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13. 如图①,直角三角板COD的直角顶点O在直线AB上,∠COD=90°,射线OE是∠AOD的平分线。
请完成:
【特殊推理】
(1)推理:如图①,若∠1=30°,则∠2=∠COD−∠1=90°−∠1=,
因为射线OE是∠AOD的平分线,所以∠AOD=2∠2=,
所以∠BOD=180°−∠AOD=。
【类比操作】
(2)如图①,若∠1=40°,求∠BOD的度数。
【变式思维】
(3)当直角三角板COD绕点O逆时针旋转到图②位置时,射线OE还是∠AOD的平分线,若∠COE=130°,求∠BOD的度数。
请完成:
【特殊推理】
(1)推理:如图①,若∠1=30°,则∠2=∠COD−∠1=90°−∠1=,
因为射线OE是∠AOD的平分线,所以∠AOD=2∠2=,
所以∠BOD=180°−∠AOD=。
【类比操作】
(2)如图①,若∠1=40°,求∠BOD的度数。
【变式思维】
(3)当直角三角板COD绕点O逆时针旋转到图②位置时,射线OE还是∠AOD的平分线,若∠COE=130°,求∠BOD的度数。
答案
解：(1) $\boldsymbol{60°}$；$\boldsymbol{120°}$；$\boldsymbol{60°}$
(2) $\because ∠ COD=90°$，$∠ 1=40°$
$\therefore ∠ 2=∠ COD-∠ 1=90°-40°=50°$
$\because OE$是$∠ AOD$的平分线
$\therefore ∠ AOD=2∠ 2=2×50°=100°$
$\because$ 点$O$在直线$AB$上，$∠ AOB=180°$
$\therefore ∠ BOD=180°-∠ AOD=180°-100°=80°$
(3) $\because ∠ COE=130°$，$∠ COD=90°$
$\therefore ∠ DOE=∠ COE-∠ COD=130°-90°=40°$
$\because OE$是$∠ AOD$的平分线
$\therefore ∠ AOD=2∠ DOE=2×40°=80°$
$\because$ 点$O$在直线$AB$上，$∠ AOB=180°$
$\therefore ∠ BOD=180°-∠ AOD=180°-80°=100°$
(2) $\because ∠ COD=90°$，$∠ 1=40°$
$\therefore ∠ 2=∠ COD-∠ 1=90°-40°=50°$
$\because OE$是$∠ AOD$的平分线
$\therefore ∠ AOD=2∠ 2=2×50°=100°$
$\because$ 点$O$在直线$AB$上，$∠ AOB=180°$
$\therefore ∠ BOD=180°-∠ AOD=180°-100°=80°$
(3) $\because ∠ COE=130°$，$∠ COD=90°$
$\therefore ∠ DOE=∠ COE-∠ COD=130°-90°=40°$
$\because OE$是$∠ AOD$的平分线
$\therefore ∠ AOD=2∠ DOE=2×40°=80°$
$\because$ 点$O$在直线$AB$上，$∠ AOB=180°$
$\therefore ∠ BOD=180°-∠ AOD=180°-80°=100°$
解析
【分析】
本题围绕角的运算展开，解题核心是利用直角、平角的固定度数，结合角平分线的性质逐步推导：
(1) 为基础代入计算，先根据直角∠COD=90°，用90°减∠1得到∠2，再根据角平分线性质（角平分线将角分为两个相等的角，原角是分得的小角的2倍）得到∠AOD，最后利用平角∠AOB=180°，用180°减∠AOD得到∠BOD；
(2) 思路和(1)完全一致，仅替换∠1的度数按步骤计算即可；
(3) 图形旋转后相关性质不变，先通过∠COE与∠COD的差求出∠DOE，再利用角平分线性质得到∠AOD，最后用平角180°减∠AOD求出∠BOD。
【解析】
(1) 已知∠COD=90°，∠1=30°，则∠2=90°-30°=60°；
因为OE平分∠AOD，所以∠AOD=2∠2=2×60°=120°；
又因为AB是直线，∠AOB=180°，所以∠BOD=180°-120°=60°。
(2) $\because ∠ COD=90°$，$∠ 1=40°$
$\therefore ∠ 2=∠ COD-∠ 1=90°-40°=50°$
$\because OE$是$∠ AOD$的平分线
$\therefore ∠ AOD=2∠ 2=2×50°=100°$
$\because$ 点$O$在直线$AB$上，$∠ AOB=180°$
