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8. 如图，D是$△ ABC$外一点，连接$BD$，$AD$，$AD$与$BC$相交于点$O$. 有下列三个等式：①$BC=AD$；②$∠ ABC=∠ BAD$；③$AC=BD$. 请从这三个等式中，任选两个作为条件，剩下的一个作为结论，组成一个真命题. 将你选择的等式的序号填在下面对应的横线上，然后对该真命题进行证明.
条件：
结论：
条件：
①②
；结论：
③
.(均填序号)答案
8. 解:(答案不唯一)条件:①② 结论:③
证明:在△ABC和△BAD中,
$\begin{cases} BC=AD, \\ ∠ABC=∠BAD, \\ AB=BA, \end{cases}$
所以△ABC≌△BAD(SAS),
所以AC=BD.
证明:在△ABC和△BAD中,
$\begin{cases} BC=AD, \\ ∠ABC=∠BAD, \\ AB=BA, \end{cases}$
所以△ABC≌△BAD(SAS),
所以AC=BD.
解析
【分析】
这是一道全等三角形相关的开放类命题题，解题时先观察图形可得△ABC和△BAD有公共边AB这一隐含条件。我们选择①②作为条件时，已知一组边相等BC=AD、一组角相等∠ABC=∠BAD，再结合公共边AB=BA，恰好满足全等三角形的SAS判定条件，可证得△ABC≌△BAD，再根据全等三角形对应边相等，即可得到结论③AC=BD，是成立的真命题。
【解析】
选择条件：①②，结论：③，证明如下：
在△ABC和△BAD中，
$\begin{cases} BC=AD, \\ ∠ABC=∠BAD, \\ AB=BA, \end{cases}$
所以△ABC≌△BAD（SAS），
根据全等三角形对应边相等，可得AC=BD。
（注：也可选择其他合理组合，如选②③作为条件可推出①，选①③作为条件可推出②，均为真命题）
【答案】
条件：①②；结论：③（答案不唯一）
【知识点】
全等三角形的SAS判定；全等三角形的性质
【点评】
本题属于开放性试题，需要自主选择条件组合构造真命题，解题时要注意挖掘图形中隐含的公共边条件，结合全等三角形的判定和性质完成证明，能有效考查逻辑推理能力和对全等相关知识的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
这是一道全等三角形相关的开放类命题题，解题时先观察图形可得△ABC和△BAD有公共边AB这一隐含条件。我们选择①②作为条件时，已知一组边相等BC=AD、一组角相等∠ABC=∠BAD，再结合公共边AB=BA，恰好满足全等三角形的SAS判定条件，可证得△ABC≌△BAD，再根据全等三角形对应边相等，即可得到结论③AC=BD，是成立的真命题。
【解析】
选择条件：①②，结论：③，证明如下：
在△ABC和△BAD中，
$\begin{cases} BC=AD, \\ ∠ABC=∠BAD, \\ AB=BA, \end{cases}$
所以△ABC≌△BAD（SAS），
根据全等三角形对应边相等，可得AC=BD。
（注：也可选择其他合理组合，如选②③作为条件可推出①，选①③作为条件可推出②，均为真命题）
【答案】
条件：①②；结论：③（答案不唯一）
【知识点】
全等三角形的SAS判定；全等三角形的性质
【点评】
本题属于开放性试题，需要自主选择条件组合构造真命题，解题时要注意挖掘图形中隐含的公共边条件，结合全等三角形的判定和性质完成证明，能有效考查逻辑推理能力和对全等相关知识的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
9. 如图,点 C,F 在线段 BE 上,BF=EC,∠1=∠2,请你添加一个条件,使△ABC≌△DEF,并加以证明(不再添加辅助线和字母).
答案
9. 解:(答案不唯一)添加AC=DF.
证明:因为BF=EC,
所以BF-CF=EC-CF,
所以BC=EF.
在△ABC和△DEF中,
$\begin{cases} AC=DF, \\ ∠1=∠2, \\ BC=EF, \end{cases}$
所以△ABC≌△DEF(SAS).
证明:因为BF=EC,
所以BF-CF=EC-CF,
所以BC=EF.
在△ABC和△DEF中,
$\begin{cases} AC=DF, \\ ∠1=∠2, \\ BC=EF, \end{cases}$
所以△ABC≌△DEF(SAS).
