题意,如图,连接BF，
由(1)得AD//BE，
所以∠DAB=∠CBA。
因为BE=AF,AB=AB，
所以△AFB≌△BEA(SAS)，
则点F到直线AB的距离是△AFB的AB边上的高,点E到直线AB的距离是△AEB的AB边上的高，
因为△AFB≌△BEA,AB=AB，
所以点E,F到直线AB的距离相等(全等三角形的对应边上的高相等)。
【知识点】
尺规作平行线，平行线的性质，全等三角形的判定与性质
【点评】
本题综合考查了尺规基本作图、平行线的性质和全等三角形的判定及性质，既考查了学生的动手操作能力，也考查了逻辑推理能力，解题关键是熟练掌握作一个角等于已知角的作图方法，以及灵活运用全等三角形的性质解决线段相等的问题。
【难度系数】
0.7
本题分为作图和证明两小问：
(1) 要过点A作BC的平行线，可根据“内错角相等，两直线平行”的原理，用尺规作∠DAB=∠ABC，且保证点D和点C在直线AB的异侧，即可得到平行于BC的直线AD。
(2) 要判断点E、F到直线AB的距离是否相等，首先明确点到直线的距离是该点到直线的垂线段长度，可转化为证明分别以这两个点为顶点、AB为公共边的两个三角形全等，全等三角形对应边上的高相等，即可得到距离相等。结合已知条件，由AD//BC可得内错角相等，再加AF=BE、公共边AB，可通过SAS证明三角形全等，进而推导结论。
【解析】
(1) 作图步骤：
① 以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交BA、BC于点M、G；
② 以点A为圆心，BM长为半径画弧，交AB于点N，再以N为圆心，MG的长为半径画弧，两弧交于点K，且点K与点C在直线AB的异侧；
③ 过A、K作直线AD，即为所求作的平行线。
(2) 推理过程：
连接BF，由(1)可知AD//BC，所以∠FAB=∠EBA（两直线平行，内错角相等）。
在△AFB和△BEA中：
$\{\begin{array}{l} AF=BE\\ ∠ FAB=∠ EBA\\ AB=BA\end{array} $
所以△AFB≌△BEA（SAS）。
点F到直线AB的距离是△AFB中AB边上的高，点E到直线AB的距离是△BEA中AB边上的高，根据全等三角形对应边上的高相等，可得两点到直线AB的距离相等。
【答案】
(1) 所求作的平行线AD如图所示：
(2) 相等。理由如下：
根据题意,如图,连接BF，
由(1)得AD//BE，
所以∠DAB=∠CBA。
因为BE=AF,AB=AB，
所以△AFB≌△BEA(SAS)，
则点F到直线AB的距离是△AFB的AB边上的高,点E到直线AB的距离是△AEB的AB边上的高，
因为△AFB≌△BEA,AB=AB，
所以点E,F到直线AB的距离相等(全等三角形的对应边上的高相等)。
【知识点】
尺规作平行线，平行线的性质，全等三角形的判定与性质
【点评】
本题综合考查了尺规基本作图、平行线的性质和全等三角形的判定及性质，既考查了学生的动手操作能力，也考查了逻辑推理能力，解题关键是熟练掌握作一个角等于已知角的作图方法，以及灵活运用全等三角形的性质解决线段相等的问题。
【难度系数】
0.7