$\therefore ∠ BOD=180°-∠ AOD=180°-100°=80°$
(3) $\because ∠ COE=130°$，$∠ COD=90°$
$\therefore ∠ DOE=∠ COE-∠ COD=130°-90°=40°$
$\because OE$是$∠ AOD$的平分线
$\therefore ∠ AOD=2∠ DOE=2×40°=80°$
$\because$ 点$O$在直线$AB$上，$∠ AOB=180°$
$\therefore ∠ BOD=180°-∠ AOD=180°-80°=100°$
【答案】
(1) $\boldsymbol{60°}$；$\boldsymbol{120°}$；$\boldsymbol{60°}$
(2) $\boldsymbol{80°}$
(3) $\boldsymbol{100°}$
【知识点】
角平分线的定义、角的和差计算、平角与直角的性质
【点评】
本题以三角板旋转为背景，考查角的基础运算，解题关键是抓住角平分线、平角、直角的性质不变，从特殊值到一般推导的思路清晰，侧重对基础运算能力和图形观察能力的考查。
【难度系数】
0.75
本题围绕角的运算展开，解题核心是利用直角、平角的固定度数，结合角平分线的性质逐步推导：
(1) 为基础代入计算，先根据直角∠COD=90°，用90°减∠1得到∠2，再根据角平分线性质（角平分线将角分为两个相等的角，原角是分得的小角的2倍）得到∠AOD，最后利用平角∠AOB=180°，用180°减∠AOD得到∠BOD；
(2) 思路和(1)完全一致，仅替换∠1的度数按步骤计算即可；
(3) 图形旋转后相关性质不变，先通过∠COE与∠COD的差求出∠DOE，再利用角平分线性质得到∠AOD，最后用平角180°减∠AOD求出∠BOD。
【解析】
(1) 已知∠COD=90°，∠1=30°，则∠2=90°-30°=60°；
因为OE平分∠AOD，所以∠AOD=2∠2=2×60°=120°；
又因为AB是直线，∠AOB=180°，所以∠BOD=180°-120°=60°。
(2) $\because ∠ COD=90°$，$∠ 1=40°$
$\therefore ∠ 2=∠ COD-∠ 1=90°-40°=50°$
$\because OE$是$∠ AOD$的平分线
$\therefore ∠ AOD=2∠ 2=2×50°=100°$
$\because$ 点$O$在直线$AB$上，$∠ AOB=180°$
$\therefore ∠ BOD=180°-∠ AOD=180°-100°=80°$
(3) $\because ∠ COE=130°$，$∠ COD=90°$
$\therefore ∠ DOE=∠ COE-∠ COD=130°-90°=40°$
$\because OE$是$∠ AOD$的平分线
$\therefore ∠ AOD=2∠ DOE=2×40°=80°$
$\because$ 点$O$在直线$AB$上，$∠ AOB=180°$
$\therefore ∠ BOD=180°-∠ AOD=180°-80°=100°$
【答案】
(1) $\boldsymbol{60°}$；$\boldsymbol{120°}$；$\boldsymbol{60°}$
(2) $\boldsymbol{80°}$
(3) $\boldsymbol{100°}$
【知识点】
角平分线的定义、角的和差计算、平角与直角的性质
【点评】
本题以三角板旋转为背景，考查角的基础运算，解题关键是抓住角平分线、平角、直角的性质不变，从特殊值到一般推导的思路清晰，侧重对基础运算能力和图形观察能力的考查。
【难度系数】
0.75
14.数轴是中学数学教材中数形结合的第一个实例,揭示了“数”和“形”之间的内在联系。小华在一张长方形纸条上画了一条数轴,进行如下操作:如图①,在数轴上剪下12个单位长度(从-3到9)后得到的一条线段,过线段上某点将纸条向左折叠;如图②,然后在重叠部分的某处剪一刀,展开后得到三条线段,发现有折痕的线段长度为6,另外两条没有折痕的线段长度之比为1:2。试求出折痕处对应的点所表示的数。
答案
解：
由题意，展开后三条线段总长度为12，已知带折痕的线段长为6，因此另外两条线段的长度之和为 $12 - 6 = 6$。
因为两条无折痕线段的长度之比为 $1:2$，可得两条线段的长度分别为：
$6 × \frac{1}{1+2} = 2$，$6 × \frac{2}{1+2} = 4$。
分两种情况计算折痕对应的数：
① 若最左侧线段长度为2，最右侧线段长度为4：
最左侧线段的右端点表示的数为 $-3 + 2 = -1$，
最右侧线段的左端点表示的数为 $9 - 4 = 5$，