解析
【分析】
这是一道全等三角形判定的开放性题目，解题思路如下：①先处理已知的线段相等条件$BF=EC$：观察图形可知$BF$和$EC$都包含公共线段$CF$，利用等式的性质，两边同时减去$CF$，即可得到$△ ABC$和$△ DEF$的一组对应边$BC=EF$；②结合已知的$∠1=∠2$，此时已有一组对应边相等、一组对应角相等，根据全等三角形判定定理，可补充夹该角的另一组对应边相等（即$AC=DF$，用SAS判定），也可补充另一组对应角相等（如$∠ B=∠ E$用ASA、$∠ A=∠ D$用AAS），此处以添加$AC=DF$为例讲解。
【解析】
解：添加条件：$AC=DF$（答案不唯一）。
证明：$\because BF=EC$，
$\therefore BF-CF=EC-CF$，即$BC=EF$。
在$△ ABC$和$△ DEF$中：
$\begin{cases}AC=DF, \\∠ 1=∠ 2, \\BC=EF,\end{cases}$
$\therefore △ ABC ≌ △ DEF(\mathrm{SAS})$。
【答案】
(答案不唯一)添加$AC=DF$，证明：因为$BF=EC$，所以$BF-CF=EC-CF$，所以$BC=EF$。在$△ ABC$和$△ DEF$中，$\begin{cases} AC=DF, \\ ∠1=∠2, \\ BC=EF, \end{cases}$所以$△ ABC≌△ DEF(\mathrm{SAS})$。
【知识点】
全等三角形判定、等式的性质
【点评】
本题属于开放性基础题，需要先将已知的线段条件转化为待证三角形的对应边相等，再结合已有角相等的条件，选择合适的全等判定定理补充对应条件即可，答案不唯一，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键。
【难度系数】
0.75
这是一道全等三角形判定的开放性题目，解题思路如下：①先处理已知的线段相等条件$BF=EC$：观察图形可知$BF$和$EC$都包含公共线段$CF$，利用等式的性质，两边同时减去$CF$，即可得到$△ ABC$和$△ DEF$的一组对应边$BC=EF$；②结合已知的$∠1=∠2$，此时已有一组对应边相等、一组对应角相等，根据全等三角形判定定理，可补充夹该角的另一组对应边相等（即$AC=DF$，用SAS判定），也可补充另一组对应角相等（如$∠ B=∠ E$用ASA、$∠ A=∠ D$用AAS），此处以添加$AC=DF$为例讲解。
【解析】
解：添加条件：$AC=DF$（答案不唯一）。
证明：$\because BF=EC$，
$\therefore BF-CF=EC-CF$，即$BC=EF$。
在$△ ABC$和$△ DEF$中：
$\begin{cases}AC=DF, \\∠ 1=∠ 2, \\BC=EF,\end{cases}$
$\therefore △ ABC ≌ △ DEF(\mathrm{SAS})$。
【答案】
(答案不唯一)添加$AC=DF$，证明：因为$BF=EC$，所以$BF-CF=EC-CF$，所以$BC=EF$。在$△ ABC$和$△ DEF$中，$\begin{cases} AC=DF, \\ ∠1=∠2, \\ BC=EF, \end{cases}$所以$△ ABC≌△ DEF(\mathrm{SAS})$。
【知识点】
全等三角形判定、等式的性质
【点评】
本题属于开放性基础题，需要先将已知的线段条件转化为待证三角形的对应边相等，再结合已有角相等的条件，选择合适的全等判定定理补充对应条件即可，答案不唯一，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键。
【难度系数】
0.75
10. 如图，在$△ ABC$和$△ DEF$中，$B,E,C,F$在同一条直线上.有下面四个条件：
①$AB=DE$；②$AC=DF$；③$BE=CF$；④$∠ ABC=∠ DEF$.
(1)请选择其中三个条件，使得$△ ABC ≌ △ DEF$(写出一种情况即可)；
(2)在(1)的条件下，求证：$△ ABC ≌ △ DEF$.
①$AB=DE$；②$AC=DF$；③$BE=CF$；④$∠ ABC=∠ DEF$.
(1)请选择其中三个条件，使得$△ ABC ≌ △ DEF$(写出一种情况即可)；
(2)在(1)的条件下，求证：$△ ABC ≌ △ DEF$.
答案
10. (1)解:选择的三个条件是:①②③或①③④.
(2)证明:当选择①②③时,
因为BE=CF,
所以BE+EC=CF+EC,
即BC=EF.
在△ABC和△DEF中,
$\begin{cases} AB=DE, \\ BC=EF, \\ AC=DF, \end{cases}$
所以△ABC≌△DEF(SSS).
当选择①③④时,
因为BE=CF,
所以BE+EC=CF+EC,
即BC=EF.
在△ABC和△DEF中,
$\begin{cases} AB=DE, \\ ∠ABC=∠DEF, \\ BC=EF, \end{cases}$
所以△ABC≌△DEF(SAS).
(2)证明:当选择①②③时,
因为BE=CF,
所以BE+EC=CF+EC,
即BC=EF.
在△ABC和△DEF中,
$\begin{cases} AB=DE, \\ BC=EF, \\ AC=DF, \end{cases}$
所以△ABC≌△DEF(SSS).
当选择①③④时,
因为BE=CF,
所以BE+EC=CF+EC,
即BC=EF.
在△ABC和△DEF中,
$\begin{cases} AB=DE, \\ ∠ABC=∠DEF, \\ BC=EF, \end{cases}$
所以△ABC≌△DEF(SAS).
解析
【分析】
本题是全等三角形相关的开放型题目，解题思路如下：
1. 处理第(1)问时，先回忆全等三角形的判定定理：SSS、SAS、ASA、AAS，明确SSA无法判定三角形全等。已知条件③BE=CF，可通过线段和差关系推出△ABC和△DEF的一组对应边BC=EF，在此基础上搭配其余条件：若搭配①②，可得到三组对应边相等，符合SSS判定要求；若搭配①④，可得到两边及夹角对应相等，符合SAS判定要求，两种组合都可证明三角形全等，因此可选①②③或①③④。
2. 处理第(2)问时，先利用BE=CF，两边同时加上公共线段EC得到BC=EF，再结合选择的另外两个条件，代入对应的全等判定定理即可完成证明。
【解析】
(1) 解：可选择的三个条件为①②③（或①③④）。
(2) 证明：
若选择①②③：
∵ BE=CF，
∴ BE+EC = CF+EC，即BC=EF。
在△ABC和△DEF中：
$\begin{cases} AB=DE, \\ BC=EF, \\ AC=DF, \end{cases}$
∴ △ABC≌△DEF（SSS）。
若选择①③④：
∵ BE=CF，
∴ BE+EC = CF+EC，即BC=EF。
在△ABC和△DEF中：
$\begin{cases} AB=DE, \\ ∠ABC=∠DEF, \\ BC=EF, \end{cases}$
∴ △ABC≌△DEF（SAS）。
【答案】
(1) ①②③（或①③④）；
(2) 选择①②③时可通过SSS判定△ABC≌△DEF，选择①③④时可通过SAS判定△ABC≌△DEF，证明过程如上。
【知识点】
1. 全等三角形的判定
2. 线段和差计算
【点评】
本题属于全等判定的基础开放题，重点考查对全等三角形判定定理的理解与运用能力，解题的关键是先将BE=CF转化为两个三角形的对应边BC=EF，同时要注意SSA不能作为全等判定的依据，本题能较好地锻炼学生的逻辑推理能力和条件组合分析能力。
【难度系数】
0.8
本题是全等三角形相关的开放型题目，解题思路如下：
1. 处理第(1)问时，先回忆全等三角形的判定定理：SSS、SAS、ASA、AAS，明确SSA无法判定三角形全等。已知条件③BE=CF，可通过线段和差关系推出△ABC和△DEF的一组对应边BC=EF，在此基础上搭配其余条件：若搭配①②，可得到三组对应边相等，符合SSS判定要求；若搭配①④，可得到两边及夹角对应相等，符合SAS判定要求，两种组合都可证明三角形全等，因此可选①②③或①③④。
2. 处理第(2)问时，先利用BE=CF，两边同时加上公共线段EC得到BC=EF，再结合选择的另外两个条件，代入对应的全等判定定理即可完成证明。
【解析】
(1) 解：可选择的三个条件为①②③（或①③④）。
(2) 证明：
若选择①②③：
∵ BE=CF，
∴ BE+EC = CF+EC，即BC=EF。
在△ABC和△DEF中：
$\begin{cases} AB=DE, \\ BC=EF, \\ AC=DF, \end{cases}$
∴ △ABC≌△DEF（SSS）。
若选择①③④：
∵ BE=CF，
∴ BE+EC = CF+EC，即BC=EF。
在△ABC和△DEF中：
$\begin{cases} AB=DE, \\ ∠ABC=∠DEF, \\ BC=EF, \end{cases}$
∴ △ABC≌△DEF（SAS）。
【答案】
(1) ①②③（或①③④）；
(2) 选择①②③时可通过SSS判定△ABC≌△DEF，选择①③④时可通过SAS判定△ABC≌△DEF，证明过程如上。
【知识点】
1. 全等三角形的判定
2. 线段和差计算
【点评】
本题属于全等判定的基础开放题，重点考查对全等三角形判定定理的理解与运用能力，解题的关键是先将BE=CF转化为两个三角形的对应边BC=EF，同时要注意SSA不能作为全等判定的依据，本题能较好地锻炼学生的逻辑推理能力和条件组合分析能力。
【难度系数】
0.8