折痕是这两个端点的中点，对应数为 $\frac{-1 + 5}{2} = 2$。
② 若最左侧线段长度为4，最右侧线段长度为2：
最左侧线段的右端点表示的数为 $-3 + 4 = 1$，
最右侧线段的左端点表示的数为 $9 - 2 = 7$，
折痕是这两个端点的中点，对应数为 $\frac{1 + 7}{2} = 4$。
综上，折痕处对应的点所表示的数为2或4。
由题意，展开后三条线段总长度为12，已知带折痕的线段长为6，因此另外两条线段的长度之和为 $12 - 6 = 6$。
因为两条无折痕线段的长度之比为 $1:2$，可得两条线段的长度分别为：
$6 × \frac{1}{1+2} = 2$，$6 × \frac{2}{1+2} = 4$。
分两种情况计算折痕对应的数：
① 若最左侧线段长度为2，最右侧线段长度为4：
最左侧线段的右端点表示的数为 $-3 + 2 = -1$，
最右侧线段的左端点表示的数为 $9 - 4 = 5$，
折痕是这两个端点的中点，对应数为 $\frac{-1 + 5}{2} = 2$。
② 若最左侧线段长度为4，最右侧线段长度为2：
最左侧线段的右端点表示的数为 $-3 + 4 = 1$，
最右侧线段的左端点表示的数为 $9 - 2 = 7$，
折痕是这两个端点的中点，对应数为 $\frac{1 + 7}{2} = 4$。
综上，折痕处对应的点所表示的数为2或4。
解析
【分析】
解题时首先明确剪下的数轴线段总长度为12，已知带折痕的线段长为6，先计算出另外两条无折痕线段的总长度，再结合长度比1:2算出两条线段的长度分别为2和4。接下来需分类讨论两种情况：第一种是左侧无折痕线段长2、右侧长4，第二种是左侧长4、右侧长2。由于折叠后折痕是左右两条无折痕线段相邻端点的中点，分别计算两种情况对应的中点数值，即可得到折痕对应的数。
【解析】
解：由题意可知，剪下的线段总长度为12，已知带折痕的线段长为6，因此另外两条无折痕线段的长度之和为$12-6=6$。
因为两条无折痕线段的长度之比为$1:2$，所以两条线段的长度分别为：
$6×\frac{1}{1+2}=2$，$6×\frac{2}{1+2}=4$。
分两种情况计算折痕对应的数：
① 若最左侧线段长度为2，最右侧线段长度为4：
最左侧线段的右端点表示的数为$-3+2=-1$，
最右侧线段的左端点表示的数为$9-4=5$，
折痕是这两个端点的中点，对应数为$\frac{-1+5}{2}=2$。
② 若最左侧线段长度为4，最右侧线段长度为2：
最左侧线段的右端点表示的数为$-3+4=1$，
最右侧线段的左端点表示的数为$9-2=7$，
折痕是这两个端点的中点，对应数为$\frac{1+7}{2}=4$。
综上，折痕处对应的点所表示的数为2或4。
【答案】
2或4
【知识点】
数轴应用，线段和差计算，分类讨论思想
【点评】
本题结合数轴与折叠操作，综合考查了线段的和差计算、比例分配以及分类讨论的数学思想，解题的关键是理解折叠后折痕为对称点的中点，注意不要漏解两种不同的线段长度分配情况。
【难度系数】
0.6
解题时首先明确剪下的数轴线段总长度为12，已知带折痕的线段长为6，先计算出另外两条无折痕线段的总长度，再结合长度比1:2算出两条线段的长度分别为2和4。接下来需分类讨论两种情况：第一种是左侧无折痕线段长2、右侧长4，第二种是左侧长4、右侧长2。由于折叠后折痕是左右两条无折痕线段相邻端点的中点，分别计算两种情况对应的中点数值，即可得到折痕对应的数。
【解析】
解：由题意可知，剪下的线段总长度为12，已知带折痕的线段长为6，因此另外两条无折痕线段的长度之和为$12-6=6$。
因为两条无折痕线段的长度之比为$1:2$，所以两条线段的长度分别为：
$6×\frac{1}{1+2}=2$，$6×\frac{2}{1+2}=4$。
分两种情况计算折痕对应的数：
① 若最左侧线段长度为2，最右侧线段长度为4：
最左侧线段的右端点表示的数为$-3+2=-1$，
最右侧线段的左端点表示的数为$9-4=5$，
折痕是这两个端点的中点，对应数为$\frac{-1+5}{2}=2$。
② 若最左侧线段长度为4，最右侧线段长度为2：
最左侧线段的右端点表示的数为$-3+4=1$，
最右侧线段的左端点表示的数为$9-2=7$，
折痕是这两个端点的中点，对应数为$\frac{1+7}{2}=4$。
综上，折痕处对应的点所表示的数为2或4。
【答案】
2或4
【知识点】
数轴应用，线段和差计算，分类讨论思想
【点评】
本题结合数轴与折叠操作，综合考查了线段的和差计算、比例分配以及分类讨论的数学思想，解题的关键是理解折叠后折痕为对称点的中点，注意不要漏解两种不同的线段长度分配情况。
【难度系数】
0.6
